6.1.4 数乘向量课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6.1 平面向量及其线性运算 6.1.4 数乘向量 新授课 1. 了解数乘向量的定义； 2. 通过数乘向量的定义，掌握并理解其几何意义； 3. 通过数乘向量的学习会判断两向量平行及三点共线问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：数乘向量 问题 1：给定一个向量 ，分别作出 和 ，它们的长度和方向是怎样的？ O A B C N M Q P 类比乘法 记作 相同 方向 长度 的3倍 类比乘法 记作 相反 方向 长度 的3倍 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：根据上述实例，给出一个实数 与任意一个向量 的乘积 的定义. 一般地，给定一个实数 与任意一个向量 ，规定它们的乘积是一个向量，记作 ，其中： （1）当 且 时，的模为，而且的方向如下： ①当时，与的方向相同；②当时，与的方向相反. （2）当 或 时， = 0. 上述实数 与向量 相乘的运算简称为数乘向量. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 3：结合数乘向量的定义，说说数乘向量的几何意义是什么？ 一个向量的相反向量可以看成 – 1 与这个向量的乘积，即； 由定义不难看出，数乘向量结果是一个向量，而且与原来的向量共线(平行)，即：∥； 数乘向量的几何意义：把向量沿着它的方向或者反方向放大或者缩小. 当 λ 与 μ 都是实数，且 是向量时：μ 是向量，λ(μ) 也是向量；λμ是实数，但 (λμ) 是向量. 可以看出： 例如： 3×(4) = (3×4) = 12 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 计算：（1）； （2） . 解：（1）原式 = = -12； （2）原式= 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1 ：已知 = 3， = -2，其中 为非零向量，判断 与 是否平行，并求 的值. 解：由数乘向量的定义可知，如果存在实数 λ，使得 = λ，则 ∥； 由 = -2得 = ，代入 = 3 得 = ； 因此 ，且 || = ||，即 = 3 : 2. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 向量共线定理： 一般地，如果存在实数 𝜆，使得 = 𝜆，则 与 平行且有公共点 A，从而 A，B，C 三点一定共线. A B C O N M = ，三点共线； B 为线段 AC 的中点. = 2，三点共线； N 为线段 OM 的一个三等分点. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 已知 = 7， = -11，其中 为非零向量，判断 与 是否平行，并求 的值. 解：由 = -11得 = ，代入 = 7 得 = ； 因此 ，且 || = ||，即 = 7 : 11. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2 ：已知 = ， = 5，判断 A，B，C 三点是否共线，如果共线，求出 AB : AC. 解：由已知可得 = – 5，因此 A，B，C 三点共线，且 AC = 5AB， 即AB : AC = 1 : 5 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 分别指出下列各题中A，B，C 三点是否一定共线，如果共线，指出线段 AB与 BC 的长度之比. （1） = – 2； （2） = 解：（1）由 = – 2 可知 A，B，C 三点共线，且 AB : BC = 1 : 1； 练一练 （2）由 = 可知 A，B，C 三点共线，且 AB : BC = 2 : 1. 新课讲授 学习目标 课堂总结 要点概括整理 数乘向量 向量的数乘的定义 向量的数乘的运算律 向量共线定理 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$