1.1锐角三角函数第2课时（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数，系统讲解正弦、余弦定义，及其与梯子倾斜程度的关系和正切转化。通过回顾正切知识，结合梯子情境提问引出新知，以相似三角形为支架，帮助学生理解比值与锐角大小的关联。 其亮点在于用梯子倾斜情境引导学生用数学眼光观察现实，通过相似三角形推理定义培养数学思维（推理意识），典例分析（如等腰三角形作高求三角函数）强化数学语言表达（模型意识）。小结梳理知识结构，助力学生发展抽象能力，教师可高效开展教学。

北师大版·九年级下册 1.1 锐角三角函数 第2课时 第一章 直角三角形的边角关系 学 习 目 标 1.能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.（重点） 2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.（难点） 知识回顾 1.如图，在Rt△ABC中，tan A＝ . 2.可用梯子的倾斜角的 来描述梯子的倾斜程度, 越大，梯子 ． 3.正切也经常用来描述山坡的 .坡度越大,坡面 。 正切值 正切值 越陡 坡度 越陡 情境引入 如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关，并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切． ∠A的对边 A B C ∠A的邻边 ┌ 斜边 其它边之间的比值也确定吗?梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? A B1 C2 C1 B2 （1）在上节课的图中，我们知道了△AB1C1∽△AB2C2， 那么 和 有什么关系? 和 呢? 议一议 新知探究 探究一：正弦、余弦的定义 根据相似三角形的对应边成比例，可得 新知探究 （2）如果改变B2在梯子AB1上的位置(如B3C3 )，上述结论还成立吗？ A B1 C2 C1 B2 思考：由此能得到什么结论？ C3 B3 仍然成立，=，. 在Rt∆AB1C1中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定． 新知探究 正弦、余弦的定义 知识归纳 ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ， 即 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA ， 即 A B C c a b ∠A的对边 斜边 ∠A的邻边 新知探究 知识归纳 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（trigonometric function）.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化. 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去“∠”号). 3.sinA,cosA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA均﹥0,无单位. 4.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 新知探究 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长. A B C 解： 在Rt△ABC中， 即 ∴ BC=200×0.6=120. 想一想 如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？ A 新知探究 探究二：梯子的倾斜程度与正弦、余弦的关系 结论：梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关. sinA的值越大,梯子越 ; cosA的值越 ,梯子越陡. 陡 小 2.如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子与地面的倾斜角为 α，下列说法正确的是（ ） A. α 越大，sinα 越小，梯子越陡 B. α 越大，cosα 越大，梯子越陡 C. α 越大，sinα 越大，cosα 越小，梯子越陡 D. α 越大，sinα 越小，cosα 越大，梯子越陡 α 新知探究 C AB等于多少呢？sinB呢？ 做一做 10 ┐ A B C 如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10, 新知探究 探究三：正弦、余弦和正切的相互转化 思考:根据以上计算，你有什么发现？ sinA=cosB. 新知探究 正弦、余弦和正切的关系 知识归纳 如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°， sinA=cosB 一个锐角的余弦值等于这个角余角的正弦. tanA. 新知探究 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,则cosB的值等于（ ） A. B. C. D. ┌ B C A B 如图，在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB. 例1 5 5 6 A B C 典例分析 提示:过点A作AD⊥BC于D. ┌ D 典例分析 如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC. 例2 (1)求证：AC＝BD； (2)若sinC＝，BC＝36，求AD的长． (1)证明：∵AD是BC上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△ABD中，tanB＝， 在Rt△ACD中，cos∠DAC＝. ∵tanB＝cos∠DAC， ∴＝， ∴AC＝BD； (2)解：在Rt△ACD中，sinC＝＝. 设AD＝12k，AC＝13k， ∴CD＝＝5k. ∵BD＝AC＝13k， ∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36， 解得k＝2， ∴AD＝12×2＝24. 巩固练习 基础巩固题 1.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是(　 　) D 2.在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是(　　) A 巩固练习 基础巩固题 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子一定成立的是（　　） A．sinA=sinB B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．sinA=cosB D 4.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大为原来的3倍，那么所得的直角三角形中，∠B的正切值(　　) A.扩大为原来的3倍                B.缩小为原来的3倍       C.扩大为原来的6倍                D.大小不变 D 巩固练习 基础巩固题 ┍ ┌ A C B D 5.如图, ∠C=90°CD⊥AB. （1） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （2）若BD=6,CD=12.则cosA=______. CDBC ACAB ADAC 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA= ，cosA= . 巩固练习 基础巩固题 7. 在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin ∠ACD, cos ∠ACD和tan ∠ACD. A B C D 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90° ,CD是AB上的中线， ∴CD=AB,又AD=AB, ∴CD=AD=5 ,AB=2CD=10, ∴AC=, ∴∠ACD=∠A, ∴sin∠ACD=sinA=, ∴cos∠ACD=cosA=, ∴tan∠ACD=tanA= 巩固练习 基础巩固题 8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B． 解：∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°．又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN， 设AC＝3x，AB＝4x． 课堂小结 锐角三角函数 正弦、余弦的定义 锐角三角函数 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数. 梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系 正弦、余弦和正切的相互转化 sinA的值越大,梯子越陡; cosA的值越小,梯子越陡. 作业布置 1.必做题：习题1.2第1-4题。 2.探究性作业：习题1.2第5题。 感谢聆听! $