精品解析：湖南省长沙市望城区第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

2025-2026-1望城一中高一年级期中考试数学试卷 望城一中数学组 2025.11.3 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义求出，再结合集合子集个数的结论即可求解． 【详解】因为，，所以，所以的子集个数为． 故选：B． 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂的运算法则化简计算即得. 【详解】 . 故选：C. 4. “，”的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得“，”的充要条件，进而逐项判断即可. 【详解】若，为真命题，则， 解得，所以“，”的充要条件是，故A不正确； 所以是“，”的既不充分也不必要条件，故B不正确； 所以是“，”的必要不充分条件，故C正确； 所以是“，”的充分不必要条件，故D不正确. 故选：C. 5. 设正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，，所以， 又，，所以， 所以， 当，即，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 6. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 7. 若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质结合指数函数的单调性即可判断 【详解】由得 . . 故选：D. 8. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方程组法求解出的解析式. 【详解】因为，所以， 两式联立可得， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“”的否定为“” B. 设，则“”是“”的必要不充分条件 C. 设，若集合与集合相等，则， D. 满足的集合有4个 【答案】AC 【解析】 【分析】由命题的否定判断A选项，由充分必要条件的定义判断B选项，由集合相等以及集合的互异性计算得到结果判断C选项，由集合的子集写出满足要求的集合判断D选项. 【详解】根据全称命题的否定形式知，命题“”的否定为“”，所以A正确； 可以推出，而解得，所以“”是“”的充分不必要条件，所以B不正确； 根据题意或，当时，，不符合集合元素的互异性； 当时，，，则，解得（舍）或， 所以，，所以C正确； 由题意，集合包含集合，同时集合又是集合的真子集， 则所有符合条件的集合为，，，共3个，所以D不正确； 故选：AC. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特值法判断A；根据不等式的性质判断B；利用作差法判断CD. 【详解】对于A，当，，，时，满足且，此时，故A错误； 对于B，，则，所以，故B正确； 对于C，，则， ，则，故C正确； 对于D，，则，， ， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 下列各选项给出的命题中，正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 定义为中的最小值，设，则的最大值是2 C. 函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数， 当时，函数的值域为 D. 若二次函数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A:令，则可求得;对于B:画出的图象即可求解;对于C:由高斯函数定义即得;对于D:画出的图象或者代入计算即可求解; 【详解】对于A:令，则，解得， 则函数的定义域为，故A错误; 对于B:在同一坐标系中分别画出的图象， 取三个图象较低的部分得到的图象如图，即可求的最大值是2.故B正确； 对于C:由高斯函数定义即得，当时，； 当时，；当时，；故C正确; 对于D: ，所以. 故D正确.另外画出的图像也可求解. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域，则函数的定义域为 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得出不等式组，解不等式组即可求得函数的定义域. 【详解】由函数的定义域得要使函数有意义，则满足， 解得或，即函数的定义域为. 故答案为：. 13. 若是奇函数，则_____，______． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 14. 已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可；第二空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可. 【详解】第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增， 故需满足：即， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增， 则需满足即， 解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）R； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由一元二次不等式求解即可； （2）分和讨论，进行不等式恒成立求解． 【小问1详解】 ， ∴， ， ∴不等式的解集为R 【小问2详解】 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得， 解得 综上所述，实数m的取值范围是. 16. 如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）写出关于的表达式； （2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 【答案】（1） （2）当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列式得出修建新墙费用和维修旧墙费用即可得出总费用； （2）结合（1）应用基本不等式计算结合取等条件计算求解. 【小问1详解】 依题意，新墙总长度为，修建新墙费用为元，维修旧墙费用为元， 因此， 所以修建此矩形场地的总费用. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 当且仅当，即时，， 所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元. 17. 已知函数. （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）奇函数，证明如下： 由（1）知的定义域为， 设，则, 且，故为奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明； （3）根据对数函数的单调性进行求解． 【小问1详解】 要使函数有意义,则， 解得，故所求函数的定义域为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为，所以，即 可得，解得,又， 所以， 所以不等式的解集是． 18. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. 【小问1详解】 ，， ，解得， . 【小问2详解】 在上单调递减，证明略； 【小问3详解】 由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 19. 设函数，其中. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求解； （2）“对任意的，都有”等价于“在区间上”，，再根据二次函数的性质知函数的图象开口向上，在上的最大值为或，即可求解； （3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，将问题“对任意的，都有”等价于“”，根据二次函数的图象与性质，分别讨论，，和，得到和，从而得到关于不等式，即可求解. 【小问1详解】 当时，则，， 由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1； 当时，的最大值为10； 所以在区间值域的为. 【小问2详解】 “对任意的，都有”等价于“在区间上”. 由（1）知时，， 由二次函数的性质知函数的图象开口向上， 所以在上的最大值为或， 则，即，解得：， 故实数的取值范围为区间. 【小问3详解】 设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的，都有”等价于“”， 又在上单调递减，在上单调递增， ①当时，在上单调递增， 则，， 即，解得， 即； ②当. 由，解得：， 即； ③当时，. 由，得， 即； ④当时，. 由，得， 即. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1望城一中高一年级期中考试数学试卷 望城一中数学组 2025.11.3 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. （ ） A. B. C. D. 4. “，”的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 5. 设正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 已知是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“”的否定为“” B. 设，则“”是“”的必要不充分条件 C. 设，若集合与集合相等，则， D. 满足的集合有4个 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列各选项给出的命题中，正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 定义为中的最小值，设，则的最大值是2 C. 函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数， 当时，函数的值域为 D. 若二次函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域，则函数的定义域为 ______. 13. 若是奇函数，则_____，______． 14. 已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 16. 如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）写出关于的表达式； （2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 17. 已知函数. （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明； （3）求不等式的解集. 18. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 设函数，其中. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $