24.1.3-1.4圆的有关性质——圆心角与圆周角定理（知识点导图+知识梳理+题型分析+课后巩固）2025-2026学年人教版数学九年级上册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 24.1.3-1.4圆的有关性质—「 圆心角与圆周角定理 知识导图 圆的定义 圆心、半径、直径、弦、半圆、等圆、优弧、劣弧、等弧 圆的相 关概念 同圆、等圆、同心圆 圆心角、圆周角、内切圆、外接圆 圆 不在①同一直线上的三个点确定一个圆 圆既是②轴对称图形也是③中心对称图形， 圆的有 关性质 垂径定理垂直于弦的直径④平分弦并且平分弦所对的⑤两条弧， 垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于⑥弦并且平分弦所对的⑦两条弧· 弧、弦、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的⑧弧相等所对的⑨弦也相等 圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的①一半 推论半圆（或直径）所对的圆周角是①直角：90°的圆周角所对的弦是①直径· 知识梳理 第1页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 知识点1：圆心角 定义：顶点在 的角叫做圆心角。 在⊙O中，∠AOB和∠AOB'是圆心角，填下表， 圆心角 ∠AOB ∠A'OB' 圆心角所对的弧 圆心角所对的弦 定理及推论： 文字表述 几何表述 简记 ,∠AOB=∠A'OB 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 结论1 相等，所对的一也相等。 ·AB 圆心角→弧、弦 AB= 结论2 在同圆或等圆中，相等的弧所对的 ·B=A'B⌒ 弧一圆心角、弦 相等，所对的一也相等。 ∴.∠AOB= AB= .'AB=4'B' 在同圆或等圆中，相等的弦所对的 .∴.∠AOB= 结论3 弦一圆心角、弧 相等，所对的」 也相等。 AB= 、。 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所 归纳 对应的其余各组量也， 知识点2：圆周角 定义：顶点在上，并且两边都与圆相交的角叫做」 圆周角的定理及推论： (1)定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的一· (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是_一，90°的圆周角所对的弦是 第2页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 如图1全图3， 同弧 :AB对着圆周角∠C和圆心角∠AOB, ,AB对着圆周角∠C和∠D, ∴.∠C= ∠AOB, ∴∠C=∠D 从而，∠AOB= ∠C C 等弧 AB=CD ∴∠E=∠F。 A图1 图2 图 直径所对的圆周角 【推论2】半圆（或直径）所对的圆周角是二角。 如图5，AB是⊙O的直径 求直径AB所对的圆周角∠C的度数。 图5 'AB是⊙O的直径， 解：，AB是⊙O的直径， .∠c=90°. .∠AOB=, 图5 .∠C-.∠AOB= 知识点3：圆的内接四边形 圆的内接四边形对角，对角互补的四边形是圆的四边形 题型分析 题型一圆心角定理及推论 例题： 1.如图，AB与CD是⊙O的直径，则有AD=一 AD= 第3页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 2.如图，在⊙0中，AB=AC,∠A=40°，则∠B=一。 巩固训练 L.如图，AB是⊙O的直径，C,D是上BE的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE=一 2.如图，在⊙0中，AB=AC,∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC。 ◆ 题型二圆周角定理及推论 例题： 1.如图，点A、B、D、C是⊙0上的四个点，且∠BOC=110°，则∠BAC的度数是 第4页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 2.如图，已知CD为⊙O的直径，弦DE平行于半径OA,若∠D=50°，则∠C的度数是 D 巩固训练 1.如图，点A、B、C、D在⊙0上，OB⊥AC,若∠BOC=56°，则∠ADB的度数是 2.CD是⊙0的直径，A,B是⊙0上的两点，∠ADC=50°，则∠B= B 3.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠A=50°，∠B=100°，则∠C=°， ∠D= 。。 4.如图，点A、B、C在⊙0上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是 第5页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 课后巩固 1.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交，连接AC,AD.若LBAC=50°，则∠ADC的大小为(). B A D A.70° B.60° C.50° D.40° 2.如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P,∠D=40°，∠BPC=75°，则∠C=() B A.15 B.35° C.40° D.75 3.如图，AB是⊙O的直径，∠CDB=26°，则∠BOC的度数是() D B A.60° B.52° C.50° D.40° 4.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边AB重合.点D为 斜边AB上一点，作射线CD交AB于点E,如果点E所对应的读数为50°，那么LBCD=() B E A.65° B.70° C.50° D.45 第6页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若LB=58°，LACD=40°，则DC所对的圆心角为() D B C A.18° B.24° C.30° D.36° 6.如图，已知AD是⊙O的直径，B,C,E是⊙O上的三个点，连接BC,CD,BE,AE,∠BCD=I25°， 则∠AEB的度数为() B A.55 B.50° C.45° D.35° 第7页共7页将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 24.1.3-1.4圆的有关性质—「 圆心角与圆周角定理 知识导图 圆的定义 圆心、半径、直径、弦、半圆、等圆、优弧、劣弧、等弧 圆的相 关概念 同圆、等圆、同心圆 圆心角、圆周角、内切圆、外接圆 圆 不在①同一直线上的三个点确定一个圆 圆既是②轴对称图形也是③中心对称图形， 圆的有 关性质 垂径定理垂直于弦的直径④平分弦并且平分弦所对的⑤两条弧， 垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于⑥弦并且平分弦所对的⑦两条弧· 弧、弦、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的⑧弧相等所对的⑨弦也相等 圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的①一半 推论半圆（或直径）所对的圆周角是①直角：90°的圆周角所对的弦是①直径· 知识梳理 第1页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 知识点1：圆心角 定义：顶点在 的角叫做圆心角。 在⊙O中，∠AOB和∠AOB'是圆心角，填下表， 圆心角 ∠AOB ∠A'OB' 圆心角所对的弧 圆心角所对的弦 定理及推论： 文字表述 几何表述 简记 ,∠AOB=∠A'OB 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 结论1 相等，所对的一也相等。 ·AB 圆心角→弧、弦 AB= 结论2 在同圆或等圆中，相等的弧所对的 ·B=A'B⌒ 弧一圆心角、弦 相等，所对的一也相等。 ∴.∠AOB= AB= .'AB=4'B' 在同圆或等圆中，相等的弦所对的 .∴.∠AOB= 结论3 弦一圆心角、弧 相等，所对的」 也相等。 AB= 、。 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所 归纳 对应的其余各组量也， 知识点2：圆周角 定义：顶点在上，并且两边都与圆相交的角叫做」 圆周角的定理及推论： (1)定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的一· (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是_一，90°的圆周角所对的弦是 第2页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 如图1全图3， 同弧 :AB对着圆周角∠C和圆心角∠AOB, ,AB对着圆周角∠C和∠D, ∴.∠c= ∠AOB, ∴∠C=∠D 从而，∠AOB= ∠C C 等弧 AB=CD ∴∠E=∠F。 A 图1 图2 图3 直径所对的圆周角 【推论2】半圈（或直径）所对的圆周角是二角。 如图5，AB是⊙O的直径 求直径AB所对的圆周角∠C的度数。 图5 'AB是⊙O的直径， 解：，AB是⊙O的直径， ∠c=90°. .∠AOB=, 图5 .∠C=∠AOB= 知识点3：圆的内接四边形 圆的内接四边形对角，对角互补的四边形是圆的四边形 题型分析 题型一圆心角定理及推论 例题： 1.如图，AB与CD是⊙O的直径，则有AD=一 AD= 【答案】弧BC,BC 第3页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 2.如图，在⊙0中，AB=AC,∠A=40°，则∠B=一。 【答案】70 巩固训练 1.如图，AB是⊙0的直径，C,D是上BE的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE=一 【答案】80 2.如图，在⊙0中，AB=AC,∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC。 证明略 题型二圆周角定理及推论 例题： 1.如图，点A、B、D、C是⊙0上的四个点，且∠BOC=110°，则∠BAC的度数是 ◇ 【答案】55 2.如图，已知CD为⊙O的直径，弦DE平行于半径OA,若∠D=50°，则∠C的度数是 【答案】25° 第4页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 巩固训练 1.如图，点A、B、C、D在⊙0上，OB⊥AC,若∠BOC=56°，则∠ADB的度数是 D 【答案】28 2.CD是⊙O的直径，A,B是⊙0上的两点，∠ADC=50°，则∠B=°。 【答案】40 A 0 B 3.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠A=50°，∠B=100°，则∠C-_°， ∠D= 。 【答案】130°，80 4.如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是 【答案】150° 第5页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 课后巩固 1.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交，连接AC,AD.若∠BAC=50°，则∠ADC的大小为() A D A.70° B.60° C.50° D.40° 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，连接BC,根据圆周角定理得∠ACB=90°，则有 ∠ABC=40°，然后通过圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理的应用是解题的关键 【详解】解：连接BC, A D ~AB是⊙O直径， ÷∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-50°=40°， ÷∠ADC=∠ABC=40°， 故选：D. 2.如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P,∠D=40°，∠BPC=75°，则∠C=() B D A.15° B.35° C.40° D.75° 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等，先由三角形外角的性质求出∠B的 第6页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 度数，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案 【详解】解：×∠D=40°，∠BPC=75°， ∴∠B=∠BPC-∠D=35°， AD=AD ∠C=∠B=35°， 故选：B。 3.如图，AB是⊙O的直径，∠CDB=26°，则∠BOC的度数是() D B A.60 B.52° C.50° D.40° 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半。 直接利用圆周角定理求解， 【详解】解：：∠CDB和∠BOC都对BC, ∠B0C=2∠BDC=2×26°=52° 故选：B. 4.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边AB重合，点D为 斜边AB上一点，作射线CD交AB于点E,如果点E所对应的读数为50°，那么∠BCD=() B E A.65° B.70° C.50° D.45° 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键。 第7页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 连接OE,根据题意可得：∠AOE=50°，然后根据圆周角定理可得：∠ACE=25°，再利用角的和差关系进 行计算即可解答 【详解】解：连接OE, ∠ACB=90 …点C在⊙O上， 由题意得：∠A0E=50°， :∠ACE=∠A0E=25°， ∠BCD=∠ACB-∠ACE=65°， 故选：A. 5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若LB=58°，∠ACD=40°，则DC所对的圆心角为() A.18 B.24° C.30° D.36° 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，圆周角定理；连接OD,OC·根据圆 内接四边形对角互补可得∠ADC,根据三角形内角和定理得出∠CAD,进而根据圆周角定理，即可求解. 【详解】解：如图，连接OD,OC, 6 ~四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠B+∠ADC=180°， 第8页共9页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ ∠ADC=180°-58°=122°， :∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-122°-40°=18°， ·∠D0C=2∠CAD=36°， 故选：D 6.如图，已知AD是⊙O的直径，B,C,E是⊙O上的三个点，连接BC,CD,BE,AE,∠BCD=125°， 则∠AEB的度数为() F B A.55 B.50° C.45° D.35° 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质.根据圆内接四边形对角互补的性质求得∠BED的度 数，再利用直径所对的圆周角是直角进行求解即可. 【详解】解：连接DE, 四边形BCDE内接于⊙O,且∠BCD=I25°， ∴∠BED=180°-∠BCD=55°， AD是⊙O的直径， ∴∠AED=90°， ·∠AEB=90°-∠BED=90°-55°=35°， 故选：D. 第9页共9页