12.1命题、定理与证明 课件 2025-2026学年数学华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦命题、定理与证明核心内容，通过“判断句子正误”“加字变疑问句”等活动导入命题概念，结合实例分析结构与真假，再过渡到定理证明，构建从具体到抽象的学习支架。 亮点在于以问题链驱动，融入数学眼光（抽象命题本质）和数学思维（演绎推理证明），通过命题改写训练、证明步骤示范等方法，配合结构化小结。助力学生发展抽象能力与推理意识，也为教师提供清晰教学路径与实操活动。

12.1 命题、定义、定理与证明 第十二章 全等三角形 12.1.1 命题 1.了解命题的概念； 2.会区分一个命题的条件和结论，能把一个命题改写成“如果……，那么……”的形式； 3. 了解判断一个命题真假的方法，会用反例说明假命题. 学习目标 请你根据已经学过图形特性的知识，试判断下列句子是否正确. (1) 三角形的内角和等于180°; (2) 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等; (3) 两直线平行，同旁内角相等; (4) 直角都相等. 新课引入 √ √ × √ 加一个字后，你还能判断下列句子的正误吗？ (1) 三角形的内角和等于180° (2) 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 (3) 两直线平行，同旁内角相等 (4) 直角都相等 挑战 吗？ 吗？ 吗？ 吗？ 上面句子不再能判断一件事情的正确或错误. 那么可以判断一件事情的语句是什么呢？ 定义：判断某一件事情的语句，即表示判断的语句叫做命题. 探究 可以通过下列语句，判断一件事情吗？ 1.时间都去哪儿了？ 2.美不胜收的风景（啊） 3.拍书包两下 4.把门关上 5.连接点A和点B 6.明天会下雨吗？ 新知学习 这些都不是判断一件事情的语句！ 所以都不是命题. 思考 我们如何识别某个语句是否是命题？ 通常：某个语句被读者看了（或者听了）以后，读者能够得出且只能够得出“这，是正确的.”或者“这，是错误的.”结论，这样的语句就是“判断某一件事情的语句”，也就是命题.否则就不是“判断一件事情的语句”. 试一试 1.你能举出一些命题吗? 2.能否举出一些不是命题的语句？ 所以命题一定不是：1.疑问句 2.感叹句 3.祈使句 4.把字句 5.表示某个动作的语句等 1.地球围绕太阳旋转. 2.水在100 ℃时沸腾. 1.明天星期几？ 2.把铅笔递给我. 讨论 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同学交流. (1)如果一个图形是三角形，那么它的内角和等于180°； (2)如果两直线平行，那么同旁内角相等； (3)如果两个角是直角，那么这两个角相等. 已知事项 由已知事项推断出来的事项 条件 结论 1.命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后接的部分是条件，“那么”后接的部分是结论. 2.有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适当变形，改写成“如果……，那么……”的形式. 归纳总结 例1 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式： (1)同位角相等，两直线平行； 条件是：同位角相等 结论是：两直线平行 改写成：如果同位角相等，那么两直线平行. 条件是：一个三角形的三条边相等 结论是：这个三角形是等边三角形 改写成：如果一个三角形的三边相等，那么这个三角形是等边三角形. (2)三条边都相等的三角形是等边三角形. (1)三角形的内角和等于180°; (2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等; (3) 两直线平行，同旁内角相等; (4) 直角都相等。 √ √ × √ (1)(2)(4)的命题是正确的 (3)的命题是错误的 这两种命题又称作什么呢？ 问题 我们已经判断了以下命题的正误： 一个命题如果条件成立，那么结论一定成立.像这样的命题，称为真命题. 一个命题当条件成立时，不能保证结论总是正确，或者说结论不成立，像这样的命题，称为假命题. 思考 如何识别一个命题是真命题还是假命题？ 如果一个三角形是直角三角形，那么它有一个内角是90° 真命题 所有的直角三角形都有一个内角是90° 假命题 有一个直角三角形中没有内角是90° 要识别一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证； 要识别一个命题是假命题，只需要举一个反例就可以了；而这种方法就叫“举反例” 例如，要说明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反例：一个30°的锐角与一个120°的钝角之和为150°，不是平角. 1、下列语句：①锐角小于90°；②经过两点，能画且只能画一条直线； ③大象是白颜色的动物；④作AD⊥BC；⑤同旁内角互补，两直线平行． 其中是命题的是(　　) A．①②③ 　 B．①②⑤ C．①②③⑤ 　 D．①②④ C 随堂练习 2.命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行” 的条件是(　　) A．平行 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线平行于同一条直线 D 3.下列命题是真命题的是( ) A. 如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角 B. 如果a2=b2，那么a=b C. 两个互补的角一定是邻补角 D. 如果两个角是同位角，那么这两个角一定相等 A a=±b 同旁内角也可能互补 只有两直线平行的情况下才可以说明同位角相等 4.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出它们的条件和结论： （1）直角的两条边互相垂直； 解：改写成：如果两条边构成直角，那么它们互相垂直； 条件：两线边构成直角； 结论：这两条边互相垂直. 解：改写成：如果在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行； 条件：在同一平面内，有两条直线分别垂直于第三条直线； 结论：这两条直线互相平行. （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 5. 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例说明： （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）钝角大于锐角； （3）相等的角是内错角； （4）有一个角是60°的三角形是等边三角形. 真命题 真命题 假命题，如：对顶角也相等 假命题，如：内角为60°、80°、40°的三角形不是等边三角形. 命题 对某一件事作出判断的语句叫做命题. 由条件和结论两部分组成，常写成“如果……，那么……”的形式. 真命题：如果条件成立，那么结论一定成立. 假命题：条件成立时，不能保证结论总是正确，或者说结论不成立. 课堂小结 定义 结构 分类与判断 第十二章 全等三角形 12.1.2 定理与证明 1.了解基本事实、定理等概念； 2.了解证明的概念，知道证明文字命题的基本方法； 3.会对真命题进行证明. 学习目标 我们已经学会了用举例子判断假命题，那么如何利用演绎推理来论证真命题呢？ 上节课我们已经知道了命题有真有假，要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立；要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证. 新课引入 以下命题都是真命题吗？ （1）两点确定一条直线； （2）两点之间，线段最短； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那 么这两条直线平行. 思考 √ √ √ √ √ 公认的 真命题 新知学习 基本事实：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，即出发点. 这样的真命题视为基本事实. 1.是真命题； 2.是实践中总结的； 3.作为推理的依据. 思考 如何证明三角形中任意两边之和大于第三边？ C A B 因为两点之间线段最短， 所以AC＜AB+BC， 同理可推出AB、BC都小于另外两边之和. 三角形中任意两边之和大于第三边是由基本事实推理出来的一个真命题 所以点A、C之间的最短距离是AC， 定理：数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 1.是真命题； 2.是用逻辑推理得到的； 3.是判断其他命题真假依据 基本事实、定理、命题的关系： 命题 真命题 假命题 基本事实（经过实践总结） 定理（由基本事实推理证实） 一般真命题（由基本事实或定理推理证实） 归纳总结 思考 (1)一位同学在钻研数学题时发现: 2 + 1=3， 2 × 3 + 1 =7， 2 × 3 × 5+1 =31， 2 × 3 × 5 × 7 + l = 211. 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？ 计算一下 2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1， 你发现了什么？ 2×3×5×7×11+1=2311（质数） 2×3×5×7×11×13+1=30031（合数） 所以他的结论不正确 (2)如图所示，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 他的结论正确吗？ 画一个钝角三角形试试看. 钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，所以这位同学的说法不正确. (3)我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于(n-2)×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 实际上，这是一个正确的结论. 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 上面的几个例子说明：通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实. 归纳总结 例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A+∠B=90°. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）， 又∵∠C=90°(已知)， ∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质). 此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理. 演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据. 温馨提示 证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等. 在书写证明过程中，要求把依据写在每一步推理后面的括号内，今后可以逐渐淡化. 1.下列命题可作为定理的有(　　) (1)两直线平行，同旁内角互补；(2)相等的角是对顶角；(3)等角的补角相等；(4)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 随堂练习 2.如图所示，下列推理不正确的是(　　) A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180° B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4 D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD C ∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） AB∥DC （内错角相等，两直线平行） 3.如图，B，A，E三点在同一直线上，AD∥BC，∠B＝∠C；求证：AD平分∠EAC. 证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠B＝∠EAD（两直线平行，同位角相等）， ∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）. 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠EAD＝∠DAC（等量代换）， 即AD平分∠EAC. 4.证明：邻补角的平分线互相垂直． 已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC． 求证：OE⊥OF． 证明：∵OE平分∠AOB（已知）， ∴∠1＝ ∠AOB（角平分线定义）， ∵OF平分 ∠BOC（已知）， ∴∠2＝ ∠BOC（角平分线定义）， ∴∠1＋∠2＝ （∠AOB＋∠BOC） ＝ ∠AOC ＝ ×180°＝90°（等量代换）， ∴OE⊥OF（垂直定义）． 方法总结 分清命题的条件和结论，若命题与图形有关，则根据题意，画出图形，并在图形上标出相关的字母和符号 第二步 根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证 第三步 观察图形，分析证明思路，找出证明方法 第四步 写出证明过程 第一步 定理与 证明 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 课堂小结 定理 证明 根据条件、定义以及基本事实、定理等,经过演绎推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明 $