专题01 数列的概念（压轴题6大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01数列的概念 目录(Ctrl并单击鼠标可跟踪链接) 典例详解… 类型一、数列中的规律问题 … 类型二、根据递推关系求通项 类型三、利用an与Sn的关系求通项 类型四、数列的单调性及其应用 9 类型五、求数列中的最大（小）项 12 类型六、数列的周期性及其应用 15 压轴专练 18 典例详解 在类型一、数列中的规律问题 由数列的前几项求数列的通项公式 (1)各项的符号特征，通过(-1”或(-1)来调节正负项。 (2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系。 (3)相邻项（或其绝对值）的变化特征. (4)拆项、添项后的特征。 (5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律. 【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想 由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的， 1.(24-25高二下陕西期中)已知数列1，-√2,5，-2，√5，…，则该数列的第36项为() A.-36 B.36 C.-6 D.6 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.“三分损益法“是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二 根琴弦的长度是第一根琴弦长度的？ 第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是碗 三根琴弦长度的 第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的.琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根 琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽“，则“宫“与“角“所对琴弦长度之比为() A.9 3 9 81 D. 64 3.(2025高二·全国.专题练习)如果数列1,5,12,22，中的每一项都可用如图所示的图形表示出来， 那么这个数列的第8项为(). ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●●● ●●●● A.70 B.92 C.105 D.118 4.(25-26高二上全国·单元测试)如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一 个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为() A.1023 B.1024 C.2047 D.2048 5.(23-24高二上·吉林长春·期中)分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传 统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照o·,●。的分形规律生长成的一个树形图，则第11 行的实心圆点的个数是() …第1行 …第2行 ·第3行 …第4行 Q…第5行 。…第6行 A.89 B.55 C.34 D.44 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、根据递推关系求通项 1,2425商二上全国果后作业：数列安。的第n项a,与第+1项4的关系是() 1 1 A.a=2a B.an+1=-2a C.a1=20 D.a=20 2.已知数列a,满足a=2,a=2-1(n≥2引，则0的值为() an- 2025 2026 2024 2025 A.2026 B. C. D. 2025 2025 2024 3.(24-25高二上河南·月考)（多选题)一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上， 则往前跳两格；若反面朝上，则往前跳一格.记跳到第n格有a,种情况，数列{an}的前n项和为Sn,则() A.as =35 B.a10=89 C.Ss=87 D.S1=375 4.(24-25高二下·全国课后作业)数列1,3,6,10,15，的递推公式可以是an=a-+_neN,n≥2) .又a0=55,则a12=. 5.(24-25高二下全国·课后作业)分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第6项. (1)13,31,49,67,.; (2)1,3,7,15,…. 类型三、利用4n与Sn的关系求通项 数列的通项an与前n项和S.的关系 S,n=1 as-S,n≥2 ①当n=1时，a1若适合S。-S-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项a。: ②当n=1时，a1若不适合S,-S,1,则用分段函数的形式表示 1.(25-26高二上·甘肃酒泉·月考)数列{an}的前n项和S。=3n2+n,则a,=() A.140 B.120 C.40 D.52 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2425高二下北京期中)设数列a,的前项和为S.若4=2，S,=n+la,则a。=（) 2 A.18 B.12 C.6 D.3 3.己知Sn为数列an}的前n项和，若nan=S1+1n≥2，a1=0,则S2s等于() A.0 B.1012 C.2025 2 D.2025 4.（25-26高二上·江苏苏州·月考)（多选题）已知数列an}的前n项和满足S。=2”-1,下列说法正确的是() A.a=1 B.a=n C.a =2-1 D.am-2"-1 5.数列{an}的前n项和为Sn,若a,=2,an1=3Sn（n∈N),则a=一， 6.(25-26高二上甘肃白银月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且S,=n2+4,则an=一 7.己知数列{an}满足a,+2a2+…+2"-a,=n…2”,则数列{an}的通项公式为 类型四、数列的单调性及其应用 判断数列的单调性的方法 (1)作差比较法： a1-a。>0一数列{an}是递增数列；a41-a。<0一数列{an}是递减数列： an1-an=0一数列{an}是常数列. (2)作商比较法： i当a,>0时，则1>1÷数列a,}是递增数列：出<1s数列{a}是递减数列； a an al=1台数列{an}是常数列 an iⅱ当a,<0时，则出>1s数列{a,}是递减数列；0出<1e数列{a}是递增数列； a amh=1~数列{an}是常数列， an (3)结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到 4/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 数列中去 1.(24-25高二下.四川绵阳·期末)己知{an}是一个无穷数列，“a>a2”是“{an}为递增数列的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 [(6-t)n+8,n≤4 2.(24-25高二上湖南长沙期中)已知数列{an}的通项an= t-3,n≥5 ,n∈N,若{an}是递增数列， 则实数t的取值范围是() A.(1,6 B.4,6 C. D.[4,6 3.(多选题)下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是() A.a=1+n B.am=2n2-5n+1 1 C.a,=4 n+1,n≤2 D.a= 12m-,n>2 4.设数列{an}的通项公式为a,=n2+kn,若数列an}是递增数列，则实数k的取值范围为 5.写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①an}是无穷数列；②an}是单调递减数列；③ -2<a。<0.这个数列的通项可以是 类型五、求数列中的最大（小）项 求数列最大（小小项的方法 (1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项. (2)利用 a,之a,求数列中的最大项a, an≥an-l 利用 a,≤aH,求数列中的最小项a。 an≤an- 当解不唯一时，比较各解大小即可确定， 3 1.(24-25高二下江西景德镇期未)已知数列的通项公式a,=-n+3m+,则数列a,}的最大值是《) A.3 B.2 4 D.4 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 包，25-2高三上成都月考)巴知数列Q,的通项公式为0,5，前硕和为S,则下列结论霜 误的是() A.{an}的最小项是a,=-5,最大项是a=6 B.当n=7时，Sn最小 C.VneN',a <a+ D.3n∈N',an<am+ 3.(25.26高二上江苏苏州月考)数列a,的通项公式为a,=n(m+,b,满足：b,=a, 则数列 {bn}的最大项是第()项. A.6 B.7 C.8 D.9 4.(24-25高二上上海月考)已知数列{a,满足a,=” ,n为正整数，则该数列的最大项是第项 n2+6 5.(2025高二全国专题练习)已知数列{an}的通项公式为a, 3 n2,则数列{an}的最大项为第项. 6.(23-24高二下辽宁大连月考)已知数列a,的通项公式0.-n-17 则a,最小的项是第项 n-V198 类型六、数列的周期性及其应用 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值， 1.(24-25高二下江苏盐城期末)数列a,满足a=3，a=1-。,则a:=（） B c. D.3 2.己知数列an}满足an+1=1+anan+1,a1=2,则此数列前100项的和为（) A贸 B. 99 C.50 D.103 2 3.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种 运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 想).已知数列an}满足a1=1,a+1= ,当a,为偶数时， 2’ 则a2025=（） 3an+1,当an为奇数时， A.1 B.2 C.4 D.8 1 4.(24-25高二上福建南平.期末)已知数列an}满足：an+1= 2a.05a.<i,aeN）,若a号则 1 2a,-l2≤a,<1 02025=（) A B c 1 D.5 5.2425高二上广顶资活期未)若数列a满足a=9,a.则a 6。已知数列a,的首项a=l,a-4,=cos,neN,记S为数列a,的前项之和，则Se的值 压轴专练 1.(24-25高二下·辽宁丹东·期中)已知数列1，-3,5，-7,9，…，则该数列的第99项为（) A.-197 B.197 C.-199 D.199 2.(24-25高二上·广东清远·期末)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据 沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,4,9,16称 为正方形数则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为() 4 10 16 A.22 B.26 C.35 D.51 3.(24-25高二上北京期末)在数列a,中，4=2，a,+1=1(n≥2，mN,则ay=（) an-1 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.-1 B.1 C. D.2 4.(23-24高二下·湖南·月考)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普 遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个 树形图.若记图2中第行黑圈的个数为a,白圈的个数为b.,则下列结论错误的是（) 第1行 、 第2行 0<8 第3行 图1 图2 A.a4=8 B.b=13 C.an=2an+bn D.b=2a-b 5.数列an}的通项公式为a,=n2-10n+21,则当该数列的前n项和取得最小值时，n的值为() A.5 B.7 C.7或8 D.6或7 6.已知a,=n+2，则0<1<2是数列a,}是递增数列的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7.己知数列{an}的前n项的积为Tn,且Tn=n(n=1,2,3,）,则数列{an}(). A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 1 8.己知数列(an}满足a+1= 2a0a2若a9,则@s的值为（) 2a,-1, 5≤an<1. 2 A.S B.月 c 9.(24-25高二下·广东珠海期中)如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三 等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪 花”状的曲线设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为S,S2 ,S,S4,面积的改变量AS,=S1-S,i=1,2,3,则△S2=() 8/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 人 ① ④ A.45 B.8V5 C.4v5 D.8V5 9 9 27 27 10.己知数列{a}的前n项和是Sn,若S。=(-1)an+n,n∈N,则a2=() A.-1 B.1 C.2 D.3 11.(24-25高二下.四川成都月考)已知数列{an}的通项公式为a,=n2-2tm+5,(n∈N),若{an}是单调递 增数列，则实数t的取值范围是() A.) B.(0,1) C.(-o,1) D 12.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且a+2= an,n为奇数 a1-an,n为偶数’ 则{an}的前50项的和为() A.36 B.39 C.41 D.45 13.(24-25高二下·四川绵阳·月考)（多选题）下列通项公式中，数列{a}是递增数列的是() A.an=2n-11 B.an=-3n+32 C.a-2) D.an=23" 14.(24-25高二下·广东揭阳·月考)（多选题)记Sn为正项数列(an}的前n项和，且Sn=a-an+1,则() A.a=1 B.S2=2 C.数列an}单调递增 D.an+1-l≤an 524,25高下广东佛山期末)（多选樱）已知数列a的前n项和为S,a,”neN,则( A.数列{an}是递减数列 B.当且仅当n=7时，an取得最小值 C.数列Sn}是递减数列 D.当且仅当n=7时，Sn取得最小值 16.(23-24高二下四川成都期末)（多选题）已知数列a,的通项公式为a=”-8 ,前n项积为 n-V99 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S,,则下列说法正确的是() A.在数列{an}中，ao是最大项 B.在数列an}中，a,是最小项 C.数列Sn}单调递减 D.使Sn取得最小值的n为9 1 17.(24-25高二下江西宜春月考)（多选题）已知数列a,的前n项和为S，4=2a,0a,+1=0, 则() A.a4=2 B.a1,a2,a3成等比数列 C.a3n-ia3na3n+=-1 D.2S2025=2025 18.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=3”-1,则其通项公式an= 19.1202年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即1， 1,2,3,5,8,13,21,34,55,.该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着 广泛的应用若此数列各项被3除后的余数构成一新数列an},则数列{an}的前2025项的和为 20.(24-25高二下·黑龙江绥化期中)己知Sn为数列an}的前n项和，a1=1,a1+2Sn=2n+1，,则 S2024= 21.(24-25高二下·广东深圳期末)已知数列an}满足a,+3a2+…+3an=n·3，则a2o25=一 22.在数列{an}中，an=(2n-1 7-8 则数列{an}中的最大项是第_项. 23.(2526高=上甘肃兰州月为)数列a的前n项和S=广+2，数列△}满足么=以+，则 数列{bn}的最大项为第项 24.分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)1,2,4,7,11,. (2)-1,2,5,8,11, (3)1,-2,4,-8,16, 10/10 专题01 数列的概念 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、数列中的规律问题 1 类型二、根据递推关系求通项 4 类型三、利用an与Sn的关系求通项 6 类型四、数列的单调性及其应用 9 类型五、求数列中的最大（小）项 12 类型六、数列的周期性及其应用 15 压轴专练 18 类型一、数列中的规律问题 由数列的前几项求数列的通项公式 （1）各项的符号特征，通过或来调节正负项． （2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． （3）相邻项(或其绝对值)的变化特征． （4）拆项、添项后的特征． （5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的. 1．（24-25高二下·陕西·期中）已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 【答案】C 【分析】归纳可得该数列的通项公式为，再代入计算可得. 【详解】因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为， 所以. 故选：C 2．“三分损益法“是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽“，则“宫“与“角“所对琴弦长度之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设基准琴弦的长度为，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度，并把五根琴弦的长度从大到小排列，从而可求出“宫”和“角”对应的琴弦长度之比. 【详解】设基准琴弦的长度为，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为， 五根琴弦的长度从大到小依次为 所以“宫“与“角对应的琴弦长度分别为和，其长度之比为． 故选：D. 3．（2025高二·全国·专题练习）如果数列，，，，中的每一项都可用如图所示的图形表示出来，那么这个数列的第8项为（   ）． A．70 B．92 C．105 D．118 【答案】B 【分析】解法1：从数列的项和项之间的关系角度找规律求解即可； 解法2：从图形角度找规律求解即可． 【详解】解法1：从1，5，12，22中可以得到规律，后三项是各自前一项依次加，，， 则此数列的第8项应为． 解法2：从图形角度，第二个图形可以看成一个点加上一个正方形数，即； 第三个图形可以看成三角形数“”和正方形数“”的和，即． 同理得第四个图形表示的数为， 以此类推，可知第八个图表示的数为. 故选：B． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【答案】C 【分析】根据题意，得图形1的面积，图形2的面积，图形3的面积，以此类推，进而得图形的面积，即可求出第10个图形的面积. 【详解】根据题意，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为， 则图形1的面积，图形2的面积， 图形3的面积， 图形4的面积， 以此类推， 则图形的面积 则第10个图形的面积为． 故选：C. 5．（23-24高二上·吉林长春·期中）分形几何学是在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第11行的实心圆点的个数是（    ） A．89 B．55 C．34 D．44 【答案】B 【分析】记第行实心圆点的个数为，由图中实心圆点个数的规律可知，由此即可计算出答案. 【详解】设第行实心圆点的个数为， 由题图可得，，，，，，，……， 则， 故，，，，． 故选：B． 类型二、根据递推关系求通项 1．（24-25高二上·全国·课后作业）数列的第n项与第项的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列中从第二项起，每一项与前一项的比是同一个常数（不为零）进行求解即可. 【详解】因为 所以， 故选：D 2．已知数列满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用递推关系和迭代法，依次求出前五项，通过归纳法可得通项公式，并进行检验，然后作出判断即可. 【详解】由，可得： 以此类推，可归纳， 经检验，当时，有，所以仍然满足，故， 故选：B. 3．（24-25高二上·河南·月考）（多选题）一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，则往前跳两格；若反面朝上，则往前跳一格.记跳到第格有种情况，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得出递推公式，逐个代入依次求解出. 【详解】根据题意，跳到第格有两种可能，一种是从第格跳过来，有种方式， 另一种是从第格跳过来，有种方式，所以． 因为 所以. 所以，， 故选：BCD. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是 ．又，则 ． 【答案】 n 78 【分析】找规律得到，并根据得到. 【详解】由已知可得，，，，， 所以递推公式可以写成． 所以． 故答案为：，78 5．（24-25高二下·全国·课后作业）分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第项． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据数列前项，类比推理出递推公式，即可求得第项； （2）根据数列前项，类比推理出递推公式，即可求得第项. 【详解】（1）由，，， 故可得，递推公式为，，． （2）由，，， 所以，，． 类型三、利用an与Sn的关系求通项 数列的通项an与前n项和Sn的关系 ①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示. 1．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 【答案】D 【分析】利用与的关系即可求解. 【详解】由，得. 故选：D 2．（24-25高二下·北京·期中）设数列的前项和为．若，，则（    ） A．18 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据作差得到，再一一求出前几项即可. 【详解】因为，当时， 所以，即， 所以， 又，所以， 由，则，由，则，由，则， 由，则. 故选：B 3．已知为数列的前项和，若，则等于（    ） A．0 B．1012 C． D．2025 【答案】B 【分析】根据计算得，再应用前n项和计算求解. 【详解】因为，当， 两式作差得， 所以，所以，又因为， 因为，当时，所以，所以， 所以. 故选：B. 4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）（多选题）已知数列的前n项和满足，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据求解，再结合求解通项公式，根据选项即可判断. 【详解】因为，时，， 又，也适合，所以， 故AC正确；BD错误. 故选：AC 5．数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】384 【分析】根据前项和的递推公式求得，然后求出，即可求解. 【详解】①，②， 两式相减得，故， 令中得，，所以． 故答案为：384 6．（25-26高二上·甘肃白银·月考）已知数列的前n项和为，且，则 ． 【答案】 【分析】分当和结合依次求出和，再检验是否满足即可得解. 【详解】当时，， 当时，，此时不成立， 所以. 故答案为： 7．已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】，当时，，两式相减即可得解，注意验证是否成立即可. 【详解】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 故答案为：. 类型四、数列的单调性及其应用 判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法： ⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法： ⅰ.当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列； ⅱ.当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合数列的单调性判断即可. 【详解】因对于数列，取，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件， 若为递增数列，则， 所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要而不充分条件， 故选：B 2．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，列出不等式组求解即可. 【详解】解：由已知得，即，解得. 故选：B. 3．（多选题）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数列单调性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由于，故数列是递增数列； 对于B，由于，故数列是递增数列； 对于C，由于，，故数列不是递增数列； 对于D，由于， 当时，，，即， 又，所以数列是递增数列． 故选：ABD. 4．设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据数列的单调性，得到，从而得到对于任意的恒成立．求出，得到. 【详解】由数列是递增数列，可得，对于任意的恒成立， 即，即， 即对于任意的恒成立． 因为单调递减，所以，所以． 故答案为： 5．写出一个符合下列要求的数列的通项公式：①是无穷数列；②是单调递减数列；③.这个数列的通项可以是 . 【答案】，答案不唯一. 【分析】数列时特殊函数，利用函数的性质即可得出答案，答案不唯一. 【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是：. 故答案为：，答案不唯一. 类型五、求数列中的最大（小）项 求数列最大(小)项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项. 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 1．（24-25高二下·江西景德镇·期末）已知数列的通项公式，则数列的最大值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由数列的通项对应的函数为二次函数，利用二次函数的性质求解. 【详解】因为，其对应的函数为二次函数， 开口向下，对称轴为，又， 所以或2时，取得最大值，故数列的最大值是. 故选：C. 2．（25-26高二上·四川成都·月考）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，进而得的单调性，即可判断A，当时，，即可判断B，由即可判断C，由，即可判断D. 【详解】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，，所以，故D正确. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 4．（24-25高二上·上海·月考）已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项. 【答案】2和3 【分析】结合对勾函数的单调性求解即可. 【详解】 在上单调递减，单调递增， 且故该数列的最大项是第二项和第三项. 故答案为：2和3 5．（2025高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项． 【答案】7 【分析】通过先作商再作差进行数列的单调性判断，进而找出其最大项． 【详解】由已知得， 则． 当，即时，有； 当时，有． 故， 所以数列的最大项为第7项． 故答案为：7． 6．（23-24高二下·辽宁大连·月考）已知数列的通项公式，则最小的项是第 项． 【答案】 【分析】分离常数，然后利用数列单调性求最小项. 【详解】， 当时，， 当时，，要取最小的项需在此范围内取到， 又当时，为单调递减数列， 所以当时，最小. 故答案为：. 类型六、数列的周期性及其应用 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据给定的递推关系，依次计算确定周期即可得解. 【详解】数列中，，由，得，， ，因此数列是周期数列，周期为3， 所以. 故选：B 2．已知数列满足，，则此数列前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出数列是以为周期的周期数列，计算出、的值，结合数列的周期性可求得数列的前项的和. 【详解】由，得， 所以，， 故数列是以为周期的周期数列， 又，，且， 则此数列前项的和． 故选：D. 3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．已知数列满足则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据分段数列的表达式，先写出前几项得出规律，得出数列是周期数列从而得解. 【详解】由题意可得，， 所以数列是以3为周期的数列，又，所以. 故选：B 4．（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先根据数列的递推公式求出数列的前几项，再找出数列的周期，最后根据周期求出的值. 【详解】解：因为且 所以，， ，， ，， 所以数列是周期数列，且周期为4， 所以. 故选：C. 5．（24-25高二上·广西贵港·期末）若数列满足，，则 . 【答案】/ 【分析】根据题中递推关系，用列举法，确定数列周期，进而可求出结果. 【详解】因为，，所以，，，，…， 所以数列是周期为4的周期数列，故. 故答案为： 6．已知数列的首项，，，记为数列的前项之和，则的值是 ． 【答案】 【分析】由已知递推式求出数列的前项，结合的周期，确定数列的周期为，根据周期求和. 【详解】因为， 所以，，， ，，， 又的函数值取值的周期为，所以的周期为. 所以. 故答案为： 1．（24-25高二下·辽宁丹东·期中）已知数列，则该数列的第99项为（    ） A． B．197 C． D．199 【答案】B 【分析】通过观察数列的规律，写出其通项公式，根据通项公式求项即可. 【详解】通过观察，该数列的通项公式为， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 【答案】C 【分析】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为求解. 【详解】解：如图， 称为五边形数， 从第二项起，后项与前项的差依次为， 所以五边形数的第5项为， 故选：C. 3．（24-25高二上·北京·期末）在数列中，，（，），则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】列出数列的前几项，即可得到是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】因为，（，）， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，则. 故选：A 4．（23-24高二下·湖南·月考）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，即可得到，，根据初始值，由此递推即可求得结果. 【详解】已知表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数， 则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， ∴，，故C正确，D错误； 又∵，， 所以，， ，， ，， ，，故A、B正确. 故选：D 5．数列的通项公式为，则当该数列的前项和取得最小值时，的值为（   ） A．5 B．7 C．7或8 D．6或7 【答案】D 【分析】根据给定的通项公式，判断其单调性及值的正负即可得解. 【详解】由，得当时，数列递减，当时，数列递增， 由，得，因此，当时，， 所以当该数列的前项和取得最小值时，的值为6或7. 故选：D 6．已知，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】作差，利用二次函数性质可判断充分性；取可判断必要性. 【详解】充分性：， 因为的对称轴为，所以在单调递增， 所以的最小值为， 因为，所以， 所以，即数列是递增数列. “”是“数列是递增数列”的充分条件. 必要性：显然，当时，为递增数列. “”是“数列是递增数列”的不必要条件. 综上，“”是“数列是递增数列”的充分不必要条件. 故选：A 7．已知数列的前n项的积为，且，则数列（    ）． A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】A 【分析】根据题设可得，时，进而判断是否存在最值项. 【详解】当时，当时， 所以，而， 故为最小项，为最大项． 故选：A 8．已知数列满足若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系分别计算出部分对应的项，然后可知该数列的周期性进行判断即可. 【详解】逐步计算，可得， ， ， ， ， … 这说明数列是周期数列，.而，所以. 故选：A. 9．（24-25高二下·广东珠海·期中）如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为，，，，面积的改变量，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图①，②，③的雪花图形的作法规律，依次求出，即可求得. 【详解】由图知，， ， ， 故. 故选：C. 10．已知数列的前项和是，若，，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题设可得，令得，再令即可得目标项. 【详解】当，则，故， 当，则， 当，则. 故选：D 11．（24-25高二下·四川成都·月考）已知数列的通项公式为，若是单调递增数列，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列单调递增的性质得到恒成立，进而求出的取值范围. 【详解】因为是单调递增数列，所以对任意恒成立. 已知，则. 所以. 化简不等式 对进行化简： ， 则，移项可得. 因为对任意恒成立，即要小于的最小值. 因为，那么随着的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为，所以，解得. 故选：D. 12．已知数列满足，且，则的前50项的和为（    ） A．36 B．39 C．41 D．45 【答案】B 【分析】根据已知有，由，则，，，依次类推有，再应用分组求和即可得. 【详解】当且为奇数，， 当且为偶数，，则， 而，则，，，依次类推有， 所以. 故选：B 13．（24-25高二下·四川绵阳·月考）（多选题）下列通项公式中，数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可. 【详解】时，比较与的大小， 对于A，， 所以数列是递增数列，A正确； 对于B，， 所以数列是递减数列，B错误； 对于C，， 所以数列是递减数列，C错误； 对于D，， 所以数列是递增数列，D正确. 故选：AD 14．（24-25高二下·广东揭阳·月考）（多选题）记为正项数列的前项和，且，则（    ） A． B． C．数列单调递增 D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A,B，直接代入即可计算；对于选项C,D，可根据进行化简判断. 【详解】对于选项A： ，化简得：. 所以，选项A正确； 对于选项B： ，化简得：. 因为，数列为正向数列，所以. 所以，故B错误； 对于选项CD： . ， 所以，化简， 若，则，即或， 则或（舍去）， 因为，所以，所以，， 所以为递增数列，所以， 所以， 所以，CD正确. 故选：ACD. 15．（24-25高二下·广东佛山·期末）（多选题）已知数列的前n项和为，，则（   ） A．数列是递减数列 B．当且仅当时，取得最小值 C．数列是递减数列 D．当且仅当时，取得最小值 【答案】BD 【分析】利用特殊值法可判断A选项；分析数列的单调性，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，，则，故数列不单调，A错； 对于B选项，， 当且时，且数列单调递减， 当且时，且数列单调递减， 故当且仅当时，取得最小值，B对； 对于C选项，由可得或， 故当时，，故数列单调递增，C错； 对于D选项，由可得， 故当时，；当时，， 所以，当且仅当时，取得最小值，D对. 故选：BD. 16．（23-24高二下·四川成都·期末）（多选题）已知数列的通项公式为 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是（    ） A．在数列中，是最大项 B．在数列中， 是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为 9 【答案】ABD 【分析】判断数列的单调性，由此求得最大项与最小项，进而判断A,B选项，再根据项与1的大小关系判断的单调性及最值判断C，D选项即可. 【详解】，∴当时随着的增大越来越小且小于， 当时随着的增大越来越小且大于，则前项中最大项为，最小项为， 故A，B选项正确； 当时， 当时，,所以数列不是单调递减，C选项错误； 前 n 项积取得最小值时为9，故D选项正确. 故选：ABD. 17．（24-25高二下·江西宜春·月考）（多选题）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．成等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可推导数列是以3为周期的周期数列，由，可得，然后逐项判断即可. 【详解】由，及，得． 因为，所以 ，所以是以3为周期的周期数列， 所以 ，所以B错误，ACD正确． 故选：ACD． 18．已知数列的前项和满足，则其通项公式 ． 【答案】 【分析】应用计算得出通项公式即可求解. 【详解】数列的前项和满足， 当时，， 当时，，满足上式， 则． 故答案为：. 19．1202年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列，则数列的前2025项的和为 . 【答案】2278 【分析】根据题意，列出数列，得到为周期数列，根据周期数列求和即可. 【详解】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以3的余数， 可得数列为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，…， 所以数列是周期为8的数列， 一个周期中8项和为， 又因为， 所以数列的前2025项的和. 故答案为：2278. 20．（24-25高二下·黑龙江绥化·期中）已知为数列的前n项和，，，则 ． 【答案】2024 【分析】由递推关系得到，再由得数列中所有项都为可得答案． 【详解】当时，由得， 两式相减得，即， 因为，所以由，得， 由，得， 所以数列中所有项都为， 则. 故答案为：. 21．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】根据可求. 【详解】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立， 故，即． 故答案为：. 22．在数列中，，则数列中的最大项是第 项． 【答案】 【分析】 利用作商法，结合，判断得的最大项，从而得解. 【详解】因为， 所以，所以， 又，所以当时，，当时，， 所以最大，则. 故答案为：. 23．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）数列的前n项和，数列满足，则数列的最大项为第 项. 【答案】7 【分析】利用时，求得，从而得出，再设的第项最大， 解不等式组可得． 【详解】因为，当时，， 时，， 经检验也符合， 所以， 则， 假设的第项最大， 则，即，解得, 又，所以. 故答案为：7. 24．分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项： (1)1，2，4，7，11，…； (2)，2，5，8，11，…； (3)1，，4，，16，…． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】找出数列的规律，由此求得递推关系，从而求得第项. 【详解】（1）因为：，， ，， 所以，即． 从而． （2）因为， 所以3，即． 从而． （3）因为， 所以．即． 从而． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $