精品解析：甘肃省武威市凉州区谢河中学、黄羊中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中质量评价试卷 九年级数学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足：①一个未知数；②最高次数为2；③整式方程． A． ，最高次数为3，不符合题意； B． ，含有两个未知数，不符合题意； C． ，只含x，最高次数为2，且为整式方程，符合题意； D． ，含有分式，不是整式方程，不符合题意． ∴ 关于x的一元二次方程是C项． 故选：C． 2. 若，是方程的两个根，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，． 只有选项B正确． 故选B． 3. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 4. 已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：C． 5. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 6. 对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用、二次函数的最值，解题关键是正确表示出四边形的面积． 结合垂美四边形的性质可知四边形的面积，设，则四边形的面积，结合二次函数的性质即可得面积最大值． 【详解】解：依题得：垂美四边形的对角线， 则四边形的面积， 设， ， ， 四边形的面积， ， ， 结合二次函数的性质可知，当时，四边形的面积取最大值，最大值为． 故选：． 7. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，求出，即可求得的度数． 【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，和关于原点中心对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．根据题意可得，点和点关于原点对称，据此求出的坐标即可． 【详解】解：和关于原点中心对称， ∴点和点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴的坐标为． 故选：D． 9. 如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，延长交于E，作交的延长线于F，连接，证明是等腰直角三角形，即可推出，，再利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于E，作交的延长线于F，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 故选：C． 10. 如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想．根据函数图象即可判断①②；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，进而对结论③④进行判断． 【详解】解：由图象可知，当时，，故①正确； 当时，，故②正确； ∵抛物线开口方向向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线与x轴的交点是和，其中， ∴对称轴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确． 故正确的有3个． 故选：B． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零进行求解即可． 【详解】解：由于方程是关于的一元二次方程，因此二次项系数，解得； 故答案为 ． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零．首先确保方程为一元二次方程，即二次项系数，再计算判别式，并分析其恒正性即可． 【详解】解：方程为一元二次方程，因此二次项系数，解得， 判别式， 对于二次式，其判别式为，且二次项系数开口向上，因此恒成立， 当时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：． 13. 二次函数的图象可由哪个函数图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． 通过反向平移操作，将给定的二次函数图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到原函数图象． 【详解】解：对于二次函数 ，将其图象向左平移1个单位，得到函数 ；再向上平移2个单位，得到函数 ． 因此，原函数为 ，即该函数图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后可得到 的图象． 故答案为：． 14. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系．先将二次函数解析式化为顶点式，然后求出函数图象的对称轴，即可得到该函数图象与x轴的另一个交点的横坐标，从而可以得到一元二次方程的解． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为， 二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为， 关于x的一元二次方程的解是，， 故答案为：，． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为___________． 【答案】或或或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 【详解】解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 16. 如图，绕C点顺时针旋转后得到了，于点D，则______ 【答案】53 【解析】 【分析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′=37°，∠A=∠A′，利用垂直的定义以及直角三角形两锐角互余求得∠A′的度数，即可求出∠A的度数． 【详解】∵△ABC绕C点顺时针旋转37°后得到了△A′B′C， ∴∠ACA′=37°，∠A=∠A′． ∵A′B′⊥AC于点D， ∴∠A′DC=90°， ∴∠A′=90°-∠ACA′=53°， ∴∠A=53°． 故答案是：53． 【点睛】考查了旋转地性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了垂直的定义以及直角三角形两锐角互余的性质． 17. 若点与点关于原点对称，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数，由此求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，，即， ∴． 故答案为：1． 18. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有______． 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口方向和对称以及与轴的交点情况可以对①进行判断；根据时，，可对②进行判断；利用抛物线的对称轴可得时，，可对③进行判断；由对称轴为直线可得与的关系，将代入可判断④；利用二次函数的最值则可对⑤进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∵抛物线与轴交于负半轴， 故①正确； ②当时，， 故②错误； ③∵抛物线的对称轴为直线， ∴与时的函数值相同， ∴时，，即， 故③错误； ④∵， 将代入，得， 故④正确； ⑤∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， 当时，， ∴（为实数且）， 故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于原点成中心对称的． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，作图——中心对称变换，熟练掌握作轴对称图形，中心对称图形的方法是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键． （1）用直接开方法解决即可； （2）用公式法解决即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 21. 某人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．求每一轮传染中平均每人传染了多少个人． 【答案】每一轮传染中平均每人传染了个人 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为36人，依此列出一元二次方程求解即可． 【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，依题可得： ， ， 解得，（舍）， 答：每一轮传染中平均每人传染了个人． 22. 已知关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长． 【答案】（1） 证明：， ， 不论为何值，该方程总有实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和方程的解，准确计算是解题的关键． （1）根据判别式判断即可； （2）根据等腰三角形的边的性质分类讨论，当，为腰，则；当，或，为腰，则是方程的解，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根， 当，为腰时，，，且， ， 解得：， ， 周长； 当，或，为腰，则是方程的解， ， ， ， ， 的周长； 的周长为或． 23. 已知二次函数，求： （1）当时，函数的值； （2）该函数图像的对称轴． 【答案】（1） （2）直线 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的函数值，求二次函数的对称轴，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接把代入对应的函数解析式中求出y的值即可得到答案； （2）二次函数的对称轴为直线，据此求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴当时，函数的值为； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的对称轴为直线． 24. 已知二次函数图象的顶点为，且过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求图象与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令即可求解． 【小问1详解】 解：设顶点式： ， 代入 ， 得：， 解得：， 故该二次函数的解析式为： ； 【小问2详解】 解：当时，， ∴图象与轴的交点坐标为． 25. 如图，是边长为的等边三角形，是边上的一点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）当点是的中点时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由为等边三角形，则，，由旋转性质可知，，，证明，所以，再由平行线的判定即可求证； （）由是边长为的等边三角形，点是的中点，则，，，所以，然后通过勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是边长为的等边三角形，点是的中点， ∴，，， ∴， 在中，， ∴． 26. 如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵于E，于F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）连接，容易得到和相等，利用证明和全等即可； （2）连接，设，则，根据容易求出，再根据垂径定理求出的值，最后在中根据勾股定理求出r的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： 连接，设，则， 由（1）可知， ∴， ∵于E，， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径为． 27. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】（1）， （2）存在，点P坐标为 （3）当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【小问1详解】 解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中质量评价试卷 九年级数学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，是方程的两个根，则（） A. B. C. D. 3. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 4. 已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，和关于原点中心对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点，在上，，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为______． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围______． 13. 二次函数的图象可由哪个函数图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到_______ 14. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为___________． 16. 如图，绕C点顺时针旋转后得到了，于点D，则______ 17. 若点与点关于原点对称，则__________． 18. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有______． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于原点成中心对称的． 20. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； 21. 某人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．求每一轮传染中平均每人传染了多少个人． 22. 已知关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长． 23. 已知二次函数，求： （1）当时，函数的值； （2）该函数图像的对称轴． 24. 已知二次函数图象的顶点为，且过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求图象与轴的交点坐标． 25. 如图，是边长为的等边三角形，是边上的一点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）当点是的中点时，求的长． 26. 如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 27. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $