1.2 30°，45°，60°角的三角函数（分层作业）数学北师大版九年级下册

1.2 30°，45°，60°角的三角函数 1．（2023·贵州遵义·一模）（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）的值等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，，则的值为（   ） A． B． C． D．1 6．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）的倒数是（   ） A．2 B．1 C． D． 7．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在中，，则等于（　　） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）我们发现：当为锐角时，．由此可知，的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·广东茂名·模拟预测）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 10．（2025·河南郑州·模拟预测）若，则其正弦值为 ． 11．（2025·重庆·一模）计算： ． 12．（22-23九年级上·山东滨州·期末）在中，，若，则的值为 ． 13．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且．则的值为 ． 14．（2025·广东肇庆·三模）计算：． 15．（2025·湖南·模拟预测）计算：． 16．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，中，分别是边上的点，，连接．    (1)求证：； (2)连接，若，点为的中点，，求的长． 1．（2025·四川德阳·中考真题）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西来宾·期末）如图，直角三角形的两锐角平分线相交所成的锐角的余弦值是（   ） A． B． C． D．以上都不对 3．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，矩形的对角线相交于点于点，且，则的正弦值为 ． 4．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，将沿翻折，得到，延长交的延长线于点，若，则 ． 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求的长及四边形的面积． 6．（2023·安徽合肥·一模）【初步尝试】 (1)如图1，在正方形中，点，分别为、边上的点且，求证：． (2)【思考探究】 如图2，在矩形中，，，点为中点，点为上一点，连接、且，求的值． (3)【拓展应用】 如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．直接写出的值． 1．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系的第一象限内依次作等边，，，…，点，，，…，在轴的正半轴上，点，，，…，在射线上，若，，则点坐标是 ． 2．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，点E是的中点，延长到点D，点H是上一点，连接，过点E作垂足为点K，延长交于点F，，，则的长为 ． 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为 ． 4．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若的面积恰好被轴平分，则 ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 30°，45°，60°角的三角函数 1．（2023·贵州遵义·一模）（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键； 分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解： A、，是有理数，故符合题意； B、，是无理数，故不符合题意； C、，是无理数，故不符合题意； D、，是无理数，故不符合题意； 故选：A 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的余弦函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 【详解】解：在中， 则 故选：A ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值. 将代入即可求解. 【详解】解： 故选：． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为领边比斜边，正切为对边比邻边. 根据在中，由勾股定理可求得的长度，再根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，可得答案. 【详解】解：设，由勾股定理，得： ， 由三角函数的正弦等于对边比斜边，得： ， 故选： B． 6．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）的倒数是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值和倒数的定义，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．本题可先求出的值，再根据倒数的定义求出其倒数． 【详解】解： 的倒数为 故选：A． 7．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在中，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，由得到，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解：在中，， ， 故选：D． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）我们发现：当为锐角时，．由此可知，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用将原式变形即可得到结果． 【详解】由题意，得． 故选：A. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键． 9．（2023·广东茂名·模拟预测）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了偶次方、绝对值、三角函数、等边三角形的判定等知识点，熟记等边三角形的判定是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形． 故选：C． 10．（2025·河南郑州·模拟预测）若，则其正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，熟练掌握其特殊值是解题的关键． 利用特殊锐角三角函数值即可求得答案． 【详解】解：若， 则其正弦值为， 故答案为：． 11．（2025·重庆·一模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、立方根，根据特殊角的三角函数值和立方根定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（22-23九年级上·山东滨州·期末）在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值求得，再由三角形的内角和求得即可解答； 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 13．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且．则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，相似三角形的性质，关键是掌握反比例函数图象上的点，横纵坐标之积等于．作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ， ， 又， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， 故答案为： 14．（2025·广东肇庆·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂、特殊角的正弦函数、绝对值、二次根式，再进行加减运算． 【详解】解： ． 15．（2025·湖南·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，再计算算术平方根和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 16．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，中，分别是边上的点，，连接．    (1)求证：； (2)连接，若，点为的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】根据平行四边形的性质可知，，利用可证； 连接，因为，根据等腰三角形的性质可知，利用锐角三角函数可求出，根据全等三角形的性质可得：． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ； （2）解：如下图所示， ，点为的中点， ，即， 又 ，， ， ， 由得， ．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键 1．（2025·四川德阳·中考真题）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质等；由正六边形的性质得， ，由余弦函数得，四边形是菱形，即可求解；掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数，菱形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：六边形是正六边形， ， ， ， ， 同理可求：， 在中， ， 同理可求：， 四边形是菱形， 四边形的面积是： ； 故选：A． 2．（24-25九年级上·广西来宾·期末）如图，直角三角形的两锐角平分线相交所成的锐角的余弦值是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】由题意得，是的平分线，是的平分线，由三角形角平分线的定义可得，，进而可得直角三角形的两锐角平分线相交所成的锐角，然后由特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】解：由题意得：是的平分线，是的平分线， ，， 直角三角形的两锐角平分线相交所成的锐角 ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的内角和外角是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，矩形的对角线相交于点于点，且，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． 由矩形的性质和已知条件证得是等边三角形，得的度数即可求得结果。 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 即是等边三角形， ， 的正弦值， 故答案为： 4．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，将沿翻折，得到，延长交的延长线于点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形和折叠性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，证得是等边三角形是解答的关键． 先根据矩形的性质和全等三角形的性质，结合线段垂直平分线的性质得到，再证明得到，进而证明是等边三角形得到，在中，利用正切定义即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴， 由折叠性质得，， ∴，又， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求的长及四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等即可得证． （2）过点B作于点G，连接，交于点M，利用直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，解答即可． 【详解】（1）证明：∵，． ∴四边形是平行四边形． ∵，为的中线， ∴． ∴四边形是菱形． （2）解：过点B作于点G，连接，交于点M， ∵，为的中线， ∴． ∵，， ∴是等边三角形，，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为： ． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，特殊角的三角函数，熟练掌握菱形的判定，等边三角形的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 6．（2023·安徽合肥·一模）【初步尝试】 (1)如图1，在正方形中，点，分别为、边上的点且，求证：． (2)【思考探究】 如图2，在矩形中，，，点为中点，点为上一点，连接、且，求的值． (3)【拓展应用】 如图3，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且．直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）可证明，进而得出结论； （2）延长,交的延长线于,可证得，从而，进而得到，从而点，，在以点为圆心，为半径的圆上，进一步得出结果； （3）过点作于，作于，作，进而得出四边形是平行四边形，可证明，从而，进而得出，设，，可得出，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）如图1 延长，交的延长于， 四边形是矩形， ，， , ，， ， ， ， ， 点、、在以点为圆心，为半径的圆上， ， ，， ， ， ； （3）如图2， 过点作于，作于，作， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 同理（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 1．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系的第一象限内依次作等边，，，…，点，，，…，在轴的正半轴上，点，，，…，在射线上，若，，则点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形规律探究，等边三角形的性质，三角函数，总结归纳出规律是解题的关键．利用等边三角形的性质、等腰三角形的判定，三角函数，总结归纳出横坐标，纵坐标即可求解． 【详解】解：根据题意，得等边，，， ， ，， ， ， ， 所以 的横坐标为，纵坐标为； 同理可得： 的横坐标为，纵坐标为； 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， …… 的横坐标为， 纵坐标为， 所以的坐标为， 故答案为：． 2．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，点E是的中点，延长到点D，点H是上一点，连接，过点E作垂足为点K，延长交于点F，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作于点，利用相似三角形的判定与性质，得到，，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论； 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，添加恰当的辅助线构造出三角形的中位线是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， 过点作于点，如图，   ， ∴ ， 点是的中点，         ∴， ， ， ， ， 故答案为： ． 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】先证明为等边三角形得到．再证明为的中垂线得到，则，进而求得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由及旋转性质可知，， 为等边三角形． ， ． 又， ， 为的中垂线， ． ， ， 又D为中点， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、线段垂直平分线的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关性质是解答的关键． 4．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若的面积恰好被轴平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，掌握反比例函数系数的几何意义，三角函数以及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据反比例函数系数的几何意义，三角函数以及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质进行计算即可． 【详解】解：如图，过点，点分别作轴的垂线，垂足分别为，， 点在反比例函数的图象上， ， 则， 的面积恰好被轴平分， ， 以为底的与以为底的的高相等， 即， 又 ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $