专题 5.2 等式的性质（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年七年级数学上册（人教版 2024）

专题 5.2 等式的基本性质 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【知识点1】等式的对称性与传递性： 1 【题型1】利用等式的对称性与传递性进行判断 1 【知识点2】等式的基本性质 2 【题型2】利用等式的基本性质进行依据判断 2 【题型3】利用等式的基本性质对等式的变形进行判断 3 【题型4】利用等式的基本性质解方程 3 【题型5】天平上的等式基本性质 3 【题型6】利用等式基本性质比较大小 4 【题型7】等式基本性质在生产生活中的应用 4 【题型8】综合拓展与延伸 5 二．同步练习 6 【基础巩固（15题）】 6 【能力提升（16题）】 8 一．知识梳理与题型分类精析 【知识点1】等式的对称性与传递性： 等式的对称性：等式两边可以交换，如果,那么； 等式的传递性：相等关系可以传递.如果，，那么. 【题型1】利用等式的对称性与传递性进行判断 【例题1】若，，利用等式的传递性得到下列结论正确的是（ ） 、； 、； 、； 、； 【变式】下列推理中，同时运用了等式的对称性与传递性的是（ ） 若，则； 若，，则； 若，，则； 若，则； 分析：先明确两个性质的核心：对称性是“交换两边”，传递性是“连接中间量推导相等。 【知识点2】等式的基本性质 一般地，等式有以下性质： 等式的性质1 等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等． 如果，那么. 等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为O的数，结果仍相等． 如果，那么； 如果，，那么. 【题型2】利用等式的基本性质进行依据判断 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）小周学习《等式的性质》后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误的原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体解题过程如表所示： 将等式变形 得第①步 第②步 第③步 （1）步骤①的依据是 ； （2）小周出错的步骤是 ，错误的原因是 ． 【变式1】（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如果，那么，其依据为（   ）． A．等式两边可以交换 B．相等关系可以传递 C．等式两边加同一个式子，结果仍相等 D．等式两边乘同一个数，结果仍相等 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并在题后的括号内写出变形的依据． （1）已知，则（ ）；（ ） （2）已知，则 ；（ ） （3）已知，则 ；（ ） （4）已知，则 ．（ ） 【题型3】利用等式的基本性质对等式的变形进行判断 【例题3】（24-25七年级上·河南焦作·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）下列式子是运用等式的性质进行的变形，其中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型4】利用等式的基本性质解方程 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）运用等式的基本性质解下列方程： （1）． （2）． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程时，应在方程两边（   ） A．都乘 B．都除以 C．都乘 D．都除以 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解下列方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 【题型5】天平上的等式基本性质 【例题5】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，标有相同字母的物体的质量相同，若的质量为20克，则当的质量为 克时，天平处于平衡． 【变式1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级上·四川成都·专题练习）假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是 【题型6】利用等式基本性质比较大小 【例题6】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 【变式2】（23-24七年级上·河北保定·期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系： （填“”“”“”） 【题型7】等式基本性质在生产生活中的应用 【例题7】（2025·安徽·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． （1）今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； （2）若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是 千米． 【变式2】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，把一边长为厘米的铁皮的四个角各剪去一个边长为厘米的小正方形，然后把它折成一个无盖长方体铁盒．  （1）该铁盒的高是______厘米，底面积是______平方厘米； （2）为了使铁盒底面达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑铁皮的厚度），求此时x与y之间的数量关系． 【题型8】综合拓展与延伸 【例题8】（23-24七年级下·北京房山·期末）有6个小正方体，它们的大小和颜色都相同，其中有5个小正方体的质量相等，有1个小正方体略重一点，可以利用天平进行实验操作探究，如果用最少的操作次数一定能找出这个质量略重的小正方体，那么最少的操作次数是（    ） A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【变式1】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2025个格子中的数为（   ） 3 … A．3 B． C．2 D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知， （1）若，则与的等量关系是 ． （2）若，则 ．（用含，的代数式表示） 二．同步练习​ 【基础巩固（15题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）如果均为正数，且，那么（    ） A． B． C． 2．（25-26七年级上·海南·开学考试）（，为非自然数），根据等式的性质，下面的等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（24-25七年级上·河北邢台·期末）一名同学把“等式①”按照如图所示的程序做了变形： 小明认为：等式①②③依次为；；． 以上等式中，符合题意的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 6．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）已知，用S，h表示a，则 ． 7．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）将方程的两边同乘12，可得到，这种变形的依据是 ． 8．（24-25七年级下·四川内江·期中）在方程中，用含的代数式表示，可得 ． 9．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形的长和宽的差是 （用含a，b的式子表示） 10．（24-25九年级上·江苏南通·期中）夏禹时代的“河图洛书”被视为中华文明之源．河图主要代表天文，洛书则主要代表地理方位．其中，“洛书”所呈现的数字排列方式，与三阶幻方有相似之处，其实际数学意义就是它每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则如图所示的幻方中 ． a 9 5 b 8 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质将下列等式化成“”的形式． （1）． （2）． 12．（24-25九年级下·贵州贵阳·自主招生），求的值． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的性质，求： （1）和的值； （2）的值． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） （1）上述过程中，第一步的依据是什么？ （2）小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）若，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）等式中的部分数字被墨渍污染，则被墨渍污染的“”为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（23-24七年级上·浙江·开学考试）甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山西运城·期末）下列运用等式基本性质的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．（24-25七年级上·河北邢台·期末）有三种不同质量的物体“★”“▲”“■”，其中，同一种物体的质量都相等．在研究等式的性质时，老师在天平的左边放了“★★★■”，甲、乙、丙、丁四位同学在天平的右边各放了下列物体，只有一名同学所放的物体不能使天平平衡，该同学是（   ） 甲：★★★★★★；乙：★▲■；丙：“■▲▲”；丁：▲▲▲ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题 7．（24-25六年级下·山东泰安·期中）若是方程的解，则代数式的值是 ． 8．（24-25七年级上·四川自贡·期末）下面表示解方程的流程． ① ② 第①步变形的依据是 ； 9．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m n．（填“”“”或“”） 10．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知，，则式子的值为 ． 11．（24-25七年级上·重庆·期末）如图．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图所示．若，该长方形区域的长为 ． 12．（22-23七年级上·湖北孝感·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 三、解答题 13．（2024七年级上·山东·专题练习）利用等式的性质解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 14．（2023·河北张家口·一模）化简整式（P是整式） （1）求P（用含m的式子表示）； （2）若，求Q的值． 15．（2024七年级上·浙江·专题练习）下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： （1）①的依据是 ； （2）小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； （3）给出正确的解题过程． 16．（24-25七年级上·全国·期中）如图，数轴上点 A，B表示的数分别是a，b，其中，．      （1）若该数轴上有一点C，点C到点A 和点 B 的距离相等．当，时，点C表示的数是 ； （2）若该数轴上有一点D表示的数是5，且，当时，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.2 等式的基本性质 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【知识点1】等式的对称性与传递性： 1 【题型1】利用等式的对称性与传递性进行判断 1 【知识点2】等式的基本性质 2 【题型2】利用等式的基本性质进行依据判断 2 【题型3】利用等式的基本性质对等式的变形进行判断 4 【题型4】利用等式的基本性质解方程 6 【题型5】天平上的等式基本性质 7 【题型6】利用等式基本性质比较大小 8 【题型7】等式基本性质在生产生活中的应用 10 【题型8】综合拓展与延伸 12 二．同步练习 14 【基础巩固（15题）】 14 【能力提升（16题）】 21 一．知识梳理与题型分类精析 【知识点1】等式的对称性与传递性： 等式的对称性：等式两边可以交换，如果,那么； 等式的传递性：相等关系可以传递.如果，，那么. 【题型1】利用等式的对称性与传递性进行判断 【例题1】若，，利用等式的传递性得到下列结论正确的是（ ） 、； 、； 、； 、； 【分析】本题考查了等式传递性，其核心为：若，，则.即相等关系可以传递。 解：选项A：已知，即：，，即：，通过传递性即可得出，符合等式的传递性，故选项A符合题意； 选项B：将等式交换位置，得到，符合等式的对称性，不符合传递性，故选项B不符合题意； 选项C：将等式两边同时加上了1，这是后面要学的等式基本性质，故选项C不符合题意； 选项D：将等式变形得到了，这是后面要学的等式基本性质，故选项D不符合题意； 故选：A. 【变式】下列推理中，同时运用了等式的对称性与传递性的是（ ） 若，则； 若，，则； 若，，则； 若，则； 分析：先明确两个性质的核心：对称性是“交换两边”，传递性是“连接中间量推导相等。 解：选项A：仅交换了，只运用了对称性；故选项A不符合题意； 选项B：通过中间量推导，只运用了传递性；故选项B不符合题意； 选项C：通过，，由传递性得到，再由对称性得到，故选项C符合题意； 选项D：若，则；这是利用了等式的性质，故选项D不符合题意； 故选：C. 【知识点2】等式的基本性质 一般地，等式有以下性质： 等式的性质1 等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等． 如果，那么. 等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为O的数，结果仍相等． 如果，那么； 如果，，那么. 【题型2】利用等式的基本性质进行依据判断 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）小周学习《等式的性质》后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误的原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体解题过程如表所示： 将等式变形 得第①步 第②步 第③步 （1）步骤①的依据是 ； （2）小周出错的步骤是 ，错误的原因是 ． 【答案】 等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（或等式的基本性质1） ③ 等式两边同时除以一个可能等于0的，所得等式不成立 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的基本性质1可得答案； （2）根据等式的基本性质2可得答案； 解：（1）由题意得：步骤①的依据是： 等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（或等式的基本性质1） 故答案为：等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（或等式的基本性质1） （2）小周出错的步骤是③； 错误的原因是：等式两边同时除以一个可能等于0的，所得等式不成立； 故答案为：③；等式两边同时除以一个可能等于0的，所得等式不成立 【变式1】（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如果，那么，其依据为（   ）． A．等式两边可以交换 B．相等关系可以传递 C．等式两边加同一个式子，结果仍相等 D．等式两边乘同一个数，结果仍相等 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的性质，根据等式的性质解答即可． 解：如果，那么，其依据为等式两边加同一个式子，结果仍相等， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并在题后的括号内写出变形的依据． （1）已知，则（ ）；（ ） （2）已知，则 ；（ ） （3）已知，则 ；（ ） （4）已知，则 ．（ ） 【答案】 等式的基本性质1 等式的基本性质1 等式的基本性质2 等式的基本性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，①等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式所得的结果仍是等式，②等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为）所得结果仍是等式． 解：，根据等式的基本性质1，方程两边同减去1，得； ，根据等式的基本性质1，方程两边同减去，得； ，根据等式的性质，方程两边同乘以，得； ，根据等式的性质，方程两边同除以，得． 故答案为：，等式的基本性质1，，等式的基本性质1，，等式的基本性质2，，等式的基本性质2 ． 【题型3】利用等式的基本性质对等式的变形进行判断 【例题3】（24-25七年级上·河南焦作·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 解：、当时，由，等式两边同时除以，得；当时，等式两边同时除以无意义，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时除以，得到，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时乘以，得，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时除以，得，该选项等式变形正确； 故选：． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，若使等式成立，则需使等号两侧同时乘以的式子不为零即可解得. 解：∵由等式可得到等式， ， 解得. 故选：B ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）下列式子是运用等式的性质进行的变形，其中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是明确等式两边同时除以同一个数（或式子）时，这个数（或式子）不能为零． 若，根据等式性质1（等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立），两边同时减可得，故A正确；根据等式性质2（等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为零的数，等式仍成立），两边同时乘可得，故B正确；是不为零的常数，两边同时除以可得，故C正确；若，当时，两边不能同时除以，此时不一定等于，故D错误． 解：A、若，根据等式性质1，等式两边同时减去，得，此选不项符合题意； B、若，根据等式性质2，等式两边同时乘，得，此选项不符合题意； C、若，，根据等式性质2，等式两边同时除以，得，此选项不符合题意； D、若，当时，等式两边不能同时除以，此时不一定等于，此选项符合题意； 故选：D． 【题型4】利用等式的基本性质解方程 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）运用等式的基本性质解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）（2）根据等式的性质解一元一次方程即可． 解：（1）解：方程两边都减，得． （2）解：方程两边都减，得． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程时，应在方程两边（   ） A．都乘 B．都除以 C．都乘 D．都除以 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握等式的基本性质． 先根据等式的基本性质解方程，然后根据解方程的过程，求出答案即可． 解：， ， ， ∴利用等式的性质解方程时，应在方程的两边同时乘以， 也就是方程的两边同时除以， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解下列方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了等式的性质，每个方程均需利用等式的性质，通过在等式两边同时进行相同的加减乘除运算，逐步将未知数单独放在等式一边，从而得知未知数的值. 解：（1）解：两边同时减，得 化简，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减，得， 化简，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时加，得， 化简，得， 两边同时除以，得． （4）解：两边同时减，得， 化简，得， 两边同时减，得， 化简，得， 两边同时乘，得． 【题型5】天平上的等式基本性质 【例题5】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，标有相同字母的物体的质量相同，若的质量为20克，则当的质量为 克时，天平处于平衡． 【答案】10 【分析】本题主要考查了等式的性质，由题意得，，则，据此可得答案． 解：由题意得，， ∴， ∵的质量为20克， ∴的质量为10克， 故答案为：10． 【变式1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，首先设“”的质量是，根据两个天秤可得两个等式，，等量代换可得与的关系． 解：设“”的质量是， 根据第一个天秤可得：， 根据第二个天秤可得：， 把代入， 得到：， 整理得：． 故选：C． 【变式2】（2025七年级上·四川成都·专题练习）假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是 【答案】6 【分析】本题考查等式的性质，由题意得出，，则，即可作答． 解：由题意可得，， ∴，， ∴ 则， 故答案为：6 【题型6】利用等式基本性质比较大小 【例题6】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 【答案】＜；； 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 利用不等式的基本性质进行分析解答即可． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）． （不等式的基本性质1）． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断. 解：等式两边同时乘以4得：， 整理得：， ， 则． 【点拨】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·河北保定·期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系： （填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，把等式变形为减等于多少的形式，从而可得结论．注意：两个数的差大于，被减数大于减数；两个数的差等于，被减数和减数相等；两个数的差小于，被减数小于减数． 解： 移项得： 合并同类项得： 提取公因数得： 化简： 故答案为：． 【题型7】等式基本性质在生产生活中的应用 【例题7】（2025·安徽·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． （1）今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； （2）若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了列代数式，等式的性质，正确求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数是解题的关键． （1）分别求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的人数，二者求和即可得到答案； （2）根据题意可得，据此求解即可． 解：（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是 千米． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由题意可知，解得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由题意可知， 解得， ∴（千米）， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，把一边长为厘米的铁皮的四个角各剪去一个边长为厘米的小正方形，然后把它折成一个无盖长方体铁盒．  （1）该铁盒的高是______厘米，底面积是______平方厘米； （2）为了使铁盒底面达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑铁皮的厚度），求此时x与y之间的数量关系． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查了列代数式； （1）根据题意可得该纸盒的高为y厘米，然后算出底面积即可； （2）由“剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，既不重叠又恰好铺满”得出，据此变形求解即可． 解：（1）由题意可得：该纸盒高度为y厘米；∴底面积=平方厘米； 故答案为：，； （2）由题意得：， ∴． 【题型8】综合拓展与延伸 【例题8】（23-24七年级下·北京房山·期末）有6个小正方体，它们的大小和颜色都相同，其中有5个小正方体的质量相等，有1个小正方体略重一点，可以利用天平进行实验操作探究，如果用最少的操作次数一定能找出这个质量略重的小正方体，那么最少的操作次数是（    ） A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【答案】B 【分析】此题考查了等式的性质，把6个小正方体分成3组，每组2个，再根据等式的性质进行判断即可． 解：把6个小正方体分成3组，每组2个，第一次，把其中两组分别放在天平的两端，若天平平衡，则质量略重的小正方体在未称的2个中，若天平不平衡，则质量略重的小正方体在较重的2个中；第二次，把含有质量略重的小正方体的2个分别放在天平的两端，天平不平衡，则较重的1个就是质量略重的小正方体．所以用最少的操作次数一定能找出这个质量略重的小正方体，那么最少的操作次数是2次． 故选：B 【变式1】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2025个格子中的数为（   ） 3 … A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类规律，解决本题的关键是找出等量关系，列出方程，求出a、b、c的值．根据表格中的任意三个相邻格子中所填整数之和都相等列出方程，求出a、b、c的值，再找出规律即可求解． 解：根据题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴格子中的数字为：、3、、、3、 ∴格子中的数为3个数一个循环， ∴， ∴第2025个格子中的数为：． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知， （1）若，则与的等量关系是 ． （2）若，则 ．（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案； （2）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案． 解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 二．同步练习​ 【基础巩固（15题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）如果均为正数，且，那么（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质及有理数的比较，解题的关键是掌握等式的基本性质． 根据等式的性质得出，即可比较与的大小． 解：∵， ∴等式两边同时乘以，得， ∵如果、均为正数， ∴， 故选：B． 2．（25-26七年级上·海南·开学考试）（，为非自然数），根据等式的性质，下面的等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 解：、因为， 所以， 即，该选项等式成立，不合题意； 、因为， 所以， 即，该选项等式成立，不合题意； 、因为， 所以， 即，该选项等式不成立，符合题意； 、因为， 所以， 即，该选项等式成立，不合题意； 故选：． 3．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐项判断即可求解． 解：A、∵， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、如果，那么，故本选项符合题意； D、当时，如果，那么，故本选项不符合题意． 故选：C 5．（24-25七年级上·河北邢台·期末）一名同学把“等式①”按照如图所示的程序做了变形： 小明认为：等式①②③依次为；；． 以上等式中，符合题意的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式性质，先根据等式两边都除以5，即得等式①为，然后依次得出等式②和等式③，即可得出答案． 解：由题知等式①两边都乘5，得， 等式两边都除以5，即得等式①为； 等式①两边都减2，得等式②为， 把与的两边分别相加，得等式③为； 综上分析可知：符合题意的个数为3个． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）已知，用S，h表示a，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式的变换，属于基础知识，同学们要认真审题，我们根据等式的性质，等式的两边同时乘2，再除以，据此求解． 解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 7．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）将方程的两边同乘12，可得到，这种变形的依据是 ． 【答案】等式性质二 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据方程的特点，两边同时乘12，对方程进行去分母处理，去分母的依据是等式的基本性质． 解：将方程的两边同乘12，可得到， 这种变形的依据是等式性质二 故答案为：等式性质二． 8．（24-25七年级下·四川内江·期中）在方程中，用含的代数式表示，可得 ． 【答案】或 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 解：由方程可得到 或． 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形的长和宽的差是 （用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，正确理解图形中的数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形列得，整理即可得到答案． 解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得： ， ∴， 即小长方形的长和宽的差是． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏南通·期中）夏禹时代的“河图洛书”被视为中华文明之源．河图主要代表天文，洛书则主要代表地理方位．其中，“洛书”所呈现的数字排列方式，与三阶幻方有相似之处，其实际数学意义就是它每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则如图所示的幻方中 ． a 9 5 b 8 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得，据此可得答案． 解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质将下列等式化成“”的形式． （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）利用等式的基本性质进行计算即可； （2）利用等式的基本性质进行计算即可． 解：（1）解：等式两边都加上，得， 即， 等式两边都乘，得， 即． （2）解：等式两边都减去3，得， 即， 等式两边都乘，得， 即， 等式两边都加上，得， 即． 12．（24-25九年级下·贵州贵阳·自主招生），求的值． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质以及整式的加减，利用整体思想解题是关键．将已知等式前四个式子相加得到新的等式，整理可得，即可求解． 解：， ， ， ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的性质，求： （1）和的值； （2）的值． 【答案】（1），7；（2）16 【分析】题目主要考查等式的性质及求代数式的值，熟练掌握等式的性质是解题关键． （1）根据题意，得，再由等式的性质求解即可； （2）将原式整理，然后代入求解即可． 解：（1）解：根据题意，得， 在左右两边同时乘b，得， 在左右两边同时除以，得， 在等式，左右两边同时加3，得，即， 在左右两边同时加b，得； （2）， 由（1）知，， 故原式． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） （1）上述过程中，第一步的依据是什么？ （2）小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 【答案】（1）第一步的依据是：等式的性质1；（2）小明第二步的结论不正确，理由见分析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力． （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行解答． 解：（1）解：∵， ∴根据等式的性质1，两边都加上， 得， ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）解：小明第二步的结论不正确，理由如下： ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的两个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以x，等式不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用等式的性质和等式的性质解题即可． 解：（1）等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得．故． （2）去括号，得． 等式两边都加上，得． 等式两边都减去，得． 等式两边都除以，得． 即． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）若，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题关键是利用等式性质熟练将比例式与乘积式进行互相转化．把比例式转化为乘积式，逐项判断即可． 解：A、由可得：，符合题意； B、由可得：，不符合题意； C、由可得：，不符合题意； D、由可得：，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）等式中的部分数字被墨渍污染，则被墨渍污染的“”为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，整式的加减，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，两边同时加上，即可求解； 解： ，等式两边分别加上， 可得：； 故选：A 3．（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的两条基本性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍成立；等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数（或整式），等式仍成立，尤其要注意除法中除数不能为0． 根据等式的性质逐项分析即可． 解：根据等式的基本性质对各选项分析如下： A.，两边同时除以，得，变形正确，本选项不符合题意； B.，可推出，也可能推出，故变形错误，本选项符合题意； C.，两边同时减去6，得，变形正确，本选项不符合题意； D.，且，两边同时除以，得，变形正确，本选项不符合题意． 故选：B． 4．（23-24七年级上·浙江·开学考试）甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 5．（24-25七年级上·山西运城·期末）下列运用等式基本性质的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 利用等式的基本性质逐项判断即可． 解：A． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意； B． 如果，那么，故本选项正确，符合题意； C． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意； D． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 6．（24-25七年级上·河北邢台·期末）有三种不同质量的物体“★”“▲”“■”，其中，同一种物体的质量都相等．在研究等式的性质时，老师在天平的左边放了“★★★■”，甲、乙、丙、丁四位同学在天平的右边各放了下列物体，只有一名同学所放的物体不能使天平平衡，该同学是（   ） 甲：★★★★★★；乙：★▲■；丙：“■▲▲”；丁：▲▲▲ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质以及通过等量关系判断天平平衡的知识点． 设“★”“▲”“■”的质量分别为、、，根据天平左边物体“★★★■”的总质量列出等式，然后分别分析四位同学所放物体的质量，根据等式的性质，天平两边质量相等才能平衡，找出不能使天平平衡的同学． 解：设“★”“▲”“■”的质量分别为、、， 天平左边物体放了“★★★■”， 其质量为， 根据等式的性质，天平两边质量相等才能平衡， 甲同学放了“★★★★★★”，其质量为， 由， 可得； 丁同学放了“▲▲▲”，其质量为， 由， 可得， ； 乙同学放了“★▲■”，其质量为， 由， 可得， 与天平左边， 所以天平左右两边平衡； 丙同学放了“■▲▲”，其质量为， 由， 可得， 与左边不相等， 所以丙同学所放物体不能使天平平衡； 故选：． 二、填空题 7．（24-25六年级下·山东泰安·期中）若是方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解，等式的性质，先把方程的解代入方程得出，再根据等式的性质即可得出． 解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 8．（24-25七年级上·四川自贡·期末）下面表示解方程的流程． ① ② 第①步变形的依据是 ； 【答案】等式的性质1 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可． 解：两边同时加上或减去一个数，等式仍然成立， 故第①步变形的依据是等式的性质1． 故答案为：等式的性质1． 9．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m n．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，以及作差法比较大小，解题的关键在于理解两个数的差大于0，被减数大于减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数．把等式变形为m减n等于多少的形式，再进行判断，即可解题． 解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知，，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，以及代数式求值，根据等式的性质得到，将其整理为求解，即可解题． 解：，， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·重庆·期末）如图．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图所示．若，该长方形区域的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形列代数式、等式的性质．解决本题的关键是把长方形左、右两边的长度分别用含、、的代数式表示出来，根据长方形的宽相等可得等式，根据可得，整理可得，从图可知长方形的长即为． 解：如图所示，长方形的宽可表示为， 长方形的宽也可表示为, ， 整理得：， ， ， ， 整理得：， 由图可知：长方形的长为． 故答案为： ． 12．（22-23七年级上·湖北孝感·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据九宫图的填法，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，即可得到答案． 解：设第三行与第二列交点的数为,根据九宫图的填法， ∴， 解得：； 故答案为． 【点拨】本题考查了有理数加减法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键． 三、解答题 13．（2024七年级上·山东·专题练习）利用等式的性质解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查等式的基本性质， （1）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论； （2）先在等式的两边同时加，然后在两边同时乘以即可得出结论； （3）先在等式的两边同时减，然后在两边同时除以即可得出结论； （4）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论； 解题的关键是掌握等式的个基本性质：性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等． 解：（1）解：两边同时加，得：， 两边同时除以，得：； （2）两边同时加，得：， 两边同时乘，得：； （3）两边同时减去，得：， 即：， 两边同时除以，得：； （4）两边同时加，得：， 即：， 两边同时除以，得：． 14．（2023·河北张家口·一模）化简整式（P是整式） （1）求P（用含m的式子表示）； （2）若，求Q的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据等式的性质可以得到，再进行移项即可得到答案； （2）先根据求出m的值，再代入化解后的整式求值即可． 解：（1）解：∵ ， ∴， ． （2）解：∵， ∴， ， ， 即． 【点拨】本题考查等式的性质和整式的代入求值，解题的关键是熟练掌握相关知识． 15．（2024七年级上·浙江·专题练习）下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： （1）①的依据是 ； （2）小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； （3）给出正确的解题过程． 【答案】（1）等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等；（2）③，等式两边同时除以的x可能为0；（3）见分析 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质． （1）①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． （2）小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； （3）正确的解题过程为：第③步改为x﹣3x＝0，故x＝0． 解：（1）解：①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． 故答案为：等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等； （2）解：小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； 故答案为：③，等式两边同时除以的x可能为0； （3）解：正确的解题过程为： 解方程：． 解：， ， ， ． ∴． 16．（24-25七年级上·全国·期中）如图，数轴上点 A，B表示的数分别是a，b，其中，．      （1）若该数轴上有一点C，点C到点A 和点 B 的距离相等．当，时，点C表示的数是 ； （2）若该数轴上有一点D表示的数是5，且，当时，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，等式的性质，求代数式的值，掌握数轴上两点之间距离的公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间距离可得到线段，进而运算求解即可得出结果； （2）根据数轴上两点之间距离可得到线段，由可得，进而可以得出结果． 解：（1）解：∵， ∴， ∴． ∵点C到点A 和点 B 的距离相等， ∴点C表示的数是：或者 故答案为：； （2）解：∵点D表示的数是5， 当时，，即， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $