专题3.1 空间向量基本定理（高效培优讲义）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题3.1 空间向量基本定理 教学目标 1.理解并记住空间向量基本定理的内容及含义.. 2.理解基与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量. 3.会用相关的定理解决简单的空间几何问题. 教学重难点 1.重点 通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量. 2.难点 结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题. 知识点01 空间向量基本定理 如果向量是空间三个 的向量，是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组，使得 . 2．基与基向量 （1）由上述定理可知，如果向量是空间三个 向量，那么所有的空间向量组成的集合就是，这个集合可以看成是由向量生成的，这时 叫作空间向量的一组基，其中都叫作 ． (2)空间中任意三个 的向量都可以构成空间的一个基. 【知识剖析】 (1)基中的三个向量不共面就隐含了它们都不是零向量. (2)一个基指的是一个向量组，而一个基向量指的是基底中某一向量，两者是相关联的不同概念. 【即学即练】 1．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．已知不共线，对空间任意一点，若，则四点共面 2.（多选）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 知识点02 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【即学即练】 1．设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 2．已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 题型01 基底的判断 【典例1】若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 判断基底的方法 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【变式1-1】（2025高二上·广东·专题练习）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式1-2】（25-26高二上·湖南湘潭·阶段练习）若构成空间一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-3】若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 题型02 用基向量表示其它向量 【典例2】（25-26高二上·广西钦州·阶段练习）在四面体中，点满足，为的中点，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·广西河池·阶段练习）如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【典例3-1】（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正三棱柱中，设，，，底面边长为．（注：正三棱柱的侧棱垂直于底面，底面为正三角形） (1)以为基底表示向量、； (2)若，求证：； (3)若，求． 【典例3-2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为. (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值. 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角). 【变式3-1】平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，，，. (1)证明：； (2)求的长度. 一、单选题 1．（25-26高二上·天津东丽·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·云南丽江·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）在四面体中，点G是的重心，设，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 6.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 7.如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 8．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·福建·阶段练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．若向量与空间任意向量都不能构成基底，则； B．若非零向量满足，，则有； C．若是空间向量的一组基底，且，则四点共面； D．若向量是空间向量一组基底，则也是空间向量的一组基底. 10．（25-26高二上·河北沧州·阶段练习）已知是空间向量的一个基底，，则下列选项中不能作为空间向量的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·湖北·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 三、填空题 12．正方体中， ．（用、、表示） 13（25-26高二上·天津·阶段练习）如图，在平行六面体中，与的交点为. （1）设，则 (用表示) （2）若，，则与所成角的余弦值为 . 14．（25-26高二上·河南·阶段练习）三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为 ． 四、解答题 15．（25-26高二上·北京昌平·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，点为线段中点. (1)求； (2)求 16．（25-26高二上·贵州·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，E是棱的中点，点F在棱上，且.设，，. (1)用向量，，表示向量与； (2)求向量与夹角的余弦值. 17．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 18．（25-26高二上·河南·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面是正方形，点分别在棱，上，且．    (1)证明：四边形是平行四边形； (2)设，求的值； (3)若，求． 19．（25-26高二上·浙江·阶段练习）在如图所示试验装置中，由矩形和构成，且，，.，分别在对角线，上移动，且与长度保持相等.记，，，且，. (1)当时，用向量，，表示，. (2)为何值时，的长最小？ (3)是否存在，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 空间向量基本定理 教学目标 1.理解并记住空间向量基本定理的内容及含义.. 2.理解基与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量. 3.会用相关的定理解决简单的空间几何问题. 教学重难点 1.重点 通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量. 2.难点 结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题. 知识点01 空间向量基本定理 如果向量是空间三个不共面的向量，是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组，使得. 2．基与基向量 （1）由上述定理可知，如果向量是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是，这个集合可以看成是由向量生成的，这时叫作空间向量的一组基，其中都叫作基向量． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基. 【知识剖析】 (1)基中的三个向量不共面就隐含了它们都不是零向量. (2)一个基指的是一个向量组，而一个基向量指的是基底中某一向量，两者是相关联的不同概念. 【即学即练】 1．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．已知不共线，对空间任意一点，若，则四点共面 【答案】ACD 【详解】对于A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对于B，由，可得，因，则，故B错误； 对于C，假设共面，则存在，， 因向量组是空间的一个基底，故不存在使得成立， 故假设不成立，不共面，即也是空间的一个基底，故C正确； 对于D，因，且，故四点共面，即D正确. 故选：ACD. 2.（多选）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 【答案】AC 【分析】根据空间向量共面定理判断A，利用特殊值判断B、D，根据空间向量基本定理判断C. 【详解】对于A：因为，， 所以， 因为，所以， 所以向量，，共面，故A正确． 对于B、D：若，，，则，，共面， 令，则，，，可为任意实数， 此时由，， 得不到，也得不到，故B、D错误； 对于C：若，，不共面，由，， 则，，，故C正确； 故选：AC 知识点02 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【即学即练】 1．设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 2．已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 【答案】AC 【分析】根据空间向量共面定理判断A，利用特殊值判断B、D，根据空间向量基本定理判断C. 【详解】对于A：因为，， 所以， 因为，所以， 所以向量，，共面，故A正确． 对于B、D：若，，，则，，共面， 令，则，，，可为任意实数， 此时由，， 得不到，也得不到，故B、D错误； 对于C：若，，不共面，由，， 则，，，故C正确； 故选：AC 题型01 基底的判断 【典例1】若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 判断基底的方法 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【变式1-1】（2025高二上·广东·专题练习）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】由向量不能构成基底，可得向量共面，根据空间向量基本定理，待定系数求解即可. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以存在实数、使得， 即， 即， 因为是空间的一个基底， 则，解得． 故选：． 【变式1-2】（25-26高二上·湖南湘潭·阶段练习）若构成空间一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】要判断向量是否共面，需依据向量共面定理：三个向量共面的充要条件是其中一个向量可由另外两个不共线向量线性表示，用此定理一一进行检验即可判断. 【详解】构成空间的一个基底，不共面. 选项A：因，则三个向量共面； 选项B：因，则三个向量共面； 选项C：假设共面，则存在，使得， 这与不共面相矛盾，故假设不成立，即不共面； 选项D：因，则三个向量共面. 故选：C. 【变式1-3】若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一判断选项中的向量是否与共面即可，如果不共面就符合题意. 【详解】由题意知，不共面，对于选项A，，故共面，排除A； 对于选项B，，故共面，排除B； 对于选项D，由选项A得，，故共面，排除D． 对于C，，向量，而不与共面，故C正确. 故选：C. 题型02 用基向量表示其它向量 【典例2】（25-26高二上·广西钦州·阶段练习）在四面体中，点满足，为的中点，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】用基底表示表示求出即可得解. 【详解】由题意知， 因为，所以，则. 故选：B 1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 【变式2-2】（25-26高二上·广西河池·阶段练习）如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，根据向量的线性运算即可求解. 【详解】,， 所以， 所以， 所以 . 故选：A. 【变式2-3】在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的基底，结合几何图形表示出. 【详解】在直三棱柱中，. 故选：A 题型03 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【典例3-1】（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正三棱柱中，设，，，底面边长为．（注：正三棱柱的侧棱垂直于底面，底面为正三角形） (1)以为基底表示向量、； (2)若，求证：； (3)若，求． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理可得出、关于基底的表达式； （2）利用空间向量数量积证明出，即可证得结论成立； （3）利用空间向量数量积的运算结合可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】（1）在正三棱柱中，，，， 则，. （2）由题意可知，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 所以， 故. （3）， ， ， 故，解得. 【典例3-2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为. (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记，根据空间向量的运算表示出，根据向量模的计算即可得答案； （2）求出空间向量的数量积和它们的模长，根据空间向量的夹角的计算，即可求得答案. 【详解】（1）记，则， ∴， 因， ， ∴，即的长为. （2）因为，故，故， 由（1）知，， 故 ， ∴. 所以与所成角的余弦值为. 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角). 【变式3-1】平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用空间向量基本定理表示出，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】解：如图， 可得， 故 ． ． 故选：A 【变式3-2】（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，，，. (1)证明：； (2)求的长度. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）设，，，将和用表示，再利用向量垂直证明线线垂直即可； （2）用表示，再求的模长即可. 【详解】（1）设，，， 则，， ，， ，，，，，， ，， ， ， ，即； （2），， . 的长度为. 一、单选题 1．（25-26高二上·天津东丽·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果. 【详解】选项A，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得， 得到共面，与已知矛盾，所以A正确； 选项B，因为，所以共面，所以B错误； 选项C，因为，所以共面，所以C错误； 选项D，因为，所以共面，所以D错误. 故选：A. 2．（25-26高二上·云南丽江·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基底的定义进行判断即可. 【详解】A：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； B：假设是共面向量， 所以存在实数，使得成立， 因为为空间的一个基底， 所以有，显然方程组无实数解，因此假设不成立， 所以本选项向量能构成空间的一个基底； C：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； D：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底， 故选：B 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）在四面体中，点G是的重心，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据G是的重心，可知，再根据向量加法、减法法则即可求解. 【详解】∵G是的重心，∴. ， . 故选：B 4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量基本定理用表示出，求得后可得结论． 【详解】由题意， 又， 所以，只有D正确， 故选：D． 5．（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据四面体的性质，结合向量加减法求向量的数量积． 【详解】四面体的棱长都是4， 四面体的4个面均为边长是4的等边三角形， 点M为棱的中点， ， ， 故选：A． 6.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 7.如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取空间向量的一个基底，利用空间向量法求出异面直线的夹角余弦值. 【详解】在平行六面体中，， ，记，， 则， ，， ， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：C 8．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用、、表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】如下图所示： 因为，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， 故，则线段的长度为． 故选：C． 二、多选题 9．（25-26高二上·福建·阶段练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．若向量与空间任意向量都不能构成基底，则； B．若非零向量满足，，则有； C．若是空间向量的一组基底，且，则四点共面； D．若向量是空间向量一组基底，则也是空间向量的一组基底. 【答案】AD 【分析】根据空间向量基底的概念，可判定A正确；举出反例，说明满足，，但 与不共线，可判定B错误；设，结合，列出方程组，求解即可判定C错误；假设，列出方程组，求解即可判定D正确. 【详解】对于A，若向量与空间任意向量都不能构成基底， 即向量与空间任意向量共面，所以，所以A正确； 对于B，若向量， 此时满足，，但与不共线，所以B错误； 对于C，因四点共面，等价于存在实数，使得， 即， 可得， 因为，故需使 ，而此方程组无解， 故四点不共面，即 C错误； 对于D，假设存在不全为的实数，使得， 可得， 因为向量是空间向量的一组基底，不共面， 所以，即， 即线性无关，故它们可以作为空间向量的基底，所以D正确. 故选：AD. 10．（25-26高二上·河北沧州·阶段练习）已知是空间向量的一个基底，，则下列选项中不能作为空间向量的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的基底概念，结合共面向量基本定理逐一判断即可. 【详解】对于A，假设，则， 因不共面。故，该方程无解，故不共面，可作为空间向量的一个基底，故A不符合题意； 对于B，因，故不能作为空间向量的一个基底，故B符合题意； 对于C，因，故不能作为空间向量的一个基底，故C符合题意； 对于D，因，故不能作为空间向量的一个基底，故D符合题意. 故选：BCD. 11．（24-25高二下·湖北·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【答案】ACD 【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD. 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．正方体中， ．（用、、表示） 【答案】 【分析】根据空间向量的运算转化求解即可. 【详解】在正方体中， . 故答案为：. 13（25-26高二上·天津·阶段练习）如图，在平行六面体中，与的交点为. （1）设，则 (用表示) （2）若，，则与所成角的余弦值为 . 【答案】 / 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】（1）由 . （2）由（1）知，， 则 ， 所以， 而 ， 所以， 则与所成角的余弦值为. 14．（25-26高二上·河南·阶段练习）三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为 ． 【答案】/1.5 【分析】先利用重心和中点的性质，把用表示出来，再结合已知条件得出的关联，最后利用基本不等式求解． 【详解】   点为的重心， ， 为的中点， ， ，，， ， 四点共面， ， ， ，当且仅当时取等号． 四、解答题 15．（25-26高二上·北京昌平·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，点为线段中点. (1)求； (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先设，，，得到，再平方即可得到答案； （2）由，，结合数量积的运算律求解数量积即可. 【详解】（1）因为在平行六面体中，点为线段中点，即． 设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底． 则， 因为． 所以； （2）． 又， 所以 ． 16．（25-26高二上·贵州·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，E是棱的中点，点F在棱上，且.设，，. (1)用向量，，表示向量与； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，结合图形关系，计算即可得答案. （2）根据（1）及题干条件，分别求出、，根据运算法则，求出，代入夹角公式，即可得答案. 【详解】（1）连接，因为四边形ABCD是正方形，所以， 则. 因为E是棱的中点，所以. 因为，所以， 则 . （2）因为四边形ABCD是正方形，所以，即. 因为，且， 所以. 则， ， ， 因为， 所以， 即向量与夹角的余弦值是. 17．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. （3）因为． 所以. 18．（25-26高二上·河南·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面是正方形，点分别在棱，上，且．    (1)证明：四边形是平行四边形； (2)设，求的值； (3)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件将向量用向量表示出来得出即可证明结论； （2）利用向量的线性表示将向量用向量表示出来即可解决问题； （3）利用向量数量积，先把向量用向量表示出来，然后利用向量法求模即可. 【详解】（1）因为， 所以，     ， 所以，     所以四边形是平行四边形． （2）由（1）知， ，     所以，     由， 所以，，，． （3）因为四边形是正方形， 所以， 因为，，， 所以，     易知在四棱柱中， ，     所以 . 19．（25-26高二上·浙江·阶段练习）在如图所示试验装置中，由矩形和构成，且，，.，分别在对角线，上移动，且与长度保持相等.记，，，且，. (1)当时，用向量，，表示，. (2)为何值时，的长最小？ (3)是否存在，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)存在 【分析】（1）根据向量的线性运算法则结合图象求，再结合关系求； （2）由条件结合向量线性运算可证明，再结合向量的模的性质和数量积的性质求，再结合二次函数性质求结论； （3）假设存在使得平面，由此可得，，结合（2）列方程求即可. 【详解】（1）， ， . （2）因为，则，， 可得 ， 又，，， ，，，，， 所以，，，，，， 所以，，， ， 当时，的最小值为. （3）假设存在使得平面，又，平面， 可知，， 由（2）知，，可得. 且， 化简得，解得， 故存在，使得平面. 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $