第11期 对数与对数函数-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A(必修第一册) 第10~13期(2025年9月) 第10期2版参考答案 4a=49=26=8=2“=(分)=25 专项小练一 因为y=2在R上是增函数，所以a>c>b. 1.A;2.A;3.BCD;4.16;5.3. 5当1a>1时，函数为增函数，且过定点(0,1-d), 6.解：因为x+y=12,y=32,且x>y,所以x=8,y=4 所以原式=位-立上+(x-8y(-2. 因为0<1a<1,故排除(A),(B): x-Y x-8y x7-2y 当1al<1且a≠0时，函数为减函数，且过定点0,1- =-2立+红+6-2) x3 8-4 x-2y ) -8-22+4+x号=3-22+8号 4 因为1-<0，放排除(C).故选(D), =7-22. 6.设f(-2)=b,则f-4)=1-b,点(-2，b),(-4,1- 专项小练二 b)在y=f(x)上，则其关于y=-x的对称点(-b,2),(b-1, 1.C;2.D:3.BCD;4.5;5.2. 4)均在，：2”的图象上，分别代人得=2，解得4：2 6.解：当a>1时，y=a在[1,2]上是增函数， 210=4, 所以ym=a2,ymin=a,所以a2+a=6. 7.当f代x)是偶函数时，fx)=f(-x),即x(2+a2) 所以a2+a-6=0,即(a+3)(a-2)=0, =-x(2*+a2),即(1+a)(2+2)x=0, 所以a=2或a=-3(舍去)； 因为上式对任意实数x都成立，所以a=-1,即m=-1. 当0<a<1时，y=a在[1,2]上是减函数， 当fx)是奇函数时f(x)=-f-x),即x(2+a2)= 所以yan=a,yan=d2, x(2+a2),即(1-a)(2-2)x=0, 所以a2+a-6=0. 因为上式对任意实数x都成立， 所以a=-3(舍去)或a=2(舍去). 所以a=1,即n=1,所以m+2n=1. 综上，a=2. &令g(0=八)-4=子-3-2x定义城为R 第10期3,4版参考答案 则8(-0=-3+2=3”-子+2x=-8 指数与指数函数同步核心素养测评 所以g(x)为奇函数. 一、单项选择题 不等式fa-6)+fa2)>8, 1 ~4 CCAD 5~8 DCBB 等价于fa-6)-4>-(f(a2)-4), 提示： 即g(a-6)>-g(a2). 1.由题意得口-30+3=1解得a:2 因为g(x)为奇函数，所以g(a-6)>g(-a2). la>0且a≠1， 2.因为4>0，所以0≤16-4<16. 因为y=子-3-2均为减函数， 所以0≤√16-4<4 所以g(x)为减函数， 3.由√F=3得=3 则a-6<-a2,解得-3<a<2. 二、多项选择题 即x子=3，解得x=37=9. 9.BD;10.AC;11.ABD. 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 提示： 提示： 9.根据图象的性质可得：a>1,a°+b<0, 12.因为2=512，所以x=9, 即a>1,b<-1. 所以512)=2）=’g=- 故选(B)(D) 13.若a>1,则函数y=a在区间[-1,2]上是递增的， 10.函数fx)=a(】 +b的图象过原点， 当x=2时fx)取得最大值f2)=2a2-4=10,即a2=7, 0 又a>1,所以a=7 则a×(兮 +b=0,即a+b=0,故(A)正确： 若0<a<1,则函数y=a在区间[-1,2]上是递减的， 函数f(x)的图象无限接近直线y=1,但又不与该直线相交， 当x=-1时，f代x)取得最大值f(-1)=2a1-4=10, 故b=1,所以a=-1, 所以a=7 即f代x)=- () +1,故(B)错误； 综上，a的值为万或 函数f(x)的定义域为Rf(-x)= (兮)+1 14因为到+-)=205+器+(-20m -(兮)+1=)， ）0+22 2+1 故f(x)是偶函数，故(C)正确： 所以若fx)+fy)=2成立，则f代-x)=fy), 当xe(-o,0]时f(x)=- 3 +1=-3+1, 又f0)=225+221=20250+2×(2+1-1） 2+1 所以fx)在(-∞，0]上单调递减，故(D)错误 =2522+2. 故选(A)(C). 11因为函数f(x),g(x)的定义域都为R, 面y=2025,y=-)7在R上单调递增 -x)=-a-l=1-a =g(x), 所以f(x)在R上单调递增， a+1a+1 由f(-x)=fy),则只能-x=y, 所以曲线y=f代x)与曲线y=g(x)关于x轴对称，(A)正确； 因此f(x)+fy)=2当且仅当-x=y时成立； -动.是4 又已知fx)+fy-1)=2,所以x+y-1=0,即x+y=1, 1-a a*+1L +11+a =g(x), 所以吐+9=(+（仕+）=7+子+ a 故曲线y=f(x)与曲线y=g(x)关于y轴对称，(B)正确； ≥17+2√16=25， 1 y=g=-(g)°=-（子-） 当且仅当红=y时，即x=了，y=专时等号成立， 令云21则y=--月 所以（+9）5， 当a>1时产。子在0，+女)上单调递减且1e0,). 要使>公+如恒成立，只需满足。+24<8， 解得-25<a<1, 又y=-(t-1)2在t∈(0,1)上单调递增， 故实数a的取值范围是(-25,1). 故当a>1时，函数y=f(x)g(x)在(0，+o)上单调递 四、解答题 减，(C)错误； 当0<a<1时，t=2,在(0，+）上单调递增，且 解：106+(）”-p)产01 a+1 e(1,2), =04+1-[(房)（品） 又y=-(t-1)2在t∈(1,2)上单调递减， =04+1-子+100=9.9， 故当0<a<1时，函数y=f(x)g(x)在(0，+∞)上单 调递减，(D)正确， (2)6a·a =b(a2·ab时)之-b.ab哈 故选(A)(B)(D. a3√B·a而a(b2·a5b)片d2·ab房 三、填空题 =ab位 2-:1B万或7：14(-25,0. ab 16.解：(1)函数f(x)=2-2是奇函数，理由如下： 2 高中数学人教A(必修第一册) 第10~13期 函数f(x)=2-2的定义域为R,关于原点对称， 又f(-x)=2*-2-到=-(2-2*)=-f(x), [(0)+(贵)]+(8) 所以函数f(x)=2-2是奇函数. =2×10+1=21. (2)由(1)得函数f代x)=2-2是奇函数， 19.解：(1)令u=2,因为函数y=2在[-1,1]上是增函数， 若f(m-2)+f(m)=0, 所以“e[分，2]令1=)，则=u+ 则f代m-2)=-f(m)=f代-m), 又y=2在R上单调递增，y=2在R上单调递减， 因为对勾函数y=x+士在[宁上单调递减，在[1， 所以fx)=2-2是增函数， 2]上单调递增，所以t≥1+1=2. 所以m-2=-m,解得m=1. 17.解：(1)因为函数fx)是定义域为R的奇函数， 因为当=宁时=当=2时= 所以f(0)=0,所以a=-1, 又-0-0所=2 2-1 所以t≤马，放t=f)e[2,] 时器2所以61 令y=8x),则函数y=-2:在[2，]上单调递增， 6*2- 所以当t=2时，函数y=2-2t取得最小值，最小值为0. 多 故g(x)在[-1,1]上的最小值为0 因为对1子 2 (2)结合1)可知，当xe[-1,时)e[2,] 所以fx)在[-2,2]上单调递增. 令m=f)=2+2[2,], 由f(m·4)≥-f1-21)=f2-1)在[-2,2]上 则4+4*-4(2+2*)+b=(2+2)2-4(2+2*) 成立，可得m·4≥21-1在[-2,2]上有解，分离参数得m +b-2=m2-4m+b-2. ≥“12·有解 4 令函数p(m)=m2-4m+b-2. 设=4e[好4小， 原问题转化为对于任意的实数6，总存在m∈[2，号]， 则m≥-子+2t=-(t-1)2+1有解，所以m≥-8， 使得1p(m)1≥a成立. 故m的最小值为-8. 只需要求出(Ip(m)lma)in即可 18.(1)证明fx)的定义域为Rfx)=1-2 -1 因为e(m)在[.号] 上单调递增， +1a+1' 因为-对=8，活动 所以m=e(3）-6-eml=e2)-b-6 所以fx)为R上的奇函数， 由6-空+6-6=0，得6= 4 8 即f(-x)+f(x)=0, 令x=-3则f(分-）+/(-）=0， 当6≤号时.1e(m)1=6-6: 因为()=f(x-)+1, 当6>冬时.1(m)1=6-空 |p(m)Ia可看成关于b的函数 所以g1-)=(分-+1， 6-6,6≤智， u(B) 所以+1-)=f(-）)+1+(号-+1=2。 6> 所以g(x)+g(1-x)是一个常数 (2)解：由(1)知，g(x)+g(1-x)=2, 以)在(-，号]上单调递减在（，+）上单调递塔。 令x=方则g(分)+g(1-分)=2，即g(分)=1， 所以(6=a(）= 所以e0+(分)+s(员)+s(员)+…+s(品）+s0 即(19(m)l)m=g,所以a≤ =[g0)+g]+[s(六)+(8)]+…+ 故a的取值范围是(~“言」 -3 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 第11期2版参考答案 5因为函数)=a=(日） (a>0且a≠1)在 专项小练一 (-0,+0)上是减函数， 1.D;2.A;3.AC;4.25;5.60. 所以0<1<1，即a>1 a 6.解：(1)原式=4+3-1g(4×25)=4+3-2=5. 又g(x)=log(x-I)的定义域为xIx>1},其在定义 (2)gnlog 域内单调递增，且g(2)=0,所以其大致图象是(A) 6.由于函数f(x)的图象与函数y=2”的图象关于直线y Ig 10-2 In e +3-loga2 33.log2 23 =x对称， =-2-+3-3%2 则f(x)=log2x,所以当x>0时，h(x)=log2x-x,h(8) -2-+3-=子 =log28-8=-5, 又h(x)为奇函数，所以h(-8)=-h(8)=5. 专项小练二 1.C;2.D:3.ACD;4.1;5.(1,+∞). 7设经过：天后，过步与常后”的片长=100m, 6.解：(1)因为t=1x,4≤x≤4， 即（号）广≥1000，两边取以10为底的对数得x·lg多 所以log子≤t≤log4, ≥4，x·(g3-g2)≥4，即x≥g3-1g20.477-0.30 4 即-2≤t≤2，即t的取值范围为[-2,2] 4 (2)函数fx)=log2(4x)·log2(2x) =0.176≈2.73， =(log2 4 +log2 x)(log2 2 +log2 x) 所以大约经过23天后，“进步”是“落后”的10000倍. (logz +2)(log2 x+1) 8.由题设知当x∈[-2,0]时f(x)m-f代x)in≤1， =(l0g2x)2+31og2x+2. 由y=2*为减函数，y=lg2x在(0，+∞)上单调递增， 又t=log2x, 可知f(x)=log2(2+a)在其定义域内单调递减， 则y=f+3+2=(e+2）广--2≤≤2. 所以当x∈[-2,0]时，f(x)mm=f-2)=log(a+4), f(x)min =f(0)log2(a +1), 当1=子即=-=2时= 所以+4>a+1>0, 解得a≥2， log2(a+4)-log2(a+1)≤1， 当t=2,即log2x=2,x=4时f代x)m=12 故a的取值范围为[2，+o). 综上，函数)的值城为[-子，2] 二、多项选择题 9.AD:10.AC:11.ABD. 第11期3,4版参考答案 提示： 对数与对数函数同步核心素养测评 9.因为函数f代x)为偶函数，所以f-x)=f代x), 一、单项选择题 即logI-x-b1=log.1x-b1,化简得b=0, 1~4 BDAA 5~8 ADDC 又因为偶函数f(x)=1 og,Ixl在(-∞，0)上单调递增， 提示： 则0<a<1, 1.由log2b=c得(a2)=b,即a2e=b. 所以-2<a-2<-1=b-1<0, 2.因为log2a<0=log21,所以0<a<1. 所以f(a-2)<fb-1),故(A)正确； (兮)广°>1=（兮）广，所u6<0 又-1<a-1<0,fb+1)=f1)=f-1), 所以f(a-1)>f代b+1),故(D)正确. rlog(2x+1)>0, 故选(A)(D). 3.由题意应有 2x+1>0, 10.因为2log号a+logb=log3a2+logb=log(a2b) 解得-<x<0 =0(a>0,b>0), 所以a2b=1,即b=a2,故(A)正确； 4.由题可知a>1,1>6=2g3>7,c=2g,2< 1 由选项(A)知，b=a2(a>0), 所以a·ea=a·a=a2=b, 2,所以a>b>c 又b>0,所以只有当b=1时，才有b=b2, 4 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 即a·ea=b成立，故(B)错误； 由选项(A)知，b=a2(a>0), 4由c+23=,25-1n（y+23. 所以log(ab)=log23a3=log2a,故(C)正确； 得e*+x= y+223+223-1n(0+23), 由选项(A)知，2=22，又(2")2=22“，a>0, 得e+lne= )+23+he-h(g+23)= e223 所以只有当a=2时，才有2=2， y+223 即(2“)2=2成立，故(D)错误 In y+2231 故选(A)(C· 令fx)=x+nx,则fx)在(0，+∞)上单调递增， 11.由-x2+2x>0,可得0<x<2,取t=-x2+2x, 因y=-log,t在定义域内为减函数， e)-,)所ue= y+223 而t=-x2+2x=-(x-1)2+1在区间(0,1]上单调递 增，在区间[1,2)上单调递减， 则e+y+224= y+223+(y+23)+1≥ 则函数f孔-x2+2x)的单调递增区间是[1,2)，故(A)正确： 2 e227 因b>1,f(b)=-1og2b<0, √y+223(0y+23)+1=2v@+1, 故由f代a)=lf(b)1可得：-log2a=log2b, 当且仅当 ,+223=y+23,即y=区-23时等号成立， 即得log2(ab)=0,则ab=1,故(B)正确； 所以e+y+224的最小值是2√西+1. 要使f代ax2-2x+a)=-log2(ax2-2x+a)的值域为R, 四、解答题 须使t=ax2-2x+a能取遍一切正数. 15.解：(1)因为log8=6,所以x°=8， ①当a=0时，t=-2x可以取遍一切正数，符合题意； 所以x=8=(23)言=2交=2. ②当a≠0时，依题意，须使4>0， 4=4-4a2≥0， (2)因为log(x2-10)=1+logx, 解得：0<a≤1 所以log(x2-10)=1og(3x), 综上可知a∈[0,1]，故(C)错误； 2-10>0, 当0<a<1时，1<1+a<2,0<1-a<1, 所以{x>0, 解得x=5. 则log2(1+a）>0,log2(1-a)<0, x2-10=3x, 故1f1+a)1=1-log2(1+a)1=1log2(1+a), 16.解：(1)令x-2=0得x=2, 1 所以函数f代x)的图象恒过定点A(2,I), 1f1-a）1=1-log(1-a)l=-1og(1-a）=1o81-8 所以g(2)=log。2=1,解得a=2, 由1+0十。=。<0可得：1<1+e<。 所以g(x)=log2x (2)由1g(m)|=lg(n)1,得1 logz mI=log2 nI, 则logz(1+a）<log1-a 1 所以log2m=log2n或log2m=-logn, 即得：If1+a)1<If1-a)1,故(D)正确. 当logm=logn时，由y=logx单调性知，m=n,不符合题意； 故选(A)(B)(D) 当log2m=-log2n时，log2m+log2n=log2mn=0, 所以mn=l. 三、填空题 17.解：(1)f(x)=(1ogx-2)(logx-1)<0,令t=1og2x, 12.2;13.[4,+0)；14.2√e+1. 则原不等式可化为(t-2)(t-1)<0, 提示： 解得1<t<2,即1<1og2x<2,所以2<x<4, rlg[x(x+3)]=1, 所以不等式f代x)<0的解集为{xI2<x<4} 12.由lgx+lg(x+3)=1,可知 x>0, (2)当x∈[4,16]时，令t=log2x,可得t∈[2,4]， x+3>0, 原不等式可化为2-3t+2≥mt对于t∈[2,4]能成立， 故(x+3)=10,解得x=2 lx>0, 即可得1-3+子≥m对于te[2,4小能成立， 13.当a=0时，fx)=0,不符合题意； 由对勾函数性质可知y=t-3+2在1∈[2,4]上单调递增， 当a≠0时，欲使ax2+ax+1取遍所有正数， t 则/>0， 3 解得a≥4. 所以ym=4-3+2 =2, l4=a2-4a≥0， 3 综上，实数a的取值范围是[4，+∞). 因此只需y=之≥m即可，即m≤之 5 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 放实数m的取值范围是(-，号] (3)存在实数a,6,使得函数)在区间(b,子a）上的 18.解：(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数， 值域为(1,2). 所以f代-1)=f1), 即log(3-1+1)+k=log(3+1)-k, 九)=e=e(1+己）因为函数)在 即24=1og4-le号=lg(4×）-1,解得长=子， (6,号0）上的值城为1,2)，a>0,且0≠1， 此时n-=(3+)+=3+宁 1 结合x)的定义域可知(b,弓)S(1,+), 1 1g(3+1)-x+2x=f(x),满足题意， 所以2a>6>1 所以fx)=log(3+1I)-2x. 1 ①当0<a<1时，函数f(x)在(6,20）上单调递增， 1 2 (2)g(x)=f代x)+2x=1og(3*+1), fb)=1, [1+-I=a. 则g(x)在区间[1og2,8]上单调递增，g(x)在区间 所以 ()=2, [log2,8]上的最小值为g(1og2)=log(32+1)=1. 1+32, 即 2a-1 h(x)=x2-2+5(1≤x≤4)的图象开口向上，对称轴 因为6>1，所以1+子>1，肌1+子=a无解（或因 2 为直线x=t, 当t≤1时，h(x)在[1,4]上单调递增，最小值为h(1)= 1-2t+5=6-2t, 为>1，所以1+三2>1所以1+三2=无解) 2a-1 2a-1 依题意可知6-24≥1，得≤弓，故1≤1： 故此时不存在实数a,b满足题意； 当1<t<4时，h(x)的最小值为h(t)=2-22+5=5 ②当a>1时，函数)在(b,a）上单调递减， -, 依题意可知5-≥1，即≤4，得1<t≤2； 2 1+ =a, 当t≥4时，h(x)在[1,4]上单调递减，最小值为h(4)= 2、1 16-8t+5=21-8t, f(b)=2, 2 1+6=a, 依题意可知21-81≥1，得4≤弓，不符合 解得a=2或a=-号（舍去）.6=号 综上，实数t的取值范围是(-∞，2]. 19.解：(1)函数f(x)是奇函数 综上，存在a=2,b= 子满足题意 证明：由>0，解得x<-1或x>1, 第12期2版参考答案 故f(x)的定义域为(-0，-1)U(1,+0),关于原点对称 专项小练一 因为-）=le-le=bg(出》 1.C;2.C;3.CD;4.(1,+∞). =-e- 5.(1)解：根据根与系数的关系可得 所以f(x)是奇函数. +为=- 1 (2)当a=2时)=1oe- x+1 又因4=2%，所以36=-2号=0 y=20）-装=1+2 消去得品=古解得m=子经检验消足 因为f(x)的定义域是(-0，-1)U(1,+∞)，所以2>1， (2)证明：依题意4=1-4m≥0，解得0<m≤子， 所以22∈0，+).1+221，+) 2 所以函数)=m2++1的对称销为=六≤-2 所以1e1+22)e0,+) 又因为f代-1)=m>0, 所以y=f2)的值域是(0，+∞). 所以函数f(x)的图象与x轴的两个交点都在点(-1,0)的 6 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 左侧，即x1<-1且x2<-1,得证. 又由63-8=0得b=2, 专项小练二 所以a+b+c=4. 1.C;2.BD;3.1.56. 8.设平行于x轴的直线l:y=a,其中a>0, 4.证明：令f(x)=lnx+2x-6, 由e=a,可得x=lna,所以A(lna,a), 由于f(x)在[2，e]内是一条连续曲线， 同理可得B(lna-2,a),且1AB1=2, 且有f2)=n2+4-6=1n2-2<0, 取AB的中点为D,连接CD,如图 f(e)=ne+2e-6=2e-5>0, 1所示， = 所以f(x)=nx+2x-6在[2，e]内有零点， 因为△ABC为等腰直角三角形， 即方程lnx+2x-6=0在[2，e]内有根. 所以CD⊥AB,且ICDI=1, 专项小练三 所以C(na-1,a-1), 图1 1.C;2.BC;3.300. 又因为点C在函数y=e的图象上， 第12期3,4版参考答案 可得a-1=eaa-l= e 指数函数与对数函数核心素养综合测评 一、单项选择题 所以a(1-）=1,解得a=e 1~4 DDBB 5~8 CDCA 所以x=lna-1=lne -1=-n(e-1). 提示： 二、多项选择题 1.令4-2=0，解得x= 9.BCD;10.ACD;11.BC. 故函数了=4x-2的零点是子 提示： 9.对于(A),原式=(3)F4=(5)4=4,所以(A) 2f(日)）=-n= 错误； 3.因为logb=a,lgb=c, 对于(B),9+ne=3+1=4,所以(B)正确： 所以5“=b,b=10. 对于(C),因为log(1gx)=1, 又54=10，所以5”=b=10=(54)°=54， 所以1gx=3,所以x=103=1000,所以(C)正确； 所以a=cd. 对于(D),因为lg。6=c, 4.因为f0)=2°+0-7=-6<0，f4)=24+12-7 >0,f2)=22+6-7>0, 所以a=b,所以b=(a)7=a7,所以(D)正确 所以f0)f(2)<0, 故选(B)(C)(D) 所以存在零点的区间为(0,2). 10.因为e2+1>1,所以函数fx)的定义域为R,故(A) 5.由指数函数和对数函数的单调性知， 正确； 函数f(x)=a与g(x)=1ogx(a>0,且a≠1)在(0， )In(+1)-x=In(e+1)-In e'=In1 e +∞)上单调性相同，可排除(B),(D), 再由关系式f3)·g(3)<0可知0<a<1, =ln(e*+e), 则f(x)与g(x)均单调递减，排除(A).故选(C). 因为e+e≥2，当且仅当e=e,即x=0时取等号， 6市题意得=21，=315， 所以f(x)≥ln2,故(B)错误； 因为f(-x)=n(e+e)=fx), 则2.1nN1=3.15lnN2, 所以f(x)是R上的偶函数，故(C)正确： 即2nN=3lnN2,所以号=W. 函数t=e在[0，+o)上单调递增，且t=e≥1， 7.令fx)=2+x-2=0,h(x)=lox+x-2=0, 则2=2-x,l0gx=2-x, 根据对勾函数的性质可知u=1+在[1，+∞）上单调 即a,c分别为直线y=2-x与函数y=2,y=log2x图象 递增， 交点的横坐标. 又函数y=lnu为增函数， 因为y=2,y=log2x互为反函数，其图象关于直线y=x 故函数f(x)在区间[0，+∞）上是增函数，故(D)正确。 对称，而直线y=2-x与y=x垂直，交点坐标为(1,1)， 故选(A)(C)(D). 所以a+c=2. 11.函数f(x)的大致图象如图2所示， 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 gx)=a(x+1)P+1 x)=lloge xl -10 图2 图4 显然函数()的图象不关于直线=子对称，故选项 数形结合得，(x)<g(x)的解集中整数的个数有无数多 个，不符合题意； (A)错误； 由图2可知函数f(x)在(3，+∞)上单调递增，故选项 当a=0时，g(x)=1,所以1lg2xl<1,解得2<x< (B)正确； 2,只有一个整数解x=1,所以a=0符合题意； 函数y=「f(x)-1「的大致图象如图3所示， 当a<0时，作出函数f(x)=1log2xl和g(x)=a(x+1)2 +1的图象，如图5所示， y fx)=llogz xl 1323 gx)=a(x+1)2+1 图3 -101 当m∈(1,2)时，0<2-m<1,此时函数y=2-m与 图5 函数y=If(x)-11的图象有2个交点， 所以方程1f(x)-11=2-m有2个不同的实数根，故选 要使1log2x1<a(x+1)2+1的整数解只有一个， 项(C)正确； 只需满足(1)>0， 当m∈（-1,0)时，2<2-m<3,此时函数y=2-m与函 f2)≥g(2), 数y=If(x)-1I的图象有4个交点， a+1>0,结合a<0可得- 即 1≥9a+1, 4<a<0. 所以方程1f(x)-11=2-m有4个不同的实数根，故选 项(D)错误 综上，实数a的取值范围是(-子，0] 故选(B)(C). 四、解答题 三、填空题 15解（停）+()-012s 方 12.而：13.0,2：14(-40] 5 317 提示： 2+2-2=2 12.由4=2可得a=1og2=2 25 1 (2)1g号+lg3-l1ogas5 所以gx=分，即x=10=而 =lge(停)）+3-h5 13.令t=1x-11,则y=2 -log+log:3-log5 因为y=2-”在区间(k-1,k+1)内不单调， log2 5 log2 3 log2 3 log 5 =0 所以t=x-11在区间(k-1,k+1)内不单调. 又因为t=1x-11在(-∞，1)上单调递减，在[1，+∞) 16解：当N=20时4=-144(1-贺)】 上单调递增， 所以k-1<1<k+1,解得0<k<2. =-1441g9 =-144(1g7-2lg3) 14.根据题意可转化为满足1log2x1<a(x+1)2+1的整 ≈-144×(0.845-2×0.477)=15.696≈16（分钟）， 数x的个数为1. 当N=40时d=-14e1-8) f(x)=1 log xl,g(x)=a(x +1)2+1, 当a>0时，作出函数f(x)=log2xl和g(x)=a(x+1)2 =-14g号=-14(g5-2g3) +1的图象，如图4所示， ≈-144×(0.699-2×0.477)=36.72≈37（分钟）， -8 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 所以打字水平达到20字/分、40字/分所需的学习时间分 因为a>0,所以-24+1<0， 别为16分钟，37分钟. 2a 17,解：(1)根据题意得0)=81=0， 所以A()在[号，1]上单减递增， 3°+1 解得a=-I(经检验符合). 所以(0)=A(号）=5。-手≥0，得a≥子 阳限据题意<“兰，导< 3 所以实数a的取值范用为[子，+一）。 变形可得号<子 19.解：(1)因为f(x)=2*(x∈R), 所以y=f孔x)在R上单调递增， 即3(a-1)<a(3+1). 分3种情况讨论： 令t=x2-x,x∈[0,2]， 当a=0时，(*)变形为-3<0，恒成立； 所以e[-4,2] 当a>0时，($)变形为3a-3<3+1, 所以f(t)=2∈[2言，4]， 若20-3<3+1恒成立，必有0,3≤1，解得a≤之 即fx2-x)在[0,2]上的最小值为2，最大值为4. 3 a (2)因为g(x)为奇函数，h(x)为偶函数， 此时a的取值范围为(0，]： 且g(x)+h(x)=fx)=2, 所以g(-x)+h(-x)=2*, 当a<0时，(*)变形为3a二3>3+1，不可能恒成立. 即-g(x)+h(x)=2, ② a 综上，a的取值范围为[0，} 由①+②得h(x)=2+2 , 18解：(1)由题意有g(-号+号+1）=1os(+a）, 由①-②得g(x)=2_2 2 (3)由(2)知F(x)=2λg(x)-h(2x)-3=A(2-2) 所以-号+智+1=+a>0, 224+22 2 -3, 整理可得ax2-(a+3)x+3=0,即(x-1)(ax-3)=0, 令t=2*-2*,xe(0,1), 当a=0时，方程的解为x=1,代人原方程检验，成立， 当a=3时，方程的解为x=1,代入原方程检验，成立， 所以：e(0,), 当a≠3且a≠0时，方程的解为x=1,x=3 所以22+22=(2-2*)2+2=2+2， 若x=1为原方程的解，则1+a>0,即a>-1; 所以原问题转化为()=2-3=-号+1-4 2 若x=子为原方程的解，则a+号>0，即a>0, 在e(0,子)上存在零点， 要使原方程有且只有一个解，则-1<a<0. 令h(t)=- 号+1-4=0， 综上，a的取值范围为(-1,0]U3}. (2)令u=士+a则u在[+2]上单调速减， 得A=子+=2(+)de(0,2): 因为函数y=log2u为增函数， 由对勾函数的性质可得y=1+氵在1e(0,）上单调 所以f八x)在[t,t+2]上单调递减， 递减， 则ft)-ft+2)≤1， plg(什+a-g:(+2+a）≤1， 所以y=1+兰>多+9-装 则片+a≤2（十2+0）在[子]上恒成立. 所以(+）>告， 得a+(2a+1)1-2≥0在[号，1]上恒成立， 所以A>告 令h(t)=at+(2a+1)t-2, 所以入的取值范围 (贵+） 9 高中数学人教A(必修第一册)第10~13期 第13期2版参考答案 3.因为1rad= 专项小练一 所以a=-2rad=- 360 0≈-114.6°， I.A;2ACD:3.看 故角α的终边在第三象限. 4.由已知sinx=1-sim2x=cos2x, 4.解：(1)因为角B的终边在直线3x-y=0上， 所以cos2x+cos4x=c0s2x+(cos2x)2 且直线5x-y=0与x轴正半轴的夹角为60°， cos2 x sin2 x 1. 所以角B的集合S=B1B=60°+k·180°，k∈eZ}. (2)在S=B1B=60°+k·180°，k∈Z}中， 5.由题意得45°化为弧度为开， 取k=-2,得B=-300°，取k=-1,得B=-120°， 又A0=80cm,C为A0的中点， 取k=0,得B=60°，取k=1,得B=240°， 则该扇形窗子的面积为了×平(0-0C)=之× 取k=2,得B=420°，取k=3,得B=600°， 所以S中适合不等式-360°<B<720°的元素分别是 (802-402)=600m(cm2). 4 -300°，-120°，60°，240°，420°，600° 专项小练二 6.角α与角B的终边关于y轴对称，所以- (受+2m 1.B:2C:3AC:4-号 ）=吾+2m6-B(4,e2Z),期a+B= π+2m·2 5.解：(1)sin180°+cos90°+tan0°=0+0+0=0. +T+2m·k1=2π(k1+k2)+m(k1,k2∈Z),即a+B=2m 2 2as2+am(-1） ·k+T=(2k+1)π(k∈Z). =cos(8m+号）+an(-4m+平】 7.由题意可知，一个质点在圆0上 每5s逆时针方向转一圈，2s后，到达P =cos+am=+1=多 点，所以∠POR,=号，面在△POR,中， 专项小练三 OP=OP。=2且为圆的半径，取P。P的 1D:2ABC:3-分 中点T,连接OT,如右图， 4.证明：因为左边=2(1+cosa-sin-sin acos a), 则∠P0T= 牙，所以im∠P0T= PT 2T OP sin 5 右边=(1-sina)2+2(1-sina)cosa+cos2a =1-2sin a sin2 a 2cos a-2sin acos a cos2 a 则Pr=R,P=2sin 5 2(1 cos a-sin a-sin acos a). 所以左边=右边，所以原等式成立， 所以P,P=4sn号 第13期3,4版参考答案 8若aBe(0,受)且4sin2a-simB+子=0， 任意角和弧度制、三角函数的概念同步核心素养测评 2 则2sina=√sin2B-， 一、单项选择题 1~4 ADCB 5~8 CDCB 则2sina+cosB=√mB-子+-simB, 提示： 2 1.由于r=10,a=3, ,4π 因为simB-子>0,1-sinB>0, 所以弧长1=ra=40▣ 3Γ 所以2sma+cosB=√smB-子+V-sB≤ 2.由题意得 3 2+22 、 2, E√日-子+1mB- 所以x=-25. 当且仅当sinB-子=1-simB,即n8=0时等号 6 -10三激米心密岩工（研卫>】串1端斋。·长避丹别 本依责任埔锡：张璃覆 州纸端城质量反情电话 03515271268 数理招 2025年9月12日·星期五 高中数学 推纸发行质量反情电话 第11期总第1155期 人教A 151-5271248 必修第一册 山西师范大竿主管山西师大敏育科技传媒集团主办理报社辅出版 社长：徐文信 国内统一连续出版物号：CN140707F)邮发代号：21-201 民间数学诗 解：如上图，把函数y=￥的图象向左可 其 聚焦 移1个单位长度得到函数g(x)=lg,(x+1)的 图象 三百十八里关 因为直线G所对应的函数解析式为y 初行健步不为难 对数函数考点 换底公式自由行 ,结合选项易知划两图象交点的横坐标为【。 又函数x)的图象无限趋近于直线x 即痛每日减一半， 。紫南铸建君 河北唐艳玲 考查指数与对数的互化 1,所以不等式x)≥《x+1)的解集是 对数的换底公式是选行对数的有关运算及 人天能于共关 例1已知log3=a,3=7.求g56 x|-1cx≤1 其对数式恒等变形的重要理论依据之一，利用 解：因为lg23=,所以2”=3 故选(C), 换底公式统一对数底数」~化异为同“是解决 要问海天行里数 又3=7，故7=(2)=2，故56=2 五，考查函数的性质 有关对数回题的基本患想方法，对于公式的使 请君仔细算周详 又12=3×4=2°×4=22 例5已知函数八)=：是 用，既鉴能够正用，又要施够逆用、变形使用，只 有能够自由取公式，才能在解圈中左右，源。 设第一天行 从而og:56=吧t2=3+a +2 ()若(x)为奇函数，求：的值： 所向披瓶。 二，老查对数的运算 (2)在(I)的条件下，若八x)在(m,n)上 里.据题意得方程 的值城为(-1，+)，求m,:的值 一，正用换底公式 倒2(10e是+2%2-（宁） 解：(1)因为x)为奇函做， 例1求1%4·log27的值 ())液： 新以rx)+-x》=0。 2 222 解：原式号品-光 (2)计算：og ,2 即+l6=0 例2计算：(%125+log,25+l如g,5)× =378 (logs 2 logs4 logis 8). 解得=192 解：(（方法-%号+2g2-(2)' 解得a=1(m=-1时，八x)无意又 解：原式·（生竖栏）×居 g5-g2+2g2-2=g5+g2-2=g(5 放舍去) 知每天所行里 会+)=（他·）× ×2)-2=-1. (2)由1)x)=e是叫>0 数分别为12.96 (方强二号+2g2-()”=多 居+器+)-驰髻= 解得-1<x<1, 48.24.12,6里。亦即 g4-2=g(×4）-2=1-2=- 即函故)的定义域为(-1，)： 二，逆用换底公式 例3已知gN,=ogN2=…= 每天所行里数组成 （2)log号：lhs2+=- ug。N,=b则agn(N,N)= 为减函数， 以；为公比的等比 2=2.2w=3x240=3 而y在定义城内为增函数， 解：由换底公式得5X。 g 三、考查函敏的定义域 =b, 数列。 鳞3函数爪=2+=的定义城 又)在(m)上的值减为(-I,+ 则BX+eXt…+eN=, 其已 所以e)==- 层2，+gm、++g2 百六十一缸 解：要使数有意义，需足 2+x->0 当x=限时，八x〉无意义 ) x1-x+0, 红君分作几船装 所以=是m=-1 因此lg(N,N)= 即-20解得-1<x0, 三、活用换底公式 不许一船多一只， 六，考查对数方得 因此函凡x)的定义城为(-1,0) 例6方程lg,(9 -5)=g(3- 例4计算{吧3+og3)(wg2+l吧，2) -2) 不容船少 缸 四、考查函的象 2的解为 解：原式=3·log2+13·log,2 例4如下图，函数代x)的图象为折线ACB, 解：依意得lg(9-5)=g(4 3 w3·leg2+w3·log2=l2log3 显然，这是 道 则不等式几x}a1:(x+I)的解集是( g2k3+g2g3+g23=子 关于数的开方的诗 则94-5=43--8. 例5求[(1-og3)+1k2·o%8] 令3=(1>0)，则f-4+3=0. 可知V36=19, g,4的值 解得1=1减t=3. 解：原式=[(1-1%3)2+log2(lg3 有19条船，每杀蚂装 当1=1时，则3-=1，解得x=1,而9 5<0,不符合题意.故x"1舍去： log,6)]log4 (log,6 log,3)+log,2 19只包 (A){x|-<0 当1=3时，则3=3，解得x=2 (1g3+g6)]◆(2leg2)■[(lg2)2+ (B)x|-1≤≤1 且9-5=4>0,3-2=10 g,2,(g3+o吧6)]÷(2g2)=[lg2 (C)x|-1<x≤1 所以=2满定条件 (log2+lg3+1g,6)]◆(20g2)■21g2 (D)|￥|-1c￥≤2 综上，原方程的解为x■2 ÷(2log.2)=1. 9 多年+二小一+（計） 、 )e源：164。+271-8年-253： (C)a +b<0 (8)10 -+- 一 . 二0二 喜张，专缘 - ()海一锈灯能电图： n (B (A)e>a >h 3-+8) (.+8) 7.我们向以把(1+峰)看作每天的“进步” 半都是1% 年后 四、解答题：本题共5小题，共77分 对数与对数函数 是1.01“：花(1 -1 )看作每天的“落后” 半都是1，一年后是 15.(13分)1)已知1%.8=6，求x的值： 同步核心素养测评 0.,可以计算得到。 年的法步是后哈 1481 (2)已知%(x2-10)=1+agx,求r的值 倍如果每天的“进沙”率和“落后”都是20，要使得“进沙 是 。数理报社试题研究中心 "落后”的10000倍，则需要经过的天数为(lg2-0.501,1g3。 第1卷选择题（共58分） 0.477) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (A)17 (B)18 (C)2 (D)23 1.若1吧26=.则 8.已知函数八x)=g(2”+),若xe「-2,0].1八x) (A)a=c (B)a产=b )1≤恒或立，实效：的取值范围为 (C)5=2a (D)2=6 (A)(-0.-1》U[2.+）(B)(-1.2] 2.若日<0，（片）广>1，则 (C)[2,+0) (D)(2,+3) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (A)a>1.5>0 (B)a>1,b<0 高中数学 高中数学·必修第一册（人教A版）同步核心素养渊评 9.若偶函数x)=1g1x-1在(-，0)上单调递增，则下列 (C)0<4<1.b>0 (D)0<a<1,b<0 结论中正确的是 16.(15分)已知函数)=3(>0且1)的图恒过定 3.若八)= (A)/a-2)<b-1】 (B)/a-2)>6-1)） √1g脚(2x+1 ,则x)的定义城为 点A,目点A在函数g(x)=gx的图象上 (C)a-1)<f6+1) (Da-1>b+1) (w(20】 (B)(-0】 (I)求函数g(*)的解析式： 10,已知2g料a+lg,5=0,则下列等式一定正确的是( (2)若存在互不相等的实数m,使1g(m)1g(n)1,求n (G)(-子+￥) (D)(0,+￥) (A)■2 (B)a·■ 的值， (C)log,a log,(ab) (D)(2)=2 4.设m3.=g,e▣1w2则，b,e的大小关系为 1山.已函数x)=-g.下四个命题正确的是 必修第一册（人教A版）同步核心素养测评 (A)放爪-2+2x)的单递增区间是[1.2】 (Aab>c (B)a cb (B)若a〉=l6),其中>0>0，<1<6,则a (C)b >a>e (D)h>e>a (C)若ar2-2x+a)的值城为R,则as(0,1月 5.若函数x)=a"(>0且m1)在(-， +x》上是减 (D)若0<m<1,则1+)1<1f1-a) 数.则g(x)=g(-)的大致国象是 表 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12若gx+(x+3》=1,则x= (B) 13.若函数x)=log(a2+r+)的值城为R,测实数a的取 6.已知函数x)的图象与函数y=2”的图象关于直线y 直范国是 称，函数(x)是奇函做.且当x>0时，(x)八x)-,则k(-8) 14,已实数￥，y演足+x-223= y+223 -n(y+223).则 (A)- (B) (c)-5 +y+224的最小值是