24.2点和圆、直线和圆位置关系（知识点导图+知识梳理+题型分析+课后巩固）2025-2026学年人教版数学九年级上册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 24.2点和圆、直线和圆位置关系 知识导图 圆的定义 圆心、半径、直径、弦、半圆、等圆、优弧、劣弧、等孤 圆的相 关概念 同圆、等圆、同心圆 圆心角、圆周角、内切圆、外接圆 不在①同一直线上的三个点确定一个圆 圆既是②轴对称图形，也是③中心对称图形 圆的有 关性质 垂径定理垂直于弦的直径④平分弦，并且平分弦所对的⑤两条弧· 垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于⑥弦并且平分弦所对的⑦两条弧· 弧、弦、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的⑧弧相等，所对的⑨弦也相等 圆 圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等孤所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的①一半 推论半圆（或直径）所对的圆周角是①直角：90°的圆周角所对的弦是①直径· 点和圆的位置关系：①圆上、仍圆内、心圆外 直线和圆的位置关系：相离、⑦相切、心相交 与圆有关的 位置关系 切线的判定：经过半径的①外端并且四垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：圆的切线①垂直于过切点的半径 第1页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ ?知识梳理 知识点1：点与圆的位置关系及判定： 设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有： ①点P在圆外台d>r ②点P在圆上台d=r③点P在圆内台d<r 总结：不在同一直线上的三个点确定一个圆 也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. 知识点2：直线与圆的位置关系及判定： 设oO的半径为r,圆心到直线L的距离为d, ①直线1和oO相交台d<r,如图(a)所示； ②线1和⊙O相切台d=r,如图(b)所示： ③直线1和oO相离台dr,如图(c)所示. 知识点3：切线 判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 几何语言：如图， ,AB是⊙O的切线，切点为A, 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 夹角。 ④①① (6) (c 第2页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 题型分析 题型一点、直线与圆的位置关系 例题： 1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AB=5,以点C为圆心，r为半径作圆，当点A在⊙C内， 点B在⊙C外时，r的取值范围是一 B 【答案】3<r<4 2.PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B,PA=8,∠P=60°，则PB=,AB= ⊙0的半径为 【答案】8,8， 85 巩固训练 1.平面上一点M到o0上的最长距离为10cm,最短距离为2cm,那么O0的半径长为 【答案】6cm或4cm 2.已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相切，圆心0到直线AB距离等于 【答案】5 3.已知⊙O的半径为5cm,点O到直线I的距离OP为7cm.把直线l向上平移cm,才能使1与⊙O相 切？ 【答案】2或12/12或2 第3页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 4.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线NMN,若∠MAC=∠ABC (1)求证：MN是半圆的切线； (2)设D是弧AC的中点，连结BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.求证：FD=FG. M D 【答案】解析略 ”课后巩固 g一 1.点P到圆O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足() A.0<r<7 B.0<7 C.r>7 D.27 【答案】C 2.如图，P是⊙O内一点.若圆的半径为5，OP=3,则经过点P的弦的长度不可能为() A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】A 3.PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B。如果OP-4,PA=2√3， 那么PB=,.∠APO=_，∠APB=_，∠AOB=_。 【答案】2V3,30°，60°，120° 4在平面直角坐标系x0y中，以点(-3,4)为圆心，4为半径的圆与y轴的位置关系为 【答案】相交 5.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P=30,连接 AO、AB、AC.求证：△ACB≌△APO. 第4页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 证明略 6如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC,交AC于点E, AC的反向延长线交⊙O于点F. E (1)求证：DE为⊙O的切线： (2)若DE+EA=4,⊙O的半径为5，求CF的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)18 【分析】(1)根据已知条件得到OD∥AC,于是得到结论： (2)如图，过点O作OH⊥AF于点H构造矩形ODEH,设AH=x,则AE=5-x, OH=DE=4-（5-x)=x-1,在Rt△AOH中，由勾股定理得AH+OH2=OA2,即x2+(x-12=52,求得 AH=4,再由垂径定理求得AF的长，据此求解即可. 【详解】(1)解：0B=0D, .∠ABC=∠ODB, AB=AC, ÷LABC=∠ACB, ∠ODB=∠ACB, ∴0D∥AC. DE⊥AC,OD是半径， ∴DE⊥OD, DE是⊙O的切线： (2)解：如图，过点O作OH⊥AF于点H,则LODE=∠DEH=∠OHE=90°， ∴四边形ODEH是矩形， ∴.OD=EH,OH=DE. 第5页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ F H 设AH=x, DE+AE=4,OD=5, AE=5-x,OH=DE=4-（5-x=x-1, 在Rt△AOH中，由勾股定理得AH+OH2=OA2,即x2+(x-1)2=52, 解得x1=4,x2=-3(不合题意，舍去)， .AH=4, OH⊥AF, =m-4r. ÷AF=2AH=2×4=8, AC=AB=2×5=10, ∴.CF=AC+AF=10+8=18 7.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，过A,B,D三点的⊙O与AC相切，直径AE交BC 于点F,连接BE. (1)求证：BE=EF; (2)若BF=2,DF=3,求AB的长. A B E 【答案】(1)证明：：AC与⊙O相切于点A,且AE是⊙O的直径， AC⊥AE, .∠CAE=∠ABE=90°， ..∠AFC+∠C=90°，∠EBF+∠ABC=90°， AB=AC, ∠C=∠ABC, .∠AFC=∠EBF, 第6页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ :∠AFC=∠EFB, .∠EFB=∠EBF, :BE=EF. (2)解：连接AD, ·∠DFA=∠EFB,∠DAF=∠BEF,且∠EFB=∠EBF, .∠DFA=∠DAF, ∠C+∠DFA=90°，∠DAC+∠DAF=90°， .∠C=∠DAC, ..DC=DA=DF=3, :BF=2, .BC=DC+DF+BF=3+3+2=8, :∠C=∠DAC,∠C=∠ABC, .∠DAC=∠ABC, .AC2=DCBC=3×8=24, VG .AC=2 或AC =-2W6 (不符合题意，舍去)， V6 ..AB=AC=2 6 AB的长是2 B 第7页共7页将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 24.2点和圆、直线和圆位置关系 知识导图 圆的定义 圆的相 圆心、半径、直径、弦、半圆、等圆、优弧、劣弧、等孤 关概念 同圆、等圆、同心圆 圆心角、圆周角、内切圆、外接圆 不在①同一直线上的三个点确定一个圆 圆既是②轴对称图形，也是③中心对称图形. 圆的有 关性质 垂径定理垂直于弦的直径④平分弦，并且平分弦所对的⑤两条弧 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于⑥弦并且平分弦所对的O两条弧· 弧、弦、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的⑧弧相等，所对的⑨弦也相等. 圆 圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的①一半 推论半圆（或直径）所对的圆周角是①直角：90°的圆周角所对的弦是①直径. 点和圆的位置关系：①圆上、③圆内、①圆外 直线和圆的位置关系：心相离、⑦相切、⑧相交 与圆有关的 位置关系 切线的判定：经过半径的外端并且①垂直于这条半径的直线是圆的切线， 切线的性质圆的切线①垂直于过切点的半径 第1页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 知识梳理 知识点1：点与圆的位置关系及判定： P 设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有： ①点P在圆外台dr②点P在圆上台dr③点P在圆内台d<r 第2页共7页 总结：不在同一直线上的三个点确定一个圆 也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆. 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. 知识点2：直线与圆的位置关系及判定： 设⊙O的半径为r,圆心到直线L的距离为d, ①直线1和⊙0相交台d<r,如图(a)所示： ②线1和⊙0相切台d=r,如图(b)所示： ③直线1和⊙0相离台dr,如图(c)所示. 知识点3：切线 判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 几何语言：如图， :AB是⊙O的切线，切点为A, A B 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线 的夹角. B 题型分析 题型一点，真线与圆的 位置关系 (a 6) (c) 例题： 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，,AB=5,以点C为圆心，r为半径作圆，当点A在⊙C 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 内，点B在⊙C外时，r的取值范围是一 2.PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B,PA=8,∠P=60°，则PB=,AB=一， ⊙0的半径为 巩固训练 1.平面上一点M到⊙0上的最长距离为10cm,最短距离为2cm,那么⊙0的半径长为一 2.已知⊙0的半径为5，直线AB与⊙0相切，圆心O到直线AB距离等于一· 3.已知⊙0的半径为5cm,点O到直线1的距离OP为7cm.把直线1向上平移cm,才能使1与⊙0相切？ 4.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN,若∠MAC=∠ABC. (1)求证：MN是半圆的切线； (2)设D是弧AC的中点，连结BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.求证：FD=FG. 第4页共7不M 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 课后巩固 1.点P到圆O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足() A.0<r<7 B.0<7 C.r>7 D.27 2.如图，P是⊙O内一点.若圆的半径为5，OP=3,则经过点P的弦的长度不可能为() A.7 B.8 C.9 D.10 3.PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B。如果OP=4,PA= 23 那么PB=-,:∠APO=_,∠APB=-,∠AOB=—。 4.在平面直角坐标系x0y中，以点(-3,4)为圆心，4为半径的圆与y轴的位置关系为一 5.如图，PA为⊙0的切线，A为切点.直线P0与⊙0交于B、C两点，∠P=30°，连接 A0、AB、AC.求证：△ACB≌第P共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 6.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC,交AC于点 E,AC的反向延长线交⊙O于点F. P E 0 D (1)求证：DE为⊙O的切线： (2)若DE+EA=4,⊙O的半径为5，求CF的长度. 第6页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 7.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，过A,B,D三点的⊙O与AC相切，直径AE交BC 于点F,连接BE. (1)求证：BE=EF; (2)若BF=2,DF=3,求AB的长. A 、F E 第7页共7页