第12期 获取数据的途径、抽样的基本方法-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 数理括 答案详解 2025~2026学年 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期(2025年9月) 第10期2版参考答案 专项小练一 因为y=2和y=-(3) 在R上单调递增， 1.D;2.C;3.CD;4.(-∞，-1) 5.(1)解：根据根与系数的关系可得 所以x)在R上单调递增，且)=1-(3）=-1 x1+x2=- 1 <02)=8- 分°=7>0 又因5=2，所以3=-2号=0 所以f(1)·f2)<0,所以f代x)在区间(1,2)内存在唯一 m 零点，故x所在的区间是(1,2). 消去与得品=片解得网=合经检验满足 m 4.设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充 1 这种药，才能保持疗效， (2)证明：依题意4=1-4m≥0，解得0<m≤4， 则2500×(1-0.2)=1500，整理得0.8=0.6， 所以函数f代x)=mx2+x+1的对称轴为x=- 1 ≤-2， 两边取对数得lg0.8=lg0.6,即xlg0.8=1g0.6, 2m 6 又因为f代-1)=m>0, 所以x=g0.6 g10 _g2+g3-1≈2.3， 所以函数f(x)的图象与x轴的两个交点都在点(-1,0) 1g0.8 8 1e 10 3lg2-1 的左侧，即x1<-1且2<-1，得证。 即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药. 专项小练二 1.C:2.BD:3.1.56. 5.令fx)=lgx-3元 1 专项小练三 因为函数y=g,=一分在(0，+)上都是蜡数， 1.C;2.BC;3.2046. 第10期3,4版参考答案 所以函数)=le,一女在(0，+)上是增函数， 函数应用核心素养综合测评 f)=-号<02)=logs2-石= >0, 6 一、单项选择题 1~4 CCBA 5~8 BDBA 所以两数)=1g一在区间1,2)上行唯-零点， 提示： 1.由题意可得函数的定义域为(0，+∞)， 所以用二分法求方程1g:x-六=0近似解时，所取的第 因为)=- 一个区间可以是(1,2) -<0,f2)=ln2-1<0 f3)=ln3- 1 6由愿意得=21，=315， >0,由函数零点的判定定理可知，函数 则2.1lnN=3.15lnW2, f孔x)在(2,3)上有一个零点 即2nN=3nN2,所以W2=W 2.根据表中数据，画出图象如图1个 7.由已知得a=1og23,b=log2,且a>1,0<b<1,于是 所示： 32 函数f(x)=a+x-b为单调递增函数.可得f代-1)=log2- 通过图象可看出，y=log2x能比较 012345678x 1-l1og=-1<0f0)=1-log>0,所以函数的零点在区 近似的反映这些数据的规律 图1 间(-1,0)内，故选(B)· 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 8.依题意知y=g(x)-t有三个零点a,b,c, 若f1)>0,则由1)=f(入)+， 即x(x-4)2-t=(x-a)(x-b)(x-c), 展开对应项系数相等得 可得f(）=D-A x-8x2+16x-t=x-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x -abc,所以a+b+c=8. 由（只）=()+A, 二、多项选择题 9.BC;10.ABD;11.ABD. 可得/()=f(大)-A=)-2x 提示： ()=f()-A=fI)-从，keN, 9.由题可知f1.375)<0,f(1.4375)>0, 故方程的近似解在(1.375,1.4375)内， 当k趋近正无穷时（什）趋近负无穷，所以）存在零点 由于1.4375-1.375=0.0625<0.1， 综上所述f代x)存在零点，故(D)正确。 故(1.375,1.4375)任意数都可作为近似解， 故选(A)(B)(D) 故选(B)(C) 三、填空题 10.由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为 0.5元，故(A)正确； 12(-,-)u(分+）：1B4: 设甲厂的费用y,与证书数量x满足的函数关系式为y1= 14(-40小 +6,代入点0,1).(64，可得白=L 解得k=0.5,b=1, L6k+b=4, 提示： 所以甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系式为y 12.由于给出的是一次函数形式，通过数形结合分析应满 =0.5x+1,故(B)正确； 足条件f(-1)×f1)<0曰(-5a+1)(a+1)<0=(5a- 当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个 1 1)(a+1)>0=a>5或a<-1. 为3÷2=1.5元，故(C)错误； 13.当0≤x≤1时，由fx)≤0.02得5-2≤0.02，解得x 当x>2时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n, ≤2+log0.02=log0.5<0,舍去；当x>1时，由f八x)≤0.02 代入点23,6,4，可得②车n解得m=子n l6m+n=4, 得号×（兮》≤02，即3≤0.1，解得≥1-g0.1=1 多，所以当×>2时与之间的函数关系式为=子+ +l0g10,因为3<1+l1og10<4,所以此驾驶员至少要过4小 时后才能开车. 多，放(D)正确放选(A)(B)(D). 14.根据题意可转化为满足1log2x1<a(x+1)2+1的整 11.f2x)-fx)=2f2）-f1)=2,f1)=0, 数x的个数为1. 则f2)=2,故(A)正确； 令f(x)=1log2x1,g(x)=a(x+1)2+1, f代Ax)-f(x)=A,即log号(Ax)-log号x=入，即log号A=入， 当a>0时，作出函数fx)=1log2xl和g(x)=a(x+1)2 根据y=x与y=lg号x的图象知方程有唯一正数解，故 +1的图象，如图2所示， (B)正确； g(x)=a(x+1P+1 fAx)-fx)=入，即√x-√E=A, 当x=1时，W八-1=入，即2+入+1=0， x)=llogzxl -101 由4=1-4=-3<0，可得方程无实数解，故(C)错误； 图2 若f(1)=0,则1即为fx)的零点； 数形结合得，代x)<g(x)的解集中整数的个数有无数多 若f1)<0,则f(A)=f1)+入， 个，不符合题意； f(X2)=fA)+A=f(1)+2入， 可得f)=f代A-)+入=fI)+入，k∈N, 当a=0时，g()=1,所以11g<1,解得时<x< 又入>0，故当k趋近正无穷时f入)趋近正无穷， 2,只有一个整数解x=1,所以a=0符合题意； 所以f代x)存在零点； 当a<0时，作出函数f代x)=1log2xl和g(x)=a(x+1)2 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 +1的图象，如图3所示， 《②)由)知=a+l加s名=-10+10s品所以要 f八x)=log2xl 使飞行速度不低于20m/s,则有u≥20，所以-10+10log0≥ Q gx)=a(x+1)P+1 20,即10号≥3，解得号≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为 -101N 图3 赶路程，飞行的速度不能低于20/s,则其耗氧量至少要270 要使1lo2x1<a(x+1)2+1的整数解只有一个， 个单位 只需满足(1)>0， 18.解：(1)当a=1时f(x)=2·4-2-1, f2)≥g(2), 令f(x)=0,即2·(2)2-2-1=0， 即4a+1>0结合a<0可得- 1 l1≥9a+1, 4<a<0. 解得2=1或2=-（合）， 所以x=0,所以函数f(x)的零点为x=0. 综上，实数a的取值范周是(-子0] (2)若f代x)有零点，则方程2a·4-2-1=0有解. 四、解答题 于是2a==(分）广+（任）】 15,解：当N=20时，1=-14g1-0) =-14g子-14(g7-2g3) =[(份)广+] ≈-144×(0.845-2×0.477) 因为（宁）广>0，所以24>寸-子=0.即a>0 =15.696≈16（分钟）， 所以实数a的取值范围为(0，+∞). 当N=40时，4=-14ls(1-0）) 19.解：(1)由题意，函数f(x)=x-3mx+n=(x-1)(x -2),所以m=1,n=2, =-141g9 =-144(lg5-2lg3) 因为f(x)-k>0在x∈[0,5]恒成立， ≈-144×(0.699-2×0.477) 则<)=2-3x+2=(s-是)-子 =36.72≈37（分钟）， 所以打字水平达到20字/分、40字/分所需的学习时间分 当=号时)有最小值-子 别为16分钟，37分钟. 16.解：因为4=(3a-2)2-4(a-1) 所以长的取值范围是(，一) =9a2-16a+8 (2)由题意，函数g()==￡-3+2=+2-3， =(3a-+号>0， 所以若存在满足题意的实数a,则只需f1)·f代3) 可得(x)=8(2)-1…2=1-2+是-3， =(1-3a+2+a-1)(9-9a+6+a-1) 因为F(x)在x∈[-1,1]上有零点， =16(a-(a-子≤0 即()=1-2+子-3=0在[-1，上有解， 即(a-1)(a-子)≤0，得1≤a≤子 2品多+1在e[-1,山上有解 即r= 2 故存在满足题意的实数a,其取值范围是[1，子] 令=，因为xe[-1,,所以1e[22]=2P- 17.解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 30 3+1=2-子)°-g 0m/s,此时耗氧量为30个单位，故有a+b1og10 =0,即a+b 90 所以当1=子时，取得最小值-令： =0.当耗氧量为0个单位时，速度为10m/s,故a+1og1 当t=2时，r取得最大值3； 10,整理得a+2弘=10.解方程组+b=0,得0=10， a+2b=10lb=10. 所以实数，的取值范围为[-名3]。 一3 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 第11期3,4版参考答案 同理可得B(lna-2,a),且1AB1=2, 核心素养阶段测评（一） 取AB的中点为D,连接CD,如图1 一、单项选择题 所示， 1 ~4 DDBD 5~8 DDBA 因为△ABC为等腰直角三角形， 提示： 所以CD⊥AB,且ICDI=1, 1.由题可知，集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长， 所以C(lna-1,a-1), 则a≠b≠c,所以一定不是等腰三角形， 又因为点C在函数y=e的图象上， 2.函数f代x)=e+4x+1的定义域为R,且f(x)是增函数， 可得a-1=ea-1= a e, 因为n4>n3>1,所以fln4)>fln3)>f1), 即a>b>c. 所以a（1-亡）=1，解得a= 3.因为-1<a<0,所以1+a>0,0<-a<1. 所以-a-a2=-a(1+a）>0, 所以。=ha-1=n。-1=-lh(e-1). a2-(-a3)=a2(1+a)>0. 二、多项选择题 所以-a>a2>-a3. 9.ABD:10.BCD:11.BC. 4.因为ga+lg6=0,所以-ga=lg6,即6=石 提示： 若0<6<1，则0<日<1，排除(C. 以属4器品3器2牛授 1-1g2 1-m 故(A)正确； 若b>1,则>1，排除(A)(B).故选(D). (兮) -log38 -3ln(lne)=3g38-3lne=8-3=5, 5.若命题“Vx∈[1,4]时，x2-4x-m≠0”是假命题， 故(B)正确： 则命题“3x∈[1,4]时，x2-4x-m=0”是真命题， 因为a+a1=14,所以a>0, 则m=x2-4x, 设f(x)=x2-4x=(x-2)2-4, 因为a+a1+2=(a2)2+(a7)2+2aza号 当1≤x≤4时，-4≤f(x)≤0，则-4≤m≤0. =(a7+a)2=16, 6.由x2-(2-a)x-2a<0,得(x-2)(x+a)<0, 所以a7+a乞=4，故(C)错误； 当a>-2时，不等式解集为xl-a<x<2},此时恰有3 个整数解，则3个整数解分别为1,0，-1， 4-25)2+210g2310g4 故-2≤-a<-1,解得1<a≤2； =1-万)+21og23·log2 当a<-2时，不等式解集为xl2<x<-a},此时恰有3 =11-5「+2=5+1，故(D)正确 个整数解，则3个整数解分别为3,4,5， 故选(A)(B)(D) 故5<-a≤6，解得-6≤a<-5; 10.“Vx>0,都有x2>x-1”的否定是“3x>0,使得x2 当a=-2时，不等式解集为⑦，不符合要求， ≤x-1”,(A)错误： 故实数a的取值集合为a|-6≤a<-5或1<a≤2}. 7.由题意得-f(x)=f代-x),f(x+1)=f(-x+1), 当>1时，2x+=2(x-)++2≥ 所以fx+2)=f[-(x+1)+1]=f(-x)=-fx), ① 22(x-0+2=2万+2， 所以f(x+4)=-f(x+2), ② 当且仅当2(x-)即=1+受时，等号成立， ①②联立可得：fx+4)=f(x),即f(x)的周期为4， 又f2)=f0)=0,f(3)=f-1)=-f1), 放当x>1时，2+的最小值为2万+2.()正确： 所以4a+b=0且a+b=-3,解得a=1,b=-4, 由题意得-1,2为ax2+2x+c=0的两个根， 即fx)=x2-4,xe[1,2], 所以(）=3）=(3)=-子 -1+2=-2-1x2=台 解得a=-2,c=4,则a+c=2,(C)正确； 8.设平行于x轴的直线l:y=a,其中a>0, 由e=a,可得x=na,所以A(lna,a), <1，但<1a>1, a>1→a -4 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 比如a=-1满足工<1，但不满足a>1, 提示： 12.因为A={1,2,3,5},B={1,2,3}, 故“a>1”是“<1“的充分不必要条件，(D)正确 所以B至A, a 故选(B)(C)(D). 则由x∈A推不出x∈B,故充分性不成立， 由x∈B推得出x∈A,故必要性成立， 11.f(-x)=-x -号 =-xx+2 m 所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件。 对于(A),若fx)为偶函数， 13.因为α，B分别是方程1og2x+x-5=0和2+x-5= 0的根，即α，B分别是方程1og2x=-x+5和2=-x+5的根， 所以ax,B分别是函数y=log2x与y=-x+5,y=2与y 当x>0时，x-受≥0， =-x+5交点的横坐标， 因为y=2与y=logx的图象关于y=x轴对称， 面-+受≤0， 所以y=2与y=-x+5的交点与y=log2x与y= -x+5交点关于y=x对称， 故f(x)与f(-x)不一定相等，故f(x)不可能是偶函数， (A)错误； 所以由三，得x=y=子 ly=-x+5, 对于(B),当m=0时f-x)=-x1xI=-f(x), 故f(x)为奇函数，故(B)正确； 所以专B=多，即Q+B=5 2 对于(C),f)=xx-2 。m 的定义域为， 14.在f(xx2)=fx)+f(x2)+2中， 令1=x2=1,得f代1)=-2， 因此[0，+∞)是f(x)的值域的子集， 令1=为2=-1，得f代-1)=-2， 因此对任意实数M>0,存在实数xo,使得f代x)>M,故 令1=x,2=-1,得f-x)=f代x), (C)正确； 又f代x)的定义域为(-0,0)U(0,+o),所以f代x)为偶函数， x)2 又对Vx3,x4e(2,+0),都有(x3-x4)[f(x-2)-fx4 对于(D)fx) -2)]<0, 即对x3,x4∈(2，+0)，都有[(x3-2)-(x4- 2)][fx3-2)-fx4-2)]<0, 当m>0时，f代x)的图象如图2， 所以y=f(x-2)在(2，+∞)上为减函数， 要使f(x)在区间(a,b)上单调递减， 所以y=fx)在(0，+∞)上为减函数， mm 则(b-a)m=2-4 = m 又f(1)=-2,f(m)>-2,f(x)为偶函数， 所以1ml<1,解得-1<m<0或0<m<1, 所以m的取值范围为(-1,0)U(0,1). 四、解答题 15.解：(1) )+() -0.1253 当m=0时f代x)的图象如图3， 5 1 7 2+2 此时f(x)在定义域内单调递增，无单调递减区间； 2=2 当m<0时，f(x)的图象如图4， .25 (2）l1og.9 +log2 3 logo.5 5 1 要使f(x)在区间(a,b)上单调递减， =le( 2 +log23-log2-154 则(b-a)mas= mm 综上，6-a的最大值为，放(D)错误 =ag}+lg3-,5 log2 5-log2 3 log2 3 -log 5 =0. 故选(B)(C) 16.解：选择条件①：B=xl-1<x<4,因为A∩B=☑， 三、填空题 当A=☑时，a≥10-a,解得a≥5， 12.必要不充分条件；13.5； 14.(-1,0)U(0,1). 当A≠0时，{05或a<5, 10-a≤-1la≥4， 5 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 解得4≤a<5, u(x)在(-1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 所以a的取值范围为[4，+∞). 因为y=logu在(0，+∞)上单调递增，所以函数g(x)的 选择条件②：CRB={xlx>6}, 单调递增区间为(-1,1)，单调递减区间为(1,3). 则B={xIx≤6}，因为A∩B=0, (2)因为不等式g(x)-m+3≤0的解集非空， 当A=0时，a≥10-a,解得a≥5， 所以m-3≥g(x)mn,x∈ [32] 当A≠0时， 口<5，无解， a≥6， 由(1)知，当xe[宁，2]时，函数g)的单调递增区间 所以a的取值范围为[5，+o). 选择条件③：B={xIx≥7}，因为A∩B=⑦， 为[兮小，单调递减区间为1,21， 当A=0时，a≥10-a,解得a≥5， 因为g(兮）=lbs是>1,8(2)=1，所以g(0n=1, 当4≠⑦时，0<5， 解得3≤a<5, 10-a≤7， 所以m-3≥1，即m≥4， 所以a的取值范围为[3，+∞). 故实数m的取值范围为[4，+0). 17.解：(1)函数f(x)为奇函数，定义域为(-∞，+∞)， 19.解：(1)因为y=f(x)为偶函数， 则f(0)=0,所以m=1,经检验知符合题意； 所以f(-1)=f1),即-2k=0, -1 解得k=0,经检验k=0符合题意. 3+1 3*+1 (2)由题意得，方程x2-1-k1x-11=0有且仅有一个解， 2 因为3+1e1,+0,则3+e(0,2), 显然，x=1已是该方程的解， 当x≥1时，方程化为(x-1)(x+1-k)=0; 所以函数f(x)的值域为(-1,1). 当x<1时，方程化为(x-1)(x+1+k)=0; (2)由题知：当(0，+0)时a·3-3>0 所以x+1-k=0(x≥1)有且仅有一个等于1的解或无 3+132+1 解且x+1+k=0(x<1)无解， 恒成立，则a>[] 又x=1时，k=2,此时x=-3也是方程的解，不合题意， 令t=3,t∈(1，+o), 所以关于x的方程x=k-1(x≥1)，x=-(k+1)(x< 1)均无解，可得k<2且k≤-2， 综上，k≤-2，即实数k的取值范围为(-9，-2] 2 (3)当xe[0,2]时， =（1+ +I/m 「x2+kx-k-1,0≤x≤1， f(x)= lx2-kx+k-1,1<x≤2， 又1+2 2 =2 因为y=f(x)在[0,2]上由两段抛物线段组成，且两个抛 t+- 1 t 物线开口均向上， 当且仅当t=1时等号成立， 所以最大值只可能是f代0)，f2)f1)其中之一， 面1>1所<2 又f0)=-k-1f1)=0f2)=-k+3, 显然f(2)>f0), 则a≥2，即a的取值范围为[2，+∞). 所以当k<3时，所求最大值为f代2)=-k+3; 1&解：)由题意可知-2a-2=1, 当k≥3时，所求最大值为f1)=0. la>0且a≠1， 解得a=3(负值舍去)，所以f(x)=logx 第12期2版参考答案 因为g(x)=l0g(x+1)+log(3-x), 专项小练一 所以+1>0即：>：1即-1<x<3, 1.B;2.B;3.BD;4.简单随机抽样；5.14. 13-x>0,lx<3, 6.解：总体中个体数较小，用抽签法 故g(x)的定义域为xI-1<x<3}. 第一步，将30个篮球，编号为1,2，…，30； 由于g(x)=log(x+1)+log(3-x)=log(-x2+2x+3), 第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的 令u(x)=-x2+2x+3(-1<x<3), 小纸条上，揉成小球状，制成号签； 则由对称轴x=1可知， 第三步，把号签放人一个不透明的盒子中，充分搅拌； 6 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 第四步，从盒子中不放回地逐个抽取3个号签，并记录上 对于(C):金奖人数为120×音=20（人） 面的号码； 第五步，找出和所得号码对应的篮球， 所以银奖和铜奖的人数和为100人， 故获奖同学中金奖所占比例不可能最高，(C)错误； 专项小练二 对于(D):高一年级获奖人数为30人，金奖人数为20人， 1.ACD;2.C;3.B;4.15;5.70. 故获金奖的同学可能都在高一年级，(D)正确。 6解：①样本容量与总体中的个体致的比值为品-0： 二、多项选择题 9.AC;10.BD;11.ACD. ②确定要抽取的各种百货商店的数目，大型商店为20× 提示： =2(家).中型商店为40×。=4（家），小型商店为150× 9.对于(A),根据抽样调查和普查的概念可知，调查一的 10 调查方式是普查，调查二的调查方式是抽样调查，故(A)正确； 10=15(家)： 对于(B),根据总体和样本的概念可知，总体是指该社区 ③采用简单随机抽样的方法在各层中分别抽取大型商店2 所有60周岁以上老年人的体重，样本是指抽取的该社区500名 家，中型商店4家，小型商店15家，这样便得到了所要抽取的样本 60周岁以上老年人的体重，故(B)错误； 第12期3,4版参考答案 对于(C),结合已知条件和样本量的概念可知，样本量是 500,故(C)正确： 获取数据的途径、抽样的基本方法同步核心素养测评 对于(D),由于检测一批灯泡的寿命，具有损毁性，故只能 用抽样调查，故(D)错误。 一、单项选择题 故选(A)(C) 1~4 BCAA 5~8 ADCD 10.设样本中高二、高三的学生人数分别为a,b, 提示： 则200：a:b=4:3:3,得a=b=150,故(D)正确： 3.①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差 样本容量n=200+150+150=500,故(B)正确； 异，用分层随机抽样比较恰当； 无法确定该校三个年级总的学生人数和该校高二年级总 ②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当. 的学生人数，故(A)(C)错误 4.根据简单随机抽样及分层随机抽样的定义可得， 故选(B)(D). 每个个体被抽到的概率都相等， 100 所以每个个体放捕到的藏率都等于品 10 1.依题意，抽样比为60+350+180=109 5.根据题意，高一学生占总人数比例为280=7 960=24 则甲应付8x560=51总钱故()正确： 则应抽取高一年级学生的人数为240×24=70， 7 乙应付9×30=32品钱放(B)不正确： 109 6.从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两 丙应付品×10=16总钱放(0)正确： 个数字，选出的编号依次为：12,13,40,33,20,38,26,13,89,51,03，， 剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，则选出来 显然510>32品>16的故(D)正确 的个体的编号依次为：12,13,20,26,03，…， 故选(A)(C)(D). 所以选出来的第5个个体的编号为03. 三、填空题 7.设A种型号的产品有2x件， 12.P1=p2=p3;13.6;14.5600. 因为A,B,C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5， 提示： 所以B种型号的产品有3x件，C种型号的产品有5x件， 12.在抽签法、随机数法和分层随机抽样中，每个个体被抽 已知可得光=2x++5 n 中的概率均为朵，所以P=h=P: 所以n=80. 1由题意可得2+品+子=高解得m=3, 2 8.对于(A):高二和高三年级获奖同学共120-120× 24 3 =90(人)，（A)错误； 则B地被抽取的数量是18×2+3+4=6， 对于(B):不能确定银奖和铜奖的人数，(B)错误； 14.设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲，T乙，T丙件产品， 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 则a:6:c=Tn:T2:T,即元= b 比例也应为5%，即100×5%=5， = 所以应抽取5名高收入者比较合理. T甲+T丙=2T2, 因为2b=a+c,所以 同理，应抽取15名中等收人者、80名低收入者， T甲+Tz+T丙=16800， 再对他们的具体收入状况分别进行调查， 所以T2=16800 =5600. 19.解：(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a, 3 b.c, 四、解答题 15.解：(1)抽签法。 则去A会场的学生总数为0.25(a+b+c), 第一步：将30名大学生随机编号，编号为01,02,03，…， 去B会场的学生总数为0.75(a+b+c), 29,30; 则对应人数如下表所示： 第二步：将30个号码分别写在30张外形完全一样的纸张 高一 高二 高三 上，并揉成团，制成号签； A会场0.125(a+b+c)0.1(a+b+c) 0.025(a+b+c 第三步：将30个号签放人一个不透明的盒子中，充分搅拌； B会场0.3(a+b+c)0.375(a+b+c)0.075(a+b+c) 第四步：从盒子中逐个抽取8个号签，并记录上面的编号， 则x:y:z=0.425(a+b+c):0.475(a+b+c):0.1(a 编号对应的大学生就是选出的大学生志愿者成员. +b+c)=17:19:4. (2)随机数法. (2)依题意，n×0.75×0.5=75,解得n=200, 第一步：将30名大学生随机编号，编号为01,02,03，…， 故抽到的A会场的学生总数为50人， 29,30; 则高一年级人数为50×50%=25（人）， 第二步：在随机数表中任选一个数作为开始，按照任意方 高二年级人数为50×40%=20（人）， 向读数，比如从第8行第29列的数7开始，向右读； 高三年级人数为50×10%=5（人） 第三步：每次取两位，凡是在01~30之外的数或者已读过 的数，都跳过去不做记录，依次可得到12,07,21,29,15,13,02， 第13期2版参考答案 09; 专项小练一 第四步：找出以上号码对应的大学生，他们就是选出的大 1.C;2.D;3.C;4.1400;5.48. 学生志愿者成员 6.解：(1)由频率分布直方图及频率和等于1可得， 16.解：(1)因为总体容量是50，样本量是10， 0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2.0×0.1+2.5×0.1 故可用简单随机抽样 +a×0.1=1,解得a=3.0. (2)设年龄在20~39岁之间应抽取x人， (2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为 则=。，解得x=2 0.2×0.1+0.8×0.1+2.0×0.1+3×0.1=0.6, 即年龄在20~39岁之间应抽取2人. 所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 17.解：根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为 0.6×10000=6000. n,则C产品的数量为(1700-m)件，样本容量为n-10. 专项小练二 根据分层随机抽样的特点可得产= n-10-130 1.B;2.B;3.ABD;4.70;5.173.6. 1700-m=1300, 6.解：(1)乙队测试成绩的中位数为72，众数为75. 解得m=900,n=90, (2)xm=63+66+72+73+76+82=72. 故补全后的表格如下： 6 产品类型 A B ￥-名(63-72产+(66-722+(2-72+(3- 产品数量/件 900 1300 800 72)2+(76-72)2+(82-72)2]=39, 样本容量 90 130 80 无2=62+6图+69+75+75+83=72， 18.解：可以采用分层随机抽样的方法 6 按照该公司员工的收人水平分成三层：高收入者、中等收 2=6[(62-72)2+(68-72)2+(69-72)2+(75- 入者、低收人者 72)2+(75-72)2+(83-72)2]=44, 高收入者为50名，占所有员工的比例为，00=5%，为保 因为x甲=之，屏<2，所以甲、乙两队水平相当，但甲队 证样本的代表性，在所抽取的100名员工中，高收入者所占的：发挥较稳定 —8 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 第13期3,4版参考答案 可得m+”=16,所以m+n=32, 2 用样本估计总体分布、用样本估计总体的数字特征 所以这6周的周慢走里程的平均数为 同步核心素养测评 11+12+m+n+20+27=17. 6 一、单项选择题 要使这6周的周慢走里程的标准差最小，需要(m-17)2+ 1~4 BADD 5~8 CAAC (n-17)2最小， 提示： 又(m-17)2+(n-17)2=(m-17)2+(32-m-17)2 1.由题可知，样本在[35,60]上的频率应为(34+28+15 =2m2-64m+172+152, +10+5)÷200=0.46. -64 2.该组数据从小到大的排序是：4,5,5,6,7,7,8,9， 故当标准差最小时，m=-2X2=16, 且8×0.25=2， 二、多项选择题 9.ABD:10.ABC:11.ABC. 则该组数据的25%分位数为3十5=5. 2 提示： 3.设该组小矩形的面积为P, 9.由频率分布表的性质得m=100-8-10-20-28-12 则其余n-1个小矩形的面积之和为9P -6=16,(A)正确； 则10P=1,P=10 1 因为样本中观看比赛不低于4场的学生的频率为：16%+ 12%+6%=34%, 设样木容量是，里=六，得=@ 所以估计高一年级观看比赛不低于4场的学生约为：1000 ×34%=340人，(B)正确； 4.由小到大排列的4个数据1,3,4，a,则a≥4， 样本中，观看2场的人数为50×20%=10人，(C)错误； 这4个数据的极差为。-1，中位数为3兰=子 样本中出现频率最高的为3，故估计高一年级观看比赛场 因为这4个数据的极差是它们中位数的2倍， 数的众数为3，(D)正确. 所以a-1=2×子解得a=8 故选(A)(B)(D). 10.将数据由小到大排列：8,9,12,12,13,16,16,16,18,20. 5.由题意结合频率分布直方图可得，第四组与第五组的频 率之和为(0.04+0.02)×5=0.3， 对于(A),=0(8+9+12+12+1B+16+16+16+18 第二组频率为0.07×5=0.35. +20)=14,（A)正确； 因为第四组与第五组共有150人， 对于(B)2=0(6+5+2x2+1P+3×2++6) 所以样木容量a=6智=50。 =13.4,(B)正确； 所以第二组人数为500×0.35=175， 对于(C),因为10×85%=8.5，所以85%分位数为第9个 所以第二组中男性球迷人数为175-75=100. 数据，即18，(C)正确： 6.由条形图得演讲人数为30，由饼状图得演讲人数占比 对于(D),16出现了3次，12只出现2次，所以众数为16， 15%,因此选取的总人数为说=290。 (D)错误 故选(A)(B)(C). 由饼状图得绘画及合唱人数和占比为1-20%-20%- 11.甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的 15%=45%,人数和为200×45%=90， 平均数相同，所以(A)正确； 由条形图得合唱人数为70，所以绘画人数为20. s=191>110=s,所以甲班成绩不如乙班稳定，即甲 7.因为男生30人，女生20人，则抽取的时候分层比为3：2， 班的成绩波动较大，所以(B)正确： 即10个人中男生、女生分别抽取了6人和4人. 甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位 这10人答对题目的平均数为六×(6×10+4×15)=12. 数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，所以 (C)正确： 所以这10人答对题自的方差为品×[1+(10-12)]+ 由题表看不出两班学生成绩的众数，所以(D)错误. 故选(A)(B)(C). 0×[0.5+(15-12)2]=6.8, 三、填空题 8.由这6周的周慢走里程的中位数为16， 12.183.5;13.9.5,28.5；14.29. 9 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 提示： 因此，可以规定如下：若要给至少80%的员工年度考评评 12.数据从小到大排列为：85,86,88,89,90,92,94,98， 级为通过，应将标准设定23辆，或22辆，或21辆. 8×50%=4,50%分位数为89+90=89.5， 18.解：(1)由频率分布直方图可得，(0.04+0.08×2+ 2 0.12+0.16+2a+0.42+0.50)×0.5=1, 8×80%=6.4,80%分位数为94， 解得a=0.30. 则这8人成绩的50%分位数和80%分位数的和为183.5. (2)由频率分布直方图知，该区100位居民月均用水量不 13.记20位病人的平均等待时间为x,等待时间的方差为s2, 低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 则=2六(25×4+7.5×8+12.5×5+17.5×2+225 由以上样本的频率分布，可以估计70万居民中月均用水 ×1)=9.5, 量不低于3吨的人数为700000×0.12=84000. 2=0[(2.5-95)2×4+(7.5-9.5)2×8+(2.5 (3)因为前6组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.42 +0.50+0.30)×0.5=0.88, 9.5)2×5+(17.5-9.5)2×2+(22.5-9.5)2×1]=28.5, 前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.42+0.50) 所以估计该医院急救中心病人的平均等待时间为9.5，病 ×0.5=0.73, 人等待时间的方差为28.5. 所以2.5≤x<3, 14.假设五个数据按照由小到大排列为a,b,c,d,e, 由0.30×(x-2.5)=0.82-0.73,解得x=2.8, 因为这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7， 因此，估计月均用水量标准为2.8吨时，可使82%的居民 所以c=6,d=e=7, 每月的用水量不超过标准。 所以最大的三个数的和为6+7+7=20， 19.解：(1)将甲运动员的数据按从小到大排列如下： 因为两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等， 445677891010 最大为4和5，所以这五个数的和一定大于20且小于等于29， 因为85%×10=8.5， 则他们投中次数的总和最大是29， 所以第9个数据是85%分位数， 四、解答题 所以甲运动员样本数据的85%分位数为10. 15.解：(1)由频率分布直方图可得(0.010+2a+0.025+ 0.035)×10=1,解得a=0.015. (2)期=04+4+5+6+7+7+8+9+10+10)=7， (2)由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀” 2=06+6+6+7+7+7+7+8+8+9)=7, 的频率为0.015×10=0.15， 则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15， 品=0[4-7)2×2+(5-7)》+(6-7)2+(7-7)2 故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生 ×2+(8-7)2+(9-7)2+(10-7)2×2]=4.6, 人数为1200×0.15=180 16.解：(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15, 元=6-7+6-7)产x2+7-7P×4+(8 故a=0.35,b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. 7)2×2+(9-7)2]=1.2. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3 (3)由(2)知，5>2，甲=之 ×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 平均数 方差 命中9环及9环以上的次数 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4× 甲 7 4.6 3 0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6. 乙 7 1.2 1 17解：(1)将20个样本数据从小到大进行排序如下所示 (ⅰ)因为两名运动员射击成绩的平均数相同，且> (单位：辆)： 2,则乙的成绩比甲稳定； 21222223242526272828 (ⅱ)因为两名运动员射击成绩的平均数相同，命中9环及 30323333343435383839 9环以上的次数甲比乙多，所以甲爆发力更强： 由于20×90%=18是整数，所以第一个临界值为有序样 (ⅲ)乙成绩在平均数上下波动；而甲处于上升势头，从第 本中第18和19两个数的平均数，故为38. 六次以后就没有比乙少的情况发生。 因此，可以规定如下：若需要有10%的优秀员工，应将标 故确定人选时，甲更有潜力 准设定在38辆. (2)由于20×20%=4是整数，所以第二个临界值为有序 样本中第4和5两个数的平均数，故为23.5. 10本版责任埔锡：朝晓红 极纸端抗质量反情电话 310XO30 02515271268 帽纸发行质量反墙电话 数理相 年9月19日·显期五 高中数学 第 12期 总第1156 北师大 0351-5271248 必修第一册 孙子定理 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 敛理报社辅出版 社长：徐文 国内统一连续出 版物号：CN 14 0707F)邮发代号：21-16 .400.500.600.700.800,900.1000( 我国古算 解：第二次抽取时，余下的每个个体被抽鼠 地取2D份进行调密分析，以便促进数学，请你福 《孙子算经》中.有这 简单随机抽样 ，即m-1=65,则 忙设计 个合适的抽样方案，并写出具体的 作步骤 样一个问题：“今有 物不知如其数，三三 题型展播 解：总体 样本容量小，©签法 所以在整个抽样过程中，每个个体被抽取 步骤如下： 13.00 数之剩二，五五教之 0江西 到的可能性为子 1号：先将500 份试卷细号为1,2,3,4 ,500: 制三，七七数之斜 下列抽取样本的方式是简单随机抽 二、抽签法的应用 ②制签：好形状，大小相同的号签，分圳 二问斯儿何？“问题 样的有 例3 下列抽样试验中，适合用抽签法的是 标上这500个数： 颇有猜注味解法 ① 无限多个个体中抽取50个个体价 为 ③搅匀：将这比签放在 一个盒子，选行均 样本 A)从某■ 生产的3000件产品中抽取600 也很巧 此有 2子有00单从中反0支进行 件进行质量检 ④抽签：从装有号签的盒千里连续抽取20 多有趣的别名 检，在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再 《B)从某厂生产的两箱（每箱5外）产品 个签，然后对这20个签所构成的样本进行分析 惠谷算““秦王陆 心箱子里： 中抽取6件进行通量检验 进而决策 点兵”“剪算术” ③从50个个体中一次性抽取5个个体作为 (C)从甲，乙两厂生产的 、随慎敬法的应用 血品中抽取6件进质量检验 例5总体由编号为01,02，，1920的20 培算”，“大求 A10 《B)I个C)2个 《D)从 的3 件 品中抽取10 个个体组成利用下面的随机数表取5个个 术”等等 明代数 187) 解：①不满足样本的总体效有限的特点： 件进质显检 体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第 学家程大位在共 2不满足不放抽取的特点： 6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选 《算法统常》里用请 ③不满逐个抽取的特点 不活宜用抽签法： 出来的第5个个体的编号为 方以①23③都不是简单陆机抽样 《B)中总体容量较小，样本量也较小，用 7166520落014209280仙8 状概了达个问起 故选(A). 抽签法： 24 9239520624的的84动 的解法 例2 利用简单随机抽样的方法，从个个 《C)中甲，乙两 牛产的阿箱产品有明显 (A308 (B)07 (C)2 (D)01 三人同行七十 m>14)中抽取14个个体.若第二次拍取时. 区别，不能用抽签法： 解：从随机数表第1行的第5列和第6列 五树梅花廿一枝 余下的每个个体被抽取到的概率为 (D)中田然样本量较小，但总体容量较大， 字开始由左到右依次选取两个数字， ,则在整 七子团国月正半 不适宜用抽签法 则选出的数字为08.02,14.07.01 抽样过程中，每个 个体被抽取到的 和性性为 故选(B) 故选出的第5个个体的号为01 例4 期时 考试后 某校欲从 00份 它的意思是 (4)从容器中每次地取 号盗，连续抽取 (3) 用3除所科食数来 在各层分别用抽签法或随机数法抽取 确选择 ,量上的的， 本 上70，加上用5除新 (5)得号码对应的3辆汽东就是要 中 (4》综合每显抽样，组成样水 料会数来上21 的对象 评注：当体向差并明的分组成时 如上用7除所得金 评注：当总张中的个体数较少时，选择使用 简单随机抽样，常用的简单随机抽样有抽签法 款上15.站减去 例3某杜区有 家庭其中高收入家 和随机数法。简单随机物群中每个个体楂取 225户，中等收人家庭400户，低收人家庭75户 105的待敛，这样便 的能性都等，均为 为了调资杜会购买力的某项指标 ,要从中抽取 解所桌之。列 总康中 个样本量为100的样本，记作①：某中学高二 例2…个单位有工500人，其中不到35 算人是70x2+21×3 年级有12名 球运动员 ,要从中选出3人调查 (1)y 岁的有125人.35岁至49岁的有280人，50岁及 投蓝命中率情况，已作②.为完成上述两项 15×2-2x105=23 个个 总分或 以上的有95人，为了了解与身体状况有关的菜 样，测应采取的抽样方法是 1852年，《孙子 谢指标，要从所有职工中抽取1名职工作为样 分析：①中总体是由差异明奚的几个部分 元解分 本，若职工年这项指标有关，应该怎抽取？ 耳经》传入欧洲， 组成，应采分层随机轴样：②中体容量和 分析：由于取工年龄与项指标有美 而年 们发现孙子的解油 典型例题 龄由差异明显的几年分组成，所以象用分层随 要从某汽车厂 (A)①简单陆机抽样，②分层随机抽样 与洲著名学家 的0领车中打 样 ()①分层随机抽样，2简单随机抽样 高斯的定理是 曲取3辆进行薄试，清选择合适的抽样方法，井 解：用分层机抽样来抽年本， (C)①简单陆机抽样，②简单插机控样 写出抽样过程 而中国人的 (1)分层，按年龄将500名积工分成 分析：由于感中的个朱数为30.放使用 不到35岁的工35岁至49岁的职工，50岁及 (D)①分层随机抽样，②分层随机抽样 完委早一千多年 解：对于①，总体由高收入家庭，中等散 法，样时将30汽车编号为1,2，…，30，轴 以上的职工. 庭和收人家丝差异明显的三分组成， 于是大家称之为 3个然号，对应的汽车姐成样本 (2)确定每层抽取个体的个数抽样比 所查的指标收入情况密切相关，所以应采 中国剩金定堂" 解：应使用抽盗法，抄重如下： (1)将30辆车编号，号码是1,2,3，…，30 00 =,测在不到35岁的职工中抽取125×。 用分层随机抽样： 补子剩金定理” 对于②，总体中的个体数较少，且所测查内 (2)将1~30这30个编号写到大小形 =25(人)：在35岁至49岁的职工中抽取280× 容对2名被调查人员是没有明显整异的，应乳 都相同的号签上 =56(人)：在50岁及以上的积工中抽取95× 用后单蒲羊」 (3)将写好的号签放人 一个不透明的容器 评注：平清两种物林方法的用范国和实 =19人1 中，并搅拌均 标情况是灵活这用梅方法的射提 N A4A 5.双自用用行牌滤摄入绿品刷0.01.02 (C)联头球 (c]4 (7兴 (D)30 >ot 1+- 二 + 877236 270HM62192562564B6MY 66175168 : 2927 二 B)808 cl22 (C)6 (D)2012 - () 6.总体由编号为01.2， 30的0个个体组成利用所给的面机 1,在（九章算术）第三章“衰分 中有如下问圆：今有甲持钱五 获取数据的途径、抽样的基本方法 数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由 百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，风三人俱出关，关税百钱 左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的跑号为( 欲以钱多少出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350 同步核心素养测评 随机散表中第1行至第2行的各数如下： 线.丙持0钱，甲，乙，丙三人一起出关，关税共100线.要按期各人号 17121340332038261389510374177637 钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是 。数理报杜试研究中心 130 077421193056 62183735 96835087 (A)20 (B)26 (C)7 (D03 第I卷选择题（共58分） 7.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5 (A)甲应特51费线 一，单项迭择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 见用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中A种 1,下到情况适合用抽样调瓷的是 号的产品有16件，则样本容量■ (A)调查某化工厂5个村生是否受到污染 (A)40 (B)60 (C)80 (D3100 (C)内应付16钱 (B)测查某批次汽车的抗撤击佳力 8.某校读书节期阿，共10名同学获奖（分会，银、例三个等线） (D)三者中甲付的钱最多.丙付的钱最生 (C)调查某班学生的身高情况 从中随机神取24名同学参加交流会，若按高一，高二、高三分层随机 (D)学核招聘.对应聘人员进行面试 抽样，则高一年级需抽取6人：若按获奖等级分层随机抽样，则金奖我 第Ⅱ卷 非选择题（共92分】 2,从某抢参加计算机水平测试的500名学生的成铺中抽取20 得者需抽取4人，下列说法正种的是 高中数学 高中数学·必修第一册（北师大版同步核心素养测评 名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，2名学生成绩的全 (A)高二和高三年级获奖同学共80人 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共5分 (B)获奖学中金奖所占比例一定最低 12. 一个容量为N的总体抽败容量为”的样本，用抽签法，流机 (A)总体 (C》获奖同学中金奖所占比例可能最高 必修第 数法和分层啦机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中把个个体被 (B)个体 (D)获金奖的同学可能都在高一年级 中的概率分别为1,则P的大小关系为 (C)从总体中所取的一个样本 二、多项选择愿：本题共3小题，每小题6分，共18分 13.某连超市在A,B,C三地的数量之比为2：m:4,观用分层新 D)总体的容量 9.为了了解某社区60周岁以上老年人的体重，进行如下查 抽样的方法抽取18家该连超市进行测酥，已知A被抽取了 3.①一次数学考试中，某球有12人的成绩在00分以上，0人的 调查一：对该社区所有60周岁以上老年人的体重进行调疫： 4家，则B地被抽取的数量是 成轴在90-10分，12人的成鳞低于90分，现从中抽取9人了解有关 调查二：对该社区部分60周岁以上老年人(500名)的体重进有 考试圆日难度的情况：②运动会的工作人员为参加4×100▣按力圈 14.一工厂生产了1680件某种产品.它门分来白甲.乙，丙3 条生产线为检藏这批产品的质量，决定采用分层随机抽样的方法进 的6支队伍安排跑道，针对这两件事，恰当的抽样方法分别为( 关于上述测查，下列说法正确的是 行抽样.已知从甲，乙丙3条生严产战抽取的严品个数分别是，b,,且 一册（北师大版）同步核心素养测评 (A)分层随机抽样，简单统机抽样 (A)两查一是普查，调查二是抽样州 2b=n+e,Z生在线生了 件产品 (B)而单陆机抽样，简单随机抽料 (B)调查二中的总体是指该社区抽取的500名60岁以上老年 (C)简单陆机抽样，分层陆机抽样 四、解答题：本题共5小题，共77分。 的述 (D)分层随机抽样，分层随机抽样 15,(13分)某高校运动会期问，从学院报名的30名大学生中 (C)两查二中的样本量是500 4,某校要从高一，高二，高三共219名学生中选取5名组成志 选8人扭任志愿者，请分别用抽签法和陆机数法设计抽样方 团，若先用简单随机抽样的方法从29名学生中除19名，再从剩 (D)检测一批灯泡的寿命宜采用调查一的调查方式，以使收集的 发据更精确 的200名学生中按分层随机抽样的方法抽取5名，则悔名学生人选的 可能性 10.某学校为了解学校学生视力健康状况，降低学生近视率，增强 学生爱服护银意识，对三个年级的学生棍力健康状况进行.已知 (A)都相等目为品 ()花相等且为而 高 高二高三的学生人数之比为4：3：3，现用分层随机抽样方法 (C)不完全相等 (D)均不相等 抽取一个容量为n的样本，样本中高一年级学生人数为20，则 5,某学校有高中学生960人，其中高一年级高二年级高三年级 的人数分期为280.320.360.为州查学生参加“社区东服务”的意 (A)该校三个年级心的学生人数为5000 向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，那 (B)样本容量m为500 么应抽取高一年级学生的人数为 (C》该校高二年级总的学生人数为1500 (A)70 (B)80 (C)90 (D)100 (D)样本中高二年级学生人数为150