天津市宝坻区第一中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学试题

宝坻一中2025-2026学年度第一学期高二年级 第一次统练数学卷 一 、选择题 1. 经过两点的直线的倾斜角为( ） A.30° B.60° C.120° D.150° 2. 设 向量则 =( ) 3. 已知空间向量 则=( ) 4. 平行六面体中， 则 的长为( ) A.10 B. C. D. 5 . 当 时，两条直线 的交点在( ) 象 限 . A. 一 B. 二 C.三 D. 四 6. 在棱长为2的正方体 中 ，E 为线段DD1,的中点，则点C₁到直线AE 的距离为( ) A. D.2 7. 已知直线 与直线 平行，则=( ) 8. 已知点A 与点B(2,1) 关于直线对称，则点A 的坐标为( ) 9. 已知点A 在直线 上，点 B 在直线上，线段AB的中点为 且满足 则 的取值范围为 二、填空题 10. 平面的一个法向量在 内，则平面外点到平面的距离 为 。 11. 已知两直线 若 间的距 离 为_ . 12.已知一束光线通过点, 经直线 反射.如果反射光线通过点B(2,15), 则反射光线所在直线的方程是 . 13. 设直线 的方程为若直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 则 . 14. 已知空间三点则 在 上的投影向 量的模 是 . 15. 如图，在棱长为2的正方体 中 ，M,N 分别是棱的中 点，点E 在BD 上，点F 在上，且BE=CF,点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论： ①当点E 是 BD 中点时，直线EF//平面 ②直线D₁到平面CMN 的距离是; ③存在点P, 使得 ④面积的最小值是 , 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题 16. 已知点求： (1)BC 边上的高所在直线方程； (2)△ ABC 的外心坐标 (3)△ABC 的面积. 17. 已知直线 求： (1)点关于1的对称点； (2)直线 关于直线对称的直线方程； (3)直线关于(1,2)的对称直线. 18. 三棱台中，若AA1 平面 分别是 中点. (1)求证： (2)求直线所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积. 19. 如图，四棱锥 中，平面 为斜边的等腰 直角三角 形，底面ABCD 为直角梯形， 其中E 是PD 的中点，O是AD 的中点 (1)求证：PO 平面ABCD; (2)求平面 PAB与平面 PBC夹角的余弦值； (3)求点E 到平面PAB 的距离. 20. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形， DE平面 . (1)求证： (2)求直线 所成角的正弦值； (3)在线段DE 上是否存在点G,使得直线BG 与 AD所成角的余弦值为 , 若存在，求出点G 到平面ACF 的距离，若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 0 答案 B C B C C A 1.B 【分析】先利用斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角 【详解】由斜率公式可得k如=25-5-5， -1-2 故经过A(-1,-25),82,5)两点的直线的倾斜角为60° 故选：B 2.C 【分析】利用向量共线的充要条件求解即可， 【详解】因为向量a=1,x1),b=(2,-4,2),a11b,所以存在A∈R,使得a=Ab, 1=2入 x=4A解得1 1 即 2=-2, 故选：C 3.D 【分析】利用空间向量坐标运算求得答案， 【详解】空间向量p=(1,0,-1),q=(0,3,1), 所以2户-3g=(2,0,-2)-(0,9,3)=(2,-9,-5). 故选：D 4.B 【分析】由AC=AB+AD+AA,两边平方，利用数量积运算性质即可求解 【详解】如图， D D B 由题知，AB2=16,AD=9,AA2=25, AB,AD=4×3×c0s90°=0，AB·AA'=4×5×c0s60°=10， AD.AA=3×5Xc0560°=15 2 .AC'=AB+AD+AA', AC=(AB+AD+AA)=AB'+AD'+AA+2AB.AD+2AB-AA+2AD.AA =16+9+25+2×0+2X10+2×15=85, 2 AC=V85即Ac的长为85. 故选：B 5.C 【分析】联立两直线的方程，得出两直线的交点坐标，然后由<k<得出交点横坐标和纵 坐标的符号，即可判断出两直线交点所在的象限， 2k-1 X= x-y=2k 【详解】联立{ x+y1,解得 2 2k+1 当0<k<时，2二<0， 2k+1<0, 2 2 y=一 2 因此，两条直线x-y=2k、x+y=-1的交点在第三象限. 故选C 【点睛】本题考查两直线交点所在象限的判断，解题的关键就是联立两直线的方程，求出交 点坐标，考查运算求解能力，属于中等题. 6.B 【分析】建立以A为原点，以AB,AD,AA的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐 标系A-xyz,根据点C,到直线AE的距离为 AE·AC d 计算即可解决， AE 【详解】由题知，棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，E为线段DD,的中点， 以A为原点，分别以AB,AD,AA的方向为x轴，y轴，z轴正方向空建立空间直角坐标系 A-xyz,所以E(0,2,1),A(0,0,0,C,(2,2,2), 所以AE=(0,2,1),AC1=(2,2,2), 所以点C,到直线AE的距离为d 故选：B ZA D B CI E D 7.C 【分析】根据一般式方程两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再检验即可. 【详解】因为直线mx+y+m-1=0与直线3x+(m+2)y+3=0平行， 所以m(m+2)-3=0,解得m=1或m=-3, 经检验，当m=1或m=-3时，均满足两条直线平行. 故选：C 8.C 【分析】因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线x+y+2=0上且直线AB与直线 x+y+2=0垂直， 【详解】设A(x,y),因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线x+y+2=0上且直线 AB与直线x+y+2=0垂直， [x+2+y+1+2=0 则21 2 X=-3 → y1=1 (y=-4 x-2 即点A坐标为(-3，-4). 故选：C 9.A 【解析】设出点A的坐标和AB中点P(x。,Y),用A,P表示出B坐标，将A,B坐标代入对 应直线方程即可得到x。:y。的表达式，联立y。=kx。得到x表达式代入。>x。+2求解即可. 【详解】解：设A(X,X),立=k,则为=x, X。 AB的中点为P(。,y0),B(2x。-名，2y%-), :A,B分别在直线x+2y-1=0和x+2y+3=0, .x+24-1=0,2x。-x+2(2y。-4)+3=0, .2x。+4y。+2=0,即x。+2y。+1=0. %=,六名+2k,+1=0即名=-1 1+2k) 又y。>。+2,.k。>x。+2,即(k-1)x。>2, 所以-中2小2，即<0， 2k+1 1 1 解得-二<k<- 5 故选：A 【点睛】平面解析几何问题中的设而不求方法注意事项： (1)凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”； (2)“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多， 10. 【分析】利用点到平面的距离公式即可求解 【详解】因为PA=(0,0,1),PAn=1,月=反， 所以点P(-1,1,1)到平面Q的距离d= PAn_互 22 故答案为： n.号 【分析】根据直线平行求得a=5，进而求两平行线间距离。 【详解】已知两直线4：3x+4y-14=0,2:a(x+1)-2x+4y=0→(a-2)x+4y+a=0, 若4∥2，则 3×4=4X(3-2解得a=5,则直线：3x+4y+5=0, 4a≠-14×4 则4与4，间的距离为 上14-5=19 √32+425 故答案为：号 12.18x+y-51=0 【分析】先求出A(-3,5)关于直线1的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点B(215)和 对称点，从而得到反射光线所在直线方程。 3×3+×-4×5+y+4=0 2 2 【详解】设点A(-3,5)关于直线1的对称点为A(x。,y。),则 。-54 。+33 解得x。=3,。=-3,故A'(3,-3). 由于反射光线所在直线经过点A'(3,-3)和B(2,15), 所以反射光线所在直线的方程为y-15=三(x-2,即18+y-51=0, 故答案为：18x+y-51=0. 13.1或-2 【分析】分别求出直线在两坐标轴上的截距，由题意可列出方程，求解，即得答案 【详解】由题意知直线l的方程为(a+1)x+y+1-a=0, 当a=-1时，直线为y+2=0,不符题意，故a≠-1， 令x=0,则y=a-1;令y=0,则x=日1 a+1 由直线1在两坐标轴上的截距互为相反数，则日二1+3-1=0， a+1 解得a=1或a=-2, a=1时，直线为2x+y=0,直线/在两坐标轴上的截距均为0，符合题意； a=-2时，直线为×-y-3=0,直线1在x,y轴上的截距分别为3，-3，符合题意； 故答案为：1或-2. 【分析】先求得AB,AC，再根据投影向量的模的公式求解即可 uun uuu 【详解】由题，AB=(-2,-1,3),AC=(1,2,2),故AB在AC上的投影向量的模 -cos.c) AB·AC -2-2+62 AC V12+22+223 故答案为： 15.①③ 【分析】对①，由线面平行的判定定理进行判断即可； 对②，证B,D,I1平面CMN,则直线BD,到平面cMN的距离等于点D,到平面CMN的距离， 由等体积法Vc-MNo,=V。-cww列式即可求； 对③，设MP=t.MC(t∈[0,1])，可得P(t+1,2t,-2t+2),由向量垂直的坐标表示，存在点 p使∠BPD,=90°等价于PB·PD,=0有解； 对④，由点到直线距离求P到DD,的距离d,则△PDD,面积为二·DD,·d,讨论最小值即可 【详解】对①，如下图所示：因为E是BD中点，BE=CF, 所以点F是B,C的中点，连接BC,,显然F也是BC,的交点，连接DC, 所以EF IIC,D,而EF丈平面DCC,D,,DC,C平面DCC,D,,所以直线EF11平面DCC,D,, ①对； A M B 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则M(1,0,2),C(2,2,0),B(2,0,2),D,(0,2,2), 对②，M,N分别是棱AB,AD的中点，.BD,‖MN,B,D,丈平面CMN,MNC平面CMN, 故B,D,11平面CMN, 故直线BD,到平面CMN的距离等于点D,到平面CMN的距离，设为h, wcw-.a小专iyf图. w9。 h 由Va=V2-Gw得h=2 17 ,®错： 对③，设MP=tMC=t(1,2,-2)(t∈[0,1])，则P(t+1,2t,-2t+2),则PB=(1-t,-2t,2t), PD,=(-t-1,2-2t,2t), 由∠80=90°即P8P0=1-(-t-1)+(-202-2+22t=9r-4t-1=0得f=2飞 9 由t=2+正∈01，故存在点P,使得∠AP0=9o°，⑤对： 9 对④，由③得P(t+1,2t,-2t+2)到DD的投影为(0,2，-2t+2),故P到DD,的距离 d=Vt+1)2+(2-2t △PDD,面积为S=2·d=d=d= ,(t∈0,1)，由二次函数性质，当t=时， s取得最小值为4 ④错 6 故答案为：①③ Z M B B 【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式是解题的关键， 16.(1)4x+y-7=0 2号日 (3)5 【分析】(1)首先求出直线Bc的斜率，由互相垂直的直线间斜率关系得出Bc边上的高线 的斜率，由高线过A1,3),即可得出Bc边上的高所在直线方程； (2)分别求出边AB,BC的垂直平分线，联立即可得出VABC的外心坐标； (3)先写出直线Bc的方程，由点到直线的距离公式得出点A到直线BC的距离，再由两 点之间的距离公式求出边BC的长，由三角形面积公式计算即可. 【详解】)由83，c(-1o得，c- 所以Bc边上的高线的斜率为k=-4,且高线过点A(1,3), 所以Bc边上的高线的直线方程为：y-3=-4(x-1),即4x+y-7=0. (2)由4,3)，931得，k=-1,边AB的中点为+3,3凸，即2,2)， 2’2 所以边AB的垂直平分线的直线方程为：y-2=x-2,即y=X; 由813，c-1,0,得k6=,边Bc的中点为，2， 所以边6c的垂直平分线的直线方程为：y24(x-1,即y=4x+ 1 9 y=x X 由 y=-4X+ 9，得 10 9 y一 10 所以VABc的外心坐标为（号，号 1010 (3)由)知，：=牙，则直线sc的方程为：y=x+,即x4y+1=0, 边Bc上的高为：d h-4×3+1107 2+4217 |Bc=V3+1)2+1-o2=万， 所以slb-ge- 17.(1)(-2,7);(2)7x+y+22=0;(3)3x-y-5=0. 【解析】(1)设Px,关于直线：3x-y+3=0的对称点为P(X,y),由题得 X=-4×+3y-9 (3) 5 3x+4y+3 (4) 5 把x=4,y=5代入(3)(4)即得解；(2)用(3)(4)分别代换x-y-2=0中的x,y 即得解；(3)在直线1：3x-y+3=0上取点M0,3),求出其关于(1,2)的对称点M(X,y), 又对称直线的斜率为3，即得解 【详解】()设Px,关于直线：3x-y+3=0的对称点为P(x,y), 因为kPP.kl=-1,即Y二Yx3=-1.(1) X-x 又PP的中点在直线3x-y+3=0上， 所以3×+x-Y+上+3=0.(2) 2 2 x'= -4x+3y-9 (3) 5 由(1)(2)得 3x+4y+3 y= (4) 6 把x=4,y=5代入(3)(4)得X=-2,y=7, 所以点P八4,5)关于直线1的对称点P的坐标为(-2,7). (2)用(3)(4)分别代换x-y-2=0中的x,y, 得关于/对称的直线方程为4x+3y-?_3x+4y+3 -2=0, 5 5 化简得7x+y+22=0. (3)在直线1：3x-y+3=0上取点M0,3),关于(1,2)的对称点M(X,y), 所以+0=1，X=2,Y+3=2,y=1,所以M2,10. 1关于(1,2)的对称直线平行于1，所以k=3, 所以对称直线方程为y-1=3×(x-2), 即3x-y-5=0 【点晴】本题主要考查直线方程的求法，考查点和直线的对称问题，意在考查学生对这些知 识的理解掌握水平和数形结合分析能力： 18.(1)证明见解析 号 3号 【分析】(1)求出平面C,M4的一个法向量为方，再证明BB,1方即可； (2)求出平面C,MN的一个法向量m,再利用线面角的公式sinB=cos(AC,m求解即可； (3)利用空间向量求出点A到平面C,MA的距离为d,再求出△C,MA的面积即可」 【详解】(1)以点A为原点，直线AB,AC,AA分别为x,y,z轴建立如图所示的空 间直角坐标系， B A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),B(1,0,2),C1(0,1,2),A(0,0,2),M(1,1,0),N(1,0,0), ∴B8=(-1,0,2),设平面C,MA的-个法向量为万=(x,y,z), 方AM=x+y=0 AM=1,1,0),AC1=(0,1,2), 7·AC,=y+2z=0 令z=1,.方=(2，-2,1)，BB万=0，.BB1方， 又：BB,丈平面C,MA,所以BB1I平面C,MA. (2）:AC,=(0,1,2),C,M=(1,0,-2),NM=(0,1,0), mNM=b=0 设平面C,MN的一个法向量为m=(a,b,c),则 m.C,M=a-2c=0’ 令c=1,∴m=(2,0,1),设直线AC,与平面C,MN所成角为日， sin =cos(AC,m) AC,·m 2 AC同 5 所以直线AC,与平面C,MN所成角的正弦值为2 (3)AA=(0,0,2),平面C,MA的法向量为方=(2，-2,1)， 设点A到平面C,MA的距离为d,.d= AA_2 同3 又AM=√2，AC,=V5,C,M=V5 19.(1)证明见解析 (2)V3o 6