第13 期 §3.2 双曲线-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

本蚕责任编辑：藕还清 相纸编板质量反馈电话 025152712068 兹理括 202 年10月6日·显期 高中数学 相纸发行质量反德电话 第 13期总第1157期 人教A 0351-5271248 选择性必修第一 “不可改变”与 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版 社长：徐文信 国肉统-连续出版物号：CN140707F)邮发代号：2128 有所改变 疑难解析 于双南瓷的标准方程有两种衫武，知景不知煤 D),简花了解题过花 色平背哈佛大争社 食学品华业生的文凭 巧设妙求 点在x袖上还是在y上，则常常需先料所 ”=1共焦点，可 出焦点在哪条轴上，这无是比较麻的。尖 三若双线与嘴圆时+ 上这夹题日可以事先不加以到断，而接设 大一家越善机构应聘 双曲线方程 线方程为2-时2■1(mn>0),这个方 家烧线店门口停了3 。四川宾元样 程实际上也活了两种情况 例3已知双曲线与拥圆6+步1有共同 在求解双曲钱方程的过程中，若能根掘酒 二，若已如双自线的渐近线土：=0， 清半 目的特点，巧炒设出相应的双出战方程，则可达 则可设为2-4=A(A01 的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为A(4 养需语将逃人群 到避繁饮简的目的.本文介绍几倒，说明求双曲 例2已知双曲的一条新近线方程为x 5),求双曲线的标准方程 规方当的“巧设” 2y=0,且双曲线过点P(4,3),求双曲线的标准 隘登一笑，我半我的半 方程 解：设双曲线方程为6-入·27-入 行你何千？再说，我不 一，若双典过两个已知点，可设为m 解：因为双曲线的一条渐近线方程为x-2, 1(27<A<36) 生只羊，会客第一兄羊 不可使下下烯 例1求经过点P2E,5).Q(-2. =0, 因为点4(4,)在双曲战上 6)的双曲线的标准方园 以可设双中线方程为x2-4, A(A 解：设双此的方程为网2-nm2=1{mn>0)」 因为P八4,3)在双曲线上， 因为点P,Q在双曲线上。 以42-4×32=A, 解得A=32成A=0(合去). 18117 即A生-20 时，一个流汉住 所以 8m-341, 2 故所求双曲线的标在方程为号一号=山 想限他灵燕什名 12m-6m=1 故所求双曲线的标准方程为一0= 点评：此是题型还可以进一步拓展：与双曲 看一看表 平址了的 解得m=子=子 点评：本题若接震常规解法，需要根据双 共电双电牌合程(2。。 的时筒。使过是 线上的已和壳和斯背近的位置关系确定双白道 方=1(a>0,6>0)有公共焦点的双曲 地流汉推开 故所求双曲线的标准为程号 1 焦点的位置.而上面解法则是根携双与线的病 =1(-2<A 给先生，坐在发 点评：根双由线过两个己知点求双尚线 近线方程，进行逆句惑维，即以6y=0为 线系程可设为。一入+ 上足有您不满。喝 的标准方，一般采用待定系数法行解 由 近的双尚线方为x2-my2=A(A c2 译镜概德切，操速育己 的 在E上，△4为等腰三角形，且角为 代人双曲线的方程可得P(,±艺) 逊先生更为不漏： 年 四法求解 120°，则E的离心率为 人， 总略了外 (A)5(B2 (G)万 (D),E 则1PE1= .I F F:I 20 妇节，弗在门口不耐词 双曲线的离心率 答案：(D) 地打发了一个流涤 解析：设双曲线的方程 译不明白自毛 所有何不安，竿 。湖南文怀 所以262=3c,所以2(c2-a2)=3e 方法一 ,直接算出4，，求解 0).如右图所示，1AB 生存月西。场速浪汉面 已知标准方程我，易求时，可利用离心单 |BM1,∠ABM=120,过 所以2（后-1）= 临机漏，是生治丹题 点M作N上￥轴，垂足为N 所以22-3e-2=0 绵母先生视，有参养对 注定无法戏的 在R△BWN中，IBNI■a,IMNI■，5a 例1已知F,F,是双曲线C的两个焦点，P 所以-合去)或e2 ( 如注定是会止人 为C上一点，且∠F,PF=60”,1PF,1= 故点M的坐标为W(24.万a) 方法、变用公式，整体求出： 的。这林无领图去 31PE,则C的离率为 代入双曲线方程得2=62=2-2 ：有步难是可风改 即2=2m2,航以e=5 例4设双线-=1(a>0.6>0)的 壹的，比如一个流浪汉 的属住和处问题，去 方法三，构通，「的齐次式，求解 新近线与曲线y=2+1相切，则该双曲线的离 其一下有所 (G)万 (D) 藤抵题设条件错助，b,e之间的关系，找出 心率等于 答案：(A) a,心的关系（特别是二次齐次式），迷而得到关于 (A》3 (B)2 的者达化雪美于 解析：因为1PF,1■31PF:1 。的方程，从而解方程得出离心率 (G)5 (D)6 由双曲线的定义可得 是条可以改室一个人的 I PF,I-I PF2I 21 PF:I =20 例3双曲线C:-=1(a>0,6>0 答燕：(C) 架析：由意知近线斜率存在， 生清境风“均输进免 所以PF1=m.PF,=3a: 的左，右焦点分别为F,,P是双曲线C上 设渐近规的斜为k, 丙为∠F,PF=60°，由余弦定理可得4 则怖近战方程为下=标： 势习以为拿或而 点，P⊥轴，an LPF,=子，则双曲线的 9m2+m2-2×3g×m×00s60°， 代人曲线方程=+1 见但和可以登变的苦 离心率为 消去y得x2-红+1=0， ()(B)E 由于相切，则有■-40，即4 0 1D2 答案：(D) 方法二，导找，的关系式，求解 解析：因为点P在双曲线上.且PF⊥x轴 例2已知A,B为双曲线E的左、右顶点，点 以点P的横坐标为e, 日测 :0.s).x排牌长 N =-1 1.A:2.AD: · P./期 (312.2)能计量 +- 国江政供健圳联个任任分测X门：1(0。-5) ()一 O (-1,0)(10). ! 10.2。) 21160 (A)y= 0a.-s).@) 1600-45.00.5.00 (B)(-1,0),(10) 0.-22.02 "- (0 =1 =1 且P为线段AB的中点，则直线1的方程为 双曲线同步核心素养测评 &过双曲线x2-y2=2的左集点作直钱1，与双曲钱交于A,B两 =1(>0,b>0)的左右焦点分别为 。数理报社试题研究中心 点，若1AB=4,则这样的直线1有 F,P是双曲线右支上一点，且直线PF的斜率为2△PF,F是而积 (A)I条 (B)2条 为8的直角三角衫，则双曲线的方程为 第I卷选择题（共58分 (G)3系 (D)4第 四、解苦题：本题共5小题，共77分 二、多项选择题：本题共3小，每小题6分，共18分 15.(13分)求适合下列条件的双曲线的标在方程 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分 1.若双曲线G的嘘轴长为实轴长的万倍，则G的离心率为 9若方，二+片=1所表示的油线为G.下面四个法项 2 (1)虚轴长为12，离心率为 ( 正的有 (2)焦点在x轴上，离心率为2，且过点(-5,3》： (A)2 (B)2 (A)若1<4<3，则曲钱C为椭圆 (3)顶点间距离为6，新近线方程为y (G)万 (D)2 (B)若曲钱C为釉圆，且长轴在y轴上，则2<t<3 工双线写-号 (G)若曲线C为双曲线，则<1或>3 =一5的一条渐近线方程是 (D)曲线C可能是圆 (A)2x-3y■0 (B)3+2y■0 (C)9-4y=0 (D)4g-y=0 1a.若双曲线c:号卡=1e>0.6>0)的实轴长为6，瓶毛 高中数学 3已知点F,(-30),F(3,0).动点M(x,y)满足k·kw 为10，右焦点为F,则下列结论正确的是 高中数学·选择性必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 =4,则动点M的轨迹方程为 ()C的渐近线上的点到F距离的最小值为4 (B)C的离心率为 ()号-6=-1 《D号-茶=-13列 (C)C上的点到F距离的最小值为2 4.已知双曲线的两个焦点分别为F,{0。-4),(04),点 (D)G的通径长为号 P-6,4)在该双曲上，则双画线的离心率为 山.已知双线C话-。=(a>0,b>0)的上，下焦点分别 (A)4 (B)3 (C2 (D)2 为F,下，过点F2且与一条渐近线垂直的直线1与C的上支交于点 16(15分〉已知点4(-5,0)和B(5,0),动点C到A.B两点 P,垂足为A,且IPF,1=3弘-2a,0为坐标点点，则 5设几，5分别是双曲线子-号1的左，右瓶点，若点P在双 的距离之充的绝对值为2，点C的轨迹与经过点(2.0)且倾斜角为开 (A)双曲C的近线方程为y=± 的直线交于DE雨点 ·送择性必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 曲线上，且1PF,1■3，则1PF21■ (A)5 (B)1 (1)求点C的轨迹方程： (C)3 (D)1或5 ()双钱G的离心率为 (2)求线段DE的长 6巴知片片为双曲线写-苦1的左右焦点，P(3,)为级 (G)三角形40R,的面积为好 线内一点，点A在双m线上，刚APL+1AF2I的最小笪为 (D)直线1以1,1为直的画得的滋长为 (A)/37+4 《B)37-4 第Ⅱ卷非选择题 (共92分) (c)37-25 (D)37+25 元已如双线c后-卡=1(a>0,6>0)的-一条新近线过点 三、填空最：本题共3小题，每小题5分，共15分 P(-I,5),F是C的左焦点，且|PF1·2.则风曲线C的方程为 2经过点4,2华)，8(3。-2的双曲线的标准方程为 (B)号-y=1 13.过点P4,)的直线与双曲找号-=1相交于A,B两点，高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期(2025年10月) 第13期2版参考答案 由此可得a=35,b=25, 专项小练一 所以双曲线的商近线方程为y:±子。 1.B;2.C;3.C. 即为3x±2y=0. 4.(-0,0)U(2,+∞)；5.5或9. 3.设M(x,y),由题意可知x≠±3， 6解：)苦-苦=1 m本)4 .Y (2)因为b=4,c=5,所以a2=c2-62=9. 整理可得动点以的轨迹方程为号-云=1(x≠士3》。 因为焦点在y轴上， I FFI 4e=台=1P,P,=102-6=2 8 所以双曲线的标准方程为兮-云=1 5.依题意得a=1,b=3,因此c=10, (3)因为c=22,a=b,所以c2=a2+b2=2a2, 根据双曲线的定义得IIPF2I-PFI1=2, 即(22)2=2a2,所以a2=b2=4. 即IIPF2I-3I=2,解得IPFI=5或IPFI=1, 又因为双曲线的焦点在y轴上， 又IPF2「=1<c-a,不合题意，舍去， 所以所求双植线的标准方程为片-聋=1。 所以IPF2I=5. 6.由题意知IAP1+|AF2I=1API+lAF1I-2a, 专项小练二 要求IAPI+1AF2I的最小值， 1.,2.B:3.C4-号=155.0 只需求IAPI+1AF,I的最小值， 6解：设要求的双由线方程为号-。-A(以子0， 当A,P,F,三点共线时取得最小值， 则IAPI+IAFI=IPFI=√37， 把点P2,3)代人可得子名=A,解得A=-宁 所以IAPI+|AF2I=IAPI+lAF,I-2a≥/37-25. 所以双曲线方程为号-号=1 、2 7.由题意可知双曲线C的渐近线方程为y=±名， 点P(-1,5)在一条渐近线上， 第13期3版参考答案 如图所示，则女=原，即6=5a, 双曲线同步核心素养测评 一、单项选择题 1~4 DBBC 5 ~8 ACAD 提示： 1.设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c, 由题知b=万a,于是a2+b2=c2=a2+7a2=8a2, 则c=22a,即e=c=22 且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°， 则∠P0F=60° 2把双质线方程化为标准形式为若斋=1， 又1PF1=2,I0PI=√(-1)2+(3)2=2， 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 所以△OFP为等边三角形，从而c=1OFI=2 C的渐近线上的点到F距离的最小值为F到渐近线的距离 又a2+b2=c2,b=5a,解得a2=1,b2=3, d=c=b=4,所以(A)正确； 所以双曲线C的方程为一号=1 离心率e=行=子，所以（国）不正确： 8.由題意得双曲线左焦点(-2,0)， 双曲线上，右顶点到F的距离最小，5-3=2，所以(C)正确； 当直线垂直于横轴时， 1AB1=2√2，不符合题意， C的通径长为咎：号放()正疏 双曲线的渐近线方程为y=±x; 故选(A)(C)(D) 故可设l:y=k(x+2)(k≠±1)，A(x1,y),B(x2,2), 11.设焦距为2c, 联立 y=k(x+2), 不妨取C的一条渐近线为y=-各， x2-y2=2, b 可得(1-2)x2-4k2x-4k2-2=0, 则直线1的方程为y= x-c, a 1+2三1E6·=二442 42 垂足为A,易知1OA|=a,IAF3I=b. 1-k2, 因为1PFI=3b-2a,所以1PF2I=3b. 由弦长公式知 设线段PF的中点为E, IAB1=√2+1Ix1-3 则1FE1=兰，10E1=兰-a =F+i.8(+) 1k2-1T 1A1=1r,E1-A1=号 =4→k2+1=√212-1「， 在Rt△AE0中，IOEI2=1OAI2+1AE12, 则k=±(2-1)或k=±(2+1)， 即（-）=心+（）广解得号=号 2 故存在四条直线满足条件. 2 二、多项选择题 故双曲线的渐近线方程为y=±了，故(A)错误： 9.BCD:10.ACD:11.BC. 提示： =可=多解得e=空放(B)正确： a 号+片=1表示桃圆， 9若方程， s听=5m=1A,1X划0A1=6=d, 1 3-t>0, 故(C)正确； 则t-1>0,解得1<t<3,且t≠2，故(A)错误； 设直线I被以IF,F2I为直径的圆截得的弦为MW, 3-t≠t-1, 易知点A即为MN中点， 3-t>0, 故IMWI=2IAFI=2b=3a,故(D)错误. 若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则t-1>0, 故选(B)(C). 3-t<t-1, 三、填空题 解得2<t<3,故(B)正确； 12号号=11-3=4号 =1 若曲线C是双曲线，则(3-t)(t-1)<0, 提示： 解得t<1或t>3,故(C)正确； 12.设双曲线的方程为mx2+y2=1(mn<0), 3-t>0, 若曲线C是圆，则t-1>0,解得t=2,故(D)正确。 代入点A2,2)83,-2. l3-t=t-1, 4 可得 4m+3n=1, 故选(B)(C)(D). 9m+8n=1, 10.由题意可得2a=6,2c=10, 1 所以a=3,c=5,b=c2-a=4, 「m= 3 解得{ y 则双线6号后1 所以双线的标准方程为号-=1 n=- 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 13.设A(),8(),则乎-疗=1，至-疗=1， 所以双南线的标准方程为后-后。1 3y2 两式相减得好（名+）名-)-(0，+，)0-为)=0 (3)设以y=±2x为渐近线的双曲线方程为 因为P为线段AB的中点， 若-号=Aa≠0， 所以x+x2=8,1+y2=2. 当入>0时，a2=4入， 所以二2=1，即所求直线1的斜率为1， x1-x2 所以2a=24=6=9 1 所以直线1的方程为y-1=x-4,即x-y-3=0. 当入<0时，a2=-9x, 经检验符合题意 14.由题可知点P必落在第四象限，∠F,PF,=90°， 所以2a=2√-9n=6→A=-1. 设1PF2I=m,∠PF2F1=01,∠PF,F2=02, y2 厅以双曲线的标准方程为号-二】 1或 、x2 9-4=1 4 由kpr2=tan0=2,求得sin0:= 2 5 16.解：(1)设点C(x,y),则II CAI-1CB11=2, 因为∠FPF2=90°，所以kpF1·km2=-1, 所以C的轨迹是双曲线且焦点在x轴上， 求得m=-子，即am仍=之求得sin0,= 1 由2a=2,2c=1AB1=25,得a2=1,b2=2, 5 由正弦定理可得： 故点C的轨迹方程是父-号=1 I PFI:I PF2I:IFF2 I sin 0 sin 02 sin 90= (2)由已知条件得直线方程为y=x-2, 2:1:5, 与2- 2=1联立，消去y得2+4x-6=0, 则由IPF2I=m得IPFI=2m,IFF2I=2c=√5m, 因为4>0，所以直线与双曲线有两个交点 由5o5=宁1Pf1Pg=m2m=8 1 设D(x1,y1),E(x2,2),则x1+x2=-4,1七2=-6， 解得m=22, 所以IDE1=√I+2Ix1-x2I 则1PF21=22,IPFI=42, =2√(x1+x2)-4x=45. 1FF2I=2c=2√10，c=√10， 17.解：(1)由题易得双曲线的渐近线方程为bx±ay=0, 由双曲线第一定义可得 则点F,到渐近线的距离为c±0=b, √+a 1Pf1-lPf2I=2a=22,a=2,b=√2-a=8, 所以由题意知c+a=2b. 所以双曲线的方程为号一。-1 因为+=6，所以b=亭， 四、解答题 故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0. 15解：（1)设双曲线的标准方程为号-号 (2)因为∠FPF2=60°， =1(a>0,b>0) 所以由余弦定理得IPFI2+1PF2I2-2IPF1IPF2I· 由图京知2水=12，后=子且2=心+尔 c0s60°=1F1F212, IPF 12+1 PF2 12-1 PF 1I PF2 I 4c2, 所以b=6,c=10,a=8, 由双曲线的定义得IIPF1I-PF211=2a, 6网6=1或2、x 所以双曲线的标准方程为兰一号 6436=1 平方得IPF,12+lPF22-2 I PF I PF2I=4a2,② (2)因为e=￡=2，所以c=2a,b2=c2-a2=a2. ①-②得IPF1I1PF21=4c2-4a2=462, 根据三角形的面积公式得 又因为焦点在x轴上， 所以设双曲线的标准方程为。一 PF1PF I sin 60 -=1(a>0). 把点(-5,3)代人方程，解得a2=16. -9×4=56=45, 一3 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 所以2=48， _2 a aox+b+6=0, 由(1)中6= 于得a2= 9B=27, 1x2y2 干视A警+ 故所求双曲线方程是2748=1 4(6号-d8-=0. a = a 2 a2=2, 18.解：(1)由题设可得 解得 4 1 b2=1, 因此直线号-罗-1与风线号-名=1a>06 a2- =1, 0)相切于点(xo,yo), 所以双线C的方程为号-？=1 所以过双曲线号-卡=1(a>0,6>0)上一点（6,6 (2)设A(1),B(x2),直线：y=-2t+6 1 的切线方程为号-是山 因为点M(2,1)不在直线l上，所以t≠2. (3)证明：当n=0时，直线l的斜率不存在， [y=-2x+i, 由对称性知，点T为线段PQ的中点； 由 得x2+4tx-4(2+1)=0, 号-1 当n≠0时，设P(x1y1),Q(,y2),线段PQ的中点N(t,s), x22 则4=162+16(+1)>0，x+龙2=-4t,x为=-4(2+1)， a =0 由 消去y得： 自+6周 =二15+(x+3)-4(t-1) 3-2(x1+x2)+4 (倍g)+2-=0 -4(+》-4=4==1, -4(2+1)+8t+4 由2 =1,得x2-2mx+a2=0, 可得t=1,所以直线1的方程为y=-号y 2t+1. 则6=十当=m, 2 191)解：由题可得2-后=1，即方=兰-1， 婴学1，于是s:(答-）=n 联立2 -1 -oy=1, 即点T与点N重合，所以点T为线段PQ的中点. 消去y得：（空-圣）+-1+)=0. 第14期2版参考答案 则x2-2xx+后=0，显然4=4x后-4后=0， 专项小练一 所以该直线与双曲线有且只有1个公共点. 1.C;2.D;3.BD. 4(0,6):51 (2)解：由1)知，直线号-y=1与双曲线号-子=1 6.解：令x=0,y=2,所以号=2，得p=4, 相切于点(xo,少o), 又抛物线的焦点在y轴的正半轴， 所以过双曲线，--=1(a之0，b>0）上一点(，》 所以抛物线的标准方程为x2=8y 的切线方程为o_。 =1. 令y=0,x=-3,所以号=3，得p=6, 又抛物线的焦点在x轴的负半轴， 证明如下：显然疗- 然6-台=1，即号-d26=26, 所以抛物线的标准方程为y2=-12x. 专项小练二 xox Yoy =1, 由 消去y得： 1.A:2B:3.BC4.7;516 x22 2=1， 6.解：设A(xAya),B(xB,yg), 一4 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 由-2+1=0可得y-4y+2p=0. 即直线1的斜率为兮 Ly =2px, 7.因为x=-1是抛物线y2=4x的准线， 所以yA+yB=4p,yAyg=2p, 所以P到x=-1的距离等于IPF1. 所以1AB1=√个+2·√(yA+yB)-4yayB=4√5. 过P作PQ于l于Q, 即2p2-p-6=0,因为p>0,解得p=2. 则P到直线l1和直线，的距离之和为PF1+PQ「， 第14期3版参考答案 当F,P,Q三点共线时取得最小值， 即为F(1,0)到直线4x-3y+6=0的距离， 抛物线同步核心素养测评 所以最小值为4-0+61=2， 一、单项选择题 16+9 1-4 BDCD 5-8 CACC 8.由题可得抛物线的焦点坐标为F(1,0), 提示： 准线方程为x=-1. 1.由抛物线y=82得抛物线标准式为5=，2印= 、1 由题意可知直线AB的斜率存在且不为0， 设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0). 故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为(0，立) 联立方程，广=4， y=k(x-1), 2.因为抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1，-1)， 消去y得2x2-(22+4)x+2=0. 所以-号=-1，即p=2, 设A(x1y1),B(x2,y2),则xx2=1. 所以抛物线的焦点坐标为(0,1). 因为1FAI=x1+1,IFBI=x2+1, 3.设点A的坐标为(x,y) 所以IFAII FBI=(x1+1)(x2+1) 由点A到y轴的距离为9可得x=9, =+2x2+x12+1 由点A到抛物线C的焦点的距离为12， =x1+x2+2=8, 所以IABI=|FAI+lFB1=x1+2+2=8 可得x+号=12，解得p=6. 二、多项选择题 4.若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2=ax, 9.ACD:10.BC:11.ABD. 将点P(-4,-2)的坐标代入得a=-1, 提示： 所以抛物线的标准方程为y2=-x 9.设A(x1,y1),B(x22). 若焦点在y轴上，设方程为x2=by 由题意得r(0,2),则=之 将点P(-4,-2)的坐标代入得b=-8. 1 所以抛物线的标准方程为x2=-8y. 所以1AF1=为+乞=1，故(A)正确； 故所求抛物线的标准方程是y2=-x或x2=-8 当点A为坐标原点时，距离准线的距离最小， 5.因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0). 为7，故(B)错误： 又点(1,0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部， 因为1AF1=+方=2，所以=子， 3 所以当k=0时，直线与抛物线有一个公共点； 当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.故选(C). 所以x好=3，解得x1=±5， =6y1, 6.设A(1,少1)，B(,2),则{ 号=6y2, 所以S△AOF=2 4 所以x-x号=6y1-6y2, 故(C)正确； 整理得2=+2 由∠A0B=90°得x1x2+y12=0, x1-x2 6 即x+4(x)》2=0, 因为弦AB的中点为(1,4)， 所以2=+=2=1 解得x1x2=0(不合题意，舍去)或x1x2=-4, x1-x2 6 6=3 所以y12=4, 5 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 所以10A10BI=√+7√x好+ 故点P有且仅有两个，(D)正确。 故选(A)(B)(D) =2+y7√2y2+y号 三、填空题 =√y1y2√(2+y1)(2+y2) =2√8+2(y1+y2), 128:133:14号 因为为+y2≥2√少y2=4, 提示： 当且仅当y1=y2=2时等号成立， 12.由条件知，直线y=x-1过抛物线的焦点， 所以1 OA I-I OB1≥8，故(D)正确 将y=x-1代人抛物线方程y2=4x, 故选(A)(C)(D) 整理得x2-6x+1=0, 10.抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,故(A)错误； 设A(x1少)，B(2,2),则x1+2=6, 由IAF1+|BFI=4,得y1+1+y2+1=4, 所以1AB1=x1+x2+2=8. 13.由题得F(1,0),准线为x=-1, 则1+2=2，所以点P的纵坐标p=业=1， 2 点A在抛物线外，故d=IPFI, 即为点P到x轴的距离为1，故(B)正确； 则d+lPAI=IPFI+IPAI≥IAFI=3, 因为直线1交抛物线于A,B两点，显然I的斜率存在， 当且仅当F,P,A共线且P在F,A两点之间时等号成立. 设1的方程为y=:+m,与)=子联立消去 14圆(x-1)2+y=25的圆心为F(1,0),故号=1， 整理得x2-4kx-4m=0, 即p=2, 所拟名一加，所以5=手×聋=花 m x-)2+=25·可得 由 4 16 y=4x 若直线AB经过焦点F,则m=1,yy2=1,故(C)正确； x2+2x-24=0,故x=4或x=-6(舍)， 若yy2=1,则m=±1，当m=I时，直线AB过焦点F 故A4,±4)，放直线4Fy=±号(x-1), 当m=-1时，直线AB过点(0，-1)，故(D)错误 即4x-3y-4=0或4x+3y-4=0, 故选(B)(C). 11.y2=4x,p=2,l:x=-1. 故原点到直线AF的距离为d=41=4 5 又圆A半径为1，圆心为A(0,4), 四、解答题 所以点A到直线的距离为1， 15.解：(1)由题可知点M到点F(-2,0)的距离与到直线 所以圆A与1相切，(A)正确； x=2的距离相等， 当P,A,B三点共线时，yp=ya=4, 所以动点M的轨迹是以F(-2,0)为焦点， 代入y=4x中，xp=4,所以PA=4, x=2为准线的抛物线， 所以PQ=√PA2-T=√5，(B)正确； 故点M的轨迹方程为y2=-8x 当1PB1=2时，xp=1,yp=2(假设P在x轴上方）. (2)设Q(x,y),M(x,yo) 此时，B(-1,2),P(1,2),A(0,4),4P2=AB=5,BP2=4. 则-2=2所以而=2x+2, 因为AP2+AB2≠BP, y%=2y, Lyo =2y, 所以PA与AB不垂直，(C)错误； 又y哈=-8x0,故(2y)2=-8(2x+2). 因为PB=PF(F为抛物线C的焦点)， 即y2=-4(x+1)为所求。 所以PA=PB时，PA=PF 16.解：如图1，建立平面直角坐标系， 所以，点P在AF中垂线上. 又40,4)，51,0)，所以4中垂线的方程为x=4-与 15 联立 =4y-7’得y-16y+30=0,4>0. 2=4x, 所以AF的中垂线与抛物线C有两个交点， -6 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 设拱桥所在的抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)。 因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以上≠2， 由题意得B(4,-5),将点B的坐标代入抛物线方程， 从而4=(2p)2-4(-2b)>0,化简得p+2b>0. 解得口：号所以孢物线的标准方程为父：一5 则1+为=-2p,从而0=当2=-2 2 当小船的两侧和拱桥接触时小船不能通航。 因为M(xo,yo)在直线l上，所以x=2-p, 设此时船面宽为AA',则A(2,ya), 因此线段PQ的中点坐标为(2-P,-P) 又点A在抛物线上，由2=-与 （iⅱ)解：由(i)知线段PQ中点M(2-p,-p)在直线y =-x+b上， 得=-三 41 所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p. 又知船露出水面上的部分高子米， 4 由(1)知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,解得p< 设水面与抛物线拱顶的距离为h, 因此p的取值范围为(0，专) 则6=方+子 =2(米)， 19.解：(1)设P(x1y1),Q(x2,2),其中≠x 即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船开始不能通航。 17.解：(1)由点P(x,w2p)在抛物线C上， 得(2p)2=2pxo,解得=p, 由抛物线定义得，1PP1=+号=受-=3，解得》=2， 图2 故抛物线C的方程为y2=4x (2)设直线l的方程为x=my+1, =得-乃=4-4 由 =4x2, 联立=4红， 消去x,得y2-4my-4=0, 4 Lx =my +1, 变形得上 x1-x2y1+y2 故y1+y2=4m,yy2=-4, 所以5=，4，所以42.25 所以名=手差-倍-1+=(a侧+)+ y1+y2 2 3 16 (my2+1)=m(y1+y2）+2=4m2+2, 所以线段P0中点纵华标的值为号 (2)设y轴上存在定点S(0,s)满足题意. 则0A.0B=-(x1+2）=x2+yy2=-3, 由题意，直线MW的斜率存在且不为0， 即4m2+2=3,解得m=±2， 1 设直线MW:y=kx+s, 所以所求直线1的方程为y=2x-2或y=2-2x P(年）（车）（臣）w(年) 18.(1)解：因为抛物线)>=2p(p>0)的焦点（号，0） 由了=：+8”消去整理得-4y+4s=0, ly=4x, 在直线1：x-y-2=0上，所以号-0-2=0， 由4=16-16ks>0,得ks<1, 解得p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x. (2)(i)证明：设P(x11),Q(x22), 则%+=专=餐 4 线段PQ的中点M(xo,Yo). 因为P,T,M三点共线， 因为点P和Q关于直线1对称， 所以（华-5）为=（年-）m。 所以直线1垂直平分线段PQ, 解得y1y,=-43. 所以直线PQ的斜率为-1， 则可设其方程为y=一x+b. 同理，可得2y4=-45. y1-y2 4 由广=2，消去得子+2py-20=0 又kw= ly =-x+b, 7 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 4 Y3Y4 =5, =4E+-45-万(+y) 所以Sa=2×4×25=45. 1 Y3 Y4 6.因为F,F2是双曲线的左、右焦点， 4s P为双曲线左支上的任意一点， 所以=全 =-3,解得3=-3. y3+y4 k 所以1Pp,Pr=2a,代人得 所以直线MW恒过定点(0，-3)： I PF2 12 (I PF 1+2a)2 4a2 I PFI I PFI =I PF:1+4a+PFT 第15期3版参考答案 4a2 ≥2/PgI×1Pp,T+4a=8a, 圆锥曲线的方程核心素养综合测评 当且仅当IPF,I=2a时取等号， 一、单项选择题 又点P是双曲线左支上任意一点， 1~4 BABD 5 ~8 CACD 所以1PFI≥c-a,即2a≥c-a,所以e≤3， 提示： 所以双曲线离心率e的取值范围是(1,3]. 1.直线x+2y+4=0交x轴于点(-4,0)， 7.设弦的两个端点坐标分别为(x1,y1),(x2,2), 交y轴于点(0，-2)， 、依题意得a=4,6=2,所以椭圆方程为名+} + =1. a 62 =1, 则 2.由题意可知e=2, 62 =1, 则6 /c2-a 3 =√e-1=5, 两式作差得 所以双曲线的渐近线方程为y=±5x, (+)(x-++)(1=2）=0. a 即5x±y=0. 又M(-4,1)是弦的中点， 3.不妨设点D在第一象限，则点E在第四象限， 所以x1+x2=-8,少1+y2=2, 联立 x=2, 「x=2, 结合已知直线的斜率为1， -2,解得 y=±2p, 警 x1-X2 则D(2,2D),E(2,-2p), 因为0.0正=0，所以4-4p=0,解得p=1, 所议√（合 所以C的准线方程为：=一号=一子 8.依题意a=3,b=5,c=2, 4.由题意知a=1. F(-2,0),F2(2,0),N3,5), 不妨设点M在第一象限， 则1NF21=√2+(5)2=6， 则由题意有IAB1=IBM1=2,∠ABM=120. 1NF1=√52+(5)2=30， 过点M作MW⊥x轴于点V, 所以IMWI+1MF,I≥INFI=√/30， 则IBW1=1,IMN1=5,所以M(2,3), 当M位于线段VF,与椭圆交点M2处时等号成立 代入双葡线方程得4一亭=1，解得6=1， 根据椭圆的定义可知IMNI+1MF1「=IMWI+2a- 所以双曲线的方程为x2-y2=1. I MF,I =6+I MNI -I MF2 I, 5.因为y2=4x,所以焦点F(1,0),准线l:x=-1, 如图1所示，设NF2的延长线与椭圆相交于M1, 过焦点F且斜率为5的直线41：y=5(x-1), 将其与y2=4x联立得3x2-10x+3=0, 解得x=3或=子（舍去）， 故A(3,23),所以1AKI=4, 图 8 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 则当M位于M1时，6+lMNI-MF2I取得最大值， 解得r=多（万-1），故(D)正确 为6+1NF2I=6+6, 故选(C)(D) 综上，IMW1+1MFI的取值范围为[√30,6+√6]. 11.过双曲线的右顶点A(a,0)作x轴的垂线交渐近线y= 二、多项选择题 b 9.AC;10.CD;11.ABD. x于点B(a,b),则10B1=c=I0F1, 提示： 不妨设M,P在x轴上方， 9.由∠M0F=45°，可得an∠M0F=Io =1, 即后=后， 联立方程组 =·解得=4 l6=4o, 图2 所以(A)正确，(B)不正确； 因为IOBI=IOFI,∠AOB=∠MOF,∠OAB=∠OMF 又由抛物线的定义，可得1MF1=名+号=4+1=5， =90°，所以Rt△OAB≌Rt△OMF, 所以(C)正确； 所以1FM1=IABI=b,1OMI=IOA1=a, 在△0FM中，可得10F1=1,IMFI=5,10M1=42, 由已知证=2网得1PW1=冬， 由余弦定理得cos∠OFM=I0F12+1MFI2-IOM1? 由IOM12=IFM1MPI,得 21 OFII MFI :+42。号所以D)错误 心=各，所以&=，所以名=， a 2×1×5 所以双曲线的渐近线方程为y=±√2x,故(C)错误； 故选(A)(C) 10.由题可得a=22,b=2,c=2, 因为c=心+公=3a,所以e=合=厅，故(D)正确： 又P为椭圆上一点，不妨设P(m,n),m>0,n>0, 因为OM⊥直线FP,且IOMI=a, 则5am=方×2e×n=3. 所以直线FP与圆x2+y2=a2相切，故(A)正确； 双曲线的焦点坐标为（±5a,0), 解得元=子，故(A)错误： 为中心在原点焦点在x轴上的椭圆， 半焦距G=√4a2-a=√5a,焦点坐标为（±5a,0), 解得m=少，所以P(是) 所以E与云+ 2疗+京=1有相同的焦点，故(B)正确 2 所以1=(2)°+=+2 4 故选(A)(B)(D). 三、填空题 1P1=(-2+=翠-2m 12:1a号-言-：14-2 所以1P吹，121P,12-(2)=2x2-16=子>0， 提示： 所以∠FPF,<,故(B)错误； 12.由题意得2，=0+号，解得0=， 由椭圆定义可得△E,PF,的周长为2a+2c=4(2+1), 即A5,-3 故(C)正确； 设△FPF2的内切圆半径为T, 代人=2px(p>0),得(-3)2=2p·号，解得p=3. 1 由2·(42+4)=3， 13设双曲线的方程是号-子=1A≠0，A≠). -9 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 把点(2,2)代人方程，得1-4=入，解得入=-3， 解得天=3该：=号 故所求的双围线的方程是号-了。-3，即号一音 312=1. 则两个交点的坐标分别为(3,0)， 14.如图3，连接QF· 故IABI= -)+(号) =245 5 17.解：(1)设椭圆的焦距为2c, 则由2c=2得c=1, 因为后-停所以a=厅6=反 a 图3 所以椭圆C的标准方程为号+号=1 设1QF2I=x(x>0),则IPF11=4x (2)设直线l:x=ty+1, 因为IPFI+|PF2I=2a,IQFI+lQF2I=2a, x ty +1. 所以1PF21=2a-4x,IQFf11=2a-x 联立，2得(2t+3y+4y-4=0 -=1 在△PFQ中，∠F,PQ=90°， 2 所以1PFI2+1PQI2=1QFI2, 设A(x1y1),B(2,2), 即(4x)2+(2a-4x+x)2=(2a-x)2, -4t -4 则1+为=22+31·为=2r+3 整理得a=3x, I PF I 4x 4x 所以an∠PF,￡=P,=2a4=6x-4=2, 又分=2所以哈+2=多 1 所以直线PF2的斜率k=tan(180°-∠PF,F)=-2. 即+5) yy2 =-2 四、解答题 所以=子，解得：= 2, 15解：()由题可得2+(-)=y+ 故直线1：2x±y-√2=0. 化简得x2=2y.故点P的轨迹方程为x2=2y 18.(1)证明：双曲线C的渐近线方程为x±2y=0. (2)由题意设A(x1,y1),B(x2,y2), 点P(x,）到直线x-2y=0的距离4=1x-2y 将直线方程y=x+1与抛物线方程x2=2y联立得x2- 5 2kx-2=0, 点P(x,)到直线x+2y=0的距离山，=1x+2yL 5 则x1+x2=2k,x1x2=-2. 所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为 所以1AB1=√1+k2·√(x1+x2)-4xx d,d=1x-2y1L.1x+2L--4L =个+区·4h2+8=26, 5 5 5 解得2=1，所以k=±1. 又P(x,)在双曲线C上，所以号-=1， 16.解：(1)由题意可设C的标准方程为 即x2-4y2=4, -=1(a>0,6>0) 所以山4=号，是一个常数 由题意知c=5片=青结合心+= (2)解：由号-=1得子=苦-1≥0， 解得。=36=4，故C的标准方程为号-6=1 解得x≤-2或x≥2.所以1P412=(x-3)2+y (2)由(1)知C的右顶点为(3,0)， =-3+号-1=(-号)+号 可设直线l的方程为y=2x-6. 、2 当=号时，1P12取得最小值号 联立 写-6=l,消去y可得52-4+17=0， y=2x-6 所以1PA1的最小值为 10