第12 期 函数的应用(二)第四章综合-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

鲨分害然心杰（闭。煤>）串1漆饭·游丹 本依责任埔锡：张璃覆 州纸端城质量反情电话 02515271268 推纸发行质量反情电话 数理报 0 5年9月19日·显期五 高中数学 第 12期总第1156期 人教A 151-5271248 必修（第一册 横看成岭侧成峰 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办效理报社端辑出版 社长：徐文信 国内统一连续出版物号：CN140707NF)邮发代号：21-201 远近高低各不同 方法指津 又爪x)是R上的偶函数， 、已如零点存在，求参的取值范围 房 这是苏拭的 例1若函数x)=2-2x+在(0 绝（题西林壁》诗 判 则在(-万.-)内也必有一根， ,0)上有零点，测实数a的取值范围为 若八x)在R上连续，x)=0有两个根： 的前两句。意思是说 函数零 数的 若具x)在R上不连染，因为x)为阳数 (A)(-,0] (B)(-,1] “正看声山，高龄横 所以不连续点有可能在原点 方法 (C)[0,+g) (D)[1,+￥) 则八)·0可可能有3个根， 空：划看庐山，销损 综上，方程￥)=0的根的个数是2或3 解：令ar2-2x+1=0,得a=2红-1 成峰，远近高低， 一，定义法 三图象法 象各异” 例1已知函数x)= +2x≤0 例3函数x)=12·g时x-1的博 我门观奈事物 lgx.0, 个数是 因为￥>0，所以片>0. 如果所处的立场不 数=1x)1-1的零点个数是 (A)1 (B)4(C)3 (D)2 解：令x)=0得 同，观察到的结果也 解：当x≤0时.则x+21-1=0,解得x 1g时1=2在同一平 会不可我们思考处 =-3或x=-1:当x>0时，则1gx1-1= 面直角坐标系中作出) 甲某一个数学题.如 0,得=0或x=10 =1lgx1y=2的大 果从某一角度用某 致图象，如右图所示，由图 综上.函数y=Rx)-1的零点个数是4， 巧用零点可 种方法解决以赛 可知调个图象有网个交 故选(B) 点，故函做八￥)有两个零点 效时，不方换 -个角 二、性质法 例2已数月x)是定义在R上的偶函 四、料别式法 求解参数问题 度去观，换一种方 例4已知二次函数/(x)=ax2+x+r中 。山东民雷 法去处理便有可能 数，且在(0，+=)上是减函数若/分）>0 二，已知零点个数，求参数的取值范围 若6>，且1)=0.则函数的零点有 迎功市解”。 0 >R3),则方程R)=0的根的个数是 个 例2已知函数x)= 12x-31,x>0 如解方程 解：由f八1)=0得a+b+c=0 而a>b>c, (x)=)-+.若g)存在3个岁点 222+2x-2+1 解：因为（行） 0>5) *0 新以>0,c<0.即ae<0 刘则实数：的取值范国为 所以2）·) <0,且八x)在(0， 令a2+bi+c=0,则4=2-4ac>0 这是一个三次 所以方程a2+r+c=0有两个不相等的 解：函数g(x)=八x》-+a存在3个 方程，但在现行中学 )上单调递减 实数根，所以二次函数x)=++e有两 教材中，未介绍解 故)=0在（）内艺有一个概 ,等价于函登)的图象与y“分一a的国 个零点故答案填2 般三次方程的方法 (C),(D)中零点两侧函数值异号，所以可采 象有3个交点回出函做R)和y=子-·的 以求解如果我有 二分法求零点，放选(B), 图象如图1所示 换一个角度（已知利 学会” 应用二，造用二分法求零点 根据深象易知，婴使手故八x)和y= 太知互易)去考虑 例2用二分法求函数x)=-x- 即将巨看做“未知 :搞定二分 区间[1,1.5]内的一个零点（精度001 的图象有3个交点， 数“，而将x看成“已 解：经计算A1)<01.5)>0 。四宁海 所以雨数在[1,1,5]内存在零点 知数”，则将原方程 一种方法 国s-(3 取区间(1.1.5)的中点x,■1.25，经计算 整理成 对于在区间，]上连续不断且八) (2)3-(2 八)《D的函数y=八x),通过不断地把函数 1.25》<0,因为1.25)·1.5)<0. -#0.2] 几x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两 所以e(1.25,1.5) +1)+(x2+1 个增点逐步通近零点，进而得到零点近似值的 如此续下去，得到函数的 个零点所在 =0 方法叫做二分法， 的区间，如下表 三，已如零点所在区闻，求参数的取值范围 鼻两大应用 ,的 例3已知函数八)3x2-5+：的两个 =2'(x 应用一、二分法的使用条件 (LLS] 125 民1.151c0 瑟点满足x1e《-2,0),213),求实 例1下列函数图象与x轴均有交点，其中 1125.1.5 1.375)>0 效的取值范围 不能用二分齿求图中函数零点的是 125 1,325)<0 解：依题意，作函数x)=32-5x+a的 ≠0)故得： 11.3125.1175 14324 代1.34移5}>0 -共（。L 致图象，如图2所示 ■-1， 八11251>0 -2)>0. 12+10+a>0. +1±22- ,012513303)0 可得 n0)<0. a<0. (C 因为11.328125 -1.3203125 即 1)<0, 3-5+m<0 解：利用二分法求函零点必满足零点 0.0078125<0.01,所以函数x)=x 3)>0 27-15+4>0 两函数值异号.在选项(B)中，不滴足a)·1的一个精确度为0.01的近似零点可取 解得-12<a<0. 风)<0，不能用二分法求零点，由于选项(A), 1.328125. 故。的取值范为(-120). 2 素养专练 数理极 帽日细孙·象操城「审{<解一避]华猴降源氟女 专项小练一、函数的零点与方程的解 专项小练二、用二分法求方程的近似解 专项小练三、函数横型的应用 1,函做y=2-+1有一个零点，则 1,下列函数不能用二分法求零点的是 .今有一组数据如下： 23456 (A)2 (B)-2(C)±2(D)3 (A/x)=2x+3 (Bx)=-2-6 15441.5128.0m 2.方程+士=3的解所在的区问为 ()/x)=x2-2x+1(D)/x)=2”-1 现准备用下列函数中的一个近似地表示这 2.(多选)用二分法求方程)=0的近限 数据所满足的规律，其中最接近的一个是 (A)(0,2) (B)(1.2) 料时，第一次所取的区御是一2,4)，则第三次闭 (G)(2,3) (D)(34) 取的区博使是 (A)e log: (B)r log! 3.(多选)下列函数不存在零点的是( (A)(1,4 ((经4 (A/x)=2x+4 (cm=-1 (D)n=2i-2 2 (B)x)量1车 (c(-2.3) (Dm(-子】 2(多)从今年起x(e[I,8]eN)年 (G)八x)=I1g1*|+1 3.用二分法求函数八x)=3”一x-4的一个 内，小李的年薪y(万元)与年致x的关系是y=2 (D)=+, x0, 零点，其考数据如下： +0.2x,小马的年（万元）与年数x的关系是 x-1.x<0 =0.5+L2,下列判断正确的有 4.若函数fx)=--a(a>0,且a1) (A)5年后小马的年薪超过小李 有两个零点，测实数a的取值范世是 批数把，可得方程3”--4=0的 个近 )6年后小马的年薪超过李 5.设关于￥的一元二次方m++【 以解（精确度0.01）为 (C)小口的年糊比小幸的增长快 0(m>0)有两个实根与 4.证明：方程n2x D)小马的年薪比小李的增长慢 (1)若x,=2,求m的值： -6=0在2，]内有根 3,某极为了们一中有中的雪销，号川入 (2)证明：1-1且与2<-1 了一种以该昆虫为禽物的特殊动物已如知该动 的数量y(只)与引人时间（年）的关系为y :(x+1).若该动物在引人一年后的教量为 0①只.则在引入7年后.它门的数量为 致理报社试题研究中心 参考答案见下期 -)) () 算期2版考 2当。=2时=e 监2412 0--加古+3-3l2 Γ2 =-3-号+8-w…22 即可得-3+>对F。2花城立 h）0.+ -2-3-}-子 y一八2)的值城是(0.+x 专项小二 所似=4-3+子=喜 )存在实数，6，使得桶数A在这回（(，一】上均绩城 为此只号即可，即年≤ ,2 二m-E =E(V) 6解：0)因无=，子6 共出(+，名国为做在( 断以≤t≤104 - ）上的值城为1,25a>,且 +司 即4=4-b子=）=1，解得4= 搭台月)给定义姑可如(，一）E1,+出 1 …2…(+）--2<2 当t2，知响2,=4时12 在民2上在可2 路6，照+日所1后=E(反瑞为字 第山雨34：参考斧米 (今) po=() 三 C. 上木的 >11+ 224+，42 L. 宽可知6-21,4子，枚G1: :此时不存在数，牌足题 中当>时，2)在(，上单调道减， 所以1注·(2)十“2社反 (2)为h )， 是意可加2科-8产1,4：写手，不行合 m -) ，在a2,4子满已意高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A(必修第一册) 第10~13期(2025年9月) 第10期2版参考答案 4a=49=26=8=2“=(分)=25 专项小练一 因为y=2在R上是增函数，所以a>c>b. 1.A;2.A;3.BCD;4.16;5.3. 5当1a>1时，函数为增函数，且过定点(0,1-d), 6.解：因为x+y=12,y=32,且x>y,所以x=8,y=4 所以原式=位-立上+(x-8y(-2. 因为0<1a<1,故排除(A),(B): x-Y x-8y x7-2y 当1al<1且a≠0时，函数为减函数，且过定点0,1- =-2立+红+6-2) x3 8-4 x-2y ) -8-22+4+x号=3-22+8号 4 因为1-<0，放排除(C).故选(D), =7-22. 6.设f(-2)=b,则f-4)=1-b,点(-2，b),(-4,1- 专项小练二 b)在y=f(x)上，则其关于y=-x的对称点(-b,2),(b-1, 1.C;2.D:3.BCD;4.5;5.2. 4)均在，：2”的图象上，分别代人得=2，解得4：2 6.解：当a>1时，y=a在[1,2]上是增函数， 210=4, 所以ym=a2,ymin=a,所以a2+a=6. 7.当f代x)是偶函数时，fx)=f(-x),即x(2+a2) 所以a2+a-6=0,即(a+3)(a-2)=0, =-x(2*+a2),即(1+a)(2+2)x=0, 所以a=2或a=-3(舍去)； 因为上式对任意实数x都成立，所以a=-1,即m=-1. 当0<a<1时，y=a在[1,2]上是减函数， 当fx)是奇函数时f(x)=-f-x),即x(2+a2)= 所以yan=a,yan=d2, x(2+a2),即(1-a)(2-2)x=0, 所以a2+a-6=0. 因为上式对任意实数x都成立， 所以a=-3(舍去)或a=2(舍去). 所以a=1,即n=1,所以m+2n=1. 综上，a=2. &令g(0=八)-4=子-3-2x定义城为R 第10期3,4版参考答案 则8(-0=-3+2=3”-子+2x=-8 指数与指数函数同步核心素养测评 所以g(x)为奇函数. 一、单项选择题 不等式fa-6)+fa2)>8, 1 ~4 CCAD 5~8 DCBB 等价于fa-6)-4>-(f(a2)-4), 提示： 即g(a-6)>-g(a2). 1.由题意得口-30+3=1解得a:2 因为g(x)为奇函数，所以g(a-6)>g(-a2). la>0且a≠1， 2.因为4>0，所以0≤16-4<16. 因为y=子-3-2均为减函数， 所以0≤√16-4<4 所以g(x)为减函数， 3.由√F=3得=3 则a-6<-a2,解得-3<a<2. 二、多项选择题 即x子=3，解得x=37=9. 9.BD;10.AC;11.ABD. 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 提示： 提示： 9.根据图象的性质可得：a>1,a°+b<0, 12.因为2=512，所以x=9, 即a>1,b<-1. 所以512)=2）=’g=- 故选(B)(D) 13.若a>1,则函数y=a在区间[-1,2]上是递增的， 10.函数fx)=a(】 +b的图象过原点， 当x=2时fx)取得最大值f2)=2a2-4=10,即a2=7, 0 又a>1,所以a=7 则a×(兮 +b=0,即a+b=0,故(A)正确： 若0<a<1,则函数y=a在区间[-1,2]上是递减的， 函数f(x)的图象无限接近直线y=1,但又不与该直线相交， 当x=-1时，f代x)取得最大值f(-1)=2a1-4=10, 故b=1,所以a=-1, 所以a=7 即f代x)=- () +1,故(B)错误； 综上，a的值为万或 函数f(x)的定义域为Rf(-x)= (兮)+1 14因为到+-)=205+器+(-20m -(兮)+1=)， ）0+22 2+1 故f(x)是偶函数，故(C)正确： 所以若fx)+fy)=2成立，则f代-x)=fy), 当xe(-o,0]时f(x)=- 3 +1=-3+1, 又f0)=225+221=20250+2×(2+1-1） 2+1 所以fx)在(-∞，0]上单调递减，故(D)错误 =2522+2. 故选(A)(C). 11因为函数f(x),g(x)的定义域都为R, 面y=2025,y=-)7在R上单调递增 -x)=-a-l=1-a =g(x), 所以f(x)在R上单调递增， a+1a+1 由f(-x)=fy),则只能-x=y, 所以曲线y=f代x)与曲线y=g(x)关于x轴对称，(A)正确； 因此f(x)+fy)=2当且仅当-x=y时成立； -动.是4 又已知fx)+fy-1)=2,所以x+y-1=0,即x+y=1, 1-a a*+1L +11+a =g(x), 所以吐+9=(+（仕+）=7+子+ a 故曲线y=f(x)与曲线y=g(x)关于y轴对称，(B)正确； ≥17+2√16=25， 1 y=g=-(g)°=-（子-） 当且仅当红=y时，即x=了，y=专时等号成立， 令云21则y=--月 所以（+9）5， 当a>1时产。子在0，+女)上单调递减且1e0,). 要使>公+如恒成立，只需满足。+24<8， 解得-25<a<1, 又y=-(t-1)2在t∈(0,1)上单调递增， 故实数a的取值范围是(-25,1). 故当a>1时，函数y=f(x)g(x)在(0，+o)上单调递 四、解答题 减，(C)错误； 当0<a<1时，t=2,在(0，+）上单调递增，且 解：106+(）”-p)产01 a+1 e(1,2), =04+1-[(房)（品） 又y=-(t-1)2在t∈(1,2)上单调递减， =04+1-子+100=9.9， 故当0<a<1时，函数y=f(x)g(x)在(0，+∞)上单 调递减，(D)正确， (2)6a·a =b(a2·ab时)之-b.ab哈 故选(A)(B)(D. a3√B·a而a(b2·a5b)片d2·ab房 三、填空题 =ab位 2-:1B万或7：14(-25,0. ab 16.解：(1)函数f(x)=2-2是奇函数，理由如下： 2 高中数学人教A(必修第一册) 第10~13期 函数f(x)=2-2的定义域为R,关于原点对称， 又f(-x)=2*-2-到=-(2-2*)=-f(x), [(0)+(贵)]+(8) 所以函数f(x)=2-2是奇函数. =2×10+1=21. (2)由(1)得函数f代x)=2-2是奇函数， 19.解：(1)令u=2,因为函数y=2在[-1,1]上是增函数， 若f(m-2)+f(m)=0, 所以“e[分，2]令1=)，则=u+ 则f代m-2)=-f(m)=f代-m), 又y=2在R上单调递增，y=2在R上单调递减， 因为对勾函数y=x+士在[宁上单调递减，在[1， 所以fx)=2-2是增函数， 2]上单调递增，所以t≥1+1=2. 所以m-2=-m,解得m=1. 17.解：(1)因为函数fx)是定义域为R的奇函数， 因为当=宁时=当=2时= 所以f(0)=0,所以a=-1, 又-0-0所=2 2-1 所以t≤马，放t=f)e[2,] 时器2所以61 令y=8x),则函数y=-2:在[2，]上单调递增， 6*2- 所以当t=2时，函数y=2-2t取得最小值，最小值为0. 多 故g(x)在[-1,1]上的最小值为0 因为对1子 2 (2)结合1)可知，当xe[-1,时)e[2,] 所以fx)在[-2,2]上单调递增. 令m=f)=2+2[2,], 由f(m·4)≥-f1-21)=f2-1)在[-2,2]上 则4+4*-4(2+2*)+b=(2+2)2-4(2+2*) 成立，可得m·4≥21-1在[-2,2]上有解，分离参数得m +b-2=m2-4m+b-2. ≥“12·有解 4 令函数p(m)=m2-4m+b-2. 设=4e[好4小， 原问题转化为对于任意的实数6，总存在m∈[2，号]， 则m≥-子+2t=-(t-1)2+1有解，所以m≥-8， 使得1p(m)1≥a成立. 故m的最小值为-8. 只需要求出(Ip(m)lma)in即可 18.(1)证明fx)的定义域为Rfx)=1-2 -1 因为e(m)在[.号] 上单调递增， +1a+1' 因为-对=8，活动 所以m=e(3）-6-eml=e2)-b-6 所以fx)为R上的奇函数， 由6-空+6-6=0，得6= 4 8 即f(-x)+f(x)=0, 令x=-3则f(分-）+/(-）=0， 当6≤号时.1e(m)1=6-6: 因为()=f(x-)+1, 当6>冬时.1(m)1=6-空 |p(m)Ia可看成关于b的函数 所以g1-)=(分-+1， 6-6,6≤智， u(B) 所以+1-)=f(-）)+1+(号-+1=2。 6> 所以g(x)+g(1-x)是一个常数 (2)解：由(1)知，g(x)+g(1-x)=2, 以)在(-，号]上单调递减在（，+）上单调递塔。 令x=方则g(分)+g(1-分)=2，即g(分)=1， 所以(6=a(）= 所以e0+(分)+s(员)+s(员)+…+s(品）+s0 即(19(m)l)m=g,所以a≤ =[g0)+g]+[s(六)+(8)]+…+ 故a的取值范围是(~“言」 -3 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 第11期2版参考答案 5因为函数)=a=(日） (a>0且a≠1)在 专项小练一 (-0,+0)上是减函数， 1.D;2.A;3.AC;4.25;5.60. 所以0<1<1，即a>1 a 6.解：(1)原式=4+3-1g(4×25)=4+3-2=5. 又g(x)=log(x-I)的定义域为xIx>1},其在定义 (2)gnlog 域内单调递增，且g(2)=0,所以其大致图象是(A) 6.由于函数f(x)的图象与函数y=2”的图象关于直线y Ig 10-2 In e +3-loga2 33.log2 23 =x对称， =-2-+3-3%2 则f(x)=log2x,所以当x>0时，h(x)=log2x-x,h(8) -2-+3-=子 =log28-8=-5, 又h(x)为奇函数，所以h(-8)=-h(8)=5. 专项小练二 1.C;2.D:3.ACD;4.1;5.(1,+∞). 7设经过：天后，过步与常后”的片长=100m, 6.解：(1)因为t=1x,4≤x≤4， 即（号）广≥1000，两边取以10为底的对数得x·lg多 所以log子≤t≤log4, ≥4，x·(g3-g2)≥4，即x≥g3-1g20.477-0.30 4 即-2≤t≤2，即t的取值范围为[-2,2] 4 (2)函数fx)=log2(4x)·log2(2x) =0.176≈2.73， =(log2 4 +log2 x)(log2 2 +log2 x) 所以大约经过23天后，“进步”是“落后”的10000倍. (logz +2)(log2 x+1) 8.由题设知当x∈[-2,0]时f(x)m-f代x)in≤1， =(l0g2x)2+31og2x+2. 由y=2*为减函数，y=lg2x在(0，+∞)上单调递增， 又t=log2x, 可知f(x)=log2(2+a)在其定义域内单调递减， 则y=f+3+2=(e+2）广--2≤≤2. 所以当x∈[-2,0]时，f(x)mm=f-2)=log(a+4), f(x)min =f(0)log2(a +1), 当1=子即=-=2时= 所以+4>a+1>0, 解得a≥2， log2(a+4)-log2(a+1)≤1， 当t=2,即log2x=2,x=4时f代x)m=12 故a的取值范围为[2，+o). 综上，函数)的值城为[-子，2] 二、多项选择题 9.AD:10.AC:11.ABD. 第11期3,4版参考答案 提示： 对数与对数函数同步核心素养测评 9.因为函数f代x)为偶函数，所以f-x)=f代x), 一、单项选择题 即logI-x-b1=log.1x-b1,化简得b=0, 1~4 BDAA 5~8 ADDC 又因为偶函数f(x)=1 og,Ixl在(-∞，0)上单调递增， 提示： 则0<a<1, 1.由log2b=c得(a2)=b,即a2e=b. 所以-2<a-2<-1=b-1<0, 2.因为log2a<0=log21,所以0<a<1. 所以f(a-2)<fb-1),故(A)正确； (兮)广°>1=（兮）广，所u6<0 又-1<a-1<0,fb+1)=f1)=f-1), 所以f(a-1)>f代b+1),故(D)正确. rlog(2x+1)>0, 故选(A)(D). 3.由题意应有 2x+1>0, 10.因为2log号a+logb=log3a2+logb=log(a2b) 解得-<x<0 =0(a>0,b>0), 所以a2b=1,即b=a2,故(A)正确； 4.由题可知a>1,1>6=2g3>7,c=2g,2< 1 由选项(A)知，b=a2(a>0), 所以a·ea=a·a=a2=b, 2,所以a>b>c 又b>0,所以只有当b=1时，才有b=b2, 4 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 即a·ea=b成立，故(B)错误； 由选项(A)知，b=a2(a>0), 4由c+23=,25-1n（y+23. 所以log(ab)=log23a3=log2a,故(C)正确； 得e*+x= y+223+223-1n(0+23), 由选项(A)知，2=22，又(2")2=22“，a>0, 得e+lne= )+23+he-h(g+23)= e223 所以只有当a=2时，才有2=2， y+223 即(2“)2=2成立，故(D)错误 In y+2231 故选(A)(C· 令fx)=x+nx,则fx)在(0，+∞)上单调递增， 11.由-x2+2x>0,可得0<x<2,取t=-x2+2x, 因y=-log,t在定义域内为减函数， e)-,)所ue= y+223 而t=-x2+2x=-(x-1)2+1在区间(0,1]上单调递 增，在区间[1,2)上单调递减， 则e+y+224= y+223+(y+23)+1≥ 则函数f孔-x2+2x)的单调递增区间是[1,2)，故(A)正确： 2 e227 因b>1,f(b)=-1og2b<0, √y+223(0y+23)+1=2v@+1, 故由f代a)=lf(b)1可得：-log2a=log2b, 当且仅当 ,+223=y+23,即y=区-23时等号成立， 即得log2(ab)=0,则ab=1,故(B)正确； 所以e+y+224的最小值是2√西+1. 要使f代ax2-2x+a)=-log2(ax2-2x+a)的值域为R, 四、解答题 须使t=ax2-2x+a能取遍一切正数. 15.解：(1)因为log8=6,所以x°=8， ①当a=0时，t=-2x可以取遍一切正数，符合题意； 所以x=8=(23)言=2交=2. ②当a≠0时，依题意，须使4>0， 4=4-4a2≥0， (2)因为log(x2-10)=1+logx, 解得：0<a≤1 所以log(x2-10)=1og(3x), 综上可知a∈[0,1]，故(C)错误； 2-10>0, 当0<a<1时，1<1+a<2,0<1-a<1, 所以{x>0, 解得x=5. 则log2(1+a）>0,log2(1-a)<0, x2-10=3x, 故1f1+a)1=1-log2(1+a)1=1log2(1+a), 16.解：(1)令x-2=0得x=2, 1 所以函数f代x)的图象恒过定点A(2,I), 1f1-a）1=1-log(1-a)l=-1og(1-a）=1o81-8 所以g(2)=log。2=1,解得a=2, 由1+0十。=。<0可得：1<1+e<。 所以g(x)=log2x (2)由1g(m)|=lg(n)1,得1 logz mI=log2 nI, 则logz(1+a）<log1-a 1 所以log2m=log2n或log2m=-logn, 即得：If1+a)1<If1-a)1,故(D)正确. 当logm=logn时，由y=logx单调性知，m=n,不符合题意； 故选(A)(B)(D) 当log2m=-log2n时，log2m+log2n=log2mn=0, 所以mn=l. 三、填空题 17.解：(1)f(x)=(1ogx-2)(logx-1)<0,令t=1og2x, 12.2;13.[4,+0)；14.2√e+1. 则原不等式可化为(t-2)(t-1)<0, 提示： 解得1<t<2,即1<1og2x<2,所以2<x<4, rlg[x(x+3)]=1, 所以不等式f代x)<0的解集为{xI2<x<4} 12.由lgx+lg(x+3)=1,可知 x>0, (2)当x∈[4,16]时，令t=log2x,可得t∈[2,4]， x+3>0, 原不等式可化为2-3t+2≥mt对于t∈[2,4]能成立， 故(x+3)=10,解得x=2 lx>0, 即可得1-3+子≥m对于te[2,4小能成立， 13.当a=0时，fx)=0,不符合题意； 由对勾函数性质可知y=t-3+2在1∈[2,4]上单调递增， 当a≠0时，欲使ax2+ax+1取遍所有正数， t 则/>0， 3 解得a≥4. 所以ym=4-3+2 =2, l4=a2-4a≥0， 3 综上，实数a的取值范围是[4，+∞). 因此只需y=之≥m即可，即m≤之 5 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 放实数m的取值范围是(-，号] (3)存在实数a,6,使得函数)在区间(b,子a）上的 18.解：(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数， 值域为(1,2). 所以f代-1)=f1), 即log(3-1+1)+k=log(3+1)-k, 九)=e=e(1+己）因为函数)在 即24=1og4-le号=lg(4×）-1,解得长=子， (6,号0）上的值城为1,2)，a>0,且0≠1， 此时n-=(3+)+=3+宁 1 结合x)的定义域可知(b,弓)S(1,+), 1 1g(3+1)-x+2x=f(x),满足题意， 所以2a>6>1 所以fx)=log(3+1I)-2x. 1 ①当0<a<1时，函数f(x)在(6,20）上单调递增， 1 2 (2)g(x)=f代x)+2x=1og(3*+1), fb)=1, [1+-I=a. 则g(x)在区间[1og2,8]上单调递增，g(x)在区间 所以 ()=2, [log2,8]上的最小值为g(1og2)=log(32+1)=1. 1+32, 即 2a-1 h(x)=x2-2+5(1≤x≤4)的图象开口向上，对称轴 因为6>1，所以1+子>1，肌1+子=a无解（或因 2 为直线x=t, 当t≤1时，h(x)在[1,4]上单调递增，最小值为h(1)= 1-2t+5=6-2t, 为>1，所以1+三2>1所以1+三2=无解) 2a-1 2a-1 依题意可知6-24≥1，得≤弓，故1≤1： 故此时不存在实数a,b满足题意； 当1<t<4时，h(x)的最小值为h(t)=2-22+5=5 ②当a>1时，函数)在(b,a）上单调递减， -, 依题意可知5-≥1，即≤4，得1<t≤2； 2 1+ =a, 当t≥4时，h(x)在[1,4]上单调递减，最小值为h(4)= 2、1 16-8t+5=21-8t, f(b)=2, 2 1+6=a, 依题意可知21-81≥1，得4≤弓，不符合 解得a=2或a=-号（舍去）.6=号 综上，实数t的取值范围是(-∞，2]. 19.解：(1)函数f(x)是奇函数 综上，存在a=2,b= 子满足题意 证明：由>0，解得x<-1或x>1, 第12期2版参考答案 故f(x)的定义域为(-0，-1)U(1,+0),关于原点对称 专项小练一 因为-）=le-le=bg(出》 1.C;2.C;3.CD;4.(1,+∞). =-e- 5.(1)解：根据根与系数的关系可得 所以f(x)是奇函数. +为=- 1 (2)当a=2时)=1oe- x+1 又因4=2%，所以36=-2号=0 y=20）-装=1+2 消去得品=古解得m=子经检验消足 因为f(x)的定义域是(-0，-1)U(1,+∞)，所以2>1， (2)证明：依题意4=1-4m≥0，解得0<m≤子， 所以22∈0，+).1+221，+) 2 所以函数)=m2++1的对称销为=六≤-2 所以1e1+22)e0,+) 又因为f代-1)=m>0, 所以y=f2)的值域是(0，+∞). 所以函数f(x)的图象与x轴的两个交点都在点(-1,0)的 6 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 左侧，即x1<-1且x2<-1,得证. 又由63-8=0得b=2, 专项小练二 所以a+b+c=4. 1.C;2.BD;3.1.56. 8.设平行于x轴的直线l:y=a,其中a>0, 4.证明：令f(x)=lnx+2x-6, 由e=a,可得x=lna,所以A(lna,a), 由于f(x)在[2，e]内是一条连续曲线， 同理可得B(lna-2,a),且1AB1=2, 且有f2)=n2+4-6=1n2-2<0, 取AB的中点为D,连接CD,如图 f(e)=ne+2e-6=2e-5>0, 1所示， = 所以f(x)=nx+2x-6在[2，e]内有零点， 因为△ABC为等腰直角三角形， 即方程lnx+2x-6=0在[2，e]内有根. 所以CD⊥AB,且ICDI=1, 专项小练三 所以C(na-1,a-1), 图1 1.C;2.BC;3.300. 又因为点C在函数y=e的图象上， 第12期3,4版参考答案 可得a-1=eaa-l= e 指数函数与对数函数核心素养综合测评 一、单项选择题 所以a(1-）=1,解得a=e 1~4 DDBB 5~8 CDCA 所以x=lna-1=lne -1=-n(e-1). 提示： 二、多项选择题 1.令4-2=0，解得x= 9.BCD;10.ACD;11.BC. 故函数了=4x-2的零点是子 提示： 9.对于(A),原式=(3)F4=(5)4=4,所以(A) 2f(日)）=-n= 错误； 3.因为logb=a,lgb=c, 对于(B),9+ne=3+1=4,所以(B)正确： 所以5“=b,b=10. 对于(C),因为log(1gx)=1, 又54=10，所以5”=b=10=(54)°=54， 所以1gx=3,所以x=103=1000,所以(C)正确； 所以a=cd. 对于(D),因为lg。6=c, 4.因为f0)=2°+0-7=-6<0，f4)=24+12-7 >0,f2)=22+6-7>0, 所以a=b,所以b=(a)7=a7,所以(D)正确 所以f0)f(2)<0, 故选(B)(C)(D) 所以存在零点的区间为(0,2). 10.因为e2+1>1,所以函数fx)的定义域为R,故(A) 5.由指数函数和对数函数的单调性知， 正确； 函数f(x)=a与g(x)=1ogx(a>0,且a≠1)在(0， )In(+1)-x=In(e+1)-In e'=In1 e +∞)上单调性相同，可排除(B),(D), 再由关系式f3)·g(3)<0可知0<a<1, =ln(e*+e), 则f(x)与g(x)均单调递减，排除(A).故选(C). 因为e+e≥2，当且仅当e=e,即x=0时取等号， 6市题意得=21，=315， 所以f(x)≥ln2,故(B)错误； 因为f(-x)=n(e+e)=fx), 则2.1nN1=3.15lnN2, 所以f(x)是R上的偶函数，故(C)正确： 即2nN=3lnN2,所以号=W. 函数t=e在[0，+o)上单调递增，且t=e≥1， 7.令fx)=2+x-2=0,h(x)=lox+x-2=0, 则2=2-x,l0gx=2-x, 根据对勾函数的性质可知u=1+在[1，+∞）上单调 即a,c分别为直线y=2-x与函数y=2,y=log2x图象 递增， 交点的横坐标. 又函数y=lnu为增函数， 因为y=2,y=log2x互为反函数，其图象关于直线y=x 故函数f(x)在区间[0，+∞）上是增函数，故(D)正确。 对称，而直线y=2-x与y=x垂直，交点坐标为(1,1)， 故选(A)(C)(D). 所以a+c=2. 11.函数f(x)的大致图象如图2所示， 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 gx)=a(x+1)P+1 x)=lloge xl -10 图2 图4 显然函数()的图象不关于直线=子对称，故选项 数形结合得，(x)<g(x)的解集中整数的个数有无数多 个，不符合题意； (A)错误； 由图2可知函数f(x)在(3，+∞)上单调递增，故选项 当a=0时，g(x)=1,所以1lg2xl<1,解得2<x< (B)正确； 2,只有一个整数解x=1,所以a=0符合题意； 函数y=「f(x)-1「的大致图象如图3所示， 当a<0时，作出函数f(x)=1log2xl和g(x)=a(x+1)2 +1的图象，如图5所示， y fx)=llogz xl 1323 gx)=a(x+1)2+1 图3 -101 当m∈(1,2)时，0<2-m<1,此时函数y=2-m与 图5 函数y=If(x)-11的图象有2个交点， 所以方程1f(x)-11=2-m有2个不同的实数根，故选 要使1log2x1<a(x+1)2+1的整数解只有一个， 项(C)正确； 只需满足(1)>0， 当m∈（-1,0)时，2<2-m<3,此时函数y=2-m与函 f2)≥g(2), 数y=If(x)-1I的图象有4个交点， a+1>0,结合a<0可得- 即 1≥9a+1, 4<a<0. 所以方程1f(x)-11=2-m有4个不同的实数根，故选 项(D)错误 综上，实数a的取值范围是(-子，0] 故选(B)(C). 四、解答题 三、填空题 15解（停）+()-012s 方 12.而：13.0,2：14(-40] 5 317 提示： 2+2-2=2 12.由4=2可得a=1og2=2 25 1 (2)1g号+lg3-l1ogas5 所以gx=分，即x=10=而 =lge(停)）+3-h5 13.令t=1x-11,则y=2 -log+log:3-log5 因为y=2-”在区间(k-1,k+1)内不单调， log2 5 log2 3 log2 3 log 5 =0 所以t=x-11在区间(k-1,k+1)内不单调. 又因为t=1x-11在(-∞，1)上单调递减，在[1，+∞) 16解：当N=20时4=-144(1-贺)】 上单调递增， 所以k-1<1<k+1,解得0<k<2. =-1441g9 =-144(1g7-2lg3) 14.根据题意可转化为满足1log2x1<a(x+1)2+1的整 ≈-144×(0.845-2×0.477)=15.696≈16（分钟）， 数x的个数为1. 当N=40时d=-14e1-8) f(x)=1 log xl,g(x)=a(x +1)2+1, 当a>0时，作出函数f(x)=log2xl和g(x)=a(x+1)2 =-14g号=-14(g5-2g3) +1的图象，如图4所示， ≈-144×(0.699-2×0.477)=36.72≈37（分钟）， -8 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 所以打字水平达到20字/分、40字/分所需的学习时间分 因为a>0,所以-24+1<0， 别为16分钟，37分钟. 2a 17,解：(1)根据题意得0)=81=0， 所以A()在[号，1]上单减递增， 3°+1 解得a=-I(经检验符合). 所以(0)=A(号）=5。-手≥0，得a≥子 阳限据题意<“兰，导< 3 所以实数a的取值范用为[子，+一）。 变形可得号<子 19.解：(1)因为f(x)=2*(x∈R), 所以y=f孔x)在R上单调递增， 即3(a-1)<a(3+1). 分3种情况讨论： 令t=x2-x,x∈[0,2]， 当a=0时，(*)变形为-3<0，恒成立； 所以e[-4,2] 当a>0时，($)变形为3a-3<3+1, 所以f(t)=2∈[2言，4]， 若20-3<3+1恒成立，必有0,3≤1，解得a≤之 即fx2-x)在[0,2]上的最小值为2，最大值为4. 3 a (2)因为g(x)为奇函数，h(x)为偶函数， 此时a的取值范围为(0，]： 且g(x)+h(x)=fx)=2, 所以g(-x)+h(-x)=2*, 当a<0时，(*)变形为3a二3>3+1，不可能恒成立. 即-g(x)+h(x)=2, ② a 综上，a的取值范围为[0，} 由①+②得h(x)=2+2 , 18解：(1)由题意有g(-号+号+1）=1os(+a）, 由①-②得g(x)=2_2 2 (3)由(2)知F(x)=2λg(x)-h(2x)-3=A(2-2) 所以-号+智+1=+a>0, 224+22 2 -3, 整理可得ax2-(a+3)x+3=0,即(x-1)(ax-3)=0, 令t=2*-2*,xe(0,1), 当a=0时，方程的解为x=1,代人原方程检验，成立， 当a=3时，方程的解为x=1,代入原方程检验，成立， 所以：e(0,), 当a≠3且a≠0时，方程的解为x=1,x=3 所以22+22=(2-2*)2+2=2+2， 若x=1为原方程的解，则1+a>0,即a>-1; 所以原问题转化为()=2-3=-号+1-4 2 若x=子为原方程的解，则a+号>0，即a>0, 在e(0,子)上存在零点， 要使原方程有且只有一个解，则-1<a<0. 令h(t)=- 号+1-4=0， 综上，a的取值范围为(-1,0]U3}. (2)令u=士+a则u在[+2]上单调速减， 得A=子+=2(+)de(0,2): 因为函数y=log2u为增函数， 由对勾函数的性质可得y=1+氵在1e(0,）上单调 所以f八x)在[t,t+2]上单调递减， 递减， 则ft)-ft+2)≤1， plg(什+a-g:(+2+a）≤1， 所以y=1+兰>多+9-装 则片+a≤2（十2+0）在[子]上恒成立. 所以(+）>告， 得a+(2a+1)1-2≥0在[号，1]上恒成立， 所以A>告 令h(t)=at+(2a+1)t-2, 所以入的取值范围 (贵+） 9 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 第13期2版参考答案 3.因为1rad= 专项小练一 所以a=-2rad=- 360 0≈-114.6°， I.A;2ACD:3.看 故角α的终边在第三象限. 4.由已知sinx=1-sim2x=cos2x, 4.解：(1)因为角B的终边在直线3x-y=0上， 所以cos2x+cos4x=c0s2x+(cos2x)2 且直线5x-y=0与x轴正半轴的夹角为60°， cos2 x sin2 x 1. 所以角B的集合S=B1B=60°+k·180°，k∈eZ}. (2)在S=B1B=60°+k·180°，k∈Z}中， 5.由题意得45°化为弧度为开， 取k=-2,得B=-300°，取k=-1,得B=-120°， 又A0=80cm,C为A0的中点， 取k=0,得B=60°，取k=1,得B=240°， 则该扇形窗子的面积为了×平(0-0C)=之× 取k=2,得B=420°，取k=3,得B=600°， 所以S中适合不等式-360°<B<720°的元素分别是 (802-402)=600m(cm2). 4 -300°，-120°，60°，240°，420°，600° 专项小练二 6.角α与角B的终边关于y轴对称，所以- (受+2m 1.B:2C:3AC:4-号 ）=吾+2m6-B(4,e2Z),期a+B= π+2m·2 5.解：(1)sin180°+cos90°+tan0°=0+0+0=0. +T+2m·k1=2π(k1+k2)+m(k1,k2∈Z),即a+B=2m 2 2as2+am(-1） ·k+T=(2k+1)π(k∈Z). =cos(8m+号）+an(-4m+平】 7.由题意可知，一个质点在圆0上 每5s逆时针方向转一圈，2s后，到达P =cos+am=+1=多 点，所以∠POR,=号，面在△POR,中， 专项小练三 OP=OP。=2且为圆的半径，取P。P的 1D:2ABC:3-分 中点T,连接OT,如右图， 4.证明：因为左边=2(1+cosa-sin-sin acos a), 则∠P0T= 牙，所以im∠P0T= PT 2T OP sin 5 右边=(1-sina)2+2(1-sina)cosa+cos2a =1-2sin a sin2 a 2cos a-2sin acos a cos2 a 则Pr=R,P=2sin 5 2(1 cos a-sin a-sin acos a). 所以左边=右边，所以原等式成立， 所以P,P=4sn号 第13期3,4版参考答案 8若aBe(0,受)且4sin2a-simB+子=0， 任意角和弧度制、三角函数的概念同步核心素养测评 2 则2sina=√sin2B-， 一、单项选择题 1~4 ADCB 5~8 CDCB 则2sina+cosB=√mB-子+-simB, 提示： 2 1.由于r=10,a=3, ,4π 因为simB-子>0,1-sinB>0, 所以弧长1=ra=40▣ 3Γ 所以2sma+cosB=√smB-子+V-sB≤ 2.由题意得 3 2+22 、 2, E√日-子+1mB- 所以x=-25. 当且仅当sinB-子=1-simB,即n8=0时等号 6 -10