4.7 相似三角形的性质同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中对应线段的比 基础夯实 知识点 相似三角形对应线段的比 1.转移教材变式「2025河北张家口桥西期中」已知△ABC∽△A'B'C',BD 和B'D'是它们的对应角平分线,若 ,BD=4,则B'D'= ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 2.跨理域 学科教材变式 「2025河南南阳期中」为了证明光小孔成像 素养P108习题T2沿直线传播这一性质，大约在二千四百年前，我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，解释了小孔成倒像的原理.如图所示的是小孔成像原理的示意图，AB 为蜡烛，CD为蜡烛AB 在暗盒中所成的像，若6 cm长的蜡烛AB 在暗盒中所成的像 CD的长是1 cm,AB 与小孔O之间的距离为18 cm，则小孔O 到像 CD 的距离为 ( ) A.1 cm B.2cm C.3cm D.4 cm 3.「2025北京顺义三中期中」图1 是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD 与 CB 相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为( ) A.0.4 B.0.35 C.0.3 D.0.6 4.「2025上海金山期中」如果两个相似三角形对应边上的高之比是4∶9，那么它们的对应中线之比等于 5.新考虑作图求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. 要求： (1)根据给出的△ABC 与∠A'(∠A'=∠A),以A'B'为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不写作法,保留作图痕迹. (2)在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程. 6.如图,△ABC∽△A'B'C',BE,B'E'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,D,D'分别是 BC,B'C'的三等分点,且CD=2BD,C'D'=2B'D',连接AD,A'D'.求证： 7.「2025山东济南月考，窗」图1是装满了液体的高脚杯(数据如图)，用去部分液体后，放在水平的桌面上，如图2所示，此时液面距离杯口的距离h为( ) A.⁸/5cm B.2cm C. cm D.3cm 8.「2024江西赣州大余二模，☆☆」如图，某校宣传栏 BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在宣传栏前面的A 处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住.已知AF⊥BC,AF=3米,BC=10米,则该宣传栏后线段DE上(含端点)共有 棵树.(不计宣传栏的厚度) 9.三角形余料ABC,它的边 BC=120 mm,高AD=80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的边QM在BC上,顶点 P,N分别在AB,AC上,且PN与AD交于点 E. (1)求加工成的正方形零件的边长. (2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图2，此时，这个矩形零件的两条相邻边长分别为多少?请计算. 素养提优 10.新疆唯力当∠BAE 和∠B'A'E'分别是△ABC 和△A'B'C'的外角时,定义:若 AD,A'D'分别是∠BAE 和∠B'A'E'的平分线,且交 CB,C'B'的延长线于 D,D',则称 AD,A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的外角平分线段.我们知道：两个相似三角形对应边上的高、中线和对应的角平分线之比都等于相似比，那么两个相似三角形对应的外角平分线段之比是否等于相似比呢?例如：如图，已知△ABC∽△A'B'C',且△ABC与△A'B'C'的相似比为k,AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的外角平分线段，那么 是否成立?如果结论不成立，请说明理由；如果结论成立，请证明. 第1课时 相似三角形周长比、面积比的性质 基础夯实 知识点 1 相似三角形的周长比和面积比 1.「2024重庆中考B卷」若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是 ( ) A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 2.「2025河北武邑期中」若△ABC∽△DEF,AB=1,DE=2,则△ABC与△DEF的周长比是 ( ) A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.3:2 3.「2024河北石家庄模拟」如图所示,△ABC中,DE∥BC,若AD:DB=1:2,则下列结论中正确的是 ( ) C.= D.= 4.「2024 云南中考」如图,AB 与 CD 交于点 O,且AC∥BD.若 则 5.如图所示,平行四边形ABCD 中,E 是 BC 边上一点,且BE=EC,BD,AE相交于 F点. (1)求△BEF 与△AFD 的周长之比. (2)若 求 S△AFD. 知识点 2 相似多边形的性质 6.如图,在四边形ABCD 中,E,F,G分别是 BA,BD,BC 上的点,EF∥AD,FG∥DC,且 则四边形ABCD 和四边形 EBGF 的周长之比为 ( ) A.4:3 B.3:2 C.4:1 D.2:1 7.「2024陕西咸阳武功期末」四边形 ABCD∽四边形A'B'C'D',AB:A'B'=1:4,，若四边形ABCD的周长为3,则四边形A'B'C'D'的周长为 . 能力提升 8.如图，在正方形网格中，A，B,C,D 是网格线的交点,AC 与 BD 相交于点 O,则△ABO 的周长与△CDO 的周长之比为 ( ) A.1:2 B. :2 C.1:4 D. :4 9.「2025山东枣庄市中期中, 」如图,△ABC∽△ADE, 则DE的长为( ) A. C.3 D.6 10.「2025四川威远新场中学期中, ☆☆」如图,D、E 分别是△ABC 的边AB、BC 上的点,且 DE∥AC,AE、CD相交于点 O,若 则 的值为 ( ) A. B. C. D. 11.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF,已知四边形 BFED 是平行四边形， (1)若AB=8,求线段AD的长. (2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积. 素养提优 12.新课标的如图，有一边长为5cm 的正方形 ABCD和等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线上，当C、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1 cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，ts后正方形ABCD 与等腰三角形 PQR 重合部分的面积为 S cm². (1)当t=3时,求S的值. (2)当t=5时,求S的值. 13.新应用意识「2025山西长治壶关期中」阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心. (1)特例感知：如图 a，已知边长为 2 的等边△ABC 的重心为点 O,求△OBC 与△ABC 的面积. (2)性质探究：如图b，已知△ABC的重心为点O，请判断 是否都为定值?如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由. (3)性质应用：如图c，在正方形ABCD中，点E 是CD 的中点,连接BE 交对角线AC 于点 M. ①若正方形 ABCD 的边长为 4,求 EM 的长度； ②若 求正方形ABCD 的面积. 7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中对应线段的比 1. C ∵△ABC∽△A'B'C',BD 和B'D'是它们的对应角平分线，∴AC:A'C'=BD:B'D', 故选 C. 2. C 设小孔 O 到像 CD 的距离为 h cm,由题意可知△ABO 与△CDO 相似,∵6 cm长的蜡烛AB 在暗盒中所成的像CD的长是1 cm， 故选 C. 3. A ∵AB∥CD,∴△COD∽△BOA, 故选 A. 4 答案 4 .9 解析 ：两个相似三角形对应边上的高之比是4：9，..这两个相似三角形的相似比为4∶9，∴它们的对应中线之比等于4：9.故答案为4：9. 5 解析 (1)如图所示,△A'B'C'即为所求. (2)(答案不唯一)已知:如图,△ABC∽△A'B'C', D是 AB 的中点,D'是A'B'的中点.求证： 证明:∵ D是AB的中点,D'是A'B'的中点, 6.证明 ∵ △ABC∽△A'B'C',BE,B'E'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线, ∵CD=2BD,C'D'=2B'D', ∵ ∠ABD=∠A'B'D',∴△ABD∽△A'B'D', 能力提升 7. A 如图,过O作ON⊥CD于N,交AB于M, ∵CD∥AB,∴OM⊥AB, ··CD∥AB,∴△CDO∽△ABO,∴OA=OMN, 答案 26 解析 如图，设AF 的延长线交 DE 于点 G， ∵BC∥ED,AF⊥BC,∴△ABC∽△ADE,AG⊥DE, 米,FG=12米, ∴AG=AF+FG=15米,又BC=10米, ∴ DE=50米.∵50÷2=25,∴ DE 上共有 25+1=26棵树，故答案为26. 9.解析 (1)设正方形 PQMN 的边长为 x mm,则 PN=PQ=ED=x mm,∴AE=AD-ED=(80-x) mm, ∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC, 即 解得x=48, ∴ 加工成的正方形零件的边长是48 mm. (2)设 PQ=x mm,则 PN=2x mm,AE=(80-x) mm,. PN∥BC,∴△APN∽△ABC, 即 解得 ..这个矩形零件的两条相邻边长分别为 素养提优 10.解析 结论: 成立. 证明:∵.△ABC∽△A'B'C',且△ABC 与△A'B'C'的相似比为k， ∴∠BAC=∠B'A'C',∠C=∠C',AB:A'B'=k, ∴∠EAB=∠E'A'B', ∵∠ABD=∠BAC+∠C,∠A'B'D'=∠B'A'C'+∠C', ∴∠ABD=∠A'B'D', ∵AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的外角平分线段, ..∠BAD=∠B'A'D',∴△BAD∽△B'A'D', .AD:A'D'=AB:A'B'=k，即 第2课时 相似三角形周长比、面积比的性质 1. D根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方知，若两个相似三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形面积的比是1∶16，故选 D. 2. A . △ABC∽△DEF,∴ △ABC 与△DEF的相似比头头 即相似比为1∶2.根据相似三角形的周长比等于相似比可得△ABC与△DEF的周长比是1∶2.故选 A. 3. D ∵DE∥BC,..△ADE∽△ABC,∵AD:DB=1∶2,∵AD:AB =1 :3,∴ △ADE 和△ABC 的相似比为1∶3，∵周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，∴D 中结论正确.故选 D. 4.答案 解析 ∵AC∥BD,∴△AOC∽△BOD,根据相似三角形的周长比等于相似比知 故答案为 5.解析 (1)∵在平行四边形 ABCD 中,AD∥BC,∴△BEF∽△DAF.∵AD=BC,BE=EC,∴ AD,∴BBAD= ,∴△BEF 与△AFD 的周长之比为1∶2. (2)由(1)可知△BEF∽△DAF,且相似比为 6. B 因为 所以 因为EF∥AD,所以△BEF∽△BAD,所以 因为FG∥CD,所以△BFG∽△BDC, 所以 所以 由EF∥AD,FG∥CD可知∠A=∠BEF,∠C=∠FGB, ∠ADB=∠EFB,∠BDC=∠BFG, 所以∠ADC=∠EFG,又∠ABC=∠EBG, 所以四边形ABCD∽四边形 EBGF, 所以 7.答案 12 解析 ∵ 四边形ABCD∽四边形 四边形ABCD 的周长四边形A'B'C'D'的周长= ,∵四边形 ABCD 的周长为3,∴ 四边形A'B'C'D'的周长为12. 能力提升 8. A设题图中每个小正方形的边长为1，易知 CD=2 ,AB∥CD,∴△AOB∽△COD, ∴△ABO 的周长: △CDO的周长=AB∶CD=1∶2.故选 A. ∵ S△ABC: S△ADE=1:3,∵△ABC∽△ADE, 故选 A. 10. B ∵ D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点,且DE∥AC,∴△DOE∽△COA,△DBE∽△ABC, 故选 B. 11.解析 (1)因为四边形 BFED 是平行四边形,所以DE∥BC,所以△ADE∽△ABC. 所以 因为AB=8,所以AD=2. (2)设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S₁,△CEF的面积为S₂.因为 所以 因为 所以 S=16.因为 所以 因为四边形BFED 是平行四边形，所以EF∥AB，所以△CEF∽△CAB.所以 所以 9，所以平行四边形 BFED的面积： 素养提优 12.解析 (1)过P作 PE⊥QR 于点 E,如图. 在Rt△PQE中，根据勾股定理， 得 当t=3时,QC=3c m.设 PQ 交CD于点 G. ∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP, 即 (2)当t=5时,点 B 与点 Q 重合,CR=3cm,过P 作PE⊥BC于点 E,设 PR与 DC交于点 M,如图. :PE∥DC,∴△RCM∽△REP. 同(1)可求出 即 13.解析 (1)连接DE,如图1, ∵点O是△ABC的重心, ∵AD,BE分别是BC,AC边上的中线,∴D,E分别为BC,AC的中点,∴DE为△ABC的中位线, ∴△ODE∽△OAB, AB=2,BD=1,∠ADB=90°, (2)都是定值.由(1)同理可得 是定值. 同理可得 是定值. (3)①如图2,连接BD交AC于点O,点 O 为 BD 的中点,点 E 为 CD 的中点, ∴点 M 是△BCD的重心, ∵ E 为CD的中点, 且 又 正方形ABCD 的面积为6+6=12. 学科网（北京）股份有限公司 $$