广西壮族自治区柳州地区民族高级中学2025-2026学年高三上学期综合测试（三）数学试题

2026届高三上学期数学综合测试（三） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合） 1. 设集合，则集合中所含整数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知单位向量，满足，则向量与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（ ） A. 64 B. 32 C. D. 8. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的面积为4 10. 已知抛物线的焦点为F，点F关于原点O的对称点为E，第一象限内的点A，B在C上，且，则（ ） A. 点E的坐标为 B. C. 直线的斜率为 D. 直线关于x轴对称 11. 在棱长为1的正方体中，点P是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若点M在正方形内（含边界），且，则点M的轨迹长为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 存在点P，使得异面直线与所成的角为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为_____________． 13. 已知各项均不为零的数列满足：．若，则数列的前n项和_____________． 14. 如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球． （1）若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率； （2）若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为，求的分布列与数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，且为正三角形，E，F分别为的中点，． （1）证明：平面． （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程． （2）若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）设是的极小值点，证明：． 19. 已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的标准方程． （2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，直线交线段于点Q，且，证明：直线l过定点． （3）在（2）的条件下，求的最大值． 2026届高三上学期数学综合测试（三） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】AB 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望是. 【17题答案】 【答案】（1）设的中点为K，连接． 因为，所以． 又因为G为的重心，所以，所以，所以． 又因为平面平面， 所以平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）； （ii）根据（i）可知，当或时，，单调递增，当时，单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点，即． 又， 所以． 设，由可知． 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，，即． 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明： 因为， 所以，所以， 显然直线l的斜率存在且不为0．设直线l的方程为， 且． 由得， 所以，① 所以， 整理得， 将①式代入得，化简得， 所以直线l的方程为，直线l过定点 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $