精品解析：黑龙江省龙东地区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026年九年级上学期综合练习（一） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，既是轴对称图形又是中心对称图形的（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，将绕着点B逆时针旋转后得到，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 6. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，在中，，，是的中点，，当在内绕顶点旋转时，两边，分别交，于点，．下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 请写出一个有一根为2的一般形式的一元二次方程________________． 12. 若点P（m，－2）与点Q（3，n）关于原点对称，则是________． 13. 若是关于的一元二次方程，则_______． 14. 二次函数的顶点坐标为________． 15. 已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是________ （填“<”、“>”或“=”）． 16. 定义新运算：例如：，．若，则值为______． 17. 如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是______． 18. 如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接则的周长最小值是_________． 19. 如图，在中，，，点D为边一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到．当是等腰三角形时，的长为_______． 20. 如图，抛物线在第一象限内经过整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点，，，…，都在直线上；②抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标为________． 21. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中，是方程的根． 23. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形．并写出点的对应点的坐标； （2）画出将绕原点按逆时针方向旋转后的图形； （3）连接，，，求出的面积． 24. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为，求的值． 25. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度． （2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2． 26. 在等边三角形中，为边所在直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，过点作交直线于点． （1）当点在边上时，如图①，求证：； （2）当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 27. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 28. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB． （1）求抛物线解析式； （2）当点F与抛物线的顶点重合时，的面积为______；． （3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标． （4）在（3）条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年九年级上学期综合练习（一） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2． 【详解】解：．是一元二次方程，故该选项符合题意； ． 含有两个未知数，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是分式方程不是整式方程，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．含有两个未知数且最高次数为1，则不一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，既是轴对称图形又是中心对称图形的（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，将绕着点B逆时针旋转后得到，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键． 由将绕着点逆时针旋转后得到，可求得，然后由三角形内角和定理，求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：将绕着点B逆时针旋转后得到， ， ∵，， ， ． 故选：B． 4. 将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线是， 故选：A． 5. 关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与方程根的个数之间的关系，掌握此关系是解题的关键． 根据题意得到关于k的不等式，解不等式，同时，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， 且． 故选：C． 6. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的增长率问题成为解题的关键． 根据原售价降低率降低后的售价得出两次降价后的价格列出一元二次方程即可解答． 【详解】解：依题意可得：． 故选C． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要综合考查一次函数图象与二次函数图象，解题的关键在于熟练掌握函数图象的性质．根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可． 【详解】解：A. 由二次函数图象知，，；由一次函数图象知，，故不符合题意； B. 由二次函数图象知，，；由一次函数图象知，，故不符合题意； C. 由二次函数图象知，，，根据对称轴符号 “左同右异”，可得对称轴在轴右侧；由一次函数图象知，，故符合题意； D. 由二次函数图象知，，，根据对称轴符号 “左同右异”，可得对称轴在轴右侧；由一次函数图象知，，故不符合题意． 故选：C 8. 如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：当时，设，交于点M，过点M作于点N，如图所示， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 由平移得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， ∴当时，； （2）当时，设，交于点P，过点P作于点Q，如图所示， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 即只有C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质与二次函数的图象与性质是解题的关键． 9. 如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 10. 如图，在中，，，是的中点，，当在内绕顶点旋转时，两边，分别交，于点，．下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键． 在和中，根据，，，证明，可知①②符合题意；根据①可得是等腰直角三角形，故③符合题意；④根据全等三角形面积相等得：，利用割补法得：，故④符合题意；⑤随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，在其它位置时，故⑤不符合题意． 【详解】解：∵，P是的中点，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，；故①②符合题意； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，故③符合题意； ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴ ∴，故④符合题意； 由等腰直角三角形的性质，， ∴随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，， 在其它位置时，故⑤不符合题意； 综上所述，正确的结论有：①②③④ 故选：C 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 请写出一个有一根为2的一般形式的一元二次方程________________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的两根是1和2，因而方程是，即，本题答案不唯一． 【详解】解：设方程的另一根为1， 则根据因式分解法可得方程为， 即． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查方程的根的定义，所写的方程只要把代入成立即可． 12. 若点P（m，－2）与点Q（3，n）关于原点对称，则是________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”即可求解． 【详解】解：∵点P（m，－2）与点Q（3，n）关于原点对称， ∴m＝－3，n＝2， 则． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键． 13. 若是关于的一元二次方程，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．由此可解． 【详解】解：由题意知， 解得， ， 故答案为：1． 14. 二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次函数顶点式写出顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，解题的关键是掌握二次函数顶点式的顶点为． 15. 已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是________ （填“<”、“>”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．分别求出，的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 17. 如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是______． 【答案】或度 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及勾股定理，勾股逆定理等知识内容，先把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，根据勾股定理得，根据勾股逆定理判断，是直角三角形，即可作答． 【详解】解：∵，， 故把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，如图所示： 由旋转性质得 则， ∴， ∵， ∴， 故， 即， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接则的周长最小值是_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理和轴对称的性质，解题关键是恰当作辅助线，得出三角形周长最小值，利用勾股定理求值； 将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N，证，确定点G在过点H且垂直的直线上运动，作点C关于直线的对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长，求出值即可 【详解】解：如图，将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N， ∵， ∴， ∵将线绕点E逆时针旋转得到线段， ∴， ∵将绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点G在过点H且垂直的直线上运动， ，作点C关于直线对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为13， ∵， ∴周长最小值是， 故答案为：18． 19. 如图，在中，，，点D为边一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到．当是等腰三角形时，的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设，由旋转的性质可知，，，当时，利用勾股定理列方程求解；当时，过点作的延长线于点，证明，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由旋转的性质可知，，， 当时，是等腰三角形，则 在中，， ， 解得：； 当时，是等腰三角形，如图，过点作的延长线于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的应用，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． 20. 如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点，，，…，都在直线上；②抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可求，；；进而可得，最后代值求解即可． 【详解】解：设，，， ∵抛物线沿直线向上平移， ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得，， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标，点的规律探究．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标并推导一般性规律是解题的关键． 21. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）先方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； （）利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解： ，，， ∴， ， ，． 22. 先化简，再求值：，其中，是方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解的定义，先把小括号内的式子同分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 23. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形．并写出点的对应点的坐标； （2）画出将绕原点按逆时针方向旋转后的图形； （3）连接，，，求出的面积． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为 （2）图见解析 （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握旋转的性质、画旋转图形的方法是解题的关键． （1）按照画中心对称图形的方法画出，并写出点的坐标即可； （2）按照画旋转图形的方法画出即可； （3）根据三角形的面积公式求面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求： 【小问3详解】 解：如图，连接，，， ∴的面积为：． 24. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，矩形的面积，运用了不等式和方程的思想， （1）根据方程有两个实数根可知，求解即可得出的取值范围； （2）根据根与系数的关系和矩形的面积公式得到关于的方程，求解即可； 解题的关键是掌握：（1）式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根；（2）一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为， ∴， ∴， 解得：，， 由（1）知：， ∴， ∴的值为． 25. 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度． （2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2． 【答案】（1）5m；（2）m2 【解析】 【分析】（1）根据AB为xm，则BC=（24﹣3x），利用长方体的面积公式列方程，解方程可求出x即可； （2）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃，然后运用二次函数求最值即可． 【详解】解：设AB＝xm，围成的花圃面积为ym2，则BC长为（24﹣3x）m， （1）根据题意，得x（24﹣3x）＝45， 整理，得x2﹣8x+15＝0， 解得x＝3或5， 当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立， 当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立， ∴AB长为5m； （2）由题意，得S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵墙的最大可用长度为10m，0≤BC＝24﹣3x≤10， ∴≤x＜8， ∵对称轴x＝4，开口向下， ∴当x＝m，有最大面积的花圃， 即：x＝m， 最大面积为：24×﹣3×（）2＝（m2）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正确列出一元二次方程和函数解析式是解答本题的关键． 26. 在等边三角形中，为边所在直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，过点作交直线于点． （1）当点在边上时，如图①，求证：； （2）当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】（1）见解析 （2）图②结论：；图③结论： 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，连接，根据旋转的性质和等边三角形性质可证得，可得，进而可得四边形为平行四边形，得出，最后根据线段的等量变换可得结论； （2）如图②，延长，交于点，连接，根据旋转的性质，角的等量代换，等边三角形性质可证得，进而可得，再根据线段的等量变换可得结论；如图③，连接，，根据旋转的性质，角的等量代换，等边三角形性质可证得，进而可得，，再由平行线的性质可得，即得，，最后根据线段的等量变换可得结论． 【小问1详解】 证明∶如图①，延长到点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ，， ， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， ， ． 【小问2详解】 解：如图②，延长，交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图③，连接，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质等，根据题意合理做出辅助线是解题的关键． 27. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）70元 （3）80元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，一元二次方程，二次函数的综合，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． （1）根据每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件的数量关系列式求解即可； （2）运用销售量乘以每件的利润，由此列式即可求解； （3）设每月总利润为w，由此列式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵依题意，得：， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵依题意得：， 即， 解得：， ∵， ∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元； 【小问3详解】 解：设每月总利润为w，依题意得， ， ∵，此图象开口向下， ∴当时，w有最大值为4500元， ∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 28. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB． （1）求抛物线解析式； （2）当点F与抛物线的顶点重合时，的面积为______；． （3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标． （4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）有最大值12，此时点F的坐标为 （4）存在，点Q的坐标，，， 【解析】 【分析】（1）把把A(4,0)代入y=x+b，求出b值，从而求出点B坐标，然后根据OA=2OC，求出点C坐标（-2，0），设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4)，把B(0-4)代入，即可求解； （2）将抛物线解析式化成顶点式，得出顶点坐标，即可得出点F坐标，再求出对称轴与直线AB交点坐标，即可求解； （3）过点F作轴，交AB于点E，设点P的横坐标为t，则，则．所以，又因为，则，，根据二次函数最值求解即可； （4）分两种情况：①当AF为正方形AFMQ的边时，②当AF为正方形AFMQ的对角线时，分别求出点Q坐标即可． 【小问1详解】 解：把A(4,0)代入y=x+b，得 4+b=0，解得：b=-4， ∴y=x-4， 当x=0时，y=0-4=-4, ∴B(0,-4)， ∵A(4,0)， ∴OA=4， ∵OA=2OC， ∴OC=2， ∴C（-2，0）, 设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4)， 把B(0-4)代入得：-4=a(0+2)(0-4)， 解得：a=， ∴抛物线解析式为y=(x+2)(x-4)=x2-x-4； 【小问2详解】 解：y=x2-x-4=(x-1)2- ∵点F与抛物线的顶点重合, ∴F(1,-), 设抛物线对称轴与直线AB相交于E，如图， ∵A（4，0），B（0，-4）， ∴直线AB解析式为：y=x-4， 则当x=1时，y=1-4=-3， ∴E（1，-3）, ∴S△ABF=|-3|×|4-0|=3， 故答案为：3； 【小问3详解】 解：如图，过点F作轴，交AB于点E， 设点P的横坐标为t，则， ∵直线AB的解析式为， ∴． ∴， ∵， ∴，， ∴当时，有最大值12， ． ∴此时点F的坐标为． 【小问4详解】 解：过F作FE ⊥x轴于E， ∵A(4,0)，F(2,-4)， ∴AE=2，EF=4，AF=2， 如图，①当AF为正方形AFMQ的边时，i)有正方形AFM1Q1， 过Q1作Q1N1⊥x轴于N1， ∵∠AEF=∠AN1Q1=90°，∠FAQ1=90°， ∴∠EAF=∠AQ1N1， ∵AF=AQ1， ∴△AEF≌△Q1N1A（AAS）， ∴AN1=EF=4，Q1N1=AE=2， ∴Q1（8，-2）； ii) 有正方形AFQ2M2时， 过Q2作Q2N2⊥EF轴于N2， 同理可得△AEF≌△FN2Q2（AAS）， ∴FN2=AE=2，Q2N2=EF=4， ∴Q2（6，-6） ②当AF为正方形AFMQ的对角线时，设AF与QM相交于P， ∵A（4，0），F（2，-4）， ∴P（3，-2） i)有正方形AQ3FM3时，过Q3作Q3G⊥x轴于G，过M3作M3H⊥x轴于H， 易证△AHM3≌△Q3GA， ∴AH=Q3G，M3H=AG， 设Q3(4+a，b)，则M3(4+b,-a)， ∴，解得：, ∴Q3（5，-3），M3（1，-1） ii) 有正方形AQ4FM4时，过Q4作Q4H⊥x轴于H， 则Q3与M3重合， ∴Q4（1，-1）， 综上，存在，当以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标，，，． 【点睛】本题待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象和性质，正方形的判定与性质，本题属二次函数综合题目，综合性强，属中考试压轴题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $