江苏省南京市2025-2026学年八年级上学期数学期中综合提升练（苏科版，新教材1-3章）

南京市八年级上学期数学期中综合提升练 （苏科版，新教材1-3章） 一、单选题 1．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．9，60，61 C．5，12，13 D．1，2， 2．如图，过的顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在3.14，，，0.2020020002这六个数中，无理数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 5．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 6．若等腰三角形的一边是8，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（   ） A．20 B．16 C．16或20 D．无法确定 7．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．4米 B．米 C．5米 D．6米 8．如图，中，，，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题 9．计算： ， ． 10．如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是，的中点．若，则的长为 ． 11．如图，正方形的面积为10，点A表示的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M，N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 ． 12．如图，点D为中边上的中点，为的中线．若的面积为60，则的面积为 ． 13．已知   则 （精确到百分位） 14．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 15．如果，那么整数 ． 16．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为 尺． 17．如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为5，2，1，则四边形的面积为 ． 18．如图，中，，，．为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点，，线段的最大值是 ． 三、解答题 19．求下列各式中的x． (1) (2)． 20．已知：如图，，．求证：． 21．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)直接写出的面积为 ． 22．如图，中，平分，且平分，于E，于F． (1)求证：； (2)探究和的数量关系，并说明理由． 23．如图，是直角三角形，，是斜边的中点，、分别是、边上的点，且．          (1)如图1，试说明； (2)如图2，若，，，求的面积． 24．已知的立方根是3，的算术平方根是4， c是 的整数部分． (1)求 的小数部分； (2)求的平方根． 25．如图，在等腰直角三角形中，，是的中点，点，分别在直角边，上，且， 交于点． (1)求证； (2)直接写出 的面积与四边形 的面积的数量关系． 26．如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足． (1)_____，______． (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右移动，移动的速度为个单位/秒，移动的时间为秒，连接． ①在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值；若不能，说明理由． ②若为等腰三角形，直接写出的值_______． 27．已知等腰中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． (1)如图1，当点E在线段上，时，求证：； (2)当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：； (3)连接，当点P运动t秒（）时，线段长度取到最小值，请直接写出t和的值． 试卷第6页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市八年级上学期数学期中综合提升练 （苏科版，新教材1-3章） 一、单选题 1．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．9，60，61 C．5，12，13 D．1，2， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 根据勾股定理逆定理逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．，满足勾股定理，能构成直角三角形； B．，不满足勾股定理，不能构成直角三角形； C．，满足勾股定理，能构成直角三角形； D．，满足勾股定理，能构成直角三角形； 故选：B． 2．如图，过的顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：边上的高有两个条件：①经过点，②垂直． 只有D符合要求． 故选：D． 3．在3.14，，，0.2020020002这六个数中，无理数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数叫做无理数进行解答即可． 【详解】解：， 无理数有，，共2个． 故选：B 4．如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差． 根据全等三角形的性质得出，，再由线段的和差即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 6．若等腰三角形的一边是8，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（   ） A．20 B．16 C．16或20 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，掌握这些是解题的关键． 本题应分为两种情况：8为底，4为腰；4为底，8为腰，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两条边长为8和4， 8为底，4为腰时，，无法构成三角形，故舍去； 4为底，8为腰时，周长为：． 综上，它的周长为20． 故选：A． 7．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．4米 B．米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故选：C． 8．如图，中，，，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理以及全等三角形，利用已知条件通过三角形全等进行转化是解题关键．设空白部分的面积分别为a、b、c，证明得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，设空白部分的面积分别为a、b、c， 则，，， ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即等于12， 故选：A． 二、填空题 9．计算： ， ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查立方根和算术平方根，直接根据立方根和算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：； ； 故答案为：；2． 10．如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是，的中点．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，在中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【详解】解：连接． ∵，E是的中点， ∴， 又∵F是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴． 故答案为：4． 11．如图，正方形的面积为10，点A表示的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M，N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得的长，即可得到的长，再用点A表示的数减去的长即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， ∵在数轴上点A表示的数为1，点M在点A的左侧，且， ∴点M表示的数为， 故答案为：． 12．如图，点D为中边上的中点，为的中线．若的面积为60，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分即可解答． 【详解】解：∵点D为中边上的中点， ∴是边上的中线， ∵的面积是60， ∴， ∵是中边上的中线， ∴． 故答案为：15． 13．已知   则 （精确到百分位） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的求解，立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的运算法则． 对立方根进行变式，然后根据给出的值进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 14．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式推出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 15．如果，那么整数 ． 【答案】3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义，比较与相邻的完全平方数，确定其取值范围，从而得到答案． 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ． 又∵a为正整数， ∴． 故答案为3． 16．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设尺， 由题意得，尺，尺，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， ∴这根绳索的长度为尺， 故答案为：． 17．如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为5，2，1，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，分别过点作的垂线，分别交直线于点，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：分别过点作的垂线，分别交直线于点， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，， 同理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 18．如图，中，，，．为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点，，线段的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键． 先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【详解】解：连接， 中，，，， ， 垂直平分， ，过点F作于H， 若要使最大，则需要最小， 设，则， ， ， （垂线段最短）， ， 解得． 最小值为，的最大值为， 故答案为：． 三、解答题 19．求下列各式中的x． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ， ∴． 20．已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质．由，得，再利用证明，从而得出． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）； 在和中，， ∴． ∴． 21．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)直接写出的面积为 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)3 【分析】本题考查画高线，中线，与三角形的高有关的计算，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据高线的定义和网格特点，画出即可； （2）取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线平分面积，求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）由图可知：； ∵为的中线， ∴的面积． 22．如图，中，平分，且平分，于E，于F． (1)求证：； (2)探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，进一步利用线段的和差进行证明即可． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ． （2）解：平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ， ∴ 由（1）已证：， ∴， ∴ 23．如图，是直角三角形，，是斜边的中点，、分别是、边上的点，且．          (1)如图1，试说明； (2)如图2，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证和是解题的关键． （1）延长至点，使得，连接，，易证和，可得，，即可求得，根据勾股定理即可解题； （2）连接，易证，即可证明，可得，，，再根据的面积，即可解题． 【详解】（1）证明：延长至点，使得，连接，， ，， 垂直平分， ， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ， ； （2）解：如图，连接， ，是中点， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 的面积． 24．已知的立方根是3，的算术平方根是4， c是 的整数部分． (1)求 的小数部分； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的意义，无理数的估算，掌握立方根的定义、算术平方根的定义和平方根的定义是解决此题的关键． （1）先估算的整数部分，进而得到的整数部分，再求其小数部分即可； （21）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求的平方根即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为3， 的小数部分为 （2）解：由（1）的整数部分为3， 则， 由的立方根是3， 可知， 解得，， 由的算术平方根是4， 可知， 则， 解得，， ∴， ∴的平方根为． 25．如图，在等腰直角三角形中，，是的中点，点，分别在直角边，上，且， 交于点． (1)求证； (2)直接写出 的面积与四边形 的面积的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)的面积等于四边形面积的倍． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质． 根据等腰直角三角形的性质可知，，，利用可证结论成立； 根据全等三角形的性质可知，可知． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，，点是的中点． ，，，， ，， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：的面积等于四边形面积的倍. 理由如下： 由知， ， ， ． 26．如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足． (1)_____，______． (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右移动，移动的速度为个单位/秒，移动的时间为秒，连接． ①在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值；若不能，说明理由． ②若为等腰三角形，直接写出的值_______． 【答案】(1)，； (2)①能，；②或． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用以及等腰三角形的概念，掌握非负数的性质、勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）①由题意得，，得到，，，结合题意可得当为直角三角形时，只能是，根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案；②分、、三种情况，根据等腰三角形的概念、勾股定理计算． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， 故答案为：，； （2）①能， 由题意得，， ，， ，，， ，点在上，， 只能是， ，即， 解得， 在移动的过程中，能使为直角三角形，此时； ②当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 综上所述，当的值为或时，为等腰三角形， 故答案为：或． 27．已知等腰中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接． (1)如图1，当点E在线段上，时，求证：； (2)当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：； (3)连接，当点P运动t秒（）时，线段长度取到最小值，请直接写出t和的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)秒， 【分析】本题属于三角形综合，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明即可； （2）在上取一点，使，证明，推出，可得结论； （3）分两种情况分析：①当点与点在直线同侧时，②当点与点在直线两侧时，得到运动过程中，所在的直线平分，点在的角平分线上运动，当时，最短，可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ∴， ， ； （2）证明：如图2，在上取一点使得，连接， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点与点在直线同侧时，如图3， 由（2）中有：是等边三角形，即， ， 则根据可知：， ，， ， ， ， ， ②当点与点在直线两侧时，如图4， 在上截取， ， 结合对顶角相等，可得， ， ，， ， ， ， ， 即运动过程中，所在的直线平分， 则有点在的角平分线上运动，                                                                                                               当时，最短，如图5， 此时， 点与点在直线同侧时， 在中，， ， 中，， ， ， ， 运动时间为秒时，线段长度取到最小值． 试卷第14页，共24页 试卷第15页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $