期中备考——应用一元二次方程 专项训练 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

期中备考——应用一元二次方程 专项训练 一．平均增长率问题 1．某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 2．全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，赣州市人民政府批准兴国烈士陵园为第一批市级烈士纪念设施基地．据了解，当年3月份该基地接待参观人数0.5万人，5月份接待参观人数增加到0.605万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 3．某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%，11月份的营业额达到633.6万元，求9月份到11月份营业额的月平均增长率． 4．为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某感冒退烧药生产企业产能逐步提升，10月份产量为200万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到338万片．求11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率． 5．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加了4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率． 二、面积问题 6．自今年4月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为150m2的长方形精品花售卖区ABCD（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为33m的栅栏围成，BC边留有2m宽的门EF． （1）若售卖区垂直于墙的边AB的长为xm，则边AD的长为　 　 m． （2）若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？ 7．张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形．他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路．已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度． 8．2024年11月28日，随着最后一棵玫瑰花苗在于田县植入沙土，环绕塔克拉玛干沙漠边缘全长3046公里的绿色阻沙防护带，终于完成了它的最后一块拼图，形成了世界上最长的环沙漠绿色生态屏障．建设阻沙防护带的方法之一是在如图2所示的矩形沙地中，通过在阴影部分种植红柳等固沙植物，把一块块沙地分割包围，以此阻止沙粒流动．若图2所示的矩形沙地长为30米，宽为24米．横向、纵向种植红柳部分的宽度比为2：3，且红柳种植面积是矩形沙地总面积的三分之一，求横向、纵向种植红柳的宽度各是多少米？ 9．如图，用一段80米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个1米的门通往外面，墙的最大可用长度为50米． （1）如果羊圈的总面积为345平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为480平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 10．某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2． （1）求小路的宽度； （2）某公司希望用200万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以128万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 二、动点问题 11．如图所示，△ABC中．∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，当其中某一个点到达终点时，另外一点也随之停止． （1）经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？ （2）经几秒，P、Q两点间的距离是？ 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从点A、B同时出发，运动时间为t（s）； （1）经过几秒△PBQ的面积等于8cm2？ （2）△PBQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由； （3）经过几秒，PQ的长度等于6cm？ 13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？ 14．综合与实践 如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，当Q运动到点C为止． （1）经过几秒钟，PQ＝3cm？ （2）经过几秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？ （3）△PBQ的面积能等于△ABC面积的一半吗？为什么？ 15．如图，A，B，C，D是矩形的四个顶点，AB＝20cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度向终点D运动，当一点到达终点时，两点同时停止运动，求点P出发后经过多长时间，点P和点Q之间的距离是17cm． 二、与一次函数有关的问题 16．某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 17．某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 18．某超市以每袋8元的成本价购进一些糖果，根据前期销售情况，每天销售量y（袋）与该商品定价每袋x（元）是一次函数关系，如图所示． （1）求销售量y与定价x之间的函数关系式； （2）超市准备每天销售该糖果的利润是56元，但让顾客少花钱，不考虑其它因素，求该糖果的定价应为多少． 19．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元．在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式．（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该玩具的日销售利润能否达到820元？如果能，求出当天玩具的销售单价是多少元？如果不能，说明理由． 20．某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象． 图中的折线ODE表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件． （1）第26天的日销量是 　 　 件，这天销售利润是 　 　 元； （2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？ 参考答案 1．解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x， 由题意得：400（1+x）2＝576， 解得：x1＝﹣2.2（不符合题意，舍去），x2＝0.2＝20%， 答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为20%． 2．解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x， 根据题意得：0.5（1+x）2＝0.605， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%； （2）根据题意得：0.605×（1+10%）＝0.6655（万人）． 答：预计6月份的参观人数是0.6655万人． 3．解：设9月份到11月份营业额的月平均增长率为x， 依题意得：400（1+10%）（1+x）2＝633.6， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：9月份到11月份营业额的月平均增长率为20%． 4．解：设11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率为x， 根据题意得：200（1+x）2＝338， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）． 答：11月、12月这两个月该企业感冒退烧药产量的月增长率为30%． 5．解：设这个增长率为x． 依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）＝4.8， 解得 x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2（不合题意，舍去）． 答：这个增长率是20%． 6．解：（1）∵售卖区垂直于墙的边AB的长为xm， ∴边AD的长为33﹣2x+2＝（35﹣2x）m． （2）根据题意得x（35﹣2x）＝150， 解得x1＝7.5，x2＝10， 当x＝7.5时，35﹣2x＝20；当x＝10时，35﹣2x＝15， 答：售卖区的长为20m，宽为7.5m或长为15m，宽为10m． 7．解：设道路的宽度为x米．后院是一个长20米，宽12米的矩形， ∴（20﹣x）（12﹣x）＝180． ∴x1＝2，x2＝30（舍去）， 答：道路的宽度为2米． 8．解：设横向种植红柳的宽度为2x米，纵向种植红柳的宽度为3x米， 根据题意列一元二次方程得，， 解得x1＝1，x2＝10， 当x＝10时，30﹣2×3x＝30﹣2×3×10＝30﹣60＝﹣30＜0， ∴x＝10不符合题意，舍去， 当x＝1时，2x＝2×1＝2，3x＝3×1＝3， 答：横向种植红柳的宽度为2米，纵向种植红柳的宽度为3米． 9．解：（1）设边AB的长为x米，则AD＝80﹣4x+3＝（83﹣4x）米， 根据题意可得x（83﹣4x）＝345， 解得x1，x2＝15， ∵墙的最大可用长度为50米，且当x时，AD＝83﹣460（米），不合题意， ∴x＝15米． 答：边AB的长为15米； （2）若羊圈的总面积能为480平方米， 则结合（1）可得 x（83﹣4x）＝480， 整理，得 4x2﹣83x+480＝0， ∵Δ＝（﹣83）2﹣4×4×480＝﹣791＜0， ∴羊圈的总面积不能为480平方米． 10．解：（1）设小路的宽度为xm，根据题意得： （20+2x）（16+2x）＝480， 整理得：x2+18x﹣40＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣20（舍去）， 答：小路的宽度为2m； （2）设每次降价的百分率为y， 根据题意，得：200（1﹣y）2＝128， 解得：y1＝0.2，y2＝1.8（不合题意，舍去）， 0.2＝20%， 答：每次降价的百分率为20%． 11．解：（1）设经过t秒，使△PBQ的面积等于8cm， 则AP＝tcm， ∴PB＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm， ∵点Q的速度是2cm/s， ∴BQ＝2tcm， ∵∠B＝90°， ∴S△PBQPB•BQ＝8， 即（6﹣t）×2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t＝2或4， 答：经过2秒或4秒，使△PBQ的面积等于8cm2； （2）设经过t秒，P、Q两点间的距离是， 由（1）知：PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm， 在Rt△PBQ中，由勾股定理得：PB2+BQ2＝PQ2， 即：， 整理得：5t2﹣12t﹣17＝0， 解得：t1＝3.4，t2＝﹣1（不合题意，舍去）， 答：经过3.4秒，P、Q两点间的距离是． 12．解：（1）由题意可知，AP＝tcm，BQ＝2tcm，0＜t≤6， ∴BP＝（6﹣t）cm， ∵△PBQ的面积等于8cm2， ∴， ∴， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4， 答：经过2秒或4秒△PBQ的面积等于8cm2； （2）△PBQ的面积不能为△ABC面积的一半，理由如下： 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm， ∵△PBQ的面积为△ABC面积的一半， ∴BP•BQAB•BC， 即（6﹣t）•2t6×12， 整理得：t2﹣6t+18＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×18＝﹣36＜0， ∴该方程没有实数根， ∴△PBQ的面积不能为△ABC面积的一半； （3）在Rt△PBQ中，BQ＝2tcm，BP＝（6﹣t）cm， 由勾股定理得：（6﹣t）2+（2t）2＝62， 整理得：5t2﹣12t＝0， 解得：，t2＝0（不符合题意，舍去）， 答：经过秒，PQ的长度等于6cm． 13．解：设t秒后，PQ的长度等于5cm，则AQ＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm， 在Rt△BPQ中，由勾股定理得：PQ2＝BP2+BQ2， 即52＝（5﹣t）2+（2t）2， 解得：t1＝2，t2＝0（不符合题意，舍去）， 答：2秒后，PQ的长度为5cm． 14．解：设运动的时间为ts， 由题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（6﹣t）cm， （1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BP2+BQ2＝PQ2， 即（6﹣t）2+（2t）2＝（3）2， 整理得：5t2﹣12t﹣9＝0， 解得：t1＝3，t2（不符合题意，舍去）， ∴t＝3， 答：经过3秒钟，PQ＝3cm； （2）由题意得：BP•BQ＝8， 即（6﹣t）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4， 答：经过2秒钟或4秒钟，△PBQ的面积等于8cm2； （3）△PBQ的面积不能等于△ABC面积的一半，理由如下： 由题意得：BP•BQAB•BC， ∴（6﹣t）•2t6×8， 整理得：t2﹣6t+12＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×12＝36﹣48＝﹣12＜0， ∴原方程无解， ∴△PBQ的面积不能等于△ABC面积的一半． 15．解：设点P出发后经过t秒，点P和点Q之间的距离是17cm， 如图，过点Q作QN⊥AB于点N，则PN＝|20﹣5t|cm， 由勾股定理可得，82+（20﹣5t）2＝172， 解得t1＝1，t2＝7， ∵， 即当时，P，Q两点已停止运动， ∴t＝7舍去， 即点P出发后经过1s，点P和点Q之间的距离是17cm． 16．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由题意得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120； （2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+120）＝600， 整理得：x2﹣80x+1500＝0， 解得：x1＝30，x2＝50（不符合题意，舍去）， 答：每件商品的售价应定为30元． 17．解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b 当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100； （2）根据题意得，（100﹣60﹣x）（10x+100）＝5250， 整理得x2﹣30x+125＝0， 解得：x1＝5，x2＝25， 答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 18．解：（1）设销售量y与定价x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由图象可知：， ∴销售量y与定价x之间的函数关系式是：y＝﹣2x+38； （2）由题意得：（x﹣8）（﹣2x+38）＝56， 整理得：x2﹣27x+180＝0， 解得：x1＝12，x2＝15（不符合题意，舍去）， 答：该糖果的定价应为12元． 19．解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b， 根据题意列一元二次方程组得，， 解得， ∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100． 答：一次函数的关系式为y＝﹣2x+100； （2）不能， 理由：设当天玩具的销售单位是x元， 由题意得，（x﹣10）×（﹣2x+100）＝820， 化简，得x2﹣60x+910＝0 ∴Δ＝（﹣60）2﹣4×910＝﹣40＜0， ∴方程无解， ∴该玩具的日销售利润不能达到820元． 20．解：（1）由题意，∵时间每增加1天，日销量减少5件，且第22天的销售量为340件， ∴第26天的日销售是340﹣（26﹣22）×5＝320（件）， ∴这天销售利润是（10﹣8）×320＝640（元）， 故答案为：320，640． （2）设直线OD的函数关系式为y＝kx（k≠0），将（17，340）代入y＝kx， ∴340＝17k， ∴k＝20． ∴直线OD的函数关系式为y＝20x； 当x＝22，y＝340；当x＝26，y＝320， ∴DE过（22，340），（26.320）． 设直线DE的函数关系式为y＝mx+n（m≠0）， ∴． ∴． ∴直线DE的函数关系式为 y＝﹣5x+450． 又由题意，令y＝﹣5x+450＝20x， ∴x＝18． 综上，y与x的函数关系式y． （3）由题意，令y＝20x＝﹣5x+450， ∴x＝18． ∴结合函数的图象可得，当x＝18时，日销售为20×18＝360，此时日销售利润最大为：（10﹣8）×360＝720（元）． 又∵每件利润为：10﹣8＝2（元）， ∴当销售利润为660元时，销售量为330件． ∴令y＝330时，有20x＝330或﹣5x+450＝330， ∴x＝16.5或x＝24， ∴日销售利润不低于660元的天数在17到24之间． ∴24﹣17+1＝8（天）， ∴日销售利润不低于660元的天数共有8天． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/4 23:38:45；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $