精品解析：江苏省南通市如皋市实验初中2025--2026学年九年级数学上学期期中试题

江苏省如皋市实验初中2025-2026学年九年级上册 期中数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 2. 如图，A，B，P是⊙O上三点，若∠P＝110°，则∠AOB的度数为（　　） A. 70° B. 110° C. 125° D. 140° 【答案】D 【解析】 【分析】在⊙O上找到一点C，连接AC、BC，根据圆周角定理求得∠C的度数，然后利用圆周角定理求得∠AOB的度数即可． 【详解】如图，在⊙O上找到一点C，连接AC、BC， ∵∠P＝110°， ∴∠C＝70°， ∴∠AOB＝2∠C＝2×70°＝140°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理的应用：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据反比例函数图像上点的坐标特征分别代入，求出、、的值，比较即可得答案． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， 解得：，，， ∴， 故选：A． 4. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为． 故选D． 5. 如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为，底面半径为，制作这把遮阳伞至少需要用布料（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据侧面积公式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，制作这把遮阳伞至少需要用布料； 故选B． 6. 如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，据此即可求解． 【详解】根据反比例函数k的几何意义可知，， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴，即． 故选：D． 7. 如图△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（　　） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形BCM中，根据60°的正切函数以及MB的长度，求出BC的长，然后根据AB为直径且AB与BC垂直，得到BC为圆O的切线，又因为CD也为圆O的切线，根据切线长定理得到切线长CD与BC相等，即可得到CD的长． 【详解】解：在直角△BCM中， tan60°＝＝， 得到BC＝＝2， ∵AB为圆O的直径，且AB⊥BC， ∴BC为圆O的切线，又CD也为圆O的切线， ∴CD＝BC＝2． 故选C． 【点睛】此题考查学生灵活运用三角函数解直角三角形，掌握圆外一点引圆的两条切线，切线长相等的应用，是一道中档题． 8. 如图，直线m是正五边形的对称轴，点P是直线m上的动点，当的值最小时，的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，设与直线m相交于点，连接，证明当点P与重合时，最小，求出的度数可得结论． 【详解】连接、，设与直线m相交于点，连接， 直线m是正五边形的对称轴， ， C、D关于直线m对称， ， ， 当点P与重合时，最小， 是正五边形， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形与轴对称——最短路径等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题． 9. 已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为( ) A. ﹣6 B. ﹣9 C. 0 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】解:∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点， ∴x1•y1=x2•y2=3． ∵直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴x1=﹣x2，y1=﹣y2 ∴x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6． 故选A． 10. 如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，延长交于E，作交的延长线于F，连接，证明是等腰直角三角形，即可推出，，再利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于E，作交的延长线于F，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，11～12每小题3分，13～16每小题4分，共18分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知反比例函数，若在每个象限内随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质和解不等式，根据反比例函数的性质可得，解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数，在每个象限内随的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（用“<”号连接）______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 根据二次函数的开口向上，有最小值，对称轴是直线，可知时的函数值与时的函数值相等，根据当时，y随x的增大而增大，可以判断、、的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线开口向上，有最小值，对称轴是直线． ∴当时，y随x的增大而增大． ∵的对称点为，且， ∴． ∵是顶点， ∴最小． ∴． 故答案为：． 13. 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物的高度为 （cm）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 14. 如果点是抛物线上的两个点，那么和的大小关系是_______．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性以及增减性，即可得到m与n的大小关系． 【详解】解：由题意得，对称轴为直线， 所以点关于对称轴的对称点为， 因为开口向下， 所以当时，随的增大而减小，而， 所以，即， 故答案为：． 15. 如图，点都是上的点，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接、，根据圆内接四边形的性质求出 ，根据等腰三角形的性质求出 ，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接、， 点都是上的点， ， ， ， ， ， 点都是上的点， ， ． 故答案为：． 16. 如图，的半径是，是的优弧的中点，弦，则的长为______，为上任意一点，动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，若，则与动点的运动时间秒的函数表达式为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理与勾股定理的应用，二次函数的实际应用，解题的关键是掌握垂径定理，添加辅助线，构造直角三角形．首先连接，延长交于G，根据垂径定理的知识，可得，勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据勾股定理求出的长，由勾股定理可得，即可求得，列出函数关系式即可． 【详解】解：延长交于G，连接，， ∵是的的中点 ∴，， ∵的半径是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 当时，， ∴ 当时，， ∴， 综上： 故答案为：，． 三．解答题（本大题共8小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数． （1）将二次函数化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出的图象； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】（1） ； （2）图像如图所示： （3）－3＜x ＜1 【解析】 【分析】（1）运用配方法进行变形即可； （2）根据（1）中解析式可以先得出顶点坐标以及对称轴和开口方向朝下，然后进一步分别可以求出与x轴的两个交点，及其与y轴的交点，最后用光滑的曲线连接即可，； （3）根据所画出的图像得出结论即可. 【详解】（1） ； （2）由（1）得：顶点坐标为：(-1，4)，对称轴为：，开口向下， 当x=0时，y=3，∴交y轴正半轴3处，当y=0时，x=1或-3，∴与x轴有两个交点， （3）根据（2）所画图像可得，，－3＜x ＜1. 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 18. 《义务教育数学课程标准》（2022年）规定，切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学完《切线的性质与判定》后，王老师布置一题： 已知，如图所示，及外一点P． （1）按要求完成作图步骤并准确标注字母， 尺规作图：作出线段的垂直平分线交于点A；以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），连接． （2）请问（1）中作图得到的是的切线吗？若是，请说明理由 （3）设（1）中所作垂直平分线交于点C，若半径为3，，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 是的切线． 理由如下：连接， ∵是的直径， ∴， 即于点B， ∴是的切线． （3） 【解析】 【分析】此题考查了基本作图、切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识，准确作图和添加辅助线是解题的关键． （1）按照要求进行作图即可； （2）连接，由是的直径得到，即于点B，即可证明结论成立； （3）连接，由勾股定理求出，得到，再由勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， ∵为的垂直平分线 ∴ 在中， ∴， 在中 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．解题关键在于把已知点代入解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：， ， 把的坐标代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象可得， 不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：连接，由一次函数的解析式为可得， ∴， 设， 由题意可得，解得：， 或．     20. 如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点． （1）求证：； （2）若，求的直径． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴，即， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）5 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）设交于点T，证明四边形是矩形，设，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点T，如图， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴，即的直径为5； 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质, 勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题． 21. 如图，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上. ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2）① 11；②. 【解析】 【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a； （2）①把m=2代入解析式即可求n的值； ②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得. ∵， ∴顶点坐标为. （2）①当m=2时，n=11， ②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴-2＜m＜2， ∴2≤n＜11. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． 22. 如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图连接，则， ， 平分， ， ， ， 交的延长线于点， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． (1)连接，利用得，结合平分得，从而推出，再由得进而推出即可． (2) 要求阴影部分面积，需先求扇形的面积和的面积，再用扇形面积减去三角形面积即可．利用，得，，进而求出，，算出，再求出半径，分别计算，，最后求出阴影面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是的直径， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ． 23. 已知抛物线为常数． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若，两点在此抛物线上，比较与的大小； （3）已知点，都在该抛物线上，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：∵抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴ 将代入得， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象性质，解题关键是掌握二次函数图象性质． （1）将二次函数解析式化为顶点式求解． （2）由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点A，B到对称轴的距离大小关系求解． （3）由点P，Q坐标可得抛物线对称轴，从而可得a的值，即可求得点P坐标，将点P坐标代入解析式并通过配方求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，， 又∵， ∴． 【小问3详解】 略 24. 综合与实践    如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值． 【拓展应用】 外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围______． 【答案】（1）；4；2； （2）不能围出面积为 的矩形； 理由如下： 的图象，如图中所示： ∵与函数 图象没有交点， ∴不能围出面积为 的矩形． 故答案为：与函数 图象没有交点； （3），8；（4） 【解析】 【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题． （1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解； （2）画出的图象，观察图象得到与函数图象没有交点即可求解； （3）由直线与反比例函数的图象有唯一交点，可知由唯一解，即：方程只有一个解，利用根的判别式求得（负值舍去），进而可求得交点坐标为； （4）和的长均不小于，可得，直线在、上面或之间移动，可得求的范围． 利用数形结合数学思想是解决问题的关键． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）略 （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴由唯一解，即：方程只有一个解， ∴，解得：（负值舍去）， 此时：，解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为； （4）∵和的长均不小于 ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，直线在、上面或之间移动， 把代入得， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式． （2）当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，连接，求线段的长． （3）将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象． 当图象对应的函数值随的增大先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求的取值范围； 设点的坐标为，点的坐标为，连接，当线段和图象有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）此抛物线对应的函数表达式为； （2）线段的长为； （3）；或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的最值，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （）待定系数法求解析式； （）根据对称轴求得点，的横坐标，即可求解； （）根据题意分最高点为点和最高点为点，两种情况讨论即可求解； 由题意可得点在线段上，然后分在上方和在下方两种情况列出不等式组，解不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为， ∴，， ∴， ∴此抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点在点的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为，点、点关于此抛物线的对称轴直线对称， ∴， 解得：， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴线段的长为； 【小问3详解】 解：当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大，可知： 点A和点B分别在对称轴的两侧，结合题意， 点A在左侧，点B在右侧； 可得： 解得：； 图象G在时，y随x的增大而先减小；在时，y随x的增大而增大； 则最低点即为抛物线顶点； 当，即时；点为图象G的最高点； 则； 由可得：； 当，即时； 点为图象G的最高点；则； 由得：； ∴综上，h的取值范围为：； 由题意，，即， 当线段与图象有公共点时，， 解得：， 当时，代入抛物线表达式可得， 设线段与抛物线的交点为点，则， 由题意可知点在线段上； 当，即时，则点在点上方， ∴， 又， 解得：； 当，即时；则点在点下方， ∴， 又， 解得：， 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋市实验初中2025-2026学年九年级上册 期中数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，A，B，P是⊙O上三点，若∠P＝110°，则∠AOB的度数为（　　） A. 70° B. 110° C. 125° D. 140° 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为，底面半径为，制作这把遮阳伞至少需要用布料（ ） A. B. C. D. 6. 如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 7. 如图△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（　　） A. B. C. 2 D. 3 8. 如图，直线m是正五边形的对称轴，点P是直线m上的动点，当的值最小时，的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为( ) A. ﹣6 B. ﹣9 C. 0 D. 9 10. 如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，11～12每小题3分，13～16每小题4分，共18分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知反比例函数，若在每个象限内随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 12. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（用“<”号连接）______． 13. 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留） 14. 如果点是抛物线上的两个点，那么和的大小关系是_______．（填“”，“”或“”） 15. 如图，点都是上的点，，，则的度数为______． 16. 如图，的半径是，是的优弧的中点，弦，则的长为______，为上任意一点，动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，若，则与动点的运动时间秒的函数表达式为________． 三．解答题（本大题共8小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数． （1）将二次函数化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出的图象； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 18. 《义务教育数学课程标准》（2022年）规定，切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学完《切线的性质与判定》后，王老师布置一题： 已知，如图所示，及外一点P． （1）按要求完成作图步骤并准确标注字母， 尺规作图：作出线段的垂直平分线交于点A；以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），连接． （2）请问（1）中作图得到的是的切线吗？若是，请说明理由 （3）设（1）中所作垂直平分线交于点C，若半径为3，，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 20. 如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点． （1）求证：； （2）若，求的直径． 21. 如图，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上. ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 22. 如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 23. 已知抛物线为常数． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若，两点在此抛物线上，比较与的大小； （3）已知点，都在该抛物线上，求证：． 24. 综合与实践    如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值． 【拓展应用】 外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围______． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式． （2）当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，连接，求线段的长． （3）将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象． 当图象对应的函数值随的增大先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求的取值范围； 设点的坐标为，点的坐标为，连接，当线段和图象有公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $