第03讲：函数表示与基本性质【十二大考点+十二大题型】讲义-2025-2026学年高一数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习（人教A版2019必修第一册）

第03讲：函数表示与基本性质 【题型归纳】 【方法技巧】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 常用结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 2．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 3.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 常用结论 1．函数奇偶性常用结论 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． 【题型探究】 题型一：函数的定义域 【例1】．（24-25高一上·河南·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型二：函数的值域 【例1】．（24-25高一上·河北·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 题型三：求函数解析式 【例1】．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式： （2）已知，求的解析式； （3）已知满足，求的解析式. 【例2】．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知为二次函数，且，求． 【例3】．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 题型四：函数相等问题 【例1】．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期中）下面各组函数中是同一函数的是（   ） （1）与 （2）与 （3）与 （4）与. A．（1）（3） B．（2） C．（4） D．（1）（4） 【例2】．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A． B．与 C．与 D． 【例3】．（24-25高一上·广东江门·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（      ） A．， B．， C．， D．， 题型五、根据单调性求参数 【例1】．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 题型六、由函数的奇偶性求解析式 【例1】．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【例2】．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【例3】．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 题型七、由函数的奇偶性求参数 【例1】．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 【例2】．（24-25高一上·上海·期中）若是闭区间上的偶函数，则 ． 【例3】．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数为奇函数.则 . 题型八、用定义法证明单调性、函数的奇偶性、单调性比较大小或解不等式 【例1】．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数，. (1)用定义法判断函数在定义域内的单调性； (2)若，求实数的取值范围. 【例2】．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，定义域为． (1)试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 【例3】．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知奇函数（其中，且，）满足． (1)求与的值； (2)判断的单调性，并用定义证明你的结论； (3)解关于x的不等式． 题型九、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值或参数 【例1】．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【例2】．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数． (1)判断函数单调性并证明； (2)求函数的值域； (3)设，，，求函数的最小值． 【例3】．（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 题型十：函数的对称性和周期性 【例1】．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则 . 【例2】．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则 ． 【例3】．（2024·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则 ． 题型十一、抽象函数问题 【例1】．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【例2】．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 【例3】．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 题型十二、函数性质的综合应用 【例1】．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时， (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若关于的方程有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【例2】．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为． (1)求的值； (2)当时，求函数的解析式； (3)判断在上的单调性并用定义证明． 【例3】．（25-26高一上·吉林长春）用表示，中的较小者，记为，已知函数． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若， ①求使得成立的的取值范围； ②求在区间上的最大值． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ）． A．3 B． C．1 D． 2．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖北十堰·期中）若函数在上为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建莆田·阶段练习）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·浙江温州·阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（   ） A．47 B． C．1 D．2 9．（25-26高一上·四川眉山·阶段练习）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）下列各组函数中，表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）下列各选项给出的命题中，正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．定义为中的最小值，设，则的最大值是2 C．函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数， 当时，函数的值域为 D．若二次函数，则 12．（25-26高一上·甘肃·期中）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是函数图象的一个对称中心 D．为偶函数 13．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，若不等式的解集为，则下列可以作为的充分不必要条件的是（　　） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·全国·期中）已知函数的定义域为，，且对任意实数m，n，有，当时，．则下列结论正确的是（    ） A． B．是上的单调递减函数 C．为偶函数 D．为奇函数 三、填空题 15．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 16．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数定义在上，且对任意的，都有，则不等式的解集为 ． 17．（25-26高一上·甘肃·期中）定义在上的函数，满足，若当时，，则当时， . 18．（25-26高一上·北京·期中）已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的有 . ①                ②函数的最小值为 ③为R上的增函数    ④关于x的不等式的解集为 四、解答题 19．（25-26高一上·吉林·期中）已知是二次函数，且．函数 (1)求的解析式；求函数的定义域． (2)若，求函数的最小值和最大值． 20．（25-26高一上·湖南株洲·阶段练习）已知函数. (1)若，求的值； (2)作出函数的大致图象，并求的解集. 21．（24-25高二下·宁夏银川·期末）已知函数，． (1)单调性的定义证明在区间上是增函数； (2)解关于的不等式：． 22．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，. (1)求； (2)探究的奇偶性； (3)用定义法证明在区间上单调递增. 23．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 24．（25-26高一上·黑龙江大庆）函数满足对一切x，有，且；当时，有． (1)求的值； (2)判断并证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 25．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数，且. (1)判断函数奇偶性并予以证明； (2)判断函数单调性（无需给出理由），求使得成立的的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲：函数表示与基本性质 【题型归纳】 【方法技巧】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 常用结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 2．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 3.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 常用结论 1．函数奇偶性常用结论 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． 【题型探究】 题型一：函数的定义域 【例1】．（24-25高一上·河南·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的概念列不等式，可得解. 【详解】由函数有意义，得，解得且， 所以原函数的定义域是． 故选：B. 【例2】．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 【例3】．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【详解】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C 题型二：函数的值域 【例1】．（24-25高一上·河北·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法，结合基本不等式可求得最大值. 【详解】由，令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最大值为. 故选：C. 【例2】．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 【例3】．（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为， 且， 则， 即， 故选：C. 题型三：求函数解析式 【例1】．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式： （2）已知，求的解析式； （3）已知满足，求的解析式. 【答案】（1）；（2），；（3），. 【分析】（1）利用待定系数法，设，，代入后得到方程组，解出即可； （2）利用换元法设，代入计算即可； （3）令代换后与原式联立得到方程组，求解即得. 【详解】（1）依题意，设，， 则， 即，则，解得， 则. （2）设，，则， 则，， 故，. （3）因，用代换，可得； 联立，解得， 故，. 【例2】．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知为二次函数，且，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． 【详解】（1）令，则， 于是有，所以； （2）设， 所以，解得，所以． 【例3】．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【答案】 （1） （2） （3） 【详解】（1） （待定系数法）∵是一次函数，可设， 由题可知：，即， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）(配凑法)， 又， 当且仅当即时等号成立. 设则，∴， ∴函数的解析式为. （3）(解方程组法)∵，① ∴，② 由得，∴. ∴函数的解析式为. 题型四：函数相等问题 【例1】．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期中）下面各组函数中是同一函数的是（   ） （1）与 （2）与 （3）与 （4）与. A．（1）（3） B．（2） C．（4） D．（1）（4） 【答案】C 【分析】由题意结合同一函数的概念逐项判断即可得解. 【详解】对于（1），函数，所以两函数对应关系不同，故（1）错误； 对于（2），函数的定义域为，函数的定义域为，两函数定义域不同，故（2）错误； 对于（3），函数的定义域为，函数的定义域为，两函数定义域不同，故（3）错误； 对于（4），两函数定义域和对应法则均相同，故（4）正确. 故选：C. 【例2】．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A． B．与 C．与 D． 【答案】D 【分析】先判断定义域，再判断对应法则即可. 【详解】A选项，定义域为，定义域为，故不是同一函数； B选项，定义域为，定义域为，故不是同一函数； C选项，定义域为，定义域为，故不是同一函数； D选项，与定义域都是，且对应法则相同，故是同一函数； 故选：D. 【例3】．（24-25高一上·广东江门·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据相同函数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，的定义域为R，的定义域为，B错误； 对于C，和的定义域和对应关系都相同，C正确； 对于D，由，解得，故的定义域为， 由，解得或，的定义域为，定义域不一致，D错误. 故选：C 题型五、根据单调性求参数 【例1】．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行分类讨论，根据函数在上单调递增，结合函数的性质即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，因此， 当时， 为对勾函数，在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以，则， 所以实数b的取值范围是. 故选：B 【例2】．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分段函数的单调性结合对数函数单调性列式求解即可. 【详解】因为当时，为减函数，且时，. 又因为在上为单调函数，所以只能为单调递减函数， 所以解得， 故选:D. 【例3】．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，解得，即a的取值范围为.故选：B. 题型六、由函数的奇偶性求解析式 【例1】．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 【例2】．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得. 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 【例3】．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】利用奇函数性质求函数解析式. 【详解】令，则，故， 又，即时. 故答案为： 题型七、由函数的奇偶性求参数 【例1】．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 【例2】．（24-25高一上·上海·期中）若是闭区间上的偶函数，则 ． 【答案】6 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求得，根据偶函数的定义求得，由此求得. 【详解】因为是区间上的偶函数， 则，解得， 由是偶函数，则， 即， 即，则， 所以. 故答案为：6. 【例3】．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数为奇函数.则 . 【答案】1 【分析】因为奇函数且定义域为R，故可由求得的值，再利用奇函数的定义验证即可. 【详解】因为函数为奇函数，定义域为R，所以，即 此时， ， 即为奇函数，符合题意. 故答案为：1. 题型八、用定义法证明单调性、函数的奇偶性、单调性比较大小或解不等式 【例1】．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数，. (1)用定义法判断函数在定义域内的单调性； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下：任取且， 则，因为且，所以，，， 所以，即，故在上单调递减. （2）因为在上单调递减，所以等价于，解得或， 所以实数的取值范围为. 【例2】．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，定义域为． (1)试判断函数在上的单调性，并用定义法证明． (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）设，则， 化简得：， 因为，所以，，，那么，即， 所以函数在上单调递增； （2）因为，即，则，可得， 所以， 因此函数在区间上的值域为. （3）因为在上单调递增，且，所以可得，解，，； 解，，； 解，即，因式分解得，则或，时，，取；时，，取；综合可得或. 【例3】．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知奇函数（其中，且，）满足． (1)求与的值； (2)判断的单调性，并用定义证明你的结论； (3)解关于x的不等式． 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 即，化简得， 又根据指数函数，，， 所以，所以，解得， 所以函数，又， 即，解得或（舍），所以； （2）由（1）得，函数， 因为为增函数，为减函数，所以函数为增函数， 设，则 因为，所以，， 即，所以， 所以函数在上单调递增； （3）由，即， 又函数为奇函数，所以， 又由（2）得，函数在上单调递增， 所以，即， ①当时，即，解得， ②当时，，则， 令，解得或， 当时，，不等式为，即，解得； 当且时，，所以一元二次方程存在两个不等的实数根， 根据求根公式，解方程得或， 再结合二次函数的图象性质，开口向上，可得的解集为；当时，， 所以一元二次方程存在两个不等的实数根， 根据求根公式，解方程得或， 再结合二次函数的图象性质，开口向下，可得的解集为； 当时，，所以一元二次方程没有实数根， 再结合二次函数的图象性质，开口向下，可得的解集为； 综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当且时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型九、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值或参数 【例1】．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)减函数，证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值. （2）由（1）求出，再利用奇函数的定义推理判断. （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性. 【详解】（1）由的图象过点，得，又， 联立解得：. （2）由（1）知函数，因此是奇函数.证明如下： 的定义域为R，对于R，R， ， 所以是奇函数. （3）函数在上是减函数. 证明如下： 设， 则 ， 由，得 因此， 即， 所以函数在上是减函数. 【例2】．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数． (1)判断函数单调性并证明； (2)求函数的值域； (3)设，，，求函数的最小值． 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析(2)(3) 【详解】（1）函数在上单调递增； 证明：任取且， ， ， ， ，即， 函数在上单调递增． （2）函数在上单调递增， ， 的值域为． （3）令，由（2）可知， ， ，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，函数在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值， 即； 当时，函数在上单调递减，． 综上，函数的最小值． 【例3】．（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意；当时，，在上单调递减，不符合题意；所以. （2）因为，即转化为，由参变量分离法可得，其中，所以，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以，综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由，得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 题型十：函数的对称性和周期性 【例1】．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由已知奇偶性质得到对称性，借助已知条件与求出待定系数，再利用对称性转化为，代入解析式求解即得． 【详解】根据题意，由为奇函数，得， 令得，即；令，得， 由为偶函数，得,令，得， 由，所以， 由，解得， 故时，， 由，当时，可得. 故答案为：. 【例2】．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据对称性结合变换可求为周期函数且周期为，据此可求的值. 【详解】因为是奇函数，故， 所以即，故. 而是偶函数，故， 因为，故， 故，所以， 所以，故， 故为周期函数且周期为4，而，故， 故，故，而， 故， 故答案为：. 【例3】．（2024·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则 ． 【答案】 【分析】由是奇函数，可得，由可得，进而得到，从而得出函数的周期为，根据条件赋值可求得，从而得解. 【详解】因为是奇函数，所以， 用替换上式中的，可得， 在中，用替换，可得， 所以，用替换该式中的，可得， 所以，所以函数的周期为， 在中，令，得， 在中，令，得， 在中，令，得， 所以， 所以. 故答案为：. 题型十一、抽象函数问题 【例1】．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【详解】（1）取代入，得， 取代入， 得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减. 【例2】．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 【详解】（1）由题意知，函数满足：， 令，则，解得， 令，则，解得， 函数为偶函数，理由如下： 由题意，函数的定义域为， 令，则，即， 所以函数为偶函数. （2）函数在上单调递减，证明如下：任取，令，， 则，即，因为，则，由题意知， 所以，即，所以函数在上单调递减. （3）由，得；令，则，所以， 因为函数为偶函数，所以，当时，因为函数在上单调递减， 所以由，得，即，解得； 因为函数为偶函数，且函数在上单调递减，所以函数在上单调递增， 当时，由，得，所以，解得； 综上所述，不等式的解集为或. 【例3】．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 【详解】（1）令，则，即， ， ； （2）令，则，即，可得为奇函数； （3）是上的减函数. 证明：令，则， 则， 由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数. 题型十二、函数性质的综合应用 【例1】．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时， (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)若关于的方程有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）是定义在上的奇函数，所以当时，，， 所以的解析式为. （2）当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递增， 又因为在处连续，故函数的单调递增区间为. （3）作出函数的图像，要想使关于的方程有3个不相等的实数根， 则与的图像有三个不同的交点，由图像可得，所以实数的取值范围为. 【例2】．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为． (1)求的值； (2)当时，求函数的解析式； (3)判断在上的单调性并用定义证明． 【答案】(1)； (2)； (3)单调递减，证明见解析. 【分析】（1）依据奇函数定义域的对称性列方程求； （2）利用奇函数性质及已知区间解析式推导对称区间解析式； （3）通过定义法证明函数单调性. 【详解】（1）因为函数是奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，解得. （2）当时，即，则. 由奇函数性质，故， 则. （3）在上单调递减，证明如下： 设，则 ， 因为，故，， 所以，，故， 即，所以在上单调递减. 【例3】．（25-26高一上·吉林长春）用表示，中的较小者，记为，已知函数． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若， ①求使得成立的的取值范围； ②求在区间上的最大值． 【详解】（1）因为恒成立，即恒成立， 可得恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为， ①若，且， 当时，则，可得，解得； 当时，，可得， 因为，则，所以无解； 综上所述：的取值范围是；②由①可知：，且， 当时，则，可得，所以； 当时，则的对称轴为， 可得为的最大值，且， 令，解得；令，解得； 所以； 综上可知：. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ）． A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质计算可得. 【详解】由题意，当时，，则， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 故选：B 2．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 又的单调递增区间为， 在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故选：B. 3．（25-26高一上·湖北十堰·期中）若函数在上为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据奇函数的定义域关于原点对称得出，再根据奇函数定义计算得出，计算即可求解. 【详解】函数在上为奇函数，所以定义域关于原点对称， 则，所以， 函数为奇函数， 所以， 所以时，， 所以. 故选：A. 4．（25-26高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程组法即可求出函数的解析式. 【详解】由，用替换可得， 从而得方程组，解得，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）定义在上的函数满足：对任意，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，判断函数的单调性，根据函数单调性解不等式，可得所求不等式的解集. 【详解】不妨设，因为，所以， 所以. 设，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：B 6．（25-26高一上·福建莆田·阶段练习）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项中两个函数是否为同一函数即可. 【详解】A：的定义域为R，的定义域为，不是同一函数； B：的定义域为R，的定义域为，不是同一函数； C：的定义域为，的定义域为，不是同一函数； D：的定义域均为R，且对应法则相同，为同一函数. 故选：D 7．（25-26高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合一次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时，， 又函数的值域为R，所以当时，的值域为，则， 所以，解得. 故选：A. 8．（25-26高三上·浙江温州·阶段练习）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（   ） A．47 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意可得函数是周期函数，用赋值法可求得，利用周期函数的性质即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域为,且所以，且，即. 因为函数为偶函数，所以. 所以，所以函数是周期为4的周期函数. 所以. 故 故选：C. 9．（25-26高一上·四川眉山·阶段练习）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数在上单调递增，再由的图象关于对称，求得，，结合，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. 二、多选题 10．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）下列各组函数中，表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【分析】利用同一函数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数、的定义域均为，且， 故A选项中的两个函数表示同一函数； 对于B选项，函数、的定义域均为，且这两个函数的对应关系相同， 故B选项中的两个函数表示同一函数； 对于C选项，对于函数，有，解得， 所以函数的定义域为， 函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同， 故C选项中的两个函数不表示同一函数； 对于D选项，函数的定义域为， 函数的定义域为， 又因为，，故D选项中的两个函数表示同一函数. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期中）下列各选项给出的命题中，正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．定义为中的最小值，设，则的最大值是2 C．函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数， 当时，函数的值域为 D．若二次函数，则 【答案】BCD 【详解】对于A:令，则，解得， 则函数的定义域为，故A错误; 对于B:在同一坐标系中分别画出的图象， 取三个图象较低的部分得到的图象如图，即可求的最大值是2.故B正确； 对于C:由高斯函数定义即得，当时，； 当时，；当时，；故C正确; 对于D: ，所以. 故D正确.另外画出的图像也可求解. 故选：BCD 12．（25-26高一上·甘肃·期中）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．是函数图象的一个对称中心 D．为偶函数 【答案】BCD 【分析】由给定等式可得，再利用奇偶函数的性质，结合对称性的意义逐项判断得解. 【详解】由函数的定义域为，，得， 对于A，由函数是定义在上的奇函数，得，令，得，A错误； 对于B，由，且为奇函数，得，B正确； 对于C，由，得，， 因此，是函数图象的一个对称中心，C正确； 对于D，由，得，函数是偶函数， 因此函数为偶函数，D正确. 故选：BCD 13．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，若不等式的解集为，则下列可以作为的充分不必要条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为对任意的，有，所以在上单调递减， 因为是定义在上的偶函数，所以在上单调递增， 不等式等价于，即， 当时，，解得， 当时，解得， 则， 则可以作为的充分不必要条件的应是的真子集. 故选：AD 14．（25-26高一上·全国·期中）已知函数的定义域为，，且对任意实数m，n，有，当时，．则下列结论正确的是（    ） A． B．是上的单调递减函数 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】AD 【分析】根据已知条件，通过赋值法，结合函数单调性、奇偶性定义，对各选项进行逐一判断． 【详解】选项A：函数的定义域为，对任意实数满足， 令，得，，又， 令，得， ，解得，故A正确； 选项B：当时，， 设，则，则， ，，即， ，则在上单调递增，故B错误； 选项C：若为偶函数，则，与，矛盾，故C错误； 选项D：令，则，即， ，即函数为奇函数，故D正确． 故选：． 三、填空题 15．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】先利用复合函数的定义域求出中的的范围，再结合分式的分母不为0即可求定义域. 【详解】因为的定义域为，则，即， 所以的定义域为， 又， 所以函数的定义域为. 故答案为： 16．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数定义在上，且对任意的，都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】通过构造分析单调性，将原不等式转化为关于的不等式组求解. 【详解】构造函数（）. 对任意且，不妨设，由，得. 将，代入上式，化简得. 因，故，即在上单调递减. 由，得. 由于不等式有意义，所以， 不等式变形为（其中），即. 因单调递减，故. 解得或；解得. 取交集得或. 故答案为：. 17．（25-26高一上·甘肃·期中）定义在上的函数，满足，若当时，，则当时， . 【答案】 【分析】当时，则，根据条件及时的解析式，代入计算，即可得答案. 【详解】当时，则， 因为，所以， 又当时，， 所以. 故答案为：. 18．（25-26高一上·北京·期中）已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的有 . ①                ②函数的最小值为 ③为R上的增函数    ④关于x的不等式的解集为 【答案】①③④ 【分析】根据给定条件，赋值推理判断①②；利用函数单调性定义推理判断③；将不等式等价转化，再利用单调性求解判断④. 【详解】对于①，令，则，而，解得，①正确； 对于②，令，则，，假设存在使得， 对任意实数x，有， 此时为常数函数，与矛盾，即不存在使得，则，②错误； 对于③，由，得， ，且，则，又当时，，则， 又恒成立，因此 ， 即，因此为R上的增函数，③正确； 对于④，，则， ，不等式 ，令，由，即， 解得或，即或，而为R上的增函数，， 于是或，不等式的解集为，④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题 19．（25-26高一上·吉林·期中）已知是二次函数，且．函数 (1)求的解析式；求函数的定义域． (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1)； (2)函数的最小值为-4，最大值为5. 【分析】（1）设，将已知条件代入求得，进而得到的解析式；根据的解析式即可确定其定义域. （2）根据二次函数的性质和的范围求出最值即可. 【详解】（1）设，根据题意得， 解得. 所以的解析式为. 因为，要使得函数有意义， 则，解得且，所以函数的定义域为. （2）由（1）可得，则. 因为，根据二次函数的性质可知在上单调递增， 在上单调递减，所以的最大值为. 又，，所以的最小值为-4. 20．（25-26高一上·湖南株洲·阶段练习）已知函数. (1)若，求的值； (2)作出函数的大致图象，并求的解集. 【答案】(1)或或 (2)作图见解析，解集为 【分析】（1）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （2）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为，且. 当时，由，解得，合乎题意； 当时，由，解得，合乎题意； 当时，由，可得，解得或（舍去）. 综上所述，实数的值为或或. （2）作出函数的图象如下图所示： 因为，且. 当时，恒成立； 当时，恒成立； 当时，由得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为. 21．（24-25高二下·宁夏银川·期末）已知函数，． (1)单调性的定义证明在区间上是增函数； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. 【详解】（1）任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为. 22．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，. (1)求； (2)探究的奇偶性； (3)用定义法证明在区间上单调递增. 【详解】（1）对于任意的，均有， 取，得，即得. （2）函数的定义域为，对，令，得， ，因此， 所以函数为奇函数. （3）且，令，则，即, 因，则， 故，即， 则，所以函数在区间上单调递增. 23．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 【详解】（1）为奇函数，. （2）设， ， ，，，， 在上是减函数. （3）当时，，，； 又为定义在上的奇函数，，. 24．（25-26高一上·黑龙江大庆）函数满足对一切x，有，且；当时，有． (1)求的值； (2)判断并证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 【详解】（1）由函数满足对一切，且， 令，可得，令，可得， 再令， 所以，可得. （2）为上的单调递减函数. 证明如下： 设且，令，则， 所以， 因为当时，有，所以， 由 ， 即，所以为上的单调递减函数. （3）令，可得 所以，原不等式化为， 令，可得，解得，即， 又由，所以， 因为为上的单调递减函数，所以，即，解得，所以不等式的解集为. 25．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数，且. (1)判断函数奇偶性并予以证明； (2)判断函数单调性（无需给出理由），求使得成立的的取值范围. 【详解】（1）由题意知，所以，为奇函数，证明如下： 定义域为,关于原点对称， ， 所以函数为定义在上的奇函数. （2）函数在上单调递增，理由如下： 由（1）知 且，则 ， 因为，所以， 故， 故，所以， 所以函数在上单调递增. 由（1）知函数为定义在上的奇函数，即， 所以等价于, 所以，所以, 所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $