24.1.2 垂直于弦的直径（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

第二十四章  圆

24.1  圆的有关性质

24.1.2  垂直于弦的直径

学习目标：1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.

2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证

明和作图问题.

3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.

重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作

图问题.

难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.

 

一、知识链接

1.说一说什么是轴对称图形？

 

 

 

2.你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有什么发现？

 

 

 

二、要点探究

探究点1：垂径定理及其推论

说一说  (1)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

(2) 你是怎么得出结论的？

 

 

问题  如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为P.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?

 

 

归纳总结：垂径定理——垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

推导格式：∵ CD是直径，CD⊥AB，∴ AP=BP，，.

 

 

想一想  下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？

 

 

归纳总结：可运用垂径定理的几种常见图形

 

典例精析

例1  如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB=     cm.

   

 

例2  如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.

                                                 

思考探索  如果把垂径定理的结论与题设交换一条，命题还是真命题吗？

①过圆心(是直径)；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？

 

 

证明举例  如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD平分弦AB于点E.

(1) CD⊥AB吗？为什么？

(2) 与相等吗？与相等吗？为什么?

 

 

 

归纳总结：垂径定理的推论——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

例3  已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：.

 

 

 

 

 

 

归纳总结：

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.

 

探究点2：垂径定理的实际应用

问题  (教材P82例2)赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

练一练：如图a、b，一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为       .