专题01 平面向量及线性运算（压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第二册

专题01平面向量及线性运算 目录 专题01 平面向量及线性运算 类型一、向量的概念 类型二、向量的加法 类型三、向量的减法 类型四、平面向量的混合运算 类型五、向量与几何图形的形状 类型六、向量与三角形的四心 类型七、向量共线 类型八、向量共线求参数 类型九、向量与最值 压轴专练 类型一、向量的概念 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 例1．(24-25高一下·四川广安友谊中学·月考)下列命题中，正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．若与是平行向量，则 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 D．若，则 【答案】C 【分析】由平面向量的基本概念判断即可. 【详解】对于A：若与都是单位向量，则，故A错误； 对于B：与是平行向量,故B错误； 对于D：向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：C 变式1-1． (24-25高一下·江苏宿迁沭阳南湖高级中学·开学考)设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的性质分别求出的最大值与最小值，最后计算它们的差值即可. 【详解】因为、、为非零向量，所以、、分别是与、、同向的单位向量，即. 当、、这三个单位向量方向相同时，取得最大值.此时. 当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道，所以的最小值为. 的最大值为，最小值为，它们的差为. 故选：D. 变式1-2． (23-24高一下·广东江门第一中学·)设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合共线向量，单位向量，以及充分，必要条件的概念判断即可. 【详解】对于非零向量， 由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立； 由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立， 所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件， 故选：C. 变式1-3．（多选）(24-25高一下·福建长乐第五中学·期中)下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】AD 【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据向量的定义即可判断B；根据零向量与任意向量共线即可判断C；根据单位向量的定义即可判断D. 【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确； 对于B，向量无法比较大小，故B错误； 对于C，若是零向量，则结论不成立，故C错误； 对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同的单位向量，故D正确． 故选：AD． 类型二、向量的加法 1.用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合，其和是第一个向量的始点指向第二个向量的终点的向量．简述为“加向量，首尾连；和向量，始点到终点” 2.对于零向量与任一向量a的和，有a＋0=0+a=a. 例2．(23-24高一下·甘肃临洮县第二中学·月考)在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】设正六边形的中心为， 所以，又因为，， 所以. 故选：A 变式2-1．（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算，求得，结合零向量的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量，且是一个非零向量，所以A正确； 由，所以B不正确，C正确； 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 变式2-2．(24-25高一下·山东济宁金乡县第二中学·月考)已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据向量模的性质以及向量方向的不同情况来确定的取值范围. 【详解】当和方向相同时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最大值为. 当和方向相反时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最小值为. 由上述计算可知的最小值为，最大值为，所以的取值范围是[2,6]. 故答案为：[2,6]. 变式2-3．(23-24高一下·湖南长沙第一中学·)已知边长为的正三角形的中心为，正方形的边长为，且线段与相交于点，则 . 【答案】 【分析】 结合图形，利用向量的加减运算化简，再在正中求得，从而得解. 【详解】记中点为，连接，如图， 因为在正方形中，与相交于点，则是的中点， 所以，则， 在正中，，为的中心， 所以， 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛，本题解决的关键是充分用点的性质，利用向量的线性运算即可得解. 类型三、向量的减法 向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量; ②一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量,,或简记“终点向量减去始点向量” 例3． (23-24高一下·四川绵阳外国语学校·)化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B 变式3-1．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知平面向量，的夹角为（为常数），，，的最小值为3，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据向量减法的几何意义，作出图形即可求解． 【详解】的几何意义如图所示， 因为的最小值为3， 所以在中，，所以， 所以， 因为与的夹角有两种情况，即或， 所以或， 故选：D． 变式3-2．(24-25高一下·山西部分重点中学·月考)已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量差的模的性质求解. 【详解】由， 可得． 故选：C 变式3-3．（多选）(24-25高一下·新疆喀什·期中)八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，， 由正八边形性质知：且，即， 所以，又， 所以，正确； 对于B，由正八边形性质知：，，设， 因为，所以为中点，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，正确； 对于C，，错误； 对于D， ，正确. 故选：ABD 类型四、平面向量的混合运算 1.解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0. 2.运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点. 例4． (24-25高一下·海南海口中学·期中)若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和向量加法得到可解. 【详解】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C 变式4-1．（多选）（(24-25高一下·广东揭阳·期末)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 变式4-2．已知对边不平行的四边形，点分别在线段上，且，则 ． 【答案】 【分析】先结合向量的线性运算得到，结合，可得，再结合与共线，与共线，可得，从而得到. 【详解】，， 两式相加可得． 因为， 所以. 又与共线，与共线，不共线， 所以，， 因此． 故答案为： 变式4-3．(24-25高一下·安徽县中联盟·)在中，若，则对的最小值为 . 【答案】 【分析】设，则点在直线上，从而，则当时，取得最小值，即可得解. 【详解】设，则点在直线上， 所以， 所以当时，取得最小值，其最小值为， 即对的最小值为.    故答案为： 类型五、向量与几何图形的形状 例5．若为内一点，且，则的形状为（    ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算得，再利用向量的平行四边形法则及矩形的概念判断即可. 【详解】由化简得， 而，所以可得， 即以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，所以这个平行四边形是矩形， 即是直角三角形. 故选：C． 变式5-1．在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A 变式5-2．(24-25高一下·湖南涟源部分高中·月考)已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】由，分析出四边形一组对边平行且相等，又由，分析出四边形对角线相等，即可得到结果. 【详解】由，可知且 ， 则四边形为平行四边形， 又由，可知四边形为矩形， 故选:B. 变式5-3．已知是不共线的两个向量，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是（　　） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据题意可求得，结合与的关系分析判断. 【详解】由题意可得：， 则， 故与共线，且， ∴四边形ABCD是梯形． 故选：C. 类型六、向量与三角形的四心 例6．已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 变式6-1．(24-25高一下·河南南阳·期中)在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 变式6-2．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 变式6-3．已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可. 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 类型七、向量共线 一般地，如果存在实数λ，使得=λ，则与平行且有_公共点A__，从而A，B，C 三点一定共线. 例例7．已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理一一判断即可. 【详解】对A，， 所以，则三点共线，A正确； 对B，，, 则不存在任何，使得，所以不共线，B错误； 对C，， 则不存在任何，使得，所以不共线，C错误； 对D，， 则不存在任何，使得，所以不共线，D错误； 故选：A. 变式7-1．(21-22高三上·四川绵阳·)已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即 ，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 变式7-2．(22-23高一下·河北邯郸育华中学·月考)已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解. 【详解】对于A，令，即，则有，无解， 因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误； 对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N， 因此 ，，三点共线，B正确； 对于C，，令，即， 则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误； 对于D，令，即，则有，无解， 因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误. 故选：B 变式7-3．(22-23高一下·辽宁朝阳建平县实验中学·月考)（1）化简； （2）若，，，求证：A，B，D三点共线. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用减法法则化简即可；（2）计算出，利用平面向量共线的基本定理可证得，由此可证得结论成立. 【详解】（1）=； （2）证明：，， 则， 故共线，又有公共点，所以三点共线. 类型八、向量共线求参数 b//ab=λa（a≠0）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一 例8．(24-25高一下·黑龙江实验中学·)设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，根据向量的和差等运算规律得出，然后结合向量共线定理即可求解. 【详解】由题知由于 ，是空间中两个不共线的向量， 且有， ，， 所以， 因为三点共线， 所以， 所以存在实数，使得， 所以， 所以. 故选：D 变式8-1．(24-25高一下·四川成都成华区某校·月考)已知是两个不共线的向量，且向量与共线，则 ． 【答案】 【分析】由，结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】向量与共线， 所以， 所以，解得， 故答案为： 变式8-2．(24-25高一下·广东衡水联考·月考)已知为一组基底向量，其中． (1)探究三点是否共线，若共线，给出证明；若不共线，说明理由； (2)若与共线，求的值． 【答案】(1)共线，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用平面向量的加法法则求出，再得到其与成倍数关系即可. （2）利用给定条件结合不共线建立方程组，求解参数即可. 【详解】（1）因为， 所以由平面向量的加法法则得， 因为，所以， 即，故三点共线. （2）若与共线，则， 得到，而为一组基底向量，则不共线， 得到，解得或. 变式8-3．(24-25高一下·重庆第七中学校·月考)已知非零向量，不共线． (1)如果，，，求证：，，三点共线； (2)若和是方向相反的两个向量，试确定实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据平面向量基本定理用分别表示出，有，且都过点B，进而可证A，B，D三点共线； （2）根据已知条件有，进而可求解. 【详解】（1）证明：，，， 则， 所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线； （2）因为和是方向相反的两个向量， 所以存在实数， 使，且， 又，不共线，所以，解得或， 因为，所以， 所以． 类型九、向量与最值 例9．(24-25高一下·广西南宁第二中学·期末)在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ）． A．8 B．16 C．18 D．25 【答案】D 【分析】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解. 【详解】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故选：D 变式9-1．(24-25高三·河南天一大联考·)已知，，且对任意的，恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量关系得到几何中的垂直关系，再把向量问题转化为将军饮马问题即可求解. 【详解】如图， 设，则恒成立，等价于恒成立， 从而有， 故． 设，，则． 作点E关于直线的对称点F，连接由题可知，，, 则， 当且仅当三点共线时取等号． 故选：D. 变式9-2．(23-24高一下·浙江丽水五校高中发展共同体·)已知圆O的半径为2，弦的长为2，C为圆O上一动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，数形结合得到的最值，从而得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，故， 设直线与圆分别交于点，， 因为圆O的半径为2，弦的长为2，故为等边三角形，故， 显然当与重合时，取得最小值，最小值为， 当当与重合时，取得最大值，最大值为， 故. 故选：D 变式9-3．已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算结合图形的性质分析求解. 【详解】在中，设，则， 因为，即，所以为等边三角形， 以为邻边作平行四边形，设交于点， 可得， 则， 因为，取的起点为， 可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为； 当点为线段与圆的交点时，的最小值为； 所以. 故选：A.    压轴专练 一、单选题 1．(23-24高一下·云南镇雄县红叶中学·期中)已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解. 【详解】由，得， 如图，分别是的中点，    则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B 2．(22-23高一下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知，是两个不共线的向量，向量，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，所以存在唯一实数，使， 所以， 因为，是两个不共线的向量， 所以，解得， 故选：A. 3．若 ，则 的取值范围是（    ） A．[3，7] B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量共线时取得最值，即可求得答案. 【详解】由题意知，且, 当同向时，取得最小值，； 当反向时，取得最大值，； 当不共线时，取得最小值，， 故 的取值范围是， 故选：C 4.设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即，， 所以四边形是平行四边形， 因为，即， 所以四边形是菱形. 故选：B 5．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照向量，共线和不共线两种情况分类讨论，共线时利用向量模的关系得，不共线时，利用三角形的性质判断向量模的大小关系，即可得解. 【详解】若向量，共线，则由于，是非零向量，且，则必有， 代入可知只有A、C满足； 若向量，不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形， 使其满足；令，，则， 所以且， 又，所以，所以， 综上，. 故选：A 6．(24-25高一下·江苏东台·期中)若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，确定的形状，进而确定此三角形费马点位置，再结合图形求解即得. 【详解】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形， ，而的所有内角均小于120°， 因此取得最小值的点是的费马点， ，则，点在斜边的中线上，如图， ，，， 所以的最小值为. 故选：B 7．(23-24高一下·四川雅安·期末)如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可. 【详解】， . 故选：D 8．(22-23高一下·甘肃天水麦积区·期中)已知是所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量线性运算可得. 【详解】 由，得 得，得， 故选：A 二、多选题 9．(23-24高一下·福建晋江养正中学·期中)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用正五角星的结构特征，结合向量的线性运算，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 10．(22-23高一下·四川成都十县·期末)已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】取的中点，则，得，即可判断A；若，则为的外心，不一定是内心，即可判断B；由题意，则，即可判断C；取的中点，则，得，，即可判断D. 【详解】取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则为的重心，故A正确； 若，则为的外心，不一定是内心，故B错误； 若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误； 取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则，故D正确. 故选：AD. 11．在中，点D满足，当点E在线段AD上移动时，记，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】先通过D为BC中点以及判断A和B选项，再借助二次函数的最小值判断C和D选项即可. 【详解】 由得，又点E在线段AD上移动，，，故A错误，B正确；，当时，有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是 . 【答案】1 【分析】由题设可得，利用系数和为1结合等边三角形的高得为的中点，故可求的长度. 【详解】因为，故， 设，则，故共线， 且也共线，故即为，故， 故，故，而等边中边上的高为， 故，故， 故答案为：1. 13．(24-25高一下·陕西咸阳武功县普集高级中学·月考)已知为内切圆的圆心，且，则 . 【答案】/ 【分析】取的中点，则，代入等式可证三点共线.设 ，由直角三角形的性质以及三角形相似可求出各边长，从而求出比例关系. 【详解】如图，设的中点，圆与分别相切于点，由为的中点，知. 又，所以，即.则三点共线. 因为为的内切圆的圆心，所以. 不妨设，则. 在中，. 由，知，即，解得，且， 又，所以. 故答案为： 14．(24-25高一下·四川成都实验外国语学校·)在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足 ，点Q为线段AB的中点.则 . 【答案】 【分析】若分别为的中点，得到，根据已知得，进而可得，可求结论. 【详解】由，所以， 所以，所以 取分别为的中点，如下图， 则，即，所以，所以， 因为为的中点，所以，又，则， 所以，所以三点共线， 所以，，所以， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01平面向量及线性运算 目录 专题01平面向量及线性运算 类型一、向量的概念 类型二、向量的加法 类型三、向量的减法 类型四、平面向量的混合运算 类型五、向量与几何图形的形状 类型六、向量与三角形的四心 类型七、向量共线 类型八、向量共线求参数 类型九、向量与最值 压轴专练 典例详解 类型一、向量的概念 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心一一方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或 相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长 度都是一个单位长度：零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧 抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题 例1.(24-25高一下.四川广安友谊中学月考)下列命题中，正确的是() A.若a与6都是单位向量，则后= B,若a与是平行向量，则=6 C.若用有向线段表示的向量A与A不相等，则点M与N不重合 D.若>，则>6 变式11.425商一下江苏缩迁环阴南衡商级中学开学考设，石，为非零向量，若方=青+昌+骨则的级 大值与最小值的差为() A.0 B.-1 C.2 D.3 变式12。四24商-下东江们防中学楼宝是零狗至，则眉=昌是有=25政立的(） A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 1/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1-3.（多选）(24-25高一下·福建长乐第五中学.期中)下列叙述中正确的是() A,已知非零向量a与6且/乃，则a与的方向相同或相反 B.若a=6,则3a>26 c.若/6，/心，则/ a D.对任一非零向量，青是一个单位向量 类型二、向量的加法 1.用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合，其和 是第一个向量的始点指向第二个向量的终点的向量，简述为“加向量，首尾连；和向量，始点到终点” 2.对于零向量与任一向量a的和，有a十0-0+a=a 例2.23-24高一下-甘肃临挑县第二中学月考)在正六边形ABCDEF中，若AB=2,则花+市+C=（） A.2V3 B.2 c.4y5 D.4 变式21.（多选)设=(A+C)+(⑧元+DA),是一个非零向量，则下列结论正确的有（） A.a=可 B.+b= c.a+b=b D.a+=到+ 变式22.24-25高一下山东济宁金乡县第二申学月考已知副=2·=4：则言+引的取值范围为 变式2-3.(23-24高一下潮南长沙第一中学已知边长为25的正三角形ABC的中心为0，正方形MNPQ的边长为，2 ，且线段MP与NQ相交于点O,则|B应+C剂=一 类型三、向量的减法 向量减法的两个重要结论： ①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点 的向量： ②一个向量BA等于它的终点相对于点0的位置向量0A减去它的始点相对于点0的位置向量0B,或简记 “终点向量减去始点向量” 例3.(23-24高一下四川绵阳外国语学校，化简(A.C+(MA+B动=（） A.0 B.CN C.BM D.AC 变式3-1.(24-25高一下江苏南通海安·期中已知平面向量，的夹角为6（日为常数)，引=25，廿tER, 且-的最小值为3，则日=() A.晋 B.晋或要 c.胃 D.号或 变式32.24-25高一下：山西部分重点中学月考)已知向量=2同=3”则2-的取值范围为〔） 2/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.[2,9] B.[38] c.[1,7] D.(0,6 变式3-3.（多选）(24-25高一下新疆喀什期中)八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为 图2中的正八边形ABCDEFGH,其中OA=1,给出下列结论：（） 图1 图2 A,A正+F元G2=A B.0A+0C=-V20F C.BF.H币+HD=可 D.0A+0B+0C+0D+0E+0F+0G+0H=0 类型四、平面向量的混合运算 1.解决该类题目要灵活应用向量加法的运算律和向量加法法则，注意各向量的起、终点及向量起、终点 字母排列顺序，特别注意勿将0写成0. 2.运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向 量的终点。 例4,24-25高一下-海南海口中学·期中)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3A立=A店+2A记，则 △ABM与△ABC的面积之比为() A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5 变式4-1.（多选）(24-25高一下广东揭阳期末)如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是CD边上的两个三等分 点，则下列选项正确的有() B A.E=A店B.A丽=而+AC C.B2=C-C2D.AD+D元=A+B元 变式4-2.已知对边不平行的四边形ABCD,点E,F分别在线段AD,BC上，且E京=号A+号DC,则D它=—A应 变式43.2425高一下：安徽县中联盟，在△ABC中，若AB=6,∠BAC=号，则对y1ER|店-AC的最小值 为 3/8 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型五、向量与几何图形的形状 例5.若P为△ABC内一点，且|pA-P=|PA+P克-2P元，则△ABC的形状为(). A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 变式5-1.在四边形ABCD中，A花=司+2元=-4a-石：C⑦=-5京-36，则四边形ABCD的形状是（） A.梯形 B.菱形 C.平行四边形 D.矩形 变式5-2.24-25高一下潮南涟源部分高中：月考)已知四边形ABCD满足条件A应=DC:且A心=|其形状是 () A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 变式53.已知a是不共线的两个向量，在四边形4BCD中，范=京+26B元=-4有-6C可=-5-36则四边 形ABCD的形状是() A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 类型六、向量与三角形的四心 例6.已知0为△ABC所在平面内一点，若aOA+bO方+c0元=可，其中内角AB,C的对边分别为a,b,c,则点0 是△ABC的(） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 变式61.425商-下河商南阳期中△8C中，羊O=01+A(需+)：AE[0,+o)则Q点的制迹 必经过△ABC的() A,内心 B.外心 C.重心 D,垂心 变式62.若△ABC的三边为a,i,c,有a0A+b0B+c0C=0,则0是△ABC的（） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 变式63，已知△A8C若点P满足市-A(需+爵) 其中∈R,则点P的轨迹一定通过△ABC的() A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 类型七、向量共线 般地，如果存在实数入，使得AB=入AC,则AB与AC平行且有_公共点A一，从而A,B,C三点一定 共线 4/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例例7.已知不共线的向量a6,且A=京+26，B元=-5+6品，C=7-26,则一定共线的三点是() A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 变式7-1.(21-22高三上四川绵阳)已知平面向量，不共线，A=4a+66,B元=-a+36,C⑦=a+36,则 () A.AB,D三点共线 B.AB,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.AC,D三点共线 变式7-2.(22-23高一下河北邯郸育华中学月考)已知向量三，b不共线， M=+56,N2=-2-46)P0=3(-),则() A.M,N,P三点共线 B.M,N,Q三点共线 C.M,P,Q三点共线 D.N,P,Q三点共线 变式7-3.(22-23高一下辽宁朝阳建平县实验中学月考)(1)化简(BA-B元)-（⑦-E武)： (2)若A=+6,B元=2+86，C⑦=3(a-),求证：A,B,D三点共线. 类型八、向量共线求参数 b/a台b=入a(a≠0)是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体 现了数形结合的高度统 例8.(24-25高一下.黑龙江实验中学)设E1,E2是空间中两个不共线的向量，己知AB=3E1+k已2， C第=可1+2E2,Ci=2-E2,且AB,D三点共线，则k的值为（ A.3 B.-3 C.9 D.-9 变式8-1.24-25高一下.四川成都成华区某校月考)已知克，6是两个不共线的向量，且向量(+石与(-3京+)共线， 则入= 变式8-2.(24-25高一下广东衡水联考月考)已知EE2为一组基底向量，其中 A=3间1-2B元=4日1+ci=8E-9E2: (1)探究AB,D三点是否共线，若共线，给出证明；若不共线，说明理由； (2)若21E+E2与E1+e2共线，求7的值. 变式8-3.(24-25高一下.重庆第七中学校月考)已知非零向量已1，已2不共线 (1)如果AB=E1+E2,B元=2+8E2,C⑦=3(-E2),求证：A,B,D三点共线： (2)若kē1-5和E1+(3-2k)E2是方向相反的两个向量，试确定实数k的值. 5/8 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型九、向量与最值 例9.《24-25高一下广西南宁第二中学期末)在△ABC,点P是中线AD上一点（不包含端点），且B户=xBA+yB乙 ,则是+号的最小值是() A.8 B.16 C.18 D.25 变式9-1.(24-25高三河南天一大联考)已知∠A0B=音，|O=2,且对任意的1eR,A≤O方+0A恒成 立，则xOB-OA+xO-OA(xER)的最小值为() A.2V5 B.23 C.3 D. 变式9-2.(23-24高一下.浙江丽水五校高中发展共同体)已知圆O的半径为2，弦AB的长为2，C为圆O上一动点， 则AC+BC的取值范围是() A.[0,2] B.[0,4] c.[2-V5,2+5]D.[4-2W5,4+23] 变式93.已知向量a,6,飞，满足=同=a-=信+石-=1，记C的最大值为M,最小值为m,则M+m=() A.2W3 B.2 c.5 D.1 压轴专练 一、单选题 1.(23-24高一下云南镇雄县红叶中学.期中)已知0为△ABC内一点，且满足0A+2OB+(1-1)0元=0，若 △OAB的面积与△OAC的面积的比值为左，则入的值为() A. B.等 C. D.2 2.(22-23高一下黑龙江哈尔滨第三中学校期末)已知已1,2是两个不共线的向量，向量=31-2E2,6=kE1+已2.若 a‖b,则k=() A.- B.号 C. D.-号 3.若A庙=7，Ad=4,则Bd的取值范围是() A.3,7刀 B.(3,7) c.[3,11] D.3,11) 4.设ē是单位向量，AB=3è，CD=-3è，AD=3,则四边形ABCD是(） A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 5.(24-25高一下·天津第二南开学校期中)若非零向量，6满足且-=，则() A.26>a-26B.26<a-26 c.2>点-26 D.2<点-26 6.(24-25高一下江苏东台·期中)若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB=∠AMC=∠BMC=120°， 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量， 向量配，满足6上，且6=d=V2,则-+同+后+的最小值为() A.2W2 B.V5+1 c.2 D.V2+1 7.(23-24高一下.四川雅安期末)如图，在梯形ABCD中，AB=2DC,E在BC上，且CE=EB,设A成=， A=6,则D=() A.b B.-6 c.+6 D.-6 D B 8.(22-23高一下.甘肃天水麦积区期中)已知D是△ABC所在平面内一点，Ai=A丽+号AC,则() A.BD=B元B.BD=BC C.BD=3BC D.BD=BC 二、多选题 9.(23-24高一下·福建晋江养正中学期中)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征.正五角星是一个 非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形ABCDE为正五边形， 鄂=层≈0.618.则() A.C0+T市=D3 B.ES-RQ=PA c.A7+府=号 D.丽= D 10.(22-23高一下.四川成都十县期末)已知点0是△ABC所在平面内任意一点，下列说法中正确的是() A.若OA+0克+O元=0，则0为△ABC的重心 B.若OA=|O=|Od,则0为△ABC的内心 C.若0为△ABC的重心，AD是BC边上的中线，则3A0=A而 D.若OA+OB=C6,则S△40B=S△ABc 11.在△ABC中，点D满足BD=DC,当点E在线段AD上移动时，记AE=入AB十AC,则() A.1=2μ B.入=4 C.(1-2)2+u2的最小值为2 D.(7-2)2+u2的最小值为 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、填空题 12.(24-25高一下江苏锡山高级中学.期中)如图，△ACD是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至 B 点B,若BD=tBA+(等-t)元，且BD=4V5(t为常数)，则0A的长度是 13.(24-25高一下.陕西咸阳武功县普集高级中学·月考)已知0为△ABC内切圆的圆心，且20A+30B+30元=可， 则聚= 14.(24-25高一下.四川成都实验外国语学校在四边形ABCD中，B元=2A⑦点P是四边形ABCD所在平面上一点， 满+2pA+7丽+P元+8市-i,点e为线段B的中点测靥 8/8