2.1.1 椭圆及其标准方程基础题型训练-2025-2026学年高二上学期北师大版数学选择性必修第一册

高二上学期北师大版数学选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 §1 椭圆-1.1 椭圆及其标准方程 基础题型训练 题型一 椭圆定义的理解 1.（2025江西省抚州市东乡区实验中学月考）已知点，，动点 满足 ，则动点 的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.不存在 2.已知圆与圆内含，且圆心,不重合，动圆与两圆相切，则圆心 的轨迹为( ) A.直线 B.圆 C.双曲线 D.椭圆 3.如果点在运动过程中，总满足关系式 ， 那么点 的轨迹是( ) A.不存在 B.椭圆 C.线段 D.双曲线 题型二 椭圆标准方程中“标准”的理解 4. （2025福建泉州联考）若方程表示椭圆，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.（2025江西上饶横峰中学月考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 6. （2025江苏徐州二中调研）已知方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 题型三 椭圆方程中基本量的计算 7. （2025山东青岛城阳第三高级中学月考）椭圆的标准方程为 ，其焦点的坐标为( ) A. B. C. D. 8. （2024江西南昌二中模拟）椭圆的焦距为2，则 的值为_______. 9.已知椭圆的一个焦点为，则 的值是___. 题型四 待定系数法求椭圆的标准方程 10.（2025陕西宝鸡期中）已知椭圆过点 ，且椭圆的焦距 为2，则椭圆的方程为( ) A. B. C. D. 11.过点且与椭圆 有相同焦点的椭圆方程为( ) A. B. C. D. 12.（2025宁夏青铜峡市第一中学期中）某椭圆过点， ，则此椭圆的标 准方程为( ) A. B. C.或 D.以上都不对 题型五 椭圆定义的直接应用 13.（2025浙江宁波期中）椭圆上一点到左焦点 的距离为2，则其到右焦 点 的距离为( ) A.8 B.4 C.7 D.6 14.（2024江西省大余县梅关中学月考）已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，若过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，则 的周长为( ) A.2 B. C.4 D. 15.（2024江苏期末）如图，， 是平面上的两点， 且，图中的一系列圆是圆心分别为， 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3， ，，，，， 是图中两组同心圆的部分公共 点.若点在以，为焦点的椭圆 上，则( ) A.点和都在椭圆上 B.点和都在椭圆 上 C.点和都在椭圆上 D.点和都在椭圆 上 题型六 椭圆定义的进阶应用——焦点转换 16.（2025江苏省启东中学检测）已知是椭圆的下焦点,为 上一点, ,则 的最小值为( ) A. B. C.4 D. 17.已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为 ，则 的最小值为____， 的最大值为____. 题型七 椭圆定义的进阶应用——焦点三角形 18.（2025福建泉州七中期中）是椭圆上一点，， 分别是椭圆的左、右 焦点，若，则 的大小为( ) A. B. C. D. 19.（多选）已知椭圆的两个焦点为，，为坐标原点，过点 的直线交 椭圆于， 两点，则下列说法正确的是( ) A.的周长为16 B. 的周长为14 C.若，则 D.若，则 的面积为7 20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点 是椭圆上一点，若 ，则 ___. 21.已知椭圆的左、右焦点分别为，， 为椭圆上一点，若 ， 则点 的坐标为__________. 题型八 求椭圆的轨迹方程 22.（2025江西上饶紫阳中学检测）已知曲线，过上任意一点 向轴引垂线，垂足为，则线段的中点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 23.（2025江苏南京十三中期中）已知，是圆 （为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点 的轨迹方程为_ __________. 24.（1） 已知动点到直线的距离与它到点的距离之比为，求动点 的轨迹 方程. （2）已知在中，，，若边， 所在直线的斜率之积为，求点 的轨迹方程. 参考答案 1.D【解析】 由题设知,则动点 的轨迹不存在. 2.D【解析】 由题意,记圆的半径为.不妨令圆的半径为,圆的半径为,且 ,则动圆与圆内切,与圆外切,可得, ,两式相加得 ,且,故圆心 的轨迹为椭圆. 3.B【解析】 表示平面内到点, 的距离 之和为的动点的轨迹,由于,所以点 的轨迹是椭圆. 4.C【解析】 因为方程表示椭圆（一定要化成标准形式）,所以 且,所以 . 5.A【解析】 焦点在轴上, 的分母大.由题意有 . 6.B【解析】 先化为标准形式,焦点在轴上,的分母大.将椭圆方程变形为 （易出错）,因为焦点在轴上,所以,解得 . 7.C【解析】 由题意,在中,椭圆的焦点在轴上,且, , , 椭圆焦点的坐标为 . 8.8或10 【解析】 题目未说明焦点位置,应对焦点位置进行讨论. 因为椭圆 的焦距为2, 所以且, . 当焦点在轴上时,, , 则,则 . 当焦点在轴上时,, , 则,则 . 故 的值为8或10. 9.5 【解析】 显然,将椭圆方程化为标准形式 .因为椭 圆的一个焦点为,即焦点在轴上,且,所以, , ,解得 . 10.B【解析】 由题意可得解得故椭圆的方程为 . 11.A【解析】 椭圆的焦点为和,即焦点在 轴上,因此设所求椭圆方程为,则 ①. 将 代入椭圆方程, 得 ②. 由①②解得,,则所求椭圆方程为 . 12.A【解析】 设过两点的椭圆方程为,将, 两点坐标 代入得 解得则所求椭圆方程为 . 13.A【解析】 椭圆中,,所以 , 又椭圆上一点到左焦点的距离为2,即 , 且,所以 , 即点到右焦点 的距离为8. 14.D【解析】 由题意可得 ,如图所示, 的周长为 .（是 三角形） 15.C【解析】 因为点在以,为焦点的椭圆上,所以 ,即 . 因为, , ,,所以点,不在椭圆上,点, 在椭圆 上. 16.D【解析】 设为椭圆的上焦点,椭圆中,,则 ,所以焦点 坐标分别为,.连接,由椭圆定义得 . 由于,所以点 在椭圆内. 如图所示, , （将代换为）要求 的最小值,也就是求 的最大值,当,,三点共线时, 的最大值为 ,所以的最小值为 . 17. -5 15【解析】 设右焦点为,连接, ,如图所示,由椭圆定义,得 ,点在椭圆外, （将 代换为 ,转移到中）,因为 （两边之和大于第三边）, 所以,当且仅当点为 与椭圆的 交点 时,取等号. 因为,当点为的延长线与椭圆的交点 时, 取得最大值,故的最大值为 . 18.B【解析】 是椭圆上一点,, 分别是椭圆的左、右焦点, 则, , 又,由 , 得 , 在中,由余弦定理得 , 而为三角形的内角,所以 . 19.BCD【解析】 在椭圆中,,,则, . 和都是焦点三角形,周长都为 ； 由椭圆定义知 ,所以 ； 如图所示,在 中, 是直角三角形,且 （直角三角形中，斜边的中线长等于斜边长的 一半）,由焦点三角形面积公式可得 . 20.2 【解析】 由椭圆方程可得,,则, , 在中,由余弦定理得 , 则,解得 . 21. 【解析】 在焦点三角形中,因为, , 所以,即 , 所以 . 设点,因为,所以 ,代 入椭圆方程得,即点的坐标为 . 22.D【解析】 相关点法.如图,设,,,则 , 由题意可知即 将点代入 , 得,即 . 23. 【解析】 定义法.如图,连接,则 （垂直平分线的性质）. 将化为 , 即, , 所以 （椭圆的定义）, 故的轨迹是以,为焦点的椭圆,且, , 所以,故动点的轨迹方程为 . 24.(1)【答案】 设点,则,化简可得,该式即为点 的轨迹方程. (2)【答案】 设且（【易错】若 ，则不能构成三角形，注意排除）,则 , 整理,得点的轨迹方程为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $