24.1.1-1.2圆的有关性质——垂径定理（知识点导图+知识梳理+题型分析+课后巩固）2025-2026学年人教版数学九年级上册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 24.1.1-1.2圆的有关性质——垂径定理 知识点1：圆的定义 如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆． 固定的端点 O 叫做圆心； 线段 OA 叫做半径； 　　以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”． 知识点2：与圆有关的概念 （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC． 经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB． 由此可知，直径是弦，但弦不一定是直径。 （2）弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记作弧，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 由此可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆。 劣弧与优弧 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的________）叫做优弧． 小于半圆的弧（如图中的______）叫做劣弧． （3）等圆 能够重合的两个圆叫等圆． 半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等。 （4）等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧． 知识点3：圆的轴对称性 圆是 图形，任何一条 都是圆的对称轴。 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分 ，并且平分弦所对的两条 。 几何表述：如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E， ∵直径AB⊥弦CD， ∴CE= ， = ， = 。 简记为：垂直平分 垂径定理与勾股定理的结合是计算弦长，半径等问题的方法。 常用的技巧：过圆心作弦的垂线。 垂径定理的推论1 ①平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且平分弦所对的两条 。 几何表述：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是弦（不是直径），AB交CD于点E， ∵ CE=DE， ∴ AB CD，= ， = 。 注意，两条直径一定互相 ，但不一定 。 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 推论2、圆的两条平行弦所夹的弧相等。 题型一 与圆有关的概念 例题： 1.下列哪句话是错误的（    ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．圆上各点到圆心的距离相等 D．长度相等的两段弧是等弧 【答案】D 巩固训练 1．下列说法正确的是（   ） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 2．说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 正确的有：②③，共2个， 3．有下列4个命题：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是过圆心的弦；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中是真命题的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③ 【答案】A 题型二 圆的基本性质 例题： 1.已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ） A.5 B。4 C.3 D.2 【答案】C 巩固训练 1.如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 2.如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，D是AC的中点，，求OD的长为________ 【答案】3cm 题型三 垂径定理及应用 例题： 1.已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E。若__ ____,则CE=DE（只须填上一个适合的条件即可）。 【答案】CD⊥AB 2.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，CD=16，BE=4，求⊙O的半径和OE。 【答案】半径=10，OE=6 巩固训练 1.如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是 。 【答案】 2..如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB的长是 。 【答案】 3.已知⊙O的直径为20，弦AB长为12，则圆心O到弦AB的距离为 。 【答案】8 4.已知：如图，在⊙O中，点C、D是弦AB的两个点，且OC=OD， 求证：AC=BD。 【答案】 证明略 1．如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 2．下列语句中，不正确的是（    ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．大小不相等的两个圆中不存在等弧 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直径也必平分弦 【答案】C 【分析】本题考查圆的对称性(既是轴对称又是中心对称图形)、等弧的定义：同圆或等圆中能重合的弧，大小不等的圆无等弧；以及垂径定理及其推论(垂直于弦的直径平分弦，平分非直径的弦的直径垂直于弦且平分弦所对弧)，核心是对圆的这些基础性质的理解与辨析．根据相关定义和性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、圆沿着任意一条直径所在的直线对折后两部分都能完全重合，所以圆是轴对称图形；绕着圆心旋转后能与原图重合，所以圆也是中心对称图形，正确，故本选项不符合题意； B、等弧是指在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。大小不相等的两个圆，半径不同，所以不存在等弧，正确，故本选项不符合题意； C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，如果这条弦是直径，那么任意一条直径都可以平分它，但不一定垂直，错误，故本选项符合题意； D、根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．是的两条弦，且，又的直径为26，，则与间的距离为 ． 【答案】7或17 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线． 首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离． 【详解】解：连接，过点O作于点M， ∵， ∴直线，设垂足为点， ， ，， ， ∴在中，， 在中，， ①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为， ②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为， ． 综上所述，，之间的距离为7或17． 故答案为： 7或17． 4．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 ． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是 米． 【答案】145 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理可得米，设这段弯路的半径是x米，则米，米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵C是上的一点，，垂足为D， ∴米， 设这段弯路的半径是x米，则米， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴这段弯路的半径是145米， 故答案为：145． ( 第 1 页 共 13 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 24.1.1-1.2圆的有关性质 垂径定理 知识导图 圆的定义 圆心、半径、直径、弦、半圆、等圆、优弧、劣弧、等弧 圆的相 关概念 同圆、等圆、同心圆 圆心角、圆周角、内切圆、外接圆 不在①同一直线上的二个点确定一个圆 圆既是②轴对称图形，也是③中心对称图形. 圆的有 关性质 垂径定理垂直于弦的直径④平分弦，并且平分弦所对的⑤两条弧· 垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于⑥弦并且平分弦所对的⑦两条弧· 知识梳理 知识点1：圆的定义 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆. 固定的端点0叫做圆心： 线段OA叫做半径： 以点0为圆心的圆，记作⊙0，读作“圆0” 知识点2：与圆有关的概念 (1)弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的AC. 经过圆心的弦叫做直径，如图中的AB. 由此可知，直径是弦，但弦不一定是直径。 (2)弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作弧，读作“圆弧AB”或“孤AB”. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 由此可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆。 第1页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 劣弧与优弧 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 )叫做优弧. 小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧。 (3)等圆 能够重合的两个圆叫等圆. 半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等。 (4)等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧 知识点3：圆的轴对称性 圆是 图形，任何一条 都是圆的对称轴。 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分」 ，并且平分弦所对的两条 几何表述：如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E, 直径AB⊥弦CD, CE=’ BC=AC= 简记为：垂直一平分 垂径定理与勾股定理的结合是计算弦长，半径等问题的方法。 常用的技巧：过圆心作弦的垂线。 垂径定理的推论1 ①平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且平分弦所对的两条 几何表述：如图，在oO中，AB是oO的直径，CD是弦（不是直径），AB交CD于点E, .CE=DE, ..AB_CD,BC=- AC 注意，两条直径一定互相 一，但不一定」 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2、圆的两条平行弦所夹的弧相等。 第2页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 题型分析 题型一与圆有关的概念 例题： 1.下列哪句话是错误的() A.直径是圆中最长的弦 B.半圆是弧 C.圆上各点到圆心的距离相等 D.长度相等的两段弧是等弧 巩固训练 1.下列说法正确的是() A.过圆心的直线是圆的直径 B.直径是弦，弦是直径 C.半圆是轴对称图形 D.长度相等的两条弧是等弧 2.说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定 是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.有下列4个命题：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是过圆 心的弦；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧.其中是真命题的是() A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③ 题型二圆的基本性质 例题： 1.己知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是() A.5 B。4 C.3 D.2 巩固训练 1.如图，已知⊙0的半径为5，点0到弦AB的距离为3，则⊙0上到弦AB所在直线的距离为2的点有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第3页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 2.如图，已知AB是⊙0的直径，AC为弦，D是AC的中点，BC=6Cm,求OD的长为 D 题型三垂径定理及应用 例题： 1.己知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E。若 ,则CE=DE(只须填上一个适合的条 件即可) 0 D 2.如图，在⊙0中，直径AB⊥弦CD于点E,CD=16,BE=4,求⊙0的半径和OE。 巩固训练 1.如图，在⊙0中，OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是 0. 第4页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 2.如图，AB是⊙0的弦，半径OA=2,∠AOB=120°，则弦AB的长是 3.己知⊙0的直径为20，弦AB长为12，则圆心0到弦AB的距离为」 ·0 4.已知：如图，在⊙0中，点C、D是弦AB的两个点，且OC=OD, 求证：AC=BD。 B 课后巩固 1.如图，已知⊙O的半径为5cm,弦AB的长为8cm,P是AB的延长线上一点，BP=2cm,则OP等于 () A B 第5页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A.2√2cm B.32cm C.2v5cm D.3v5cm 2.下列语句中，不正确的是() A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.大小不相等的两个圆中不存在等弧 C.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D.垂直于弦的直径也必平分弦 3.AB、CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD,又⊙O的直径为26，AB=10,CD=24,则AB与CD间的距离 为」 4.如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦AB和小圆交于C,D两 点，若AC=CD=4,则小圆半径是 B 0 5.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB,点O是这段圆弧所在圆的圆心.己知AB=200米，C是AB 上的一点，OC1AB,垂足为D,CD=40米.则这段弯路的半径是 米. 第6页共6页