专题26.2 二次函数的图象与性质（高效培优讲义）数学华东师大版九年级下册

专题26.2 二次函数的图象与性质 教学目标 1.掌握y＝ax2 、y＝ax2+k、 y＝a（x﹣h）2、y＝a（x﹣h）2+k 及y＝ax2+bx+c的图象性质(开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值)； 2.会进行二次函数顶点式与一般式的互化，能根据解析式求对称轴和顶点坐标； 3.理解y＝ax2 到y＝a（x﹣h）2+k的平移规律，能用“五点定形法”画二次函数图象. 教学重难点 1.重点：掌握各类二次函数的图象性质(尤其是增减性与最值);顶点式与一般式的互化以 及平移规律. 2.难点：根据"y＝ax2+bx+c的系数分析图象性，灵活运用平移规律转化函数解析式． 知识点01 二次函数y＝ax2的图象与性质 ◆1、二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： 要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 【注意】在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． ◆2、抛物线的相关概念： 二次函数y＝ax2 的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y＝ax2 ，y轴是这条抛物线的对称轴，抛物线 y＝ax2 与它的对称轴的交点为（0,0）叫做抛物线的顶点，是抛物线的最低点或最高点. 一般地，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y＝ax2+bx+c，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. ◆3、二次函数y＝ax2的图象和性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y 轴（或直线 x＝0） y 轴（或直线 x＝0） 顶点坐标 (0，0)，抛物线最低点 (0，0)，抛物线最高点 最值 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当x = 0时，y最大值 = 0 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小 ◆4、与抛物线开口大小的关系 （1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称. （2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴； 越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴. 知识点02 二次函数y＝ax2+k的图象与性质 ◆1、二次函数y＝ax2+k的图象和性质 y＝ax2+k a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线 x＝0） y轴（或直线x＝0） 顶点坐标 (0，k)，抛物线最低点 (0，k)，抛物线最高点 最值 当x=0 时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大. 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小. ◆2、抛物线y＝ax2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k ＜ 0 时,向下平移个单位长度得到. ★上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减. 知识点03二次函数y＝a（x﹣h）2的图象与性质 ◆1、二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质 y＝a(x﹣h)2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，0)，抛物线最低点 (h，0)，抛物线最高点 最值 当 x = h 时，y最小值 =0 当x = h时，y最大值 =0 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. ◆2、抛物线y＝a（x﹣h）2与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当h > 0 时，向右平移h 个单位长度得到. 当h< 0 时，向左平移个单位长度得到. ★左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变. 知识点04二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象与性质 ◆1、二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质 y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0 图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点 最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. ◆2、抛物线y＝a（x﹣h）2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 平移规律(设 h＞0，k＞0)： ★简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变. 知识点05二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 ◆1、将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a（x﹣h）2+k （1）运用配方法，可以将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与顶点式y＝a(x﹣h)2+k相互转化. ①通过去括号、合并同类项可将顶点式化为一般式. ②用配方法可把二次函数的一般式化为顶点式. 即：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）可以转化为y＝a(x＋)2＋； （2）从函数解析式y＝a(x﹣h)2+k我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，我们称y＝a(x﹣h)2+k 为顶点式， 将顶点式y＝a(x﹣h)2+k去括号，合并同类项就化成一般式y＝ax2＋bx＋c. ◆2、将二次函数y＝ax2+bx+c图象的两种画法 （1）描点法 ①运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式. ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. ③在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点. ④用平滑的曲线将描出点顺次连接起来. （2）平移法 ①运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式,确定其顶点坐标为(h，k). ②作出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象. ③将函数数y＝ax2(a≠0)的图象平移，使其顶点(0,0)平移到(h，k)，平移后的图象就是y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象. ◆3、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 y＝ax2+bx+c a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点 最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 = 增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小. ◆4、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 当c＞0时，图象过原点； 当c=0时，与y轴交于正半轴； 当c＜0时，与y轴交于负半轴； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 知识点06用待定系数法求二次函数的解析式 ◆1、二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； ◆2、用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 题型01 二次函数y＝ax2的图象与性质 【典例1】（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图像关于x轴对称 【变式1-1】（25-26九年级上·天津津南·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，该函数图象的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为（　　） A． B． C． D． 题型02 二次函数y＝ax2+k的图象与性质 【典例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【变式2-3】二次函数y＝ax2+k（a≠0）的图象经过点A（1，﹣1），B（2，5）． （1）求该函数的解析式． （2）若点C（﹣2，m），D（n，7）也在函数的图象上，求m，n的值． 题型03 二次函数y＝a（x﹣h）2的图象与性质 【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【变式3-2】抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【变式3-3】已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣3）， （1）求抛物线的解析式． （2）当x为何值时，y随x的增大而增大． （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 题型04 二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象与性质 【典例4】（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）对于抛物线的图象，下列判断正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，随增大而减小 【变式4-1】抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 【变式4-2】已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝3（x+1）2 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝﹣3（x+1）2 D．y＝﹣3（x﹣1）2 【变式4-3】24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 题型05 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 【典例5】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．随着的增大先减小后增大 【变式5-1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x 的增大而增大 【变式5-2】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【变式5-3】已知二次函数yx2﹣2x． （1）求出抛物线的顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象． 题型06 利用二次函数的性质比较函数值的大小 【典例6】（25-26九年级上·四川自贡·阶段练习）若抛物线的图象上的三个点，，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期中数学试题）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（（24-25九年级上·云南·期末）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）已知二次函数的图象过点、，若点，，也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型07 利用二次函数的增减性求参数 【典例7】已知二次函数y=3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ． 【变式7-1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）二次函数的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·陕西宝鸡·二模）在二次函数为常数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 　 ． 题型08 二次函数对称性的应用 【典例8】如图，两条抛物线，与分别经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为　 　． 【变式8-1】【变式10-2】（2022秋•西湖区校级月考）若点A（﹣3，m），B（5，m）在同一个函数图象上，这个函数可能为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2022 B．y＝（x+1）2+2022 C．y＝（x+3）2﹣2022 D．y＝（x﹣2）2﹣2022 【变式8-2】已知点A（﹣3，m），B（3，m），C（﹣1，m+n2+1）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　） A．y＝x+2 B．y C．y＝x2+2 D．y＝﹣x2﹣2 【变式8-3】已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），则b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 题型09 函数图象的共存问题 【典例9】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式9-2】（25-26九年级上·黑龙江·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 题型10 二次函数图象的平移 【典例10】（25-26九年级上·北京·阶段练习）将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（　　） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 【变式10-1】（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）抛物线可由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（    ） A．先向右平移个单位，再向上平移个单位 B．先向右平移个单位，再向下平移个单位 C．先向左平移个单位，再向上平移个单位 D．先向左平移个单位，再向下平移个单位 【变式10-2】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型11 已知抛物线对称两点求对称轴 【典例10】 （25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴是（    ） x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … A．直线 B．y轴 C．直线 D．直线 【变式11-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）若二次函数满足，，则图象的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2025·河南信阳·三模）已知抛物线 与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 题型12 利用二次函数的对称性求函数值 【典例12】（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x y 3 5 3 则，y的值是（   ） A．5 B． C． D． 【变式12-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知点，是抛物线（b为常数）上不同的两点，若点也在抛物线上，则m的值为 ． 【变式12-2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为（   ） A．9 B． C．10 D． 【变式12-3】已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等，那么m的值为 　 　． 题型13 利用二次函数的对称性求最短路径 【典例13】（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则 ． 【变式13-2】如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时， ． 【变式13-3】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 题型14 二次函数与系数的关系问题 【典例14】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线（是常数，且）的对称轴是直线，与轴交于点，下列说法：①；②；③；④关于的一元二次方程的解是．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【变式14-1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，是方程的两根，则满足．其中正确结论的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式14-2】（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式14-3】（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的序号为 题型15 待定系数法求函数解析式 【典例15】（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期中数学试题）若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 【变式15-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）根据条件求二次函数的解析式． (1)抛物线的顶点坐标是，且经过点 (2)抛物线经过点、， 【变式15-3】（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 题型16利用二次函数的性质求最值 【典例16】（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的最小值是（　　） A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9 【变式16-1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知二次函数，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式16-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数（为常数），在自变量的值满足，其函数的最小值为5，则的值为（    ） A．5或 B．1或 C．5或1 D．5或或1 【变式16-3】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 题型17 二次函数的综合题 【典例17】如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点在y轴上．点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图1中过点P作交抛物线于点D，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接，，求的最小值． 【变式17-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． (1)求A、B、C的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式17-2】．（2025九年级上·全国·专题练习）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【变式17-3】．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，是否存在点，使的面积最大．若存在，请求出面积的最大值；若不存在，试说明理由； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 1、 选择题 1．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）将二次函数化为的形式，结果为( ) A． B． C． D． 3．（2025·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则该二次函数图象的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 55．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 6．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数（b为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 7．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格： … 0 1 2 … … … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数当时，？（   ） A． B． C． D．0 8．（2025·山西吕梁·三模）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 11．（24-25八年级下·福建福州·期末）若点在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 12．（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期中数学试题）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（，为常数），则的值为 ． 13．（24-25八年级下·上海·期末）已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 14．（24-25九年级下·上海·阶段练习）二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是 ． 15．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 16．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 三、解答题 17．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标． 18．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知抛物线过点，对称轴为直线，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标； (3)当时，求的取值范围． 19．（25-26九年级上·辽宁·开学考试）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式： (2)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (3)当时，抛物线的最大值为3，求的值． 20．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.2 二次函数的图象与性质 教学目标 1.掌握y＝ax2 、y＝ax2+k、 y＝a（x﹣h）2、y＝a（x﹣h）2+k 及y＝ax2+bx+c的图象性质(开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值)； 2.会进行二次函数顶点式与一般式的互化，能根据解析式求对称轴和顶点坐标； 3.理解y＝ax2 到y＝a（x﹣h）2+k的平移规律，能用“五点定形法”画二次函数图象. 教学重难点 1.重点：掌握各类二次函数的图象性质(尤其是增减性与最值);顶点式与一般式的互化以 及平移规律. 2.难点：根据"y＝ax2+bx+c的系数分析图象性，灵活运用平移规律转化函数解析式． 知识点01 二次函数y＝ax2的图象与性质 ◆1、二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： 要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 【注意】在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． ◆2、抛物线的相关概念： 二次函数y＝ax2 的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y＝ax2 ，y轴是这条抛物线的对称轴，抛物线 y＝ax2 与它的对称轴的交点为（0,0）叫做抛物线的顶点，是抛物线的最低点或最高点. 一般地，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y＝ax2+bx+c，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. ◆3、二次函数y＝ax2的图象和性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y 轴（或直线 x＝0） y 轴（或直线 x＝0） 顶点坐标 (0，0)，抛物线最低点 (0，0)，抛物线最高点 最值 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当x = 0时，y最大值 = 0 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小 ◆4、与抛物线开口大小的关系 （1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称. （2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴； 越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴. 知识点02 二次函数y＝ax2+k的图象与性质 ◆1、二次函数y＝ax2+k的图象和性质 y＝ax2+k a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线 x＝0） y轴（或直线x＝0） 顶点坐标 (0，k)，抛物线最低点 (0，k)，抛物线最高点 最值 当x=0 时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大. 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小. ◆2、抛物线y＝ax2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k ＜ 0 时,向下平移个单位长度得到. ★上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减. 知识点03二次函数y＝a（x﹣h）2的图象与性质 ◆1、二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质 y＝a(x﹣h)2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，0)，抛物线最低点 (h，0)，抛物线最高点 最值 当 x = h 时，y最小值 =0 当x = h时，y最大值 =0 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. ◆2、抛物线y＝a（x﹣h）2与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当h > 0 时，向右平移h 个单位长度得到. 当h< 0 时，向左平移个单位长度得到. ★左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变. 知识点04二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象与性质 ◆1、二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质 y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0 图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点 最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. ◆2、抛物线y＝a（x﹣h）2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 平移规律(设 h＞0，k＞0)： ★简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变. 知识点05二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 ◆1、将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a（x﹣h）2+k （1）运用配方法，可以将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与顶点式y＝a(x﹣h)2+k相互转化. ①通过去括号、合并同类项可将顶点式化为一般式. ②用配方法可把二次函数的一般式化为顶点式. 即：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）可以转化为y＝a(x＋)2＋； （2）从函数解析式y＝a(x﹣h)2+k我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，我们称y＝a(x﹣h)2+k 为顶点式， 将顶点式y＝a(x﹣h)2+k去括号，合并同类项就化成一般式y＝ax2＋bx＋c. ◆2、将二次函数y＝ax2+bx+c图象的两种画法 （1）描点法 ①运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式. ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. ③在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点. ④用平滑的曲线将描出点顺次连接起来. （2）平移法 ①运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式,确定其顶点坐标为(h，k). ②作出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象. ③将函数数y＝ax2(a≠0)的图象平移，使其顶点(0,0)平移到(h，k)，平移后的图象就是y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象. ◆3、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 y＝ax2+bx+c a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点 最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 = 增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小. ◆4、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 当c＞0时，图象过原点； 当c=0时，与y轴交于正半轴； 当c＜0时，与y轴交于负半轴； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 知识点06用待定系数法求二次函数的解析式 ◆1、二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； ◆2、用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 题型01 二次函数y＝ax2的图象与性质 【典例1】（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图像关于x轴对称 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线的图像与性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 它是一条抛物线，故原选项正确，不符合题意； B. ∵，∴它的开口向上，且关于y轴对称，故原选项正确，不符合题意； C. ∵的图像开口向上，∴它的顶点是抛物线的最低点，故原选项错误，符合题意； D. 它与的图像关于x轴对称，故原选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·天津津南·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，通过直接计算各点的函数值即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴对于点，； 对于点，； 对于点，， ∵， ∴ ． 故选B 【变式1-2】（（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，该函数图象的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，由图象可得，该图象的解析式经过点，再逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该图象的解析式经过点， A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故不符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用取特殊点的方法，比较字母系数的大小； 【详解】解：直线与四个二次函数的图象的交点分别为； 由图像可知：； 故选：D 题型02 二次函数y＝ax2+k的图象与性质 【典例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，形如的抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的常数项即可确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 【变式2-1】抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴，直接判断． 【详解】解：抛物线y＝x2+1的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．故选C． 【点睛】应熟练掌握二次函数的图象与性质． 【变式2-2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2-3】二次函数y＝ax2+k（a≠0）的图象经过点A（1，﹣1），B（2，5）． （1）求该函数的解析式． （2）若点C（﹣2，m），D（n，7）也在函数的图象上，求m，n的值． 【分析】（1）直接把两个已知点的坐标代入y＝ax2+k（a≠0）得到关于a、k的方程组，然后解关于a和k的方程组求出a和k的值即可． （2）把点C（﹣2，m），D（n，7）代入（1）中的解析式可求得结果． 【详解】解：（1）根据题意得， ， 解得， 所以二次函数解析式为y＝2x2﹣3； （2）∵点C（﹣2，m）在函数的图象上， ∴m＝2×（﹣2）2﹣3＝5； ∵点D（n，7）在函数的图象上， ∴7＝2n2﹣3 解得，n． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，利用代入法是解答此题的关键． 题型03 二次函数y＝a（x﹣h）2的图象与性质 【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，则解析式中对应的二次项系数为负数，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（2025·辽宁阜新·二模）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过原点 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【分析】本题主要考查了的图象和性质．根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标及是否经过原点，即可． 【详解】解：当时，，则图象经过，故A选项错误，不符合题意； 因为，则抛物线开口向下，故B选项错误，不符合题意； C、对称轴是直线，故C选项错误，不符合题意； D、顶点坐标为，即最高点是，故D选项正确，符合题意； 故选：D 【变式3-2】抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】由解析式可求得其对称轴及顶点坐标，结合开口方向可求得图象所在的象限，可求得答案． 【详解】解：∵y＝2（x+1）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，0）， ∴抛物线经过第一、二象限， ∴不经过第三、四象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 【变式3-3】已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣3）， （1）求抛物线的解析式． （2）当x为何值时，y随x的增大而增大． （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2，然后将点（1，﹣3）代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数法的值，也就求出了抛物线的解析式． （2）根据二次函数的性质易得当x＜2时，y随x的增大而增大． （3）利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值， ∴抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2， ∵抛物线过点（1，﹣3）， ∴﹣3＝a（1﹣2）2， ∴解得a＝﹣3， ∴此抛物线的解析式y＝﹣3（x﹣2）2． （2）因为抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下， 所以当x＜2时，y随x的增大而增大． （3）当x＝0时，y＝﹣3（x﹣2）2＝﹣12， 所以抛物线y＝﹣3（x﹣2）2与y轴的交点坐标为（0，﹣12）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 题型04 二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象与性质 【典例4】（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）对于抛物线的图象，下列判断正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，随增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：A：在中，，函数图象开口向下，故A错误； B：抛物线的顶点坐标是，故B错误； C：对称轴是直线，说法正确，故C正确； D：，函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，随增大即有增大部分也有减小部分，故D错误； 故选：C． 【变式4-1】抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 【答案】B． 【分析】根据二次函数的性质进行解答． 【详解】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力． 【变式4-2】已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝3（x+1）2 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝﹣3（x+1）2 D．y＝﹣3（x﹣1）2 【答案案】D． 【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，然后对各选项进行判断． 【详解】解：∵当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴抛物线y＝﹣3（x﹣1）2满足条件． 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质． 【变式4-3】24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据所给函数图象，可得出的的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：A．根据函数图象可知，函数图象开口向下，故，说法错误，不符合题意； B．图象与轴交于，关于对称，所以，说法正确，符合题意； C．由抛物线的解析式可知对称轴，故当时，取得最大值，说法错误，不符合题意； D．当时，随的增大而增大，说法错误，不符合题意； 故选：B． 题型05 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 【典例5】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．随着的增大先减小后增大 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，对称轴右侧部分y随x增大而减小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下． ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小． 故选：B． 【变式5-1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x 的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴函数图象的顶点坐标是，该函数有最小值，最小值是，故B、C选项错误，不符合题意； ∴函数图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x 的增大而增大，故D选项正确，符合题意； 故选：D 【变式5-2】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A正确；根据二次函数的顶点在第四象限，增减性和对称性即可判断选项B错误、选项C错误；选项D错误． 【详解】解：将点和和代入二次函数 得：， 解得， 则二次函数的解析式为． A、因为，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意； B、顶点在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意； C、当时随增大而增大，则此项错误，不符合题意； D、图象的对称轴是直线，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式5-3】已知二次函数yx2﹣2x． （1）求出抛物线的顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象． 【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标； （2）根据题目中的函数解析式，写出该函数经过的五个点，即可画出该函数的函数图象． 【详解】解：（1）∵二次函数yx2﹣2x， ∴该抛物线的顶点坐标是（2，）； （2）∵二次函数yx2﹣2x， ∴当y＝0时，x1＝1，x2＝3， 当x＝0时，y，当x＝4时，y， 该函数的图象如右图所示． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 题型06 利用二次函数的性质比较函数值的大小 【典例6】（25-26九年级上·四川自贡·阶段练习）若抛物线的图象上的三个点，，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合开口向上，对称轴为直线，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，又因为抛物线上有三个点，，，且，则，即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线上有三个点，，， 则， ∴ 故选：C 【变式6-1】（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期中数学试题）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小，把点，，分别代入二次函数解析式，即可比较，，的大小关系． 【详解】解： 对于点 ，有 ； 对于点 ，有 ； 对于点 ，有 ， ∴． 故选：D． 【变式6-2】（（24-25九年级上·云南·期末）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握利用抛物线的对称性比较函数值大小是解题的关键． 先将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线开口向，对称轴为直线，从而求得当时，y随x增大而减小，再根据关于直线的对称点为，然后由，根据抛物线的性质得出结果 ． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∵关于直线的对称点为， 又∵， ∴． 故选：D． 【变式6-3】（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）已知二次函数的图象过点、，若点，，也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据题意可知，图象开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，即可得解． 【详解】解：二次函数的图象过点、， 图象开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，函数值越大， ， ， 故选：B． 题型07 利用二次函数的增减性求参数 【典例7】已知二次函数y=3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ． 【答案】a≤2． 【详解】解：二次函数y=3（x﹣a）2的对称轴为直线x=a， ∵当x＞a时，y的值随x值的增大而增大， ∴a≤2． 故答案为：a≤2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键． 【变式7-1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）二次函数的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据，可得函数图象开口向下，结合函数对称轴为直线，可得当时，y随x的增大而增大，据此求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 函数图象开口向下， 又函数对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大． 故若y随x的增大而增大，则x的取值范围是． 故选：A． 【变式7-2】（2025·陕西宝鸡·二模）在二次函数为常数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的对称性增减性，是解题的关键． 根据二次函数解析式，得开口向上时，对称轴为直线，在对称轴右侧y随x的增大而增大．根据当时y随x的增大而增大，得对称轴应位于直线左侧或与之重合． 【详解】解：∵二次函数的开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随x的增大而增大． ∵当时，随的增大而增大， 因此需满足． 故选：D． 【变式7-3】已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 　 ． 【答案】x＜﹣1． 【分析】首先求出二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的对称轴x＝﹣1，然后再根据数的性质可得出答案． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的对称轴为：， 又∵a＝﹣2＜0， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大． 故答案为：x＜﹣1． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解答此题的关键是理解对于二次函数y＝ax2+bx+c，对称轴为x＝﹣b/2a，①若a＞0，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；②若a＜0，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小． 题型08 二次函数对称性的应用 【典例8】如图，两条抛物线，与分别经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为　 　． 【答案】8． 【分析】把阴影图形分割拼凑成矩形，利用矩形的面积即可求得答案． 【详解】解：如图，过y2x2﹣1的顶点（0，﹣1）作平行于x轴的直线与y1x2+1围成的阴影， 同过点（0，﹣3）作平行于x轴的直线与y2x2﹣1围成的图形形状相同， 故把阴影部分向下平移2个单位即可拼成一个矩形， 因此矩形的面积为4×2＝8． 故填8． 【点睛】此题主要考查利用二次函数图象的特点与分割拼凑的方法求不规则图形的面积． 【变式8-1】【变式10-2】（2022秋•西湖区校级月考）若点A（﹣3，m），B（5，m）在同一个函数图象上，这个函数可能为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2022 B．y＝（x+1）2+2022 C．y＝（x+3）2﹣2022 D．y＝（x﹣2）2﹣2022 【答案】A． 【分析】由点A，B坐标可得A，B关于直线x＝1对称，进而求解． 【详解】解：A（﹣3，m），B（5，m）关于直线x＝1对称， A选项中抛物线对称轴为直线x＝1，符合题意． B选项中抛物线对称轴为直线x＝﹣1，不符合题意． C选项中抛物线对称轴为直线x＝﹣3，不符合题意． D选项中抛物线对称轴为直线x＝2，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 【变式8-2】已知点A（﹣3，m），B（3，m），C（﹣1，m+n2+1）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　） A．y＝x+2 B．y C．y＝x2+2 D．y＝﹣x2﹣2 【答案】D． 【分析】由点A（﹣3，m），B（3，m）的坐标特点，于是排除选项A、B；再根据A（﹣3，m），C（﹣1，m+n2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，故D选项正确． 【详解】解：∵A（﹣3，m），B（3，m）， ∴点A与点B关于y轴对称； 由于y＝x+2不关于y轴对称，y的图象关于原点对称，因此选项A、B错误； ∵n2＞0， ∴m+n2+1＞m； 由A（﹣3，m），C（﹣1，m+n2+1）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， 对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴D选项正确 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案． 【变式8-3】已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），则b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】C． 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，即2，解得b＝4． 【解答】解：∵抛物线经过点A（1，n）和点B（3，n）， ∴抛物线的对称轴为直线x2， 即2， 解得b＝4， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 题型09 函数图象的共存问题 【典例9】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：A．函数图像可得，则 开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B．函数图像可得，则 开口方向向下正确，顶点坐标为，故选项B正确； C．函数图像可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D．函数图像可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选：B． 【变式9-1】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题是关于一次函数和二次函数的图象，根据各选项一次函数的图象和二次函数的图象得到，的正负，然后相比较解答即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相吻合； B、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾； C、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾. D、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两者相矛盾； 故选：A． 【变式9-2】（25-26九年级上·黑龙江·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要综合考查一次函数图象与二次函数图象，解题的关键在于熟练掌握函数图象的性质．根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可． 【详解】解：A. 由二次函数图象知，，；由一次函数图象知，，故不符合题意； B. 由二次函数图象知，，；由一次函数图象知，，故不符合题意； C. 由二次函数图象知，，，根据对称轴符号 “左同右异”，可得对称轴在轴右侧；由一次函数图象知，，故符合题意； D. 由二次函数图象知，，，根据对称轴符号 “左同右异”，可得对称轴在轴右侧；由一次函数图象知，，故不符合题意． 故选：C 【变式9-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分，讨论即可． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项A，B，C，D都不符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴， 反比例函数的图象在第二、四象限，故选项C符合题意． 故选：C． 题型10 二次函数图象的平移 【典例10】（25-26九年级上·北京·阶段练习）将抛物线平移后得到抛物线，则平移的方式是（　　） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握抛物线顶点式（）中，的变化对应图象左右平移（时向右平移，时向左平移）． 先确定原抛物线与平移后抛物线的顶点坐标，原抛物线的顶点为，平移后抛物线的顶点为；对比两个顶点的横坐标变化，从到是增加，据此判断平移方向． 【详解】解：原抛物线可化为，顶点坐标为； 平移后抛物线,可化为，顶点坐标为 顶点从到，横坐标增加，即抛物线向右平移个单位，与选项D一致． 故选：D． 【变式10-1】（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）抛物线可由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（    ） A．先向右平移个单位，再向上平移个单位 B．先向右平移个单位，再向下平移个单位 C．先向左平移个单位，再向上平移个单位 D．先向左平移个单位，再向下平移个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先根据二次函数的性质得两抛物线的顶点坐标，然后通过顶点的平移可确定抛物线的平移． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵点先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点， ∴把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位可得抛物线． 故选：D． 【变式10-2】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的平移，掌握平移规则：上加下减、左加右减是解题的关键． 根据平移规律，依次代换即可求解． 【详解】将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为 故所得抛物线为． 故选：A． 【变式10-3】（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．先将一般式化为顶点式，再根据图象的平移规律，可得答案． 【详解】解：， ∴将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为，即， 故选：D． 题型11 已知抛物线对称两点求对称轴 【典例10】 （25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴是（    ） x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … A．直线 B．y轴 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键．根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 【详解】解：根据题意，得是对称点， 抛物线的对称轴为直线， 故选：． 【变式11-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）若二次函数满足，，则图象的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用抛物线的对称性求解，根据题意可知点和点关于对称轴对称，进而可求出对称轴． 【详解】解：∵二次函数满足，， 即当时，满足， 当时，满足， ∴点和点关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选A． 【变式11-3】（2025·河南信阳·三模）已知抛物线 与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，解题关键是将函数表达式转化为顶点式． 先将函数表达式转化为顶点式，再根据顶点的纵坐标为求解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵顶点的纵坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：A． 题型12 利用二次函数的对称性求函数值 【典例12】（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x y 3 5 3 则，y的值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴是直线，再根据二次函数的对称性，即可解答． 【详解】解：由表格可知，二次函数的对称轴是直线， ∴二次函数上的点关于对称轴的对称点为， ∴当时的函数值与时的函数值相等为． 故选D． 【变式12-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知点，是抛物线（b为常数）上不同的两点，若点也在抛物线上，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式，以及对称性． 由点A和点B的纵坐标相同，可知两点关于抛物线的对称轴对称，利用对称轴公式求出b的值，再代入点求解即可． 【详解】∵点，是抛物线（b为常数）上不同的两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴抛物线为， ∵点也在抛物线上， ∴代入得． 故答案为：4． 【变式12-2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为（   ） A．9 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴， 故选：C． 【变式12-3】已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等，那么m的值为 　 　． 【答案】． 【分析】由自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等可得抛物线对称轴为直线x，再结合抛物线解析式即可求得m的值． 【详解】解：∵自变量x分别取﹣1，2时，所对应的y值相等， ∴抛物线对称轴为直线x， ∵抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数）， ∴m， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意求出抛物线的对称轴是解决本题的关键． 题型13 利用二次函数的对称性求最短路径 【典例13】（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称轴，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据二次函数的对称轴求出抛物线与x轴的另一交点，如图，设为C，根据对称性得到，进而得到当点M在线段上时，的值最小，然后根据待定系数法求直线解析式，最后把代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点A关于直线的对称点为， 如图，设为点C，连接， ∴， ∴， ∴当点M在线段上时，的值最小， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故选：B． 【变式13-1】（25-26九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解； 【详解】解：如图，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点， 则，即的最小值为的长度； 令，则，即； 令，则，解得，即； ∴， 故答案为： 【变式13-2】如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，最短路径问题，坐标两点的距离公式等知识，利用二次函数的性质将转化为求的长是解题关键． 连接，由抛物线的对称性可知，当D、P、B在同一直线上时，的值最小，最小值为的长，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点的坐标，然后利用坐标两点的距离公式，求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， 抛物线的对称轴是y轴， ∴， ∴当D、P、B在同一直线上时，的值最小，最小值为的长， ∵抛物线过点， ∴，解得：， 把代入，解得：或， ∴点B的坐标为， ∴， 故答案为：． 【变式13-3】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 当最小时，周长的最小， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 题型14 二次函数与系数的关系问题 【典例14】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线（是常数，且）的对称轴是直线，与轴交于点，下列说法：①；②；③；④关于的一元二次方程的解是．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由图象可得：；；可得①正确；求解，结合抛物线的对称性，点关于直线的对称点是，可得，，可得②错误，当时，，可得③正确，由抛物线与轴的交点坐标是和，可得④正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴； ，①正确； ∵对称轴是直线， ， 根据抛物线的对称性，点关于直线的对称点是， ∴抛物线与轴的交点坐标是和， ∴， ∴， ∴，②错误， 当时，，故③正确， ∵抛物线与轴的交点坐标是和， ∴关于的一元二次方程的解是，故④正确． 综上，正确的有①③④． 故选：B． 【变式14-1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，是方程的两根，则满足．其中正确结论的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握函数的基本性质，理解并熟练运用函数与方程之间的关系是解题关键．综合二次函数图象与各项系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的联系进行逐项分析． 【详解】解：由题意，，对称轴为直线， ，即， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 当时，， ，即， ， ， 解得， ，故③错误； ，， ，故④正确； 方程的两根、是抛物线与直线交点的横坐标， ，抛物线与 轴交于点 、 ，开口向上， ，，则，， 又 ， ，故⑤正确； 正确的有①②④⑤， 故选：D． 【变式14-2】（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想．根据函数图象即可判断①②；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，进而对结论③④进行判断． 【详解】解：由图象可知，当时，，故①正确； 当时，，故②正确； ∵抛物线开口方向向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线与x轴的交点是和，其中， ∴对称轴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确． 故正确的有3个． 故选：B． 【变式14-3】（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的序号为 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象及其性质，掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据二次函数图象的对称性确定点B的横坐标，可判断①；将代入并结合图象可判断②；根据抛物线的对称轴为直线可判断③；根据函数的增减性可判断④． 【详解】解∶∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点B的横坐标为b，则有∶，解得∶， ∴点B的坐标为，即①正确； ∵点B的坐标为，抛物线开口向上， ∴当时，由函数图象可得函数值大于零，即，即②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，即③错误； ∵， ∴y随x的增大而减小，即，即④正确． 综上，正确的有①④， 故答案为：①④． 题型15 待定系数法求函数解析式 【典例15】（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期中数学试题）若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据顶点坐标设抛物线解析式为，再代入点，求出系数，问题得解． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴设解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴解抛物线析式为． 故选：A 【变式15-1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令即可求解． 【详解】（1）解：设顶点式： ， 代入 ， 得：， 解得：， 故该二次函数的解析式为： ； （2）解：当时，， ∴图象与轴的交点坐标为． 【变式15-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）根据条件求二次函数的解析式． (1)抛物线的顶点坐标是，且经过点 (2)抛物线经过点、， 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的关键是熟练掌握各个形式求二次函数的方法； （1）根据题意设出二次函数的顶点式，再代入剩下的一个点即可得到答案； （2）根据题意设出二次函数的交点式，再代入剩下的一个点即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意设抛物线的解析式为， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【变式15-3】（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1)； (2)点B不在此抛物线中； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大． 把点代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式； 把代入此函数解析式即可判断； 把代入抛物线的解析式中求得x的值即可． 【详解】（1）抛物线经过点， 把点代入抛物线中：， ， 此抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 点不在此抛物线上； （3）此抛物线上一点的纵坐标为， 把代入此抛物线中得：， ， 此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或． 题型16利用二次函数的性质求最值 【典例16】（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的最小值是（　　） A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数最值的求法是解题的关键．先利用配方法得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴当时，y有最小值，最小值为． 故选：D． 【变式16-1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知二次函数，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数顶点式的特点，找出对称轴直线，函数的增减性即可求解． 根据题意可得，顶点坐标为，图象开口向下，则当时，的函数值最大，代入计算即可求解． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，图象开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的函数值最大，最大值为， 故选：B ． 【变式16-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数（为常数），在自变量的值满足，其函数的最小值为5，则的值为（    ） A．5或 B．1或 C．5或1 D．5或或1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及其性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、对称轴等性质是解题的关键．根据二次函数顶点为，由于在区间内最小值为5大于1，故顶点不在区间内，最小值在端点或处取得，分情况讨论函数在区间上的最小值情况，进而求出的值． 【详解】由题意，，其二次项系数， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数的最小值为， 顶点不在区间内， 最小值在端点或处， 第一种情况：当时，在区间上，函数随的增大而增大， 当时，取最小值5，即， 移项得，， 即， 解得或（舍）， 第二种情况：当时，在区间上，函数随的增大而减小， 当时，取最小值5，即， 移项得，， 即， 解得（舍）或， 综上所述，的值为或5， 故选：A． 【变式16-3】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法确定二次函数的解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴得出，则，把代入求出k的值，即可得抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质得出当时，y有最大值9，再求出当时，x的值，结合当时，该二次函数值y取得的最小值为，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：二次项系数， ∴当时，y有最大值9， 当时，， 解得：，， ∵当时，该二次函数值y取得的最小值是， ∴． 题型17 二次函数的综合题 【典例17】如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点在y轴上．点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图1中过点P作交抛物线于点D，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得出结论； （3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （2）四边形是平行四边形． 理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，． ∵点在上， ∴，， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图2，由题意得，，连接． 在上方作，使得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴（当，，三点共线时最短）， ∴的最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式17-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． (1)求A、B、C的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，点P的坐标为，，， 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点、顶点坐标、四边形面积以及等腰三角形的存在性问题等知识点． （1）分别令和，即可求解抛物线与坐标轴的交点； （2）先求出故顶点，过点作轴于点，再由即可求解； （3）先求出，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得或， ∴抛物线与轴交于点，； 当， ∴抛物线与轴交于点； （2）解：， 故顶点， 过点作轴于点， ∵， ∴； （3）解：存在， ∵，， ∴， ①时，而， ∴或； ②时， 由等腰三角形的性质可得点关于轴对称， ∴； ③时，设， 解得， ∴， 综上：存在，点P的坐标为，，，． 【变式17-2】．（2025九年级上·全国·专题练习）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)；最大值为 (3)或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可知，，，进而可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：若点的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：①当为平行四边形的边，点在对称轴右侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 又∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得 或（不合，舍去）， 当时，， ∴ ， ∴； ②当为平行四边形的边，点在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 同理①可证， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 设点，则， 解得或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴ ③当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为， ∵，， ∴， ∵点在对称轴上， ∴点的横坐标为， 设点的横坐标为，根据中点公式得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点在轴上， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 【变式17-3】．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，是否存在点，使的面积最大．若存在，请求出面积的最大值；若不存在，试说明理由； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在点，使的面积最大，面积的最大值为 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等角对等边，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据点A的坐标可得的长，则可得到的长，进而得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）可求出直线的解析式为；过点P作交于E，设，则，可求出，，据此求解即可； （3）分点M在点B上方和点M在点B下方两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点C在y轴的正半轴， ∴； ∵抛物线经过点，与轴正半轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作交于E，设，则， ∴； ∵ ， ∵， ∴当，即时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：如图所示，当点M在B上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点M的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在点B下方时，设直线交x轴于F， 设， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 1、 选择题 1．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性．先根据二次函数的解析式求出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与轴的另一交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一交点坐标为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）将二次函数化为的形式，结果为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数一般式与顶点式的转化，掌握配方法是解题的关键． 由于二次项系数为1，直接使用配方法，加上一次项系数一半的平方，将一般式转化为顶点式． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D． 3．（2025·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则该二次函数图象的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线与x轴交点关于对称轴对称，再结合横坐标可得答案． 【详解】解：∵该二次函数的图象与x轴交于点和点， ∴该二次函数图象的对称轴为直线． 故选：B． 4．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴是直线，可得，即，即可判断A；根据抛物线开口判断，然后根据对称轴判断，抛物线交y轴于正半轴，，可判断B；由图象知：当时，，可判断C；由图可知时，可判断D． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴得：； ∴，故选项B错误； 由图象知：当时，， ∴， ∴，故选项C错误； 由图可知，时， ∴，故选项D错误． 故选：A． 55．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a，b，c的大小是解题的关键． 先求出，，再判断一次函数图象即可． 【详解】∵二次函数图象开口向上， ∴； ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴； ∵与轴交点在负半轴， ∴．   对于一次函数，，，，故， ∴一次函数图象过二、三、四象限． 故选：D． 6．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数（b为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性期初b的值，然后化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象经过和两点， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数有最大值． 故选D． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格： … 0 1 2 … … … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数当时，？（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先由表格数据得二次函数的对称轴为直线，再结合与关于直线对称，即可作答． 【详解】解：观察表格数据得和时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴关于直线对称为， 即该二次函数当时，， 故选：B 8．（2025·山西吕梁·三模）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的法则是解题的关键． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解． 【详解】将抛物线向左平移3个单位所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 9．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，连接，作轴于点，正方形的性质求出的长，旋转结合角的和差关系，求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出点坐标，即可得出结果． 【详解】解：连接，作轴于点， ∵正方形，边长为， ∴， ∴， ∵旋转， ∴与轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点落在抛物线上， ∴， ∴； 故选：D． 二、填空题 10．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值 【详解】抛物线与形状相同，开口方向相反 则， ∴的解析式为 故答案为： 11．（24-25八年级下·福建福州·期末）若点在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式的求解，求出，，根据，得到，即，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，如图： ∵点在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期中数学试题）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（，为常数），则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”求出新抛物线解析式，然后展开为一般式，与给定解析式对比系数，得到b和c的值，最后计算即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 与对比，得，． 则， 故答案为：2． 13．（24-25八年级下·上海·期末）已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意确定与x轴的交点坐标，设出抛物线解析式为，根据抛物线的形状与抛物线相同即可确定a的值，从而求出解析式． 【详解】解：∵对称轴是直线，且与x轴的两交点之间的距离为2， ∴由对称性可知，与x轴的交点分别为，， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∴抛物线解析式为， 即抛物线解析式为或． 14．（24-25九年级下·上海·阶段练习）二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是准确理解互为“关联函数”的定义，根据两个函数顶点坐标的关系确定函数的“关联函数”的解析式即可． 【详解】解：∵二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”， ∴函数的“关联函数”的二次项系数为2， ∵， ∴它的顶点坐标为，则它的“关联函数”的顶点坐标为， ∴函数的“关联函数”的解析式是，即， 故答案为：． 15．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 16．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 三、解答题 17．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，进而求出的面积，则由三角形面积公式可求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可． 本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，把，代入中， 得， ， 二次函数解析式为； （2）解：当时，则， 解得或， ， ，， ， ， ， ， ， 当时， 解得， 即； 当时， 解得或， 即或； 综上所述，点的坐标为或或． 18．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知抛物线过点，对称轴为直线，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据对称轴和与纵轴的交点坐标即可解题； （2）令，即可进行求解； （3）求出抛物线顶点坐标，判断在条件给出的范围内的最值分别取在顶点和处，进而解题． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ， ∴， 抛物线解析式代入，有： ， 代入，有： ， 则有：， 解得：， ∴  ， ∴抛物线的解析式为： ； （2）解：令，有：， ， ， ∴或， 抛物线与轴的另一个交点坐标为； （3）解：当时， ， ∴抛物线的顶点为，在范围内， 故此时有最大值， ∵抛物线开口向下， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∴时，有最小值， ∴  ． 19．（25-26九年级上·辽宁·开学考试）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式： (2)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (3)当时，抛物线的最大值为3，求的值． 【答案】(1)， (2)的面积最大值为 (3)的值为或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式及分类讨论思想等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可； （2）先用表示出，然后用含m的式子表示出 的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的值． 【详解】（1）解：抛物线过、两点， ，解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解得：， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为； （2）解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：抛物线，其对称轴为， 当，即时，在上，随的增大而增大， ∴当时，有最大值3， ∴，解得， ， ； 当，即时，在上，随的增大而减小， ∴当时，有最大值3， ∴，解得或， ； 当，即时，当时，有最大值，这种情况不存在； 综上的值为或． 20．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；再联立即可求出点D的坐标； （2）根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点， 则， 解得， 抛物线的解析式为：； 联立，则， 解得或， 当时，， ； （2） 为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （3）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或， 或； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $