第10-13期(1) 第24章 圆-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学同步测评（人教版 云南专版）

数理报① 夯实基础 第二干四章 圆 24.1.1圆 知识提要：掌握圆的基本概念 新知导学 ○巩固练习 1.连接圆上任意两点的线段叫做 5.下列说法中，正确的是 2.圆上任意两点间的部分叫做 ,简 A.长度相等的两条弧是等弧 称 圆上任意一条直径的两个端点把 B.优弧一定大于劣弧 圆分成两条弧，每一条弧都叫做 一·大于 C.不同的圆中不可能有相等的弦 半圆的弧叫做 小于半圆的弧叫做 D.直径是一个圆中最长的弦 6.如图4，⊙0中以点A为 E 3.能够重合的两个圆叫做 在同圆 个端点的劣弧有 或等圆中，能够互相重合的弧叫做 条 ◆基础练习 7.已知AB是⊙0的弦，A 且AB=4,∠AB0=45°，则 1.如图1，在⊙0中，点A,0,D在一条直线 ⊙0的半径长为 图4 上，点B,O,C在一条直线上，那么图中有弦 8.如图5，点A,B和点C,D分别在以点0为 ( ) 圆心的两个同心圆上，且∠AOB=∠COD, A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 (1)∠C与∠D相等吗？为什么？ (2)已知B,0,D三点在同一条直线上，若 ∠A=40°，∠C=30°，求∠A0C的度数 图1 图2 2.已知A,B为⊙0上的两点，若⊙0的半径 为3，则AB的长不可能是 图5 A.1 B.3 C.5 D.7 3.如图2，AB是⊙0的弦，连接OA,OB.若 AB=OA=2,则∠AOB= 4.如图3，在⊙0中，C,D分别是半径0A, OB的中点，求证：AD=BC 图3 3- 夯实基础 数理极° 24.1.2垂直于弦的直径 知识提要：掌握垂径定理，并能运用垂径定理解决问题 新知导学 1.圆是轴对称图形，任何一条 所在 直线都是圆的对称轴 D 2.垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）》 图5 的直径 弦，并且 弦所对的两条 弧 ◆基础练习 1.如图1，⊙0的弦AB=6,C为AB的中点， Q巩固练习 且0C=4,则⊙0的半径为 6.下列说法正确的是 A.8 B.6 C.5 D.4 A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B.平分弦的直径垂直于弦 C.垂直于直径的直线平分这条直径 D.弦的垂直平分线经过圆心 7.如图6，已知⊙0的半 B D B 径为5，AB是⊙0的弦，AB= 图1 图2 8,点C是线段AB上的动点，连 2.某桥是典型的圆弧形石拱桥，如图2，小 接OC,则OC的最小值是 雅同学测得水面AB宽为8m,拱顶C到水面AB 的距离也为8m,则这座桥的桥拱半径为( 图6 8.已知AB,CD是⊙O中的两条弦，且AB∥ A.4m B.5m C.6 m D.8m CD.若AB=12,CD=16,⊙0的半径是10，求 3.如图3，在半径为4的⊙0中，C01AB于 AB与CD间的距离. D,若点D为OC中点，则弦AB的长为 H C B 图3 图4 4.如图4，已知AB是⊙0的直径，弦CD1 AB于点H,若AB=10,CD=8,则图中阴影部分 的面积为 5.如图5，两个圆都是以点0为圆心，大圆 的弦AB交小圆于C,D两点，求证：AC=BD --4 数理报① 夯实基础 24.1.3弧、弦、圆心角 知识提要：掌握孤、弦、圆心角之间的关系 仙新知导学 A 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 ;如果两个 D 圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么 其余各组量都分别 图5 ◆基础练习 1.如图1，在⊙0中，AB=CD,∠1=45°， 则∠2的度数为 () 巩固练习 A.60° B.30° C.45° D.40° 6.下列命题中正确的是 A.相等的圆心角所对的弦相等 0 B.相等的弦所对的圆心角相等 2 C.相等的弦所对的弧相等 D.等弧所对的弦相等 图1 图2 7.如图6，已知∠A0B=90°，C,D是AB的 2.如图2，AB,BC是⊙0的弦，连接OA,OB, 三等分点，连接AB分别交OC,OD于点E,F OC,若∠AOB=∠BOC,则弦AB,BC之间的数 (1)求∠AEC的度数； (2)求证：AE=BF=CD. 量关系为 ( A.AB =2BC B.AB c 1 C.AB BC D.AB }0 图6 3.如图3,4B是⊙0的直径，BC=CD=DE, 若∠B0C=50°，则∠AOE的度数是 B A 0 拓展练习 图3 图4 8.如图7，在⊙0中，AB 4.如图4，在⊙0中，AB=BC=CD,连接是⊙0的直径，AB=8cm, MO AC,CD,则AC CD(填“>”“<”或 C,D为弧AB的三等分点， B “=”) 若M是弦AB上一动点，则 5.如图5所示，已知AD=BC,求证：AB=CM+DM的最小值是 图7 CD. cm. 5 夯实基础 ①数理招° 24.1.4圆周角 知识提要：掌握圆周角定理及其推论 仙新知导学 6.如图6，四边形ABCD内接于⊙0，已知 ∠A0D=150°，∠B=105°，请比较AC,AD的大 1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 小，并说明理由. 角的 同弧或等弧所对的圆周角 所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是 2.圆内接四边形的对角 图6 ◆基础练习 1.如图1，AB是⊙0的直径，若∠E=30°， 则∠AOD的度数为 A.60° B.35 C.30° D.25° D 巩固练习 D 7.如图7，在四边形 OABC中，OA=OB=OC, 0 若∠2=2∠1，则用等式表 示∠4和∠3的数量关系为 图1 图2 2.如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边 8.如图8，在圆内接四 图7 形，若∠B=76°，则∠D= () 边形ABCD中，AD<AC,∠ADC<∠BAD,延长 A.76° B.86° C.94° D.104° AD至点E,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE= 3.如图3，在⊙0中，点D为弧BC的中点， ∠ADC. ∠C0D=40°，则∠BAD= (1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD 的度数； (2)求证：EF∥BC 0 图3 图4 4.如图4，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上 图8 点.已知∠ABC=60°，⊙0的半径为4，则弦 BC的长为 5.如图5，在⊙0中，AB ∥CD,∠BCD=100°，E为 DC上的任意一点，若点A,B, C,D是⊙0上的四个点，则 E ∠AEC的度数为 图5 -6 数理报① 夯实基础 24.2.1点和圆的位置关系 知识提要：会判断点和圆的位置关系，掌握确定圆的条件，理解反证法 仙新知导学 1.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP =d,则有： (1)点P在圆外曰 02■4■■x (2)点P在圆上曰 图1 (3)点P在圆内台 2.不在同一条直线上的 确定一个 圆 Q巩固练习 3.经过三角形的三个顶点可以作一个圆， 6.如图2所示的网格由 这个圆叫做三角形的 外接圆的圆心边长相同的小正方形组成， 是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这 点A,B,C,D,E,F,G在小正 个三角形的 方形的顶点上，则△ABC的 ◆基础练习 外心是 ( G 图2 A.点D B.点E 1.已知⊙0的半径是5,0P=10,则点P与 C.点F D.点G ⊙0的位置关系是 ( 7.能够说明命题“如果a>b+1,那么a2> A.点P在⊙0外 ,2+1”是假命题的一组反例是：a= b B.点P在⊙O内 C.点P在⊙0上 8.若一个直角三角形的两条直角边长分别为 D.不能确定 6cm,8cm,则它的外接圆的半径为 cm. 2.下列命题不正确的是 ( 9.已知平面上点M到⊙0的最大距离为 A.三点确定一个圆 19,最小距离是3，那么⊙0的半径为 B.三角形的外接圆有且只有一个 10.如图3，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8. C.经过一点有无数个圆 (1)若以A为圆心，8为半径作⊙A,则B,C, D.经过两点有无数个圆 D与圆的位置关系是什么？ 3.用反证法证明“若1a1<3,则a2<9” (2)若作⊙A,使B,C,D三点至少有一个点 时，首先应假设 在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r 4.已知⊙0的半径为2，若点P在圆上，则 的取值范围是 OP 2(填“>”“<”或“=”) 5.如图1，在单位长度为1的正方形网格图 中，一条圆弧经过网格点A(0,4),B(4,4),C(6, 2)三点，请在网格中进行下列操作： 图3 (1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心点D 的位置； (2)请写出点D的坐标为 并求 ⊙D的半径长 夯实基础 数理招 24.2.2直线和圆的位置关系 知识提要：会判断直线和圆的位置关系，掌握切线长定理及内切圆的相关知识 新知导学 4.要在一个三角形铁皮上截下一个面积最 大的圆，此圆圆心应在三角形 () 1.设⊙0的半径为r,圆心到直线1的距离 A.三边高线的交点 为d,则有： B.三条角平分线的交点 (1)直线1和⊙0相交台 C.三边垂直平分线的交点 (2)直线1和⊙0相切台 D.三边中线的交点 (3)直线1和⊙0相离台 5.已知圆的半径等于5，直线1与圆没有交 2.经过半径的外端并且 于这条半 点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 径的直线是圆的切线.圆的切线 于过 切点的半径 6.如图3，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B是 3.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们 点，若∠APB=60°，则∠OPB等于 的 相等，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角 4.与三角形的各边都相切的圆叫做三角形 的 内切圆的圆心是三角形三条角平 分线的交点，叫做这个三角形的 B 图3 图4 季基础练习 7.如图4，⊙0是△ABC的内切圆，若∠A= 1.若半径为5m的圆，其圆心到直线的距离58°，则∠B0C= 是4m,则直线和圆的位置关系为 ( 8.如图5，在⊙0中，AB是⊙0的直径，点E A.相离 B.相交 在⊙0上，∠CAD=∠OAC,AE⊥CD,垂足为点 C.相切 D.无法确定 D.求证：CD是⊙O的切线， 2.如图1，AB与⊙0相切于点A,若∠B= 42°，则∠A0B度数为 ( A.42° B.48° C.58 D.60° 图5 B A 图1 图2 3.如图2，P为⊙0外一点，PA,PB分别切 ⊙0于A,B两点，若PA=6,则PB的长为 A.3 B.6 C.9 D.12 -8 数理报① 夯实基础 Q巩固练习 E,F为切点， (1)若B=34°，∠C=62°，求∠DEF的 9.如图6，∠BAC=36°，点0在边AB上， 度数； ⊙O与边AC相切于点D,交边AB于点E,F,连接 (2)若AB=8,AD=2,AC=5,求BC的长 FD,则∠AFD= ( A.27° B.29° C.35° D.37° 图11 D 图6 图7 10.如图7，在平面直角坐标系x0y中，半径 为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的 距离为 ( A.1 B.1或5 C.3 D.3或5 11.如图8，点0,1分别是 15.如图12，AB为⊙0的直径，取0A的中点 △ABC的外心和内心，连接 C,过点C作CD⊥AB交⊙O于点D,D在AB的 0B,IA,若∠OBC=20°，则 上方，连接AD,BD,点E在线段CA的延长线上， ∠IAB的度数为 ( 且AD=AE. A.20° B.25° (1)求∠E的度数； C.30° D.35° 图8 (2)试判断ED与⊙0的位置关系，并说明 12.如图9，⊙0为△ABC的内切圆，AB= 理由 6,AC=9,BC=10,点D,E分别为BC,AC上的 点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为 图12 0 D 图9 图10 13.如图10，在等腰三角形ABC中，AB= AC,经过A,B两点的⊙O与边AC相切于点A,与 边BC交于点D,AE为⊙O的直径，连接DE,若 ∠C=37°，则∠BDE的度数为 14.如图11，⊙0是△ABC的内切圆，点D, 夯实基础 数理招 24.3正多边形和圆 知识提要：掌握正多边形中的相关概念，以及正多边形与圆之间的关系 仙新知导学 巩固练习 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做 6.如图5，AB是⊙0的内接正n边形的一 这个正多边形的 外接圆的半径叫做边，点C在⊙0上，∠ACB=18°，则n的值是 正多边形的 正多边形每一边所对的 () 圆心角叫做正多边形的 中心到正多 A.8 B.9 边形的一边的距离叫做正多边形的 C.10 D.11 ◆基础练习 1.如图1，点O为正五边形ABCDE的中心， 连接OC,OD,则∠C0D的度数为 A.72° B.54° C.60° D.36° A B 图5 图6 7.如图6，正六边形ABCDEF的边CD,EF分 别与⊙0相切于点C,F,连接OF,OC,则∠C0F 的度数是 A 8.如图7，正六边形ABCDEF内接于⊙O,边 图1 图2 长为2. 2.如图2，弦AC是圆内接正多边形的一边， (1)求⊙0的直径AD的长； 若∠A0C=45°，则该正多边形为 ( (2)求∠ADB的度数 A.正十二边形 B.正十边形 C.正八边形 D.正六边形 3.如图3，正六边形 ABCDEF内接于⊙O,若AB =2,则⊙0的半径为 ·0 图7 4.已知正三角形ABC 的边心距为3cm,则正三 图3 角形的边长为 cm. 5.如图4，有一个亭子，它的地基是边长为 4m的正六边形，则地基的面积为 m2. 图4 --10 数理报① 夯实基础 24.4弧长和扇形面积 知识提要：掌握弧长公式、扇形面积公式、圆锥的相关概念，会进行相关计算 仙新知导学 1.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的 弧长为l= 2.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对扇 ① ② 形面积为S扇形= ;若扇形的弧长为， 图2 则扇形面积S扇形= 7.如图3，将△ABC绕点A顺时针旋转45° 3.把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点 得到△AB'C',若AC=4,则点C运动的路径长 的线段叫做圆锥的 若圆锥的母线长为 为1，底面圆的半径为r,则圆锥的侧面积为 圆锥的全面积为 ◆基础练习 1.在半径为10cm的圆中，90°的圆心角所 对的弧长是 ( ) 图3 图4 A.5m cm B.10m cm 8.如图4，⊙A,⊙B,⊙C,⊙D两两不相交， C.15πcm D.20mcm 且半径都是0.5，则图中四个扇形（即阴影部分）】 2.圆心角为120°，半径为3的扇形的面积为 的面积之和为 Q巩固练习 A.T B.3m C.6T D.9π 9.如图5，AB为⊙0的直径，AB=8,劣弧 3.已知圆锥的底面圆的半径为1，母线长为 2,则该圆锥侧面展开图的面积为 ( AC的长为2π，则弦AC的长为 A.π B.2m C.3m D.4m A.22 B.4 4.如图1，点A,B,C在半 C.42 D.6 径为3的⊙O上，∠ACB= 30°，则B的长为 ( A.3 B. 2 C.T 9 图1 5.若-个扇形的弧长为号，半径为6，则此 图5 图6 10.如图6，Rt△ABC的斜边AC=13cm,直 扇形的面积为 ! 角边BC=5cm,现以较长直角边所在直线为 6.“五育课堂”手工课开课啦！某同学制作 轴，将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则 了一个圆锥模型，如图2，其侧面展开图的圆心这个圆锥的侧面积为 () 角为120°，底面圆的半径OB为1，则这个圆锥的 A.65 cm2 B.65πcm 母线AB长为 C.60 cm2 D.60 cm ----112---2 夯实基础 数° 11.如图7，在△ABC 拓展练习 中，∠A=70°，BC=12, 点D是BC的中点，分别以 E 14.如图10，矩形 A 点B,点C为圆心，BD长 ABCD中，AB=8,AD ---A2 为半径作弧，交AB于点 D =6,将矩形ABCD在 A B A E,交AC于点F,则图中阴 图7 直线1上按顺时针方向 图10 影部分的面积是 不滑动的每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点 12.如图8-①，是一底面为正方形的石凳， A经过的路线长为 其底面边长为30cm,图8-②是其底面示意图， 15.如图11为风力发电机的示意图，叶片 工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点A在地 0A外端A到旋转中心0的距离为20米，叶片OA 面时针旋转，当旋转60°时，点C在地面划出 当前在塔筒OB左侧且与塔筒夹角为30°，当叶 的痕迹长为 cm. 片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B 距离最大时，叶片OA扫过的面积至少为 平方米（结果保留π）. D ① ② 图8 13.如图9，在平面直角坐标系中，以点(2， 图11 0)为圆心的⊙P与y轴相切于原点O,过点 A(-2,0)的直线AB与⊙P相切于点B. 16.如图12，圆锥底面圆的直径BC长是 (1)求AB的长； 6cm,母线AC长是6cm,一只蚂蚁在圆锥表面 从B点爬到AC的中点D处，求该蚂蚁爬行的最 (2)求AB,OA与OB所围成的阴影部分的面 短路径 积（不取近似值）. y↑ B (-2,0) (2,0) A 0 图12 图9 --12-中考数学人教(YN)第10~13期 数理极 答案详解 2025~2026学年中考数学人教(YN) (同步测评Ⅱ)第10~13期 第二十四章 圆 由垂径定理，得AE=BE,CE=DE, 24.1.1圆 所以BE-DE=AE-CE,所以AC=BD. 新知导学 巩固练习 1.弦 6.D;7.3. 2.圆弧弧半圆 优弧 劣弧 8.分两种情况讨论： 3.等圆等弧 ①当AB和CD位于圆心同侧时，如图1，连接OA,OC,过点 基础练习 O作OE⊥AB于点E,交CD于点F 1.B;2.D;3.60° 因为AB∥CD,所以OE⊥CD, 4.证明：因为C,D分别是半径OA,OB的中点， 所以AE=分AB=6,CF=CD=8 所以0C=20A,0D=0B 因为OA=0C=10, 又因为OA=OB,所以0C=0D. 所以0E=√OA-AE=8,0F=√OC-CF=6, 又因为∠0=∠0， 所以EF=OE-OF=2, 所以△AOD≌△BOC, 所以AB与CD间的距离是2. 所以AD=BC. 巩固练习 5.D:6.3;7.22. 8.(1)∠C=∠D.理由如下： 0 因为∠AOB=∠COD, 所以∠AOB+∠AOC=∠AOC+∠COD, 所以∠BOC=∠AOD. 图1 图2 OB OA. ②当AB和CD位于圆心异侧时，如图2，连接OA,OC,过点 在△BOC和△AOD中， ∠BOC=∠AOD O作OP⊥AB于点P,延长PO交CD于点Q. -OC =OD. 因为AB∥CD,所以OQ⊥CD, 所以△BOC≌△AOD, 所以AP=分AB=6,C0=CD=8 所以∠C=∠D. (2)由(1)得△B0C≌△AOD, 因为0A=0C=10, 所以∠A=∠B. 所以0P=OA2-AP=8,0Q=0C-CQ=6, 因为∠A=40°，∠C=30°， 所以PQ=0P+0Q=14, 所以∠B=40°， 所以AB与CD间的距离是14. 所以∠C0D=∠B+∠C=40°+30°=70°， 综上所述，AB与CD间的距离是2或14. 所以∠A0B=70°，∠B0C=180°-∠C0D=180°-70 24.1.3弧、弦、圆心角 =110°， 新知导学 所以∠A0C=∠B0C-∠A0B=110°-70°=40°. 弧相等 相等 24.1.2垂直于弦的直径 基础练习 新知导学 1.C;2.C;3.30°；4.>. 1.直径 5.证明：因为AD=BC,所以AD=BC, 2.平分平分垂直于平分 所以AD+AC=AC+BC,即CD=AB, 基础练习 所以AB=CD. 1.C;2.B;3.45;4.20. 巩固练习 5.证明：过点0O作OE⊥AB于点E, 6.D. 中考数学人教(YN) 第10~13期 7.连接AC,BD, 3.外接圆外心 (1)因为∠A0B=90°，C,D是AB的三等分点， 基础练习 所以∠A0c=号∠A0B=号×90°=30 1.A;2.A;3.a2≥9；4.= 5.(1)如图3所示，点D即为所求， 因为OA=OB,所以∠OAB=∠OBA=45°， 所以∠AEC=∠OAB+∠A0C=45°+30°=75°. (2)证明：因为0A=0C,∠A0C=30°， 所以∠ACE=75°. 由(1)知，∠AEC=75°， 所以∠ACE=∠AEC. 图3 所以AC=AE. (2)由图3可知点D的坐标为(2,0). 同理可得BF=BD 故填(2,0)、 因为C,D是AB的三等分点， 连接DC,由勾股定理得DC=√22+4=25. 所以AC=CD=BD, 所以AE=BF=CD. 所以⊙D的半径长为25. 拓展练习 巩固练习 8.8. 6.C;7.答案不惟一，如a=0,b=-2; 24.1.4圆周角 8.5；9.8或11 新知导学 10.(1)连接AC,因为AB=6,AD=8, 1.一半相等 半圆（或直径） 直径 所以AC=√AB+BC2=√62+82=10. 2.互补 因为⊙A的半径为8， 基础练习 所以AB<8,AD=8,AC>8. 1.A;2.D;3.20°；4.4；5.100°. 所以点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外 6.AC=AD,理由如下： (2)6<r<10. 因为四边形ABCD内接于⊙O, 24.2.2直线和圆的位置关系 所以∠B+∠ADC=180°. 新知导学 因为∠B=105°， 1.(1)d<r(2)d=r(3)d>r 所以∠ADC=180°-105°=75°. 2.垂直垂直 因为∠A0D=150°， 3.切线长平分 所以∠ACD=分∠A0D=分x150=5 4.内切圆 内心 基础练习 所以∠ADC=∠ACD,所以AC=AD. 1.B;2.B;3.B;4.B. 巩固练习 5.d>5;6.30°；7.119° 7.∠4=2∠3. 8.证明：连接OC, 8.(1)因为∠AFE=∠ADC,∠AFE=60°， 因为0A=0C, 所以∠ADC=60 所以∠OAC=∠OCA. 因为CD为直径， 因为∠CAD=∠OAC, 所以∠DAC=90°， 所以∠CAD=∠OCA, 所以∠ACD=90°-60°=30°. 所以OC∥AD. 因为AD=AD, 因为AE⊥CD, 所以∠ABD=∠ACD=30°， 所以OC⊥CD. (2)证明：因为四边形ABCD是圆内接四边形， 又因为0C为⊙0的半径， 所以∠ADC+∠ABC=180° 所以CD是⊙O的切线 因为LAFE=∠ADC, 巩固练习 所以∠AFE+∠ABC=180°， 9.A;10.B;11.D;12.13;13.16° 所以EF∥BC 14.(1)由切线长定理可得BD=BE,CE=CF 24.2.1点和圆的位置关系 所以∠BDE=∠BED,∠CEF=∠CFE. 新知导学 因为∠B=34°，∠C=62°， 1.(1)d>r(2)d=r(3)d<r 2.三个点 所以∠BD=(180-340)=73,∠GEF= ,1(180° 中考数学人教(YN)第10~13期 -62°)=59°， 13.(1)连接PB,因为点A,P的坐标分别为(-2,0)，(2， 所以∠DEF=180°-∠BED-∠CEF=48. 0), (2)由切线长定理可得AD=AF,BD=BE,CE=CF, 所以OA=OP=2, 因为AB=8,AD=2,AC=5, 所以PA=4. 所以BD=6=BE,CF=3=CE, 因为直线AB与⊙P相切于点B, 所以BC=BE+CE=9. 所以PB⊥AB, 15.(1)连接OD,则OA=OD. 所以∠ABP=90°. 因为点C为OA的中点，CD⊥AB, 因为⊙P与y轴相切于原点O,所以PB=OP=2, 所以AD=OD, 所以AB=√AP-BP=√42-2=25. 所以OA=OD=AD, (2)连接OB,因为∠ABP=90°，OA=OP, 所以△OAD是等边三角形， 所以∠OAD=60°， 所以0B=0P=方4P 因为AD=AE, 因为PB=OP, 所以∠E=∠A0E=子∠0AD=30 所以PB=OP=OB, 所以△OPB为等边三角形， (2)ED与⊙O的位置关系是相切，理由如下： 所以∠OPB=60° 由(1)知∠ADE=30°，∠AD0=60°， 所以∠ODE=90°， 所以S阴影=S△AB即一S扇形O8= AB x BP-0 360 所以OD⊥DE. 1 因为OD是⊙O的半径，所以ED是⊙O的切线， ×25×2-60m×22 360 =23-2 m. 24.3正多边形和圆 拓展练习 新知导学 中心半径 中心角边心距 1412:150g7 基础练习 16.因为圆锥的侧面展开图是一个扇形， 1.A;2.C;3.2;4.6;5.245. 设该扇形圆心角为n°，根据题意，得m×6=π×6， 180 巩固练习 解得n=180, 6.C;7.120. 画侧面展开图如图4， 8.(1)连接OB. 因为正六边形ABCDEF内接于⊙O, 所以∠A0B=360°=60 6 又因为A0=B0, 所以△AOB是等边三角形. 图4 所以A0=AB=2. 则AB⊥AC,且BD为最短路径. 所以AD=2A0=4. 因为AB=AC=6cm, (2)因为AB=AB,∠AOB=60°， 所以4D=宁4C=3cm 所以∠ADB=之∠A0B=30 所以BD=√AD2+AB=35cm 24.4弧长和扇形面积 所以该蚂蚁爬行的最短路径为35cm. 新知导学 专题一求阴影部分的面积 1微 【例129；【变式1.B 2.nnR2 360 【例2】(45-9π)；【变式】2.C; 3.母线rlr(r+) 【例3】；【变式3.A: 基础练习 【例4】B;【变式】4.D. 1.A;2.B;3.B;4.C;5.4m;6.3;7.T &平 第二十四章综合检测 巩固练习 题号 12 345678 9.C;10.B;11.11r;12.102m 答案A BCCDD CC 3 中考数学人教(YN) 第10~13期 =92；10a≥0：11.60：12(2,1：1316： (2)因为BD是⊙0的切线，∠B=30°， 14.4. 所以器= 三、15.连接OD,易得点0，C,D共线. 因为A0+OB=AB=3,OA=OD. 因为D是AB的中点， 所以A0+20D=3, 所以OC⊥AB. 所以30A=3, 因为AB=40m, 所以OA=1,B0=2, 所以AD=DB=20m. 所以BD=√OB2-OD=√5. 设半径为rm,根据勾股定理，得2=(r-10)2+202,解得 因为OA=OD, r=25. 所以∠A=∠AD0=30°， 答：这段弯路所在圆的半径为25m 所以∠D0C=60°， 16.证明：连接0A,OC,则OA=OC. OA =OC. 所以阴影部分的面积为子×BD×0D-6①X1=号 360 在△AOB和△COB中 AB BC, .OBOB, 61 所以△AOB兰△COB, 20.(1)证明：连接OC, 所以∠ABO=∠CBO, 因为OA=OB,C为AB的中点， 所以OB平分∠ABC. 所以OC⊥AB. 17.(1)因为母线1长为25cm,高AB为20cm, 因为点C在⊙0上， 所以底面半径为T=√P-AB=√25-20= 所以AB是⊙O的切线。 15(cm), (2)证期：因为∠EDC=分∠A0C,∠F0C=合∠B0C, 所以侧面积为πrl=15×25π=375π(cm2). 由(1)可得∠AOC=∠B0C, 答：这顶圆锥形草帽的侧面积为375πcm2 所以∠EDC=∠FDC. (2)设扇形卡纸的圆心角的度数为n°， (3)连接OC,过点O作ON⊥DF于点V,延长DF交AB于 由题意，得m×25=2m×15,解得n=216. 180 点M,如图5. 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216°. 18.(1)因为0A=OB,OD⊥AB, 0 所以OD平分∠AOB, 所以∠BOD=∠AOD=60°， 所以∠DEB=2∠D0B=30, 图5 (2)因为⊙0的半径为2， 因为ON⊥DF,OD=OF, 所以OA=OB=2. 因为OD⊥AB,∠A0C=60°， 所以DN=NF=DF=3 所以∠OAC=30°，AB=2AC, 所以0C=20M=1, 在△0DN中，因为∠0ND=90°，0D=之DE=5,DN =3, 所以AC=√OA2-OC=5, 所以OW=OD2-DW=4. 所以AB=2AC=25. 因为OD=OC, 19.(1)证明：连接0D, 所以∠OCD=∠EDC. 因为∠A=∠B=30°， 因为∠EDC=∠FDC, 所以∠ADB=120°. 所以∠OCD=∠FDC, 因为OA=OD 所以OC∥DM. 所以∠A=∠AD0=30°. 由(I)得OC⊥AB,所以DM⊥AB, 所以∠0DB=∠ADB-∠AD0=120°-30°=90° 所以四边形OCMW是矩形， 所以OD⊥BD. 所以OWN=CM=4,MW=OC=5. 因为OD是⊙0的半径， 在Rt△CDM中，因为∠DMC=90°，CM=4,DM=DN+ 所以BD是⊙O的切线. MW=3+5=8, -4 中考数学人教(YN)第10~13期 所以CD=√DM+CM=√82+4=45. 由表格可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相 第二十五章概率初步 同. 25.1.1随机事件 (2)不公平，理由如下： 新知导学 由(1)中表格可知，两次转盘指针所指数字之积为偶数的 1.必然不可能 2.随机事件 结果有5种，积为奇数的结果有4种，则小明胜的概率是氵，小 基础练习 亮胜的概率是号 1.A2.A;3.不可能；4.红. 巩固练习 因为号≠)，所以这个游戏不公平 5.D;6.D;7.必然事件 巩固练习 8.一共有10张扑克牌，满足①，说明“红桃”和“方块”的 张数相同；满足②，说明“方块”的张数比“梅花”的张数多；满 6了：号 足③，说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、 8.(1)画树状图如图6， 方块)的张数要多， 红 红 白 因此黑颜色的牌要多于5张，最少为6张， 因此，10张牌是“黑桃”5张，“梅花”1张，“方块”2张，“红 红红白白蓝 红红白白蓝 红红白白蓝 桃”2张。 白 蓝 25.1.2概率 新知导学 红红白白蓝 红红白白蓝 m 图6 n 基础练习 由树状图知，共有25种等可能的结果，其中摸到红球和蓝 球的结果有4种， 1 1.B2.B:3.C;4.35.3. 所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概幸为号 巩固练习 6.c7.号 (2)画树状图如图7， 8.(1)因为该转盘被均匀划分成20个扇形区域，其中3个 扇形为红色，5个扇形为黄色，指针恰好指向红、黄色区域，顾 红白白蓝 红白白蓝红红白蓝 客便能分别获取100元、50元的购物券， 蓝 所以获得100元购物券的概率为元，能获得购物券的概率 红红白蓝 红红白白 图7 放填32 由树状图知，共有20种等可能的结果，其中摸到红球和蓝 只20’5 球的结果有4种， n 2 (2)依题意得+3+2+= 所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概率为0=了： 4 解得n=4,所以n的值为4. 25.3用频率估计概率 25.2用列举法求概率 新知导学 新知导学 频率 列表画树状图 基础练习 基础练习 1.A;2.B;3.A; 1B2.D3.10s00:4号 巩固练习 5.(1)根据题意，列表如下： 5.15. 小明 6.(1)根据统计图可得，随着抽取橙子质量的增加，损坏 两 2 3 率稳定在0.1附近， 小亮 即橙子损坏的概率估计值为0 1 1 2 3 2 2 4 6 放填0 3 3 6 (2②)橙子完好的气率估计值为1一。=品。 5