2.4 直线与圆锥曲线的位置关系提升训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高二上学期北师大版数学选择性必修第一册 第2章 圆锥曲线 §4 直线与圆锥曲线的位置关系 能力提升训练 1.（2025江西华东师范大学上饶实验中学月考）已知直线 与椭圆 相交于,，且的中点为，则椭圆 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 2.设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于, 两点且，则 的值为( ) A. B. C. D. 3.（2025云南昭通期中）已知直线与抛物线交于, 两点，与圆 交于,两点，点,在轴的同侧，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.［大招35］（2025江西南昌二中月考）已知直线与椭圆 在第一象限交于 ，两点，与轴、轴分别交于，两点，且,，则 的方程 为( ) A. B. C. D. 5.［大招33,34］（2025江西南昌八中月考）已知椭圆 ，过左焦 点且不与轴垂直的直线交于，两点，若直线上存在点，使得 是 等边三角形，则 的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.［大招36］（多选|2025湖北荆州检测）过双曲线的左焦点 的直线分别 交的左、右支于点,，交直线于点，若 ，则( ) A. B. C. D. 7. （多选|2025北京八十中月考）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体 全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得 的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物 线绕其顶点分别逆时针旋转 ， ， 后所得三条曲线与 围成的（如图阴影区域），,为与其中两条曲线的交点，若 ，则( ) A.开口向上的抛物线的方程为 B. C. D.直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 8.（2024广东六校联考）若双曲线与直线 无公共点， 则双曲线 的离心率的取值范围为_______. 9.［大招36］如图，已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于， 两点 （可重合），则 的取值范围为______. 10.（2025江西上饶四中测试）已知双曲线的离心率为 ，实 轴长为2. （1） 求双曲线 的标准方程. （2） 设直线与双曲线交于，两点，是否存在满足 （其中为坐标原点）?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 11.（17分）（2025八省联考）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为 ， . （1） 求 的方程； （2） 已知点，证明:线段的垂直平分线与 恰有一个公共点； （3） 设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与 恰有一个公共点，证明 的轨迹为圆，并求该圆的方程. 参考答案 1.B【解析】 设, , 将直线方程与椭圆方程联立得 消去,得 , 则 . 因为的中点为所以,解得 , 所以, . 2.B【解析】 易知该直线斜率存在,设直线 ,则 , 且 , 得且, , . 3.A【解析】 如图,由已知得抛物线的焦点 的坐标为 , 直线的方程为 ,与抛物线方程联立得 消去,得 . 设,,则, , 所以 , 圆的圆心坐标为,半径为1,由已知可得 , 所以 . 4.A【解析】 如图,设的中点为,因为 ,所以 , 设,,,则 两式相减得, , 所以,则 （也可直接利 用结论 得到）， 设直线,,（由在第一象限得 的范围）, 令,得,令,得,即 , , 所以,即,解得或 （舍去）, 又,即 ,解得 或 （舍去）, 所以直线,即 . 5.C【解析】 如图,由已知得点,设直线 的方程为 ,其中 ,（由直线过左焦点，斜率存在且不为0设线） 设点, , 联立可得 , , 由韦达定理可得, , 所以 . （【另解】设直线 的倾斜角 为，则， ，所以直接由倾斜角式焦点弦长公式可得 ） 设线段的中点为 , 则 , . 因为为等边三角形,所以,且直线的斜率为 , 所以 , 且,即 , 即,整理可得 , 所以,即的离心率的取值范围是 . 6.BCD【解析】 根据条件“ ”选择定比点差法求解. 设,,不妨设, . 由题设可得,故即为 , 故而两式相减,得 （构造通过上步构造利用点差法出现含的式子）,故 解得故故直线的方程为,故 , 故 （弦长公式）, , , , , . . . ,,故 成立. 7.ACD【解析】 由题意得开口向右的抛物线方程为 ,焦点为 ,将逆时针旋转 后得到的抛物线开口向上,焦点为 , 则其方程为 ； 由得或,即,所以, ,由 对称性得 ,所以, ； 如图,设直线（（直线 在 之间））与第一象限花瓣分别交于点, ,由 得由 得 所以, ,所以 ,设 ,则,故 , 代入得 , 当时,取得最大值,为 . 8. 【解析】 双曲线的渐近线方程为 . 双曲线与直线无公共点, 双曲线的渐近线 的 斜率,即,即,即,即,则,则 . , 离心率满足,即双曲线离心率的取值范围是 . 9. 【解析】 设,,,则 , 于是,又,所以 , ①. 又因为点,在椭圆上,所以有 两式相减,得 , 将①式代入整理,得或 ,解 得或,且 , 得 的取值范围为,所以的取值范围为 . 10.(1)【答案】 因为,,所以, , 所以 , 故所求双曲线方程为 . (2)【答案】 如图, 设, , 由消去可得, , 当,即 时, , , 所以 , 所以,解得 , 此时不满足 , 故不存在,使得 成立. 11.(1)【答案】 椭圆左、右焦点分别为,,所以 ,（1分） 又 椭圆的离心率为,得, ,（3分） 的方程为 .（4分） (2)【答案】 由,得直线斜率为 , 中点坐标为 ,（5分） 线段的垂直平分线方程为 ,（6分） 联立垂直平分线方程和椭圆方程得 得,, 直线与椭圆相切, 则, ,（8分） 故线段的垂直平分线与恰有一个公共点 .（10分） (3)【答案】 设 , 当时,的垂直平分线方程为 , 此时,或 ；（11分） 当时, 的垂直平分线方程为 ,（12分） 联立得 得 , 即 .（13分） 线段的垂直平分线与 恰有一个公共点, , 即 , 则 , 即 , 也即 , 即 , , ,（15分） 而, 也满足该式,（16分） 故点的轨迹是圆,该圆的方程为,即 .（17分） 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $