专题4.3 整式的加减（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题4.3 整式的加减 教学目标 1.理解同类项的概念（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），能准确识别同类项 2.掌握合并同类项的法则（同类项的系数相加，字母及字母的指数不变），能正确合并同类项 3.理解去括号法则（括号前是 “+” 号，去括号后各项不变号；括号前是 “-” 号，去括号后各项均变号），能规范去括号 4.掌握整式加减的运算法则（去括号→合并同类项），能完成整式的加减运算（包括化简和求值 5.能运用整式加减解决简单实际问题（如图形拼接后的周长计算、商品价格变化后的总价表示等）。 教学重难点 教学重点 (1)同类项的识别（核心：字母相同且相同字母指数相同，与系数、字母顺序无关）； (2)合并同类项法则的应用（关键：只变系数，不变字母及指数）； (3)去括号法则的准确运用（重点：括号前是负号时的符号变化）； (4)整式加减的运算流程（先去括号，再合并同类项，最终化为最简整式） 教学难点 (1)同类项的准确识别：①含多个字母时，学生易忽略字母指数顺序；②常数项的同类项判断 (2)去括号时的符号处理：①括号前是负号且括号内有多项时，学生易漏变部分项的符号；②含多重括号时，学生易混淆去括号顺序（建议从内到外逐步去括号）； (3)整式加减的多步骤运算误差：①去括号后未及时合并同类项导致漏项；②代入求值时，未先化简整式直接代入； (4)实际问题中的整式转化 知识点01 同类项概念 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【即学即练】 1．下列各式中，是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．若单项式和是同类项，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 知识点02 去括号与添括号 （1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ； （2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 【即学即练】 1．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 整式加减 几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）按去括号法则去括号。 （3）合并同类项。 【即学即练】 1．合并同类项：． 2．化简 (1)； (2)． 3．如图，学校要利用专款建一长方形的电动车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)用表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度； (3)若，每米护栏造价100元，求建此停车场所需的费用． 题型01 同类项的判断 【典例1】下列是同类项的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】下列各组中的项为同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．4和 D．和 【变式3】在下列各组单项式中，不是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型02 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例2】若与是同类项，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】如果单项式与的和是单项式，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 【变式2】若与是同类项，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知和是同类项，则式子的值是（　　） A． B． C． D． 题型03 合并同类 【典例3】合并同类项： (1)； (2)． 【变式1】合并同类项： (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式2】合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【变式3】合并同类项： (1)； (2)； (3)． 题型04 去括号与添括号 【典例4】下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下面去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】计算的结果，下列与之相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列各式中与的值不相等的是（    ） A． B． C． D． 题型05 整式的加减运算 【典例5】化简： (1)； (2)． 【变式1】化简： (1) (2) 【变式2】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式3】化简： (1)； (2) 题型06 整式的加减中的化简求值 【典例6】先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中 ． 【变式1】先化简再求值：，其中． 【变式2】已知， (1)求 (2)当，时，求的值． 【变式3】先化简，再求值：，其中， ． 题型07 整式加减中的无关型问题 【典例7】已知，． (1)化简； (2)若中不含项，求的值． 【变式1】若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 【变式2】设，． (1)当时，求的值； (2)若的值与取值无关，求的值． 【变式3】已知代数式， (1)求的值； (2)若值与的取值无关，求的值． 题型08 整式加减的应用 【典例8】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的，如表所示是该市自来水收费价格价目表： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 3元/ 超出但不超出的部分 5元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)填空：若某户居民2月份用水 5，则2月份应收水费 元；若该户居民3月份用水 10，则3月份应收水费 元； (2)若该户居民4月份用水量 (a 在6 至 10m3之间)，则应收水费包含两部分，一部分为用水量为 6，水费18元； 另外一部分用水量为 ，此部分应收水费 元； 则4月份总共应收水费________元．(用a 的整式表示并化简) (3)若该户居民5月份用水 xm3()，求该户居民5月份共交水费多少元？(用 x 的整式表示并化简) 【变式1】小明家最近刚购置了一套商品房，如图是这套商品房的平面图（单位：m）．    (1)这套房子的总面积______（用含x、y的代数式表示）： (2)若，，并且房价为每平方米0.8万元，则购买这套房子共需要多少万元？ 【变式2】某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价200元，T恤每件定价100元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤都按定价的80%付款．现某客户要到该服装厂购买夹克50件，T恤x件． (1)若该客户按方案①购买，共需付款______元（用含x的式子表示，需化简）；若该客户按方案②购买，共需付款______元（用含x的式子表示，需化简）； (2)若，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 【变式3】某平台网约车计价规则如下表：15.3 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算：远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元． (1)若小红乘车里程为20公里，乘车时间为30分钟，则需付车费________元； (2)若小明乘车里程为a公里，乘车时间为b分钟，求小明应付车费（用含a、b的代数式表示，并化简）； (3)小王与小张各自乘车，里程分别为9.5公里与14.5公里，受路况情况影响，小王反而比小张乘车多用24分钟，请问谁所付车费多？说明理由． 一、单选题 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．一个多项式与的和是，则这个多项式为（   ） A． B． C． D． 5．有一个正方形和一个长方形，它们的边长如图所示，则代数式表示的是（   ） A．长方形的周长 B．长方形的面积 C．正方形的周长 D．正方形的面积 6．中国古代算筹计数法可追溯到公元前5世纪，算筹（小棍形状的记数工具）有纵式和横式两种摆法（如图）．计数方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横这样纵横依次交替，零以空格表示，则“”所表示的数是（   ） A．402 B．411 C．398 D．389 二、填空题 7．计算： ． 8．整式是 次 项式． 9．若单项式 与 的差仍是单项式，则m的值为 ． 10．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，如果把看作一个整体，合并的结果是 ． 11．七年级一班有个男生和个女生，则男生比女生少 人． 12．三个连续整数中，n 是最小的一个，则这三个数的和为 ． 13．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如 ，则所捂住的多项式是 ． 三、解答题 14．已知，，且的值与y的值无关，求的值 15．计算： (1)； (2)． 16．先化简，再求值：，其中，． 17．有这样一道题“如果代数式的值为－4，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 18．某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，其余部分则需要铺设草皮，尺寸如图所示（单位：）． (1)用含x的代数式表示草皮部分的面积； (2)当时，草皮部分的面积是多少？（结果保留） 19．对于有理数a、b，定义新运算：，等式右边是通常的加、减法和乘法运算． (1)计算的值； (2)对于任意有理数a、b，有 ；（填“”或“”或“”） (3)比较与的大小，并说明理由． 20．观察下列三行数： (1)直接写出第二行的第8个数______； (2)第一行连续三个数中最大数与最小数的差为1536，求这三个数中最大数与最小数的和． (3)用如图的“L”形框框起4个数，从上到下分别记为a，b，c，d，求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 整式的加减 教学目标 1.理解同类项的概念（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），能准确识别同类项 2.掌握合并同类项的法则（同类项的系数相加，字母及字母的指数不变），能正确合并同类项 3.理解去括号法则（括号前是 “+” 号，去括号后各项不变号；括号前是 “-” 号，去括号后各项均变号），能规范去括号 4.掌握整式加减的运算法则（去括号→合并同类项），能完成整式的加减运算（包括化简和求值 5.能运用整式加减解决简单实际问题（如图形拼接后的周长计算、商品价格变化后的总价表示等）。 教学重难点 教学重点 (1)同类项的识别（核心：字母相同且相同字母指数相同，与系数、字母顺序无关）； (2)合并同类项法则的应用（关键：只变系数，不变字母及指数）； (3)去括号法则的准确运用（重点：括号前是负号时的符号变化）； (4)整式加减的运算流程（先去括号，再合并同类项，最终化为最简整式） 教学难点 (1)同类项的准确识别：①含多个字母时，学生易忽略字母指数顺序；②常数项的同类项判断 (2)去括号时的符号处理：①括号前是负号且括号内有多项时，学生易漏变部分项的符号；②含多重括号时，学生易混淆去括号顺序（建议从内到外逐步去括号）； (3)整式加减的多步骤运算误差：①去括号后未及时合并同类项导致漏项；②代入求值时，未先化简整式直接代入； (4)实际问题中的整式转化 知识点01 同类项概念 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【即学即练】 1．下列各式中，是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.逐一检查各选项即可. 【详解】∵ 同类项需字母相同且相同字母指数相同。 A：与，x指数分别为2和1，y指数分别为1和2，不相等，不是同类项； B：与，两个单项式所含字母不完全相同，不是同类项； C：与，字母均为a和b，a指数均为2，b指数均为1，符合； D：与，两个单项式所含字母不完全相同，不是同类项. 故选：C. 2．若单项式和是同类项，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义列出方程解答即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 单项式和是同类项， ∴， ， 解得，， 故选：． 知识点02 去括号与添括号 （1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ； （2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 【即学即练】 1．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号法则，熟练掌握法则是解题关键．根据去括号法则：括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内各项符号改变，逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 知识点03 整式加减 几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）按去括号法则去括号。 （3）合并同类项。 【即学即练】 1．合并同类项：． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项的运算法则是解题的关键，合并同类项法则：“合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母连同它的指数不变”，根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ． 2．化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式加减法，熟练掌握去括号和合并同类项法则是关键． （1）利用合并同类项进行计算即可； （2）先去括号再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．如图，学校要利用专款建一长方形的电动车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)用表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度； (3)若，每米护栏造价100元，求建此停车场所需的费用． 【答案】(1)米 (2)护栏的长度是米； (3)建此停车场所需的费用是23000元． 【分析】本题考查了整式的加减、列代数式和代数式求值，解题时要数形结合，该护栏的长度是由三条边组成的． （1）长方形停车场的宽=长方形停车场的长； （2）护栏的长度=2×与围墙垂直的边长+与围墙平行的一边长； （3）把a、b的值代入（2）中的代数式进行求值即可． 【详解】（1）解：依题意得长方形停车场的宽：米； （2）解：护栏的长度； 答：护栏的长度是米； （3）解：由（2）知，护栏的长度是米， 则依题意得： （元）． 答：若，每米护栏造价100元，建此停车场所需的费用是23000元． 题型01 同类项的判断 【典例1】下列是同类项的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项的判断，熟练掌握同类项的定义是解题关键； 同类项需满足所含字母相同，且相同字母的指数相同，常数项也是同类项，逐一判断各选项即可． 【详解】A：∵ 中x指数为2、y指数为1，而 中x指数为1、y指数为2，相同字母的指数不同，∴ 不是同类项； B：∵ 与 中，字母均为a和b，且相同字母的指数相同，∴ 是同类项； C：∵含字母，而 是常数项，不含字母，∴ 不是同类项； D：∵ 含字母a和b，而 含字母a和c，字母不同，∴ 不是同类项； 故选：B 【变式1】下列各组中的项为同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查同类项，熟练掌握同类项的定义是解决此题的关键．根据同类项的定义判断：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：A、和所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项，选项错误； B、和所含字母不相同，不是同类项，选项错误； C、和所含字母不相同，不是同类项，选项错误； D、和所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，选项正确； 故选：D． 【变式2】是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．4和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的两个单项式叫做同类项（单独的两个数字也是同类项），据此可得答案． 【详解】解：由同类项的定义可知，只有C选项中的4和是同类项， 故选：C． 【变式3】在下列各组单项式中，不是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查同类项，掌握相关知识是解决问题的关键．含有相同的字母，相同字母的指数也相同的项是同类项，常数项也是同类项，据此判断即可． 【详解】解：A、和，常数项也是同类项，本选项不符合题意； B、和，是同类项，故本选项不符合题意； C、和，是同类项，故本选项不符合题意； D、和，相同字母的指数不相同，故不是同类项，本选项符合题意． 故选：D． 题型02 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例2】若与是同类项，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，同类项要求相同字母的指数相同，直接求解指数方程即可． 根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此分别令x和y的指数相等，建立方程，解方程． 【详解】解：∵ 与 是同类项， ∴ ，且 ， ∴ ，， ∴ ． 故选：B． 【变式1】如果单项式与的和是单项式，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：单项式与的和是单项式， 与是同类项， ， 故选：A． 【变式2】若与是同类项，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义以及求代数式的值，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义即可求出答案． 【详解】解： 与是同类项， ，， ， 故选：C． 【变式3】已知和是同类项，则式子的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，代入求值，先根据同类项的定义求出m的值，再把求得的m的值代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵和是同类项， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 题型03 合并同类 【典例3】合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则． （1）直接合并同类项即可； （2）直接合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式1】合并同类项： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟知合并同类项的方法是解题的关键． （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （3）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （4）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式2】合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了合并同类项： （1）先找出同类项，根据合并同类项法则，将同类项的系数相加即可； （2）先找出同类项，根据合并同类项法则，将同类项的系数相加即可； （3）先找出同类项，根据合并同类项法则，将同类项的系数相加即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式3】合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题关键． （）根据合并同类项法则计算即可； （）根据合并同类项法则计算即可； （）根据合并同类项法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型04 去括号与添括号 【典例4】下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减运算中的去括号，括号前为“”时，去括号后括号内各项符号不变；括号前为“”时，去括号后括号内各项符号改变，据此逐项判断即可求解，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式1】下面去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号的方法，熟练掌握去括号的方法是解决本题的关键． 根据去括号的法则，即去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号直接求解即可． 【详解】解：A选项、，错误； B选项、，错误； C选项、，错误； D选项、，正确． 故选：D． 【变式2】计算的结果，下列与之相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，先去括号，再合并即可，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式3】下列各式中与的值不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式去括号的运算，掌握去括号的法则：括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”去括号后，括号里的各项都改变符号是解题的关键． 根据去括号的法则，逐项判断即可． 【详解】A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 题型05 整式的加减运算 【典例5】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算． （1）直接合并同类项即可． （2）先合并同类项，再去括号即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减运算．注意计算的准确性即可． （1）利用整式的加减混合运算法则即可求解； （2）利用整式的加减混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式2】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号，合并同类项的法则． （1）直接合并同类项即可； （2）直接合并同类项即可； （3）直接合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【变式3】化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接合并同类项即可得到答案； （2）原式先去括号，再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型06 整式的加减中的化简求值 【典例6】先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中 ． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．注意去括号时，括号前面是负号要变号． （1）根据整式的运算法则，先去括号，再合并同类项，最后将a和b的值代入求解即可； （2）根据整式的运算法则，先去括号，再合并同类项，最后将x的值代入求解即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 【变式1】先化简再求值：，其中． 【答案】，8 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，掌握整式加减运算法则是解题的关键． 先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值代入计算． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式2】已知， (1)求 (2)当，时，求的值． 【答案】(1)8a (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值， （1），根据整式的加减法法则计算； （2），将数值代入计算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：当时，原式. 【变式3】先化简，再求值：，其中， ． 【答案】，0 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值，先去括号，再合并同类项，然后代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 题型07 整式加减中的无关型问题 【典例7】已知，． (1)化简； (2)若中不含项，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）根据去括号，合并同类项的法则进行计算即可； （2）根据化简后的结果不含项，得到含项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵中不含项， ∴， ∴． 【变式1】若代数式的值与字母的取值无关， (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的加减： （1）利用代数式的值与的取值无关，求得的值； （2）将的值代入即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝， ∵原代数式的值与的取值无关， ∴，， ∴，； （2）解： ， ． 【变式2】设，． (1)当时，求的值； (2)若的值与取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把代入代数式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可； （）求出的值，根据含项的系数为求出的值即可； 本题考查了整式的加减化简求值，整式的加减无关型问题，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 当时， 原式 ； （2）解： ， ∵的值与取值无关， ∴， ∴． 【变式3】已知代数式， (1)求的值； (2)若值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，化简求值， 对于（1），将A，B代入，再根据整式加减法法则计算即可； 对于（2），将将A，B代入，再根据整式加减法法则计算，然后整理得出x的系数，令系数为0，可得答案. 【详解】（1）解： ； （2）解： . ∵与x的取值无关， ∴， 解得. 题型08 整式加减的应用 【典例8】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的，如表所示是该市自来水收费价格价目表： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 3元/ 超出但不超出的部分 5元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)填空：若某户居民2月份用水 5，则2月份应收水费 元；若该户居民3月份用水 10，则3月份应收水费 元； (2)若该户居民4月份用水量 (a 在6 至 10m3之间)，则应收水费包含两部分，一部分为用水量为 6，水费18元； 另外一部分用水量为 ，此部分应收水费 元； 则4月份总共应收水费________元．(用a 的整式表示并化简) (3)若该户居民5月份用水 xm3()，求该户居民5月份共交水费多少元？(用 x 的整式表示并化简) 【答案】(1)15，38 (2)，， (3)该户居民 5 月份共交水费元 【分析】（1）按照收费标准，列出算式计算即可； （2）根据收费标准，列出代数式即可； （3）根据收费标准，列出代数式即可． 【详解】（1）解：（元），（元）； 故答案为：15，38； （2）另一部分的用水量为，应收水费为元；4月份总共应收水费元； 故答案为：，，； （3）元； 答：该户居民5月份共交水费元． 【点睛】本题考查整式加减的实际应用．解题的关键是掌握收费标准，正确的列出代数式． 【变式1】小明家最近刚购置了一套商品房，如图是这套商品房的平面图（单位：m）．    (1)这套房子的总面积______（用含x、y的代数式表示）： (2)若，，并且房价为每平方米0.8万元，则购买这套房子共需要多少万元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是理解题意，能够列出代数式，并正确计算． （1）根据题意表示出这套房子的总面积； （2）将，，并且房价为每平方米0.8万元，代入进行计算即可得 【详解】（1）这套房子的总面积为：， 故答案为： （2）∵，，并且房价为每平方米0.8万元， ∴ ∴购买这套房子共需要94.4万元 【变式2】某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价200元，T恤每件定价100元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤都按定价的80%付款．现某客户要到该服装厂购买夹克50件，T恤x件． (1)若该客户按方案①购买，共需付款______元（用含x的式子表示，需化简）；若该客户按方案②购买，共需付款______元（用含x的式子表示，需化简）； (2)若，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)； (2)方案①：13000元，方案②：14400元，选方案①合算 (3)先按方案①购买夹克50件，送一件T恤50件，再按方案②购买T恤30件更为省钱；理由见解析 【分析】此题考查方案类问题，整式的加减计算，已知字母的值求代数式的值： （1）根据题意列代数式表示； （2）将代入（1）的代数式计算即可； （3）先按方案①购买夹克50件，送一件T恤50件，再按方案②购买T恤30件更为省钱． 【详解】（1）该客户按方案①购买，共需付款元； 该客户按方案②购买，共需付款元; 故答案为：，； （2）当时， 方案①需付款：元， 方案②需付款：元； , 故方案①合算. （3）先按方案①购买夹克50件，送一件T恤50件，再按方案②购买T恤30件更为省钱． 理由如下： 先按方案①购买夹克50件所需费用10000， 按方案②购买T恤30件的费用， 所以总费用为（元），小于13000元， 所以此种购买方案更为省钱． 【变式3】某平台网约车计价规则如下表：15.3 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算：远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元． (1)若小红乘车里程为20公里，乘车时间为30分钟，则需付车费________元； (2)若小明乘车里程为a公里，乘车时间为b分钟，求小明应付车费（用含a、b的代数式表示，并化简）； (3)小王与小张各自乘车，里程分别为9.5公里与14.5公里，受路况情况影响，小王反而比小张乘车多用24分钟，请问谁所付车费多？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)一样多，理由见解析 【分析】（1）根据网约车的计价规则计算即可解答； （2）分a的值在10公里以内还是超过10公里，分别写出小明应付费即可； （3）小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、分钟，分别根据网约车的计价规则求出它们所付的车费，然后比较即可． 【详解】（1）解：小红需付车费（元）． 故答案为． （2）解：当时，小明应付费元； 当时，小明应付费元； 综上，小明应付车费或元． （3）解：一样多，理由如下： 小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、分钟， 小王应付车费：； 小张应付车费： 因此，小王与小张支付车费一样元． 【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，弄清题意、列出代数式是解本题的关键． 一、单选题 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据去括号法则和合并同类项法则对式子进行化简，然后得出结果并选择正确选项． 【详解】对进行化简： 根据去括号法则，括号前是 “−” 号，去掉括号后，括号里的各项都要变号 ∴ 再根据合并同类项法则，将同类项y和y合并，得到 故选：D 【点睛】本题考查了整式的加减运算，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 2．下列式子中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类项的定义，解题的关键在于掌握判断同类项的依据． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，逐项判断，即可解题． 【详解】解：根据同类项的定义可知，的同类项是， 故选：D． 3．下列各式中，运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，掌握其运算法则是关键． 合并同类项：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选：D ． 4．一个多项式与的和是，则这个多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据加减法互为逆运算，求出的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： ， 故选：A． 5．有一个正方形和一个长方形，它们的边长如图所示，则代数式表示的是（   ） A．长方形的周长 B．长方形的面积 C．正方形的周长 D．正方形的面积 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减．根据周长列式计算即可． 【详解】解：正方形的周长为； 长方形的周长为； 故选C． 6．中国古代算筹计数法可追溯到公元前5世纪，算筹（小棍形状的记数工具）有纵式和横式两种摆法（如图）．计数方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横这样纵横依次交替，零以空格表示，则“”所表示的数是（   ） A．402 B．411 C．398 D．389 【答案】C 【分析】本题考查算筹计数，掌握已知图示是解题关键．由对应已知图示，可直接得出答案． 【详解】解：由已知得：所表示的数分别为3、9、8， 所以所表示的数为398， 故选：C． 二、填空题 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．整式是 次 项式． 【答案】 五 四 【分析】本题主要考查了多项式的定义，合并同类项．根据多项式的项，次的定义解答即可． 【详解】解：多项式是五次四项式. 故答案为：五，四． 9．若单项式 与 的差仍是单项式，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了合并同类项和单项式，根据如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．由同类项的含义得出，即可求解． 【详解】解：∵单项式 与 的差仍是单项式， ∴， 解得， 故答案为：3． 10．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，如果把看作一个整体，合并的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，准确计算． 【详解】解：， 故答案为： 11．七年级一班有个男生和个女生，则男生比女生少 人． 【答案】 【分析】用女生的人数减去男生的人数即可． 【详解】解：∵七年级一班有个男生和个女生， ∴人． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的加减，解题关键是熟练掌握去括号的法则，注意括号前是负号时要变号． 12．三个连续整数中，n 是最小的一个，则这三个数的和为 ． 【答案】3n+3 【分析】根据最小的整数为n，表示出三个连续整数，求出之和即可． 【详解】解：根据题意三个连续整数为n，n+1，n+2， 则三个数之和为n+n+1+n+2=3n+3． 故答案为：3n+3． 【点睛】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如 ，则所捂住的多项式是 ． 【答案】3x2+8x-3 【分析】根据整式的加减法则进行计算即可． 【详解】解：所捂住的多项式是x2+5x-2+2x2+3x-1=3x2+8x-3， 故答案为：3x2+8x-3． 【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 三、解答题 14．已知，，且的值与y的值无关，求的值 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先根据整式的加减法则计算，进而得到含y的项的系数为0，即可求解． 【详解】解： ， ∵的值与y的值无关， ∴，， ∴，． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的运算，合并同类项，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 16．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，掌握整式的化简是解题的关键． 先去括号，然后合并同类项，最后将字母的值代入，求解即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 17．有这样一道题“如果代数式的值为－4，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）3；（2）；（3）． 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，掌握整体代入的思想，把每一个整式进行适当的变形是解题的关键． （1）根据，把化为，整体代入计算； （2）根据，把化为，整体代入计算； （3）根据，将要求的式子变形： 即可得结果． 【详解】（1）解：依题意，当时， ； 故答案为：3； （2）解：当时， ； （3）解：∵，， ． 18．某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，其余部分则需要铺设草皮，尺寸如图所示（单位：）． (1)用含x的代数式表示草皮部分的面积； (2)当时，草皮部分的面积是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值． （1）两个长方形的面积和减去一个半圆的面积就是阴影部分的面积； （2）由（1）的结果，代入数据求值即可． 【详解】（1）解：草皮部分的面积 ； （2）解：当时， 草皮部分的面积． 19．对于有理数a、b，定义新运算：，等式右边是通常的加、减法和乘法运算． (1)计算的值； (2)对于任意有理数a、b，有 ；（填“”或“”或“”） (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)7 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）根据公式计算即可； （2）计算出即可得出答案； （3）先计算出，，再作差法比较即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ∴， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ∴． 20．观察下列三行数： (1)直接写出第二行的第8个数______； (2)第一行连续三个数中最大数与最小数的差为1536，求这三个数中最大数与最小数的和． (3)用如图的“L”形框框起4个数，从上到下分别记为a，b，c，d，求的值． 【答案】(1)130 (2) (3)2 【分析】本题考查数字类规律型，解题的关键是找出所给数据的规律，并灵活运用． （1）根据题目中的数据总结出其规律，即可求解； （2）设这连续的三个数从左到右依次为a，，列出式子进行求解即可； （3）依据题中规律可知：，，，再代入原式计算即可． 【详解】（1）解：， 第n个数为， 第一行第8个数为128； 根据题意得：第二行比第一行的数都多2， 第二行第8个数为130， 故答案为：130； （2）解：依第一行数的规律可设这连续的三个数从左到右依次为a，， 若，则最大与最小差为， 即； 若，则最大与最小差为， 即； 因为第一行中只有，没有256， 所以这三个连续的数为，，， 所以最大与最小数的和为：； （3）解：根据题意得：第三行是第一行数的3倍， 依据题中规律可知：，，， ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $