北京市丰台区2025-2026学年高一上学期11月期中练习数学试题

2025北京丰台高一（上）期中 数 学 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）集合用列举法可表示为 （A） （B） （C） （D） （2）已知集合,下列说法正确的是 （A） （B） （C） （D） （3）命题的否定是 （A） （B） （C） （D） （4）下列函数是幂函数的是 （A） （B） （C） （D） （5）若，则下列不等式成立的是 （A） （B） （C） （D） （6）“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）函数的图象大致为 （A） （B） （C） （D） （8）若不等式的解集为，则对于函数有 （A） （B） （C） （D） （9）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （10）设函数.若当时，对于任意，，都有，则实数的最大值为 （A） （B） （C）1 （D）2 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）函数的定义域为 ． （12）设 ，则当= 时，取得最小值，最小值为 ． （13） ． （14）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ． （15）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数称为狄利克雷函数，则关于，给出下列四个结论： ①的值域为； ②； ③； ④任意一个非零有理数，对任意恒成立. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 已知集合，. （Ⅰ）求，； （Ⅱ）求，. （17）（本小题13分） 已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）在平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象； （Ⅲ）写出一组m，n，a的值，使得不等式在区间上恒成立. （18）（本小题14分） 已知二次函数． （Ⅰ）当时，求不等式的解集； （Ⅱ）解关于的不等式． （19）（本小题15分） 某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量（单位：万件）与售价（单位：元/件）之间满足函数关系.已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为70万元，制造成本为12元/件，且要求每件的售价不低于每件的制造成本. （利润=销售量×售价-生产成本） （Ⅰ）求该电子产品第一年的利润W（单位：万元）与售价之间的函数关系式； （Ⅱ）已知第一年利润不低于30万元，求该电子产品第一年的售价； （Ⅲ）在（Ⅱ）基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造成本相比第一年下降3元/件，直接成本是第一年的利润全部投入.若第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，求第二年利润的最大值. （20）（本小题15分） 已知函数是定义在上的奇函数，且. （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）判断在上的单调性，并用定义证明； （Ⅲ）设集合，函数在区间上的值域为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. （21）（本小题15分） 设，，集合.若集合S的任意两个子集A,B满足以下条件：①；②“存在，使得”与“存在，使得”至少有一个成立，则称S是好集合. （Ⅰ）判断集合是否为好集合； （Ⅱ）若，S不是好集合，证明：； （Ⅲ）若，S是好集合，证明：n的最小值为243. 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。 题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 答案 C B D A C A D C B B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11)且 (12)， (13) (14) (15)②③④ 三、解答题共6小题，共85分。 （16）（本小题13分） 解：（Ⅰ）， ， ………6分 （Ⅱ），， 或， 或. ………13分 （17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）因为是定义在上的偶函数， 所以，. ………4分 （Ⅱ）答案略. （图象上有点 以及对称性）………9分 （Ⅲ）答案略. （写出一组m,n的值，且 ，给2分，a的值能使成立，再给2分） ………13分 （18）（本小题14分） 解：（Ⅰ）当时，， 令得， 函数的图象为： 所以不等式的解集为. ………6分 （Ⅱ）由题意得, 整理得，，即， 令，解得. 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为. ………14分 （19）（本小题14分） 解：（Ⅰ）依题意，得销售额为万元， 生产成本为直接成本加制造成本与销售量的乘积， 即万元. 根据利润=销售额-生产成本，列式可得： ………5分 （Ⅱ）已知第一年利润不低于30万元，即，所以 所以， 所以电子产品第一年的售价为22元/件. ………9分 （Ⅲ）依题意，得第二年的售价， 将第一年售价22元/件代入,可得第一年利润万元. 设第二年的利润为万元， 则 所以，抛物线开口向下，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减， 所以当时有最大值，且最大值为万元.…15分 （20）（本小题15分） 解： （Ⅰ）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 又，所以解得 此时，所以， 因为, 所以是奇函数，满足题意，所以. ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以在上单调递增，证明如下： 设任意，且，则 因为，所以，， 所以， 即，所以在上单调递增. ………9分 （Ⅲ）因为是的充分不必要条件，所以⫋ 由在上单调递增，可得，即， 所以. 由函数在区间上单调递增，所以 因为⫋，所以，所以， 当时，符合题意. 所以实数的取值范围为. ………15分 （21）（本小题15分） 解：（Ⅰ）T是好集合；U不是好集合. ………4分 （Ⅱ）假设,，集合S的两个子集A与B满足，且这两个集合都不包含整数a,b,c，使得ab=c，不妨设，则必有. 如果，则因为，所以必有一个子集含整数a,b,c（不一定相异）使得ab=c，矛盾. 如果，则,进而， 此时矛盾. 所以. ……….8分 （Ⅲ）首先证明, 当时，，集合S的两个子集A与B满足，且这两个集合都不包含整数a,b,c，使得ab=c， 不妨设，则必有. 如果，则因为， 所以必有一个子集含整数a,b,c（不一定相异）使得ab=c，矛盾. 如果，则,进而，此时矛盾. 所以，集合S一定是好集合. 当时，令, ，A与B都不包含整数a,b,c（不一定相异）使得ab=c，即此时S不是好集合. 所以满足S是好集合，n的最小值为243. ………15分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $