23.3 相似三角形-课时2 相似三角形的判定定理1【一课一练】2025-2026学年华东师大数学九年级上册

2025-2026学年华东师大数学九年级上册 第23章 图形的相似 23.3 相似三角形-课时2 相似三角形的判定定理1 基础题型训练 知识点 两角分别相等的两个三角形相似 1.下列说法中一定正确的是( ) A.两个等腰三角形相似 B.分别有一个内角是 的两个直角三角形相似 C.两个直角三角形相似 D.分别有角是 的两个等腰三角形相似 2.新趋势·条件开放［2024青海中考］如图，线段，相交于点 ，请你添加一个条件:________________________，使 . 3.如图，交于点，， ，，，则 的长为_ __. 4.如图，为的角平分线， 的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接 ．求证： ． 5.［2025重庆北碚区期中］如图，在 中，为上一点，连接，为 上一 点， . （1）求证: . （2）若，，，求 的长. 6.［2025宜兴期中］如图，点， 分别在正方形的边，上，且于点 . （1）求证: . （2）若，，求 的长. 能力提升训练 7.［2025石家庄四十九中期末］如图，在三角形纸片 中， ， ．将 纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是( ) A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 8.［2025宁波七中教育集团期中］如图， 为等边三角形，点，分别在边，上， .若，，则 的长为( ) A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 9.推理能力［2024德州中考］如图，在 中， ，，垂足为， 平分，分别交，于点，.若 ，则 为( ) A. B. C. D. 10.如图，在中， ，，以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点， ，再分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，则线段 的长是________. 11.小强在学习图形的相似这一章时，对“直角三角形及其斜边上的高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决.在中，为边 上一点，连接 . （1）如图2，若，求证: . （2）如图3，在（1）的条件下，若为中点，，求 的长. 12.在中，是 上的一点，交于点， . （1）如图1，当 时，求证: . （2）如图2，当为钝角时， 是否成立？若不成立，请说明理由； 若成立，请给出证明. 参考答案 1.B 【解析】 A选项中没有说明两个等腰三角形的两角分别相等，故A选项中两个等腰三角形不一定相似；B选项中两个直角三角形中的角分别为 ， ， ，均对应相等，符合相似三角形的判定定理1，故B选项中两个直角三角形一定相似;C选项中只知道一个直角相等，不符合相似三角形的判定定理1，故C选项中两个直角三角形不一定相似；D选项中 的角可以为等腰三角形的底角或顶角，无法确定两角对应相等的条件，故D选项中两个等腰三角形不一定相似. 2.（答案不唯一） 3. 【解析】 由，，得 ， ， ， ,,即 ，解得 ． 4.证明：平分，. 垂直平分，，. ，， ，又,， ，． 5.（1）证明： 四边形是平行四边形， ，， ， . ， ， ，. （2）解:，. 四边形是平行四边形， ，，解得. 6.（1）证明： 四边形为正方形， ，. ， ， ， ，. （2）解:，， . ，， ，. 7.C 8.C 【解析】 是等边三角形，， ， （一线三等角模型：点，， 在同一条直线上，）， ， ，，.已知 ，设 ，则，，， ． 9.A【解析】 ， 设， ， ， ， .又， ， .在和中，当以和 为底边时， （平分， 点到，的距离相等）；当以 和为底边时，（点到， 的距离相等）， . 10.【解析】 ，， .由作图方法可 知，是的平分线， ， ， ，， .设 ，则，， ， 解得，（舍去）（线段 的长度小于2），经检验，是原方程的解， 线段的长是 ． 11.（1）证明：，， ，，. （2）解:为的中点， 设，则. 由（1）得，，. ，. ，. 12.（1）证明： 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ，. 又， ，. （2）解:成立. 证明： 四边形为平行四边形，， . ，. 又， ，. ，， ，， ，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $