3.3.2二项式系数性质与杨辉三角（题型专练）数学人教B版2019选择性必修第二册

3.3 （2）二项式系数性质与杨辉三角 题型一 求二项式系数的和 1．（多选）（23-24高二下·广东清远·阶段练习）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（    ） A． B．各项二项式系数和为128 C．二项式系数最大项有2项 D．第5项系数等于-35 2．（多选）（24-25高二下·福建福州·期末）的展开式中，则（ ） A．的系数为10 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数和为32 D．所有项的系数和为32 题型二 已知二项式系数的和求参数 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若的展开式的各二项式系数之和为32，则（ ） A． B．展开式中所有项的系数和为32 C．展开式中常数项为32 D．展开式中x的奇次项的系数和为123 2．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期末）已知的二项展开式的各二项式系数之和为32. (1)求是多少？ (2)求展开式中的常数项为多少？ 题型三 已知二项式系数的和求其它项 1.（2025·江苏泰州·模拟预测）的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．8 B．12 C．15 D． 2．（2025·福建泉州·二模）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 3．（25-26高三上·河北·开学考试）的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．15 D． 题型四 求展开式中项的系数和 1．（多选）（24-25高二下·河南·阶段练习）若的展开式中含有常数项为112，则（    ） A． B．展开式中的系数为 C．展开式的各项系数之和为1 D．展开式中有4项有理项 2．（23-24高二下·北京延庆·阶段练习）若，则= ． 题型五 已知展开式项的系数和求参数 1．（24-25高二下·河北·期末）设，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（多选）（24-25高二下·陕西商洛·期末）若，且，则（   ） A． B．展开式中的系数最大 C． D． 3．（23-24高二下·吉林长春·期末）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则 ． 4．（2022·江苏南京·三模）已知且，，，且，则 ． 5．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知的展开式中各项系数的和为，则的值为 . 题型六 已知展开式项的系数和求其它项（系数） 1．（24-25高三上·河南·期末）已知展开式中各项的系数和为64，则展开式中含项的系数为 . 2．（24-25高三下·天津·开学考试）在的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的系数为 ． 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）设，若，则 . 题型七 展开式奇次项、偶次项系数和的问题 1．（多选）（24-25高二下·河北邢台·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二下·安徽合肥·期末）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二下·河北保定·期末）已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 4．（多选）（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知，则 ． 题型八 杨辉三角的综合应用问题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）杨辉是我国一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，除1以外，其他每一个数值都是它“肩上”的两个数值之和，每一行第个数连成的斜线称为第k斜线．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行第k斜线与第（）斜线上所有数值之和最大时，的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 2．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 3．（多选）（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 4．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第20，21行数的最大值分别为a，b，则 题型九 展开式有理项问题 1．（2025·陕西延安·模拟预测）在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25高二下·安徽·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高二下·河北·期末）在的展开式中，所有有理项的系数和等于 .（用数字作答） 4．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）已知，的展开式中，最末尾两项的二项式系数之和为8. (1)求的值； (2)求展开式中含的项的系数； (3)求展开式中所有无理项的项数. 题型一 展开式（二项式）系数（绝对值）最大项问题 1．（多选）（24-25高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知二项式的展开式中所有项的二项式系数和为256，则下列说法正确的是（   ） A．第5项的二项式系数最大 B．有理项共4项 C．第6、7项的系数绝对值最大 D．所有项的系数和为1 2．（22-23高二下·湖北十堰·期末）的展开式中系数最大的项是第 项. 3．（2016·重庆·一模）二项式 的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是 ． 4．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是 5．（24-25高二下·河南开封·阶段练习）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 . 题型二 应用二项式定理证明组合恒等式 1．（2020高三·全国·专题练习）求证：. 2．（21-22高二·全国·课后作业）求证：． 3．（21-22高二上·辽宁·期末）已知. (1)当，时，求中含项的系数； (2)用、表示，写出推理过程． 题型三 二项式定理的综合问题 1．（24-25高二下·浙江·期中）已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为729． (1)求和的值； (2)求展开式中系数最大的项． 2．（24-25高二下·山东枣庄·期末）在的展开式中，求： (1)求常数项及此项的二项式系数． (2)求系数绝对值最大的项． (3)求展开式中第奇数项的系数之和． 3．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是． (1)求n的值； (2)展开式中的有理项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项是第几项？ 1．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各二项式系数的和为64 B．各项系数的和为1 C．有理项有3项 D．第三项与第四项的系数之比为 2．（多选）（24-25高二下·内蒙古·期末）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 3．（多选）（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知的展开式中各项系数之和为，则展开式中（   ） A．各项的二项式系数之和为 B．含的项的系数为 C．奇数项的二项式系数之和为 D．二项式系数最大项为第项 4．（多选）（20-21高二下·湖北武汉·阶段练习）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数，）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（    ） A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致 B．第10行从左边数第三个数为 C． D． 5．（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（    ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 6.（24-25高二下·安徽亳州·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数和为4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是 . 7．（24-25高二下·河南郑州·期末）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 8．（23-24高二下·北京延庆·阶段练习）在的展开式中 (1)含的项并说明它是展开式中的第几项； (2)常数项的值和对应的二项式系数； (3)二项式系数最大的项； (4)各项二项式系数的和及各项系数的和． 9．（2025高二·全国·专题练习）已知，求证：． 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为17． (1)求； (2)当展开式中的系数最小时，求的系数； (3)已知的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 （2）二项式系数性质与杨辉三角 题型一 求二项式系数的和 1．（多选）（23-24高二下·广东清远·阶段练习）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（    ） A． B．各项二项式系数和为128 C．二项式系数最大项有2项 D．第5项系数等于-35 【答案】BC 【分析】利用二项展开式的性质和通项公式计算即可逐一判断. 【详解】对于A，的二项展开式共有8项，则 ，即，故A错误； 对于B，二项式展开式中各项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C，因该二项展开式共有8项，则可得中间两项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，故C正确； 对于D，因，则第5项的系数是35，故D错误. 故选：BC. 2．（多选）（24-25高二下·福建福州·期末）的展开式中，则（ ） A．的系数为10 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数和为32 D．所有项的系数和为32 【答案】BC 【分析】写出展开式的通项公式，求出的系数判断A；求出第3项和第4项的二项式系数判断B；求出所有项的二项式系数和判断C；利用赋值法求出所有项的系数和判断D. 【详解】对于A，展开式的通项公式，则的系数为，A错误； 对于B，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相等，B正确； 对于C，展开式的所有项的二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得展开式的所有项的系数和为，D错误. 故选：BC 题型二 已知二项式系数的和求参数 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若的展开式的各二项式系数之和为32，则（ ） A． B．展开式中所有项的系数和为32 C．展开式中常数项为32 D．展开式中x的奇次项的系数和为123 【答案】AC 【分析】由二项式系数和公式可得即可确定A；取求得展开式的系数和判断B；求出常数项判断C；利用赋值法可求x的奇次项的系数和判断D. 【详解】根据题意，展开式的各二项式系数之和为，故A正确； 取，所以展开式中所有项的系数和为，故B错误； 展开式中常数项为，故C正确； 设， 则时，， 时，， 两式相减得，则，故D错误； 故选：AC. 2．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期末）已知的二项展开式的各二项式系数之和为32. (1)求是多少？ (2)求展开式中的常数项为多少？ 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据二项式的系数之和可求得的值. （2）根据二项式的通项公式可求出常数项. 【详解】（1）因为的二项展开式的各二项式系数之和为32， 则，解得. （2）由（1）知，所以二项式为， 其通项公式为. 令，则. 所以展开式的常数项为1. 题型三 已知二项式系数的和求其它项 1.（2025·江苏泰州·模拟预测）的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【分析】依据题干得到，然后求得通项公式，根据常数项的特点计算即可. 【详解】由题可知：，通项公式为， 令，所以常数项为. 故选：C 2．（2025·福建泉州·二模）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【分析】根据二项式系数和公式可得，利用赋值法可得，即可利用二项式展开式的通项特征求解. 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故选：C 3．（25-26高三上·河北·开学考试）的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．15 D． 【答案】A 【分析】根据二项式系数和的性质，求出参数；根据二项式展开式，求出指定项即可. 【详解】由题可知，解得， 则二项式展开式通项公式为， 令，解得，所以常数项为. 故选：A. 题型四 求展开式中项的系数和 1．（多选）（24-25高二下·河南·阶段练习）若的展开式中含有常数项为112，则（    ） A． B．展开式中的系数为 C．展开式的各项系数之和为1 D．展开式中有4项有理项 【答案】BC 【分析】利用二项式定理通项公式求得，即可判断ABD；再令，赋值法判断C. 【详解】的展开式通项， 因为展开式中含有常数项112为正数，所以为偶数， 当时，显然不合题意， 当时，，此时常数项为，符合题意， 当时，，此时常数项为，不符合题意， 易知当且为偶数时，皆不合题意，所以，故A错误； 由上可知，，令，解得， 所以展开式中的系数为，故B正确； 令得，展开式的各项系数之和为，故C正确； 当时，，所以展开式中有3项有理项，故D错误. 故选：BC. 2．（23-24高二下·北京延庆·阶段练习）若，则= ． 【答案】1 【分析】应用赋值法求各项系数和即可. 【详解】令，则. 故答案为：1 题型五 已知展开式项的系数和求参数 1．（24-25高二下·河北·期末）设，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】令，可得，解出m的值即可. 【详解】令，则可得. 又，则． 故选：D． 2．（多选）（24-25高二下·陕西商洛·期末）若，且，则（   ） A． B．展开式中的系数最大 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法求解可判断AC，利用二项展开式的通项求解可判断BD. 【详解】令，则，解得，所以A正确； ， 展开式的通项为，， 可知均大于0，均小于0， 的系数是负数，肯定不是最大值，所以B不正确； 在中，令，得，所以C正确； 令，得，所以，故D正确． 故选：ACD. 3．（23-24高二下·吉林长春·期末）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则 ． 【答案】5 【分析】令，则，解出即可. 【详解】令，，即，解得， 故答案为：5． 4．（2022·江苏南京·三模）已知且，，，且，则 ． 【答案】6 【分析】由二项式定理求解 【详解】由题意可得，令，得， 令，得， 故，解得，故． 故答案为：6 5．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知的展开式中各项系数的和为，则的值为 . 【答案】 【分析】利用赋值法可得各项的系数和，进而可得参数. 【详解】设， 则各项系数和为， 则，即， 故答案为：. 题型六 已知展开式项的系数和求其它项（系数） 1．（24-25高三上·河南·期末）已知展开式中各项的系数和为64，则展开式中含项的系数为 . 【答案】15 【分析】根据各项系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得指定项的系数. 【详解】令，得展开式中各项的系数和为，解得， 则.当时，，所以展开式中含项的系数为. 故答案为： 2．（24-25高三下·天津·开学考试）在的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的系数为 ． 【答案】 【分析】依题意利用赋值法令，可求得，再利用二项展开式即可求得系数. 【详解】由各项系数的和为0可知，令，即，解得； 因此的展开式中含有的项为. 故答案为： 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）设，若，则 . 【答案】 【分析】令，求出的值，写出二项展开式的通项，令即可求解. 【详解】令，则，所以， 则， 的二项展开式的通项为，其中， 令，则，所以. 故答案为： 题型七 展开式奇次项、偶次项系数和的问题 1．（多选）（24-25高二下·河北邢台·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】变形给定的等式，再利用赋值法逐项分析计算. 【详解】原等式化为： 对于A，取，得，A正确； 对于B，取，得，则，B正确； 对于C，取，得，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 2．（多选）（24-25高二下·安徽合肥·期末）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由赋值法求系数和及奇偶项系数可判断ACD，对于B，根据，接着求的系数即可. 【详解】当时，，故A错误； ，则的系数为 ，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，， 又，所以， 则，故D正确； 故选：BCD. 3．（多选）（24-25高二下·河北保定·期末）已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 【答案】ABD 【分析】令得即可判断A，利用二项式定理的通项公式求即可判断B，二项式系数之和为即可判断C，令和即可求即可判断D. 【详解】由题意有：令有，故A正确； 由，故B正确； 的展开式的二项式系数之和为，故C错误； 令有， 令有， 两式相加有，故D正确. 故选：ABD. 4．（多选）（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用赋值法，令得，即可判断选项A；由展开式的通项公式，令求得的值，即可判断选项B；令得，即可判断选项C；令得，两式相减即可判断选项D. 【详解】∵，∴令得，故选项A正确； 由展开式的通项公式， 令得，所以，故选项B不正确； 令得，故选项C正确； 令得，两式相减得，故，故选项D不正确. 故选：AC. 5．（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】ABC选项，利用赋值法进行求解；D选项，得到展开式的通项公式，从而求出，，故，D正确. 【详解】A选项，中，令得，A正确； B选项，中，令得 ， 又，故，B错误； C选项，中，令得 ， 与相加可得， 故，C错误； D选项，展开式的通项公式为， 故，，故，D正确. 故选：AD 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用赋值得到，，相加即可求解. 【详解】中， 令得①， 令得②， 式子得. 故答案为：. 题型八 杨辉三角的综合应用问题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）杨辉是我国一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，除1以外，其他每一个数值都是它“肩上”的两个数值之和，每一行第个数连成的斜线称为第k斜线．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行第k斜线与第（）斜线上所有数值之和最大时，的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】C 【分析】根据题意可得前2024行第斜线上所有数值之和为，第斜线上所有数值之和为，结合组合数的运算性质即可求解． 【详解】当时，前2024行第斜线上所有数值之和为 ． 同理，前2024行第斜线上所有数值之和为，而， 所以前2024行第斜线与第斜线上所有数值之和最大时，， 解得． 故选：C. 2．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【答案】D 【分析】由杨辉三角及二项式定理、组合数性质求对应行列数字及相关行的数字之和. 【详解】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D 3．（多选）（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 【答案】BCD 【分析】根据由杨辉三角的规律直接写出第6、7行可判断AD；利用性质化简可判断B；由二项式系数性质可判断C. 【详解】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误； 对B， ，正确； 对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确； 对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：， 第7行的数为：，所有数都是奇数，正确. 故选：BCD 4．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第20，21行数的最大值分别为a，b，则 【答案】BC 【分析】根据二项式系数的性质判断. 【详解】A错，因为第2026行的第个数是，由组合数性质可知，为的最大值，所以第2026行的第1014个数最大； B对，由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数之和为； C对，因为 ； D错，第20行数的最大值为，第21行数的最大值为， 所以． 故选：BC. 题型九 展开式有理项问题 1．（2025·陕西延安·模拟预测）在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由通项公式即可求解. 【详解】通项公式为， 易知当或或或时， 即或或或时，可得有理数项， 所以有理数的项的个数是4， 故选：A 2．（24-25高二下·安徽·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项. 【详解】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 3．（24-25高二下·河北·期末）在的展开式中，所有有理项的系数和等于 .（用数字作答） 【答案】512 【分析】由题知所有奇数项为有理项，再求奇数项系数和即可. 【详解】展开式的通项为， 是偶数0，2，4，⋯，10时是有理项， 所以有理项的系数和等于， 故答案为：512. 4．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）已知，的展开式中，最末尾两项的二项式系数之和为8. (1)求的值； (2)求展开式中含的项的系数； (3)求展开式中所有无理项的项数. 【答案】(1)； (2)； (3)4. 【分析】（1）由二项式系数的定义有，即可求； （2）应用二项式通项公式求对应项即可； （3）由无理项有求出对应的个数即可得. 【详解】（1）由题设，即； （2）由（1）知，则展开式通项为，， 令，可得，则，对应系数为； （3）由，有，故展开式中所有无理项的项数有4项. 题型一 展开式（二项式）系数（绝对值）最大项问题 1．（多选）（24-25高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知二项式的展开式中所有项的二项式系数和为256，则下列说法正确的是（   ） A．第5项的二项式系数最大 B．有理项共4项 C．第6、7项的系数绝对值最大 D．所有项的系数和为1 【答案】ACD 【分析】由二项式系数的性质求得，可求出二项式系数的最大项可判断A；由的指数为整数可得有理项个数可判断B；写出二项展开式通项公式，由第的系数绝对值不小于前后两项的系数绝对值可求得，得系数绝对值最大的项可判断C；令可求得展开式中所有项系数和可判断D. 【详解】由题意，， 对于A，展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项，A正确； 对于B，，， 显然时，是有理项，共5项，B错误； 对于C，由，解得，所以， 第6、7项的系数绝对值最大，C正确； 对于D，所有项的系数和为，D正确. 故选：ACD． 2．（22-23高二下·湖北十堰·期末）的展开式中系数最大的项是第 项. 【答案】10 【分析】 设系数最大的项是第项，由展开式通项公式列不等式组即可求解. 【详解】展开式的通项为， 由 得，因为，所以， 故系数最大的项是第10项. 故答案为：10 3．（2016·重庆·一模）二项式 的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是 ． 【答案】-20 【详解】试题分析：由题意知，展开式中有7项，．因为 令，得，所以常数项为． 4．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是 【答案】. 【分析】讨论a的取值范围，结合题意，列出不等式组，求解即可得答案. 【详解】若展开式中有且仅有项的系数最大，不合题意， 当时，所以项的系数均为正数，则需满足， 即得； 当时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数， 则此时需满足，解得， 综合可得的取值范围是， 故答案为：. 5．（24-25高二下·河南开封·阶段练习）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 . 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出，再利用递推不等式组可求出系数最大项. 【详解】由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，可得，即， 所以，则或（舍）， 设展开式中第项的系数最大，则，可得， 解得，因为，所以， 所以系数最大的项为． 故答案为： 题型二 应用二项式定理证明组合恒等式 1．（2020高三·全国·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】利用二项式定理直接证明. 【详解】左边= =1=右边. 即证. 2．（21-22高二·全国·课后作业）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用二项式定理的展开式再令可证明. 【详解】由二项式定理：， 令得： ， 化简得：. 3．（21-22高二上·辽宁·期末）已知. (1)当，时，求中含项的系数； (2)用、表示，写出推理过程． 【答案】(1) (2)，过程见解析 【分析】（1）写出函数的解析式，利用二项式定理可求得函数中含项的系数； （2）利用错位相减法化简函数的解析式，求出解析式中含项的系数，再结合组合数公式化简可得结果. 【详解】（1）解：当，时，， 的展开式通项为， 此时，函数中含项的系数之和为. （2）解：因为，① 则，② ①②得 ， 所以，， 而为中含项的系数， 而函数中含项的系数也可视为中含项的系数， 故， 且， 故. 题型三 二项式定理的综合问题 1．（24-25高二下·浙江·期中）已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为729． (1)求和的值； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二项展开式中二项式系数的性质即可得出值，再令即可得到所有项的系数和从而求出值； （2）先写出展开式的通项，设第项的系数最大，从而列出不等式组，再根据的取值范围即可求出值，再代入通项计算即可. 【详解】（1）因为展开式中只有第4项的二项式系数最大， 所以展开式一共有7项，即. 令，所以所有项的系数和， 因为，解得； （2）的展开式的通项为 ，， 设展开式中第项的系数最大， 则，解得， 因为，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 2．（24-25高二下·山东枣庄·期末）在的展开式中，求： (1)求常数项及此项的二项式系数． (2)求系数绝对值最大的项． (3)求展开式中第奇数项的系数之和． 【答案】(1)常数项为，其二项式系数为 (2) (3) 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式计算可得结果； （2）设第项的系数绝对值最大，列不等式组计算可得结果； （3）根据展开式中第奇数项的系数和等于展开式中第奇数项系数和计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，展开式的通项为， 令，可得， 所以展开式中的常数项为，其二项式系数为． （2）设第项的系数绝对值最大， 则， 即，解得， 因为，所以，故系数绝对值最大的项为． （3）因为， 所以展开式中第奇数项的系数和等于展开式中第奇数项系数和， 设， 令，得， 两式相加得，， 所以展开式中第奇数项的系数之和为. 3．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是． (1)求n的值； (2)展开式中的有理项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项是第几项？ 【答案】(1)20； (2)11； (3)6. 【分析】（1）由题设，应用组合数公式得到组合数方程，求解即可； （2）写出二项式展开式的通项，根据整式项的定义确定其项数； （3）由在上单调递减，结合的大小判断系数最大项. 【详解】（1）依题意，，则，整理得，而， 所以. （2）由（1）知二项式为，展开式通项为，， 所以时，均为有理项，共有11项. （3）由在上单调递减， 当时，，当时，，则， 所以展开式中系数最大的项是第6项. 1．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各二项式系数的和为64 B．各项系数的和为1 C．有理项有3项 D．第三项与第四项的系数之比为 【答案】ABD 【分析】应用二项式系数公式判断A，应用赋值法计算判断B，应用通项公式计算判断有理数项判断C，应用通项公式系数计算判断D. 【详解】A：在的展开式中，各二项式系数的和为64，A选项正确； B：令，可得各项系数的和为，B选项正确； C：的展开式的通项为， 令，得，2，4，6，此时展开式的项为有理项，所以有理项有4项，C选项错误； D：第三项与第四项的系数之比为，D选项正确； 故选：ABD. 2．（多选）（24-25高二下·内蒙古·期末）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 【答案】ABD 【分析】根据二项式系数和的性质列式求得，判断A，令得各项系数之和判断B，根据二项式系数的性质判断C，求出展开式的通项，令得，代入即可求常数项判断D. 【详解】根据各项的二项式系数之和为64，可得，解得，A正确． 令，则各项系数之和为，B正确． 因为，所以第4项的二项式系数最大，C错误． 的展开式的通式为， 令得，故所求的常数项为，D正确． 故选：ABD 3．（多选）（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知的展开式中各项系数之和为，则展开式中（   ） A．各项的二项式系数之和为 B．含的项的系数为 C．奇数项的二项式系数之和为 D．二项式系数最大项为第项 【答案】ABC 【分析】令，即可求得各项系数之和，由此解方程得到的值.对于A，利用二项式系数之和的公式求解即可；对于B，写出该二项式展开式的通项，令的指数为求解即可；对于C，利用奇数项的二项式系数之和的公式求解即可；对于D，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间项. 【详解】因为的展开式中各项系数之和为，所以令，，即，解得. 对于A，各项的二项式系数之和为，故选项A正确； 对于B，的展开式的通项为，令，解得，，故含的项的系数为，选项B正确； 对于C，奇数项的二项式系数之和为，故选项C正确； 对于D，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间项，时，中间项是第项，故二项式系数最大项为第项，选项D错误. 故选：ABC. 4．（多选）（20-21高二下·湖北武汉·阶段练习）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数，）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（    ） A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致 B．第10行从左边数第三个数为 C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，分析“莱布尼茨三角形”与“杨辉三角”每一行数的特性即可判断； 对于B，利用“莱布尼茨三角形”数的特性计算判断；对于C，D，进行组合计算判断作答. 【详解】对于A，“杨辉三角”每行数左右对称，由1开始逐渐变大，而“莱布尼茨三角形” 每行数左右对称，从第3行开始，由行数的倒数开始逐渐变小，A不正确； 对于B，“莱布尼茨三角形”的一个数是它脚下两数的和，则第9行的第二个数为，第10行的第二个数为， 于是得第10行的第三个数为，B正确； 对于C，，，C正确； 对于D， ，D正确. 故选：BCD 5．（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（    ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 【答案】ACD 【分析】对A：由题意可得，再借助二项式的展开式计算即可得；对B：计算即可得；对C：借助计算即可得；对D：借助，再利用二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对A：第48行的所有数字之和为， 由， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故A正确； 对B：第20行第7个数为，第8个数为， ，故B错误； 对C：第行的第4个数字为，由， 则 ，故C正确； 对D：第行所有数的平方和为， 第行最中间的数为， 由 ， 则的展开式中的系数为， 又对，有，则其展开式中的系数为， 即有，故D正确. 故选：ACD. 6.（24-25高二下·安徽亳州·期末）在二项式的展开式中，所有项的系数和为4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是 . 【答案】16 【分析】令，利用各项系数和求出，再利用二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为在二项式的展开式中，所有项的系数和为4096， 所以，令得， 即，解得， 所以展开式中二项式系数和为． 故答案为：16. 7．（24-25高二下·河南郑州·期末）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据二项式系数公式，结合组合数的计算公式进行求解可得，再求出展开式的通项公式求解； （2）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果. 【详解】（1）由题，可得，即， 得，又，所以， 因为展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. （2）因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 8．（23-24高二下·北京延庆·阶段练习）在的展开式中 (1)含的项并说明它是展开式中的第几项； (2)常数项的值和对应的二项式系数； (3)二项式系数最大的项； (4)各项二项式系数的和及各项系数的和． 【答案】(1)，第5项； (2)不含常数项； (3)，； (4)，. 【分析】根据二项展开式的通项公式写出，（1）令，（2）令，（3）根据二项式系数的性质来求，（4）根据二项式系数和的性质，以及赋值法来求系数和. 【详解】（1）由二项展开式得第项， 令，得， 则，为第5项； （2）令，得，不是整数，则不含常数项； （3）二项式系数最大为， 时，， 时，， 所以二项式系数最大的项为第4项和第5项； （4）二项式系数和为， 令，则所有项的系数和为. 9．（2025高二·全国·专题练习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由二项式定理展开不等式左边可得，再利用倒序相加及基本不等式，结合二项式系数性质即可得证. 【详解】证明  ． 令，倒序相加得， ． 因为， 所以， 即，当且仅当时等号成立，故得证． 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为17． (1)求； (2)当展开式中的系数最小时，求的系数； (3)已知的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求． 【答案】(1) (2)140 (3)582 【分析】（1）写出的通项公式，根据展开式中x的系数得到的值； （2）由（1）知，分，，均大于等于2时，得到展开式中的系数，求出当或时，的系数取得最小值，进而得到的系数； （3）由（1）知，写出的展开式的通项公式，根据二项式系数的增减性得到，利用不等式法得到，求出. 【详解】（1）根据二项式定理知，的展开式的通项为 ， 根据题意得，即． （2）由（1）知， 当时，，此时展开式中的系数为， 同理当时，，此时展开式中的系数为， 当均大于等于2时，展开式中的系数为 ， 故当或时，的系数取得最小值64， 显然的系数最小时，或， 此时，的系数为． （3）由（1）知，则， 二项式的展开式的通项为， 所以可得，再根据即得， 此时，所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $