一元二次方程：根与系数的关系、传播问题、增长率问题、销售问题专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学上册

一元二次方程：根与系数的关系、传播问题、增长率问题、销售问题专项训练 一元二次方程：根与系数的关系、传播问题、增长率问题、销售问题专项训练 考点目录 根与系数的关系 传播问题 增长率问题 销售问题 考点一 根与系数的关系 例1．（25-26九年级上·山西临汾·阶段练习）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为（   ） A．19 B．29 C．17 D． 【答案】B 【详解】解：∵方程的两根分别为和， ∴， ， ∴， ∴． 故选：B 例2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， 根据根与系数的关系得：， 即：， ∴， 故选：A． 例3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）关于的方程有两个实数根，且有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∵方程的两个实数根为， ∴， ∴， 解得； 综上：； 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知m、n是方程的两根，则代数式的值等于 ． 【答案】 【详解】解：∵m、n是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段练习）关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程的两根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【详解】（1）解：， ∴， ∴不论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵方程的两根为，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 例6．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴． 例7．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：，， 又∵， ∴． 变式1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）若m、n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 则， 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）若，是一元二次方程的两根，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【详解】解：是方程的两根， ，， ， ， 故选：C 变式3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：一元二次方程 ， 其中 ，， ∴， 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知，是关于的方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【详解】解：∵ ，是关于的方程的两个实数根， ∴ ，， ∴， ∴ ． 故答案为：2025 变式5．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）由题意，， ∴， 解得或． 变式6．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若该方程的两个实数根的平方和为10，求k的值． 【答案】(1)证明见详解； (2)． 【详解】（1）解：证明：， ， 该方程总有两个实数根． （2）设该方程的两个实数根为， 则， 又，， ， 解得：． 变式7．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根为、，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理： ∴ 解得：． 考点二 传播问题 例1．（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过第三轮传染一共有多少人感染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人 (2)经过第三轮传染一共有512人感染 【详解】（1）每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）根据题意得：人， 答：经过第三轮传染一共有512人感染． 例2．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段练习）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 【答案】(1)甲和乙 (2)丙的说法不正确 【详解】（1）解：由题意可知，第一周结束后，包括小颖在内有人参加了“传递正能量志愿服务者”， 第二周新参加“传递正能量志愿服务者”的有人， 所以甲和乙的说法都正确， 故答案为：甲和乙． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 又∵是正整数， ∴不符合题意， 所以丙的说法不正确． 例3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同． (1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？ (2)若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？ 【答案】(1)每轮传播中平均一个人传播个人； (2)被感染的人数会超过800人． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一个人传播x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传播中平均一个人传播个人； （2）三轮感染后，患病的人数为（人）． ∵， 被感染的人数会超过800人． 答：被感染的人数会超过800人． 变式1．（25-26九年级上·河南·阶段练习）某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 变式2．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）有3人患了流感，经过两轮传染后共有300人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； (2)若不及时控制，第三轮又将有多少人被传染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)第三轮又将有人被传染 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 由题意得， 解得或（舍）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）解：由题意得（人）， 答：第三轮又将有人被传染． 变式3．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 考点三 增长率问题 例1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）为满足居民日常对于水果的需求，某超市经销一种优质水果，进货价为30元/箱． (1)当售价为40元/箱时，经过连续两次降价后这种水果的售价为元/箱，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)经市场调查发现，当这种水果的售价为38元/箱时，每天可售出400箱，在进货价不变的情况下，该超市决定采取适当的涨价措施，若每箱每涨价1元，每天的销售量将减少20箱，现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，那么每箱应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)元或元 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为m， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每箱应涨价y元，则每箱盈利元，每天可售出箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每箱应涨价4元或8元． 例2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加，10、11月份营业额的月平均增长率相同，11月份的营业额达到万元，求11月份营业额的月平均增长率． (1)求9月份营业额． (2)求10、11月份营业额的月平均增长率． 【答案】(1) 440万元 (2) 【详解】（1）解：∵8月份营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%， ∴ 9月份营业额 为（万元）； 答：9月份营业额为440万元． （2）解：设10、11月份营业额的月平均增长率为x， 则10月份营业额为万元，11月份营业额为万元， 根据题意，， 解得（负值已舍去）， 答：10、11月份营业额的月平均增长率为． 例3．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段练习）年是中国共产党建党周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，赣州市人民政府批准兴国烈士陵园为第一批市级烈士纪念设施基地．据了解，当年3月份该基地接待参观人数万人，5月份接待参观人数增加到万人． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 【答案】(1) (2)万人 【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为； （2）解：（万人）， 答：六月份的参观人数为万人． 变式1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）今年某电动自行车店的某品牌电动自行车月销售辆，月销售辆． (1)求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率； (2)若该品牌电动自行车的进价为元，售价为元，则该店月至月共盈利多少元？ 【答案】(1)该品牌电动自行车销售量的月平均增长率 (2)该店月至月共盈利元 【详解】（1）解；设该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：该品牌电动自行车销售量的月平均增长率； （2）解：根据题意可知，元， 答：该店月至月共盈利元． 变式2．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，一月份新建了320个充电桩，三月份新建了500个充电桩，一月份到三月份充电桩数量的月增长率相同． (1)求一月至三月份该市新建智能充电桩数量的月增长率； (2)预计四月份保持一月至三月份的充电桩数量的月增长率．已知该市四月份上半月已建智能充电桩325个，则四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为多少个？ 【答案】(1)一月至三月份该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 (2)四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为20个 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 由题意可得：， 解得（负值已舍去）， 故一月至三月份该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为； （2）解：∵（个）， （个）， （个）， ∴四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为20个． 变式3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了万辆． (1)求前三季度销售量的平均增长率； (2)某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度． ①现该厂家要保证每季度生产电动汽车万辆，在增加产能的同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该拥有几条生产线？ ②是否能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①5条；②不能，理由见解析 【详解】（1）解：设前三季度销售量的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 答：前三季度销售量的平均增长率为． （2）解：①设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度， 由题意得：， 整理得：， 解得或， 在增加产能同时又要节省投入成本的条件下， ， （条）， 答：应该拥有5条生产线； ②不能，理由如下： 设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度， 由题意得：， 整理得：， 此方程根的判别式为， 所以此方程没有实数根， 答：不能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到万辆． 考点四 销售问题 例1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）榆林红枣产业不仅在当地成为传统产业，更是沿黄地区的特色产业，某合作社销售一批成本为10元/千克的榆林红枣，当按每千克25元销售时，每天的销售量为150千克．为回馈客户，合作社计划对榆林红枣适当降价销售，经市场调研发现：每千克的售价每降低1元，每天的销售量将增加30千克，若该合作社希望每天销售这批红枣的利润达到2880元，则这批红枣的售价应定为多少元/千克？ 【答案】22元/千克或18元/千克 【详解】解：设这批红枣降价为元/千克， 则每天的销售量为千克，每千克的利润是（元） ∵每天销售这批红枣的利润达到2880元， ∴ ∴， 整理得 ∴ 解得 ∴（元）或（元） 即该合作社希望每天销售这批红枣的利润达到2880元，则这批红枣的售价应定为22元/千克或18元/千克． 例2．（25-26九年级上·广东河源·阶段练习）在物理实验探究中，需要用到一种特殊的头盔传感器．某科技器材经销商统计了该特殊头盔传感器10月份到12月份的销量，10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该特殊头盔传感器销售量的月增长率； (2)在物理实验中，该头盔传感器的安装需要用到一种胶水，胶水的进价为20元/瓶，商家经过市场调研发现，当胶水售价为30元/瓶时，月销售量为400瓶，若在此基础上售价每上涨1元/瓶，则月销售量将减少10瓶，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让实验者得到实惠，则胶水每个售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)40元 【详解】（1）解：设月增长率为 ， 则 ， 解得：（负值舍去）， ∴月增长率为； （2）解：设售价上涨 元，则售价为 元/瓶，销售量为 瓶，每瓶利润为 元． 月销售利润为 ， 整理得： 解得： 售价分别为元或元． ∵尽可能让实验者得到实惠， ∴取较低售价40元． 答：胶水售价应定为40元． 例3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）某商场以每件元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内与之间的函数解析式； (2)在这段时间内．该商场获得元的利润，应将销售单价定为多少元？ 【答案】(1)这段时间内与之间的函数解析式 (2)定价为元或元 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 把和分别代入中得：， 解得：， 则这段时间内与之间的函数解析式； （2）解： 或 ，， 答：该商场获得元的利润，应将销售单价定为元或元． 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 【答案】(1) (2)70 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 解得，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． ∴该品牌头盔的实际售价应定为70元/个． 变式2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）某服装店销售某种恤，根据销售经验，每件的售价（元）与每天销售量（件）有如表关系： 每件售价（元） 70 69 68 67 … 40 每天销量（件） 20 22 24 26 … 80 已知与之间的函数关系是一次函数． (1)求与的函数解析式； (2)此种恤进价是30元/件，若该服装店每天销售此恤盈利800元，要使顾客获得实惠，每件售价是多少元？ (3)八月份销售量减少，服装店决定采取降价销售，所以从8月16日开始此恤销售价格在（2）的条件下下降了，同时此恤的进货成本下降了，销售量也因此比原来上涨了，8月份（按31天计算）降价销售的16天（8月16日至31日）所获总盈利，比降价前的15天（8月1日至15日）的总盈利多2336元，求的值． 【答案】(1) (2)每件售价是40元 (3)20 【详解】（1）设y与x的函数解析式为， 将代入y=kx+b得：， 解得：， ∴y与x的函数解析式为； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要使顾客获得实惠， ∴． 答：每件售价是40元； （3）在（2）条件下，售价为40元时，销售量件，每天盈利800元． 降价前天数：8月1日至15日，共15天，总盈利元． 降价后天数：8月16日至31日，共16天． 新售价：元， 新进价：元， 新销售量：件， 每天盈利：元， 降价后总盈利：元． 根据题意得： ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：m的值为20． 变式3．（25-26九年级上·重庆·期中）某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 【答案】(1)A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元 (2)A款水杯降低了6元 【详解】（1）解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． （2）解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程：根与系数的关系、传播问题、增长率问题、销售问题专项训练 一元二次方程：根与系数的关系、传播问题、增长率问题、销售问题专项训练 考点目录 根与系数的关系 传播问题 增长率问题 销售问题 考点一 根与系数的关系 例1．（25-26九年级上·山西临汾·阶段练习）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为（   ） A．19 B．29 C．17 D． 例2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）关于的方程有两个实数根，且有，则实数的取值范围为 ． 例4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知m、n是方程的两根，则代数式的值等于 ． 例5．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段练习）关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程的两根为，，且满足，求的值． 例6．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 例7．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 变式1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）若m、n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 变式2．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）若，是一元二次方程的两根，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 变式3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 变式4．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知，是关于的方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 变式5．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 变式6．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若该方程的两个实数根的平方和为10，求k的值． 变式7．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根为、，且，求的值． 考点二 传播问题 例1．（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过第三轮传染一共有多少人感染？ 例2．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段练习）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 例3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）感冒不仅会影响学习，而且会把感冒传给同学．因此，我们要积极参加学校组织的跑步晨练和跳绳活动，以增强我们的体质．据报道，某种流感传播的速度非常快，有一个人感染了流感，经过两轮感染后就会有100人被感染，假设每人传播中平均一个人传播人数相同． (1)请你用学过的知识分析，每轮传播中平均一个人感染几个人？ (2)若传播得不到有效的控制，3轮传播后，被感染的人数会不会超过800人？ 变式1．（25-26九年级上·河南·阶段练习）某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 变式2．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）有3人患了流感，经过两轮传染后共有300人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； (2)若不及时控制，第三轮又将有多少人被传染？ 变式3．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 考点三 增长率问题 例1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）为满足居民日常对于水果的需求，某超市经销一种优质水果，进货价为30元/箱． (1)当售价为40元/箱时，经过连续两次降价后这种水果的售价为元/箱，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)经市场调查发现，当这种水果的售价为38元/箱时，每天可售出400箱，在进货价不变的情况下，该超市决定采取适当的涨价措施，若每箱每涨价1元，每天的销售量将减少20箱，现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，那么每箱应涨价多少元？ 例2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加，10、11月份营业额的月平均增长率相同，11月份的营业额达到万元，求11月份营业额的月平均增长率． (1)求9月份营业额． (2)求10、11月份营业额的月平均增长率． 例3．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段练习）年是中国共产党建党周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，赣州市人民政府批准兴国烈士陵园为第一批市级烈士纪念设施基地．据了解，当年3月份该基地接待参观人数万人，5月份接待参观人数增加到万人． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 变式1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）今年某电动自行车店的某品牌电动自行车月销售辆，月销售辆． (1)求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率； (2)若该品牌电动自行车的进价为元，售价为元，则该店月至月共盈利多少元？ 变式2．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，一月份新建了320个充电桩，三月份新建了500个充电桩，一月份到三月份充电桩数量的月增长率相同． (1)求一月至三月份该市新建智能充电桩数量的月增长率； (2)预计四月份保持一月至三月份的充电桩数量的月增长率．已知该市四月份上半月已建智能充电桩325个，则四月份下半月（15天）日均新建智能充电桩为多少个？ 变式3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了万辆． (1)求前三季度销售量的平均增长率； (2)某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度． ①现该厂家要保证每季度生产电动汽车万辆，在增加产能的同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该拥有几条生产线？ ②是否能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由． 考点四 销售问题 例1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）榆林红枣产业不仅在当地成为传统产业，更是沿黄地区的特色产业，某合作社销售一批成本为10元/千克的榆林红枣，当按每千克25元销售时，每天的销售量为150千克．为回馈客户，合作社计划对榆林红枣适当降价销售，经市场调研发现：每千克的售价每降低1元，每天的销售量将增加30千克，若该合作社希望每天销售这批红枣的利润达到2880元，则这批红枣的售价应定为多少元/千克？ 例2．（25-26九年级上·广东河源·阶段练习）在物理实验探究中，需要用到一种特殊的头盔传感器．某科技器材经销商统计了该特殊头盔传感器10月份到12月份的销量，10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该特殊头盔传感器销售量的月增长率； (2)在物理实验中，该头盔传感器的安装需要用到一种胶水，胶水的进价为20元/瓶，商家经过市场调研发现，当胶水售价为30元/瓶时，月销售量为400瓶，若在此基础上售价每上涨1元/瓶，则月销售量将减少10瓶，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让实验者得到实惠，则胶水每个售价应定为多少元？ 例3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）某商场以每件元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内与之间的函数解析式； (2)在这段时间内．该商场获得元的利润，应将销售单价定为多少元？ 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 变式2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）某服装店销售某种恤，根据销售经验，每件的售价（元）与每天销售量（件）有如表关系： 每件售价（元） 70 69 68 67 … 40 每天销量（件） 20 22 24 26 … 80 已知与之间的函数关系是一次函数． (1)求与的函数解析式； (2)此种恤进价是30元/件，若该服装店每天销售此恤盈利800元，要使顾客获得实惠，每件售价是多少元？ (3)八月份销售量减少，服装店决定采取降价销售，所以从8月16日开始此恤销售价格在（2）的条件下下降了，同时此恤的进货成本下降了，销售量也因此比原来上涨了，8月份（按31天计算）降价销售的16天（8月16日至31日）所获总盈利，比降价前的15天（8月1日至15日）的总盈利多2336元，求的值． 变式3．（25-26九年级上·重庆·期中）某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $