第10期 函数应用-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

送分装光米心密（阅汁海共）串|漆长·妹婆开副 本版责任埔锡：朝晓红 州纸端城质量反铺电话 02515271268 兹理括 2025 年9月5日·星期五 高中数学 推纸发行质量反情电话 10期总第1154期 北师大 151-5271248 必修（第一册 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办效理报社编辑出版 社长：徐文信 儿何图形中 国内统一连续出版物号：CN140707NF)邮发代号：21-167 的哲理 方法指津 所以)在(-子)内有难 一的零点 函数零点是我门学习的重点，特别是确定 水平线 数取值范围的函数零点问，是高考考查的 判断 即八x)在(-1,1)内有唯一的零点.故选(C) 热点.下面举例解析这类问圆的常见情形 出一个人本相 三、图象法 地求一条水平线 函数 数的 一，已如零点存在，求参数的取值范国 例3函数x) -x的零点个数为 时，他体险到了 例1已划函数)=2mx+4,若在区 内在感， 种 方法 -2,D上存在，使八》=0，求实数m的取 种理智 四川 (A30 (RI (C)2 (D)3 吉节围 一，定义法 解：对参数m进了讨论，若m=0(x)= 4.不存在等点，与题意不符.故m*D 人要追随 例1已知函数八x)= [+2,x≤0， 毒直线，是由于 种 g,>0 nx,在同一直角坐标系 要在区间-2,0]上存在使八x》=0 数y=1八x)1-I的零点个数是 内作出它们的图象，如 则需要满足八-2)·九0)写D, 狂喜和情的驱使 战必频中断他正雪 (A)川 (B)4 (C)3 (D)2 右图所示，观察图象可 即(-4m+4)(0+4)写0，解得m≥1 解：当x≤0时，则1x+21-1=0.解得x 得y=与y=血的图象有 个交点，即方程 所以实数m的取值范围为[1，+x). 的现看方向，而举日 =-3或x=-1:当x>0时，则1gx1-1= 的方陆巧 天 nx=0有一个根，故x)有个等点，故 直线 0,解得x=。成=10 18.(17 向两边延仲，无 察上，数y=1八)1-1的零点个数是4， 选(， 巧用零点口 始无修，无迹无际 四判新式法 流选(B). 例4已二次函数真x)=2+x+c中 代表看紧斯、别动 二，性质清 例2设函数x)■+解+e是[-1，] 若：>>c,且八1)■0，则函数的零点有 求解参数问题 一往无前的力 个 山东薛 由线 轻快流格，化加 上的增函数.且/-)·宁）<0.则面数 解：由1)=0提m+b+=0.而a 二，已如零点个数，求参做的取值范围 x)在(-1,1)内 例2若函数八x)=a'-x-a有一个零点 条静静流淌的小 (A)可能有3个零点(B)可能有2个零点 所以>0,e<D,即ae<0 则▣的取信范围是 溪：蜿蜒，衡折， (C)雌一的写点(D)夜有零点 令r3++c=0,则△=-4ac>0 (A)(1,+✉ (B)(0,1 人生历程的轨连 解：因为x)在-1,1门上的图象是连续不 所以方程a2◆缸+c=D有两个不相等的 (C)(0,+x) D10 着能年细不德的身 断的，且/(-)】 实数根， <0x)在[-1,1 解：令f八x)=0,即a-x-n=0,得0= 影，却登大戒奔腾洗 以二次数)r2++e有两个零点 的大河和博大 上是增函数， 故答案填2. 当：1时，在一直角坐标系内作出函数 深的海洋」 =a,y=+a的图象，如图I所示，由图观别 (C),(D)中零点两侧数估异号，所以可采用 得原方程有两个解，从而除(D). 知识的零提，生 法求零点，故选(B) 活的积累，都是沿着 学会 当0<a<1时.在同一直角坐标系内作出 应用二、运用二分法求零点 了■4'，y+的图象，如图2所示，由图 娜晚线上升的 例2借助计算器或计算机用二分法求方程 搞定二 =(-1的近敏解（精残废0） 死察得照方程有一个解 又当a=1时，原方程为1-x-1=0,解祠 从各个方向看 解：如右图所示由函 =0.有一解 ()命( (1)) 19.(17 是同一个形，有 宁海 其完美的对佑性。使 数y=gx与y=(分) 放达() 种方法 人产生件宽长无炔 对干在区间[，]上连续不断且(a) 1的图象可知，方g= 的美感和向，难任 八6)<0的函数y=八x),通过不断地把函数 (兮)广-1有唯一实数解 有圆满、国、通 x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两 且在区间(0,1)内 圆场之说和“花好月 个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的 方法圆做二分法 设(x)=gx- +1.则代1》= 三，已如零点所在区同，求参的取值范 圆的成语是“图 滑“一词，却为人们 两大应用 0,用计算器计算，列表如下： 倒3已知函故x)=32-5+:的两个 虚用一，二分法的使用条件 零点1，南满足1e{-2,0)1e(1,3).求实 所不 等三角形 例1下列函数图象与触均有交点，其中不 数a的取情范 0.1 =:球1 用二分法求图中函数零点的是 解：依题意，作函数x)=3x2-5+世的 有机实、深厚的 0205 5 05 大致图象，如图3所示 基础识功盛，才魏 -2)>0 r2+10+a0 (.50625)0623 0.0730 05 构建起史端的科杜 0)<0. a<0 大度 所以xe(0.5,05625) 口 即 (D 由于区间(05,055)的关度 r1)<0. 3-5+<0 解：利用二分法求函零点必满足零点 10.5625-0.51=0.0625<0.1,所以方 3)>0. 27-15+a>0 可压数值异号.在选项(B)中，不满足八：》 6)<0.不能用二分法求零点，由于选项(A). g= -1的近1解可取为0.5625 解得-12<a<0 故a的取值范国为(-12.0。 2 素养专练 数理极 相任敏舒·名攀据1审（芹但K验）郊紧妆标需社 专项小练一、利用函数性质判定方程 专项小练二、利用二分法求方程的近似解 专项小练三，实际问题中的函数模型 解的存在性 1.下列数图象与x轴均有公共点，其中能 1,在环境检刹中人们常用油强级上= x>0 用二分法求零点的是 1.定义符号函数知：■ =0.则为 10g乙表示油音的强弱，其中1代表声强（华位 1,x<0 W/m》,。为基础理，其位约为102W/m2, x=5x-6的解是 环不境检点检测到某一时段的声强约为10 (A12成-4 (B)3成-6 W/m,则这一时段的声强级的为 (C)2或3 (D)2成3或-6 (A)55(B)65 (c)75 (D)85 2.玉数八x)■1gx-6+2x的零点一定位 2.(多选)从今年起x(re〔1.8]，xeN)年 (金的)经集 于区间 内，小李的年禁（万元）与年数x的关系是y■ (A)(4,5 {B)(3,4) +0.2，小马的年就y(万元)与年数的关系是 (C)(2.3) D)1.2) =0.5+1.2',则下列学斯正确的有 3,（多速》下列函数不存在霉点的是( 2(多这)用二分法求方程)=0的近 (A)5年后小马的年超过小李 (A)/八x)=2x+4 解时.第一次所取的区间是(-2.4)，则第三次所 (B)6年后小马的年薪超过小车 ()x)=1x 取的区间能是 (C)小马的年比小李的增长快 (C)/Nx)=1lg,x1+1 《A)1,4) (D)￥)+1，年≥0， (B)(房) (D)小巴的年糊比小李的增长慢 3地震震级是对地震本身能量大小的相对 lx-1. ￥<0 (c)(-2号) (D(-】 量度，用M表示，M可通过地震面波面点运动 4.已知函数)=x2-2mx+m+2(G 大值(A/T)进行测定，计算公式如下：M= R),若x)有两个零点，且在1，+)上 3.已知数x)=3-x-4在区间1,2 g(/T)+1.66g+35(其中△为震中距) 单调递增，则实数m的取值范国为 上存在一个零点，用二分法求该零点的近鼠值 若某地发生6.0级地震，测得(A/T)=0.001 5,设关于x的一元二次方程2+x1 其参考数据如下1.600)-Q20(1.5875 可以斯断震中距大钓为。 (参考数搭 0(m>0)有两个实根1， -0l33.1.5750)=0.067.L.5625) 201.24,5=1.65) (1)若1=2x:,求m的值： D.0031.5562)m-Q.0291.5500) (2)证明：1<-1且<-1 0,060,据此可得该零点的近威值为 数理报杜试题研究中心 精骑到001) 参老答案见下期 露)肝慧参寿答名 a3(余1远a度1.a的值为L. 解：(1取e1),且 专项小炼一 当e年e时，白，。g性一，不符合： ,)--21-3-1腻与-2-+3 L42.A3.AC4o5-1 &解：61)原式-4+3-l425)-4,3-2-5 - 24高-h2e-2+h 17.解：1x)■(le-2he-)心0，◆teb场 原有式a0为4a21(:1》c0. =a0-1-m诗+3-h3'.2 解得1<1<2，即1《响《2，所似2c<4, -2-3+3-21小e 以不等式有)c0蛇辉为1x12(,《4引， 2)当x=【4,6j,令：=名，时得1▣2,4 原不等式可化为-3#+2产时对于e2,4能成 专项小核 9)=-+8 .D12D43ACD4.2157 &解1e》he·1. 时内州可回y=:-5+2在1。住，A上师i年置 元-15m-(-1)2+2【-1》+2m- 当0。-1时y▣1,1+3=5： (2)当1<·国+时，=n:为增整 t》=和】= 以此可需一·子亲和即可时，用角至寻 当号时-子+3， 与x61月司厘-+名+2m-《x-1+3将致 》一“1)-3 散实数怕取第泡调足(“子】 当24235y 同为3>1，新队)的品作为王 草)在区闻子4上均城为号5 第身潮3,4版参考布率 当c0时，->0e(-》=(- ·)14) ()数=(-2)+-在2，x上 (4) F7)14) V=N(d) ,单项选 可为3)为0敌， 1 -4 ADAA 5 8 CDAD 所似当x《0时，以)“g(-)·-%《-》 二，多项选排 又阴为《是定文城在取上的如两数.所过(0)=0， 生AD:AG:,C 宗上所述，数)购第析式为 三，填空酒 年>0. 2280,/而1u[0/而，+x:44[4.+x为 多重0 限（2-++3=0区可2灯上 图，解落题 l-g(-,年c0 数 5解：)南Wg可如g=,2, 2)当1≤G4时是>0，片>0， 4-6-g子g2-1--1 瑞以（会）f子）"子《 tg,则t[12,4+1f+ 2)渊为“3 (金)一钱 ()4) )-64)三(--2 () E11) m以学+9-+4,44=9+9+4+4 =，当1G主4时，01G2, 函数)+三在间1，上单调详城，在方2)上师 4+ 设10-1-a1-22户-〔a+2加+2a,1#0,21, 因为0a，以次数识 61)令1-2-02 当=生2.12明，)恤为生） 又1=4A(-2E2=子 折以a1-t+三m2F4.即a12F-13j。 D(V) .000) 1装2(3) 放数4购取值拉国2不-1,3高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 数理括 答案详解 2025~2026学年 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期(2025年9月) 第10期2版参考答案 专项小练一 因为y=2和y=-(3) 在R上单调递增， 1.D;2.C;3.CD;4.(-∞，-1) 5.(1)解：根据根与系数的关系可得 所以x)在R上单调递增，且)=1-(3）=-1 x1+x2=- 1 <02)=8- 分°=7>0 又因5=2，所以3=-2号=0 所以f(1)·f2)<0,所以f代x)在区间(1,2)内存在唯一 m 零点，故x所在的区间是(1,2). 消去与得品=片解得网=合经检验满足 m 4.设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充 1 这种药，才能保持疗效， (2)证明：依题意4=1-4m≥0，解得0<m≤4， 则2500×(1-0.2)=1500，整理得0.8=0.6， 所以函数f代x)=mx2+x+1的对称轴为x=- 1 ≤-2， 两边取对数得lg0.8=lg0.6,即xlg0.8=1g0.6, 2m 6 又因为f代-1)=m>0, 所以x=g0.6 g10 _g2+g3-1≈2.3， 所以函数f(x)的图象与x轴的两个交点都在点(-1,0) 1g0.8 8 1e 10 3lg2-1 的左侧，即x1<-1且2<-1，得证。 即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药. 专项小练二 1.C:2.BD:3.1.56. 5.令fx)=lgx-3元 1 专项小练三 因为函数y=g,=一分在(0，+)上都是蜡数， 1.C;2.BC;3.2046. 第10期3,4版参考答案 所以函数)=le,一女在(0，+)上是增函数， 函数应用核心素养综合测评 f)=-号<02)=logs2-石= >0, 6 一、单项选择题 1~4 CCBA 5~8 BDBA 所以两数)=1g一在区间1,2)上行唯-零点， 提示： 1.由题意可得函数的定义域为(0，+∞)， 所以用二分法求方程1g:x-六=0近似解时，所取的第 因为)=- 一个区间可以是(1,2) -<0,f2)=ln2-1<0 f3)=ln3- 1 6由愿意得=21，=315， >0,由函数零点的判定定理可知，函数 则2.1lnN=3.15lnW2, f孔x)在(2,3)上有一个零点 即2nN=3nN2,所以W2=W 2.根据表中数据，画出图象如图1个 7.由已知得a=1og23,b=log2,且a>1,0<b<1,于是 所示： 32 函数f(x)=a+x-b为单调递增函数.可得f代-1)=log2- 通过图象可看出，y=log2x能比较 012345678x 1-l1og=-1<0f0)=1-log>0,所以函数的零点在区 近似的反映这些数据的规律 图1 间(-1,0)内，故选(B)· 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 8.依题意知y=g(x)-t有三个零点a,b,c, 若f1)>0,则由1)=f(入)+， 即x(x-4)2-t=(x-a)(x-b)(x-c), 展开对应项系数相等得 可得f(）=D-A x-8x2+16x-t=x-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x -abc,所以a+b+c=8. 由（只）=()+A, 二、多项选择题 9.BC;10.ABD;11.ABD. 可得/()=f(大)-A=)-2x 提示： ()=f()-A=fI)-从，keN, 9.由题可知f1.375)<0,f(1.4375)>0, 故方程的近似解在(1.375,1.4375)内， 当k趋近正无穷时（什）趋近负无穷，所以）存在零点 由于1.4375-1.375=0.0625<0.1， 综上所述f代x)存在零点，故(D)正确。 故(1.375,1.4375)任意数都可作为近似解， 故选(A)(B)(D) 故选(B)(C) 三、填空题 10.由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为 0.5元，故(A)正确； 12(-,-)u(分+）：1B4: 设甲厂的费用y,与证书数量x满足的函数关系式为y1= 14(-40小 +6,代入点0,1).(64，可得白=L 解得k=0.5,b=1, L6k+b=4, 提示： 所以甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系式为y 12.由于给出的是一次函数形式，通过数形结合分析应满 =0.5x+1,故(B)正确； 足条件f(-1)×f1)<0曰(-5a+1)(a+1)<0=(5a- 当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个 1 1)(a+1)>0=a>5或a<-1. 为3÷2=1.5元，故(C)错误； 13.当0≤x≤1时，由fx)≤0.02得5-2≤0.02，解得x 当x>2时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n, ≤2+log0.02=log0.5<0,舍去；当x>1时，由f八x)≤0.02 代入点23,6,4，可得②车n解得m=子n l6m+n=4, 得号×（兮》≤02，即3≤0.1，解得≥1-g0.1=1 多，所以当×>2时与之间的函数关系式为=子+ +l0g10,因为3<1+l1og10<4,所以此驾驶员至少要过4小 时后才能开车. 多，放(D)正确放选(A)(B)(D). 14.根据题意可转化为满足1log2x1<a(x+1)2+1的整 11.f2x)-fx)=2f2）-f1)=2,f1)=0, 数x的个数为1. 则f2)=2,故(A)正确； 令f(x)=1log2x1,g(x)=a(x+1)2+1, f代Ax)-f(x)=A,即log号(Ax)-log号x=入，即log号A=入， 当a>0时，作出函数fx)=1log2xl和g(x)=a(x+1)2 根据y=x与y=lg号x的图象知方程有唯一正数解，故 +1的图象，如图2所示， (B)正确； g(x)=a(x+1P+1 fAx)-fx)=入，即√x-√E=A, 当x=1时，W八-1=入，即2+入+1=0， x)=llogzxl -101 由4=1-4=-3<0，可得方程无实数解，故(C)错误； 图2 若f(1)=0,则1即为fx)的零点； 数形结合得，代x)<g(x)的解集中整数的个数有无数多 若f1)<0,则f(A)=f1)+入， 个，不符合题意； f(X2)=fA)+A=f(1)+2入， 可得f)=f代A-)+入=fI)+入，k∈N, 当a=0时，g()=1,所以11g<1,解得时<x< 又入>0，故当k趋近正无穷时f入)趋近正无穷， 2,只有一个整数解x=1,所以a=0符合题意； 所以f代x)存在零点； 当a<0时，作出函数f代x)=1log2xl和g(x)=a(x+1)2 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 +1的图象，如图3所示， 《②)由)知=a+l加s名=-10+10s品所以要 f八x)=log2xl 使飞行速度不低于20m/s,则有u≥20，所以-10+10log0≥ Q gx)=a(x+1)P+1 20,即10号≥3，解得号≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为 -101N 图3 赶路程，飞行的速度不能低于20/s,则其耗氧量至少要270 要使1lo2x1<a(x+1)2+1的整数解只有一个， 个单位 只需满足(1)>0， 18.解：(1)当a=1时f(x)=2·4-2-1, f2)≥g(2), 令f(x)=0,即2·(2)2-2-1=0， 即4a+1>0结合a<0可得- 1 l1≥9a+1, 4<a<0. 解得2=1或2=-（合）， 所以x=0,所以函数f(x)的零点为x=0. 综上，实数a的取值范周是(-子0] (2)若f代x)有零点，则方程2a·4-2-1=0有解. 四、解答题 于是2a==(分）广+（任）】 15,解：当N=20时，1=-14g1-0) =-14g子-14(g7-2g3) =[(份)广+] ≈-144×(0.845-2×0.477) 因为（宁）广>0，所以24>寸-子=0.即a>0 =15.696≈16（分钟）， 所以实数a的取值范围为(0，+∞). 当N=40时，4=-14ls(1-0）) 19.解：(1)由题意，函数f(x)=x-3mx+n=(x-1)(x -2),所以m=1,n=2, =-141g9 =-144(lg5-2lg3) 因为f(x)-k>0在x∈[0,5]恒成立， ≈-144×(0.699-2×0.477) 则<)=2-3x+2=(s-是)-子 =36.72≈37（分钟）， 所以打字水平达到20字/分、40字/分所需的学习时间分 当=号时)有最小值-子 别为16分钟，37分钟. 16.解：因为4=(3a-2)2-4(a-1) 所以长的取值范围是(，一) =9a2-16a+8 (2)由题意，函数g()==￡-3+2=+2-3， =(3a-+号>0， 所以若存在满足题意的实数a,则只需f1)·f代3) 可得(x)=8(2)-1…2=1-2+是-3， =(1-3a+2+a-1)(9-9a+6+a-1) 因为F(x)在x∈[-1,1]上有零点， =16(a-(a-子≤0 即()=1-2+子-3=0在[-1，上有解， 即(a-1)(a-子)≤0，得1≤a≤子 2品多+1在e[-1,山上有解 即r= 2 故存在满足题意的实数a,其取值范围是[1，子] 令=，因为xe[-1,,所以1e[22]=2P- 17.解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 30 3+1=2-子)°-g 0m/s,此时耗氧量为30个单位，故有a+b1og10 =0,即a+b 90 所以当1=子时，取得最小值-令： =0.当耗氧量为0个单位时，速度为10m/s,故a+1og1 当t=2时，r取得最大值3； 10,整理得a+2弘=10.解方程组+b=0,得0=10， a+2b=10lb=10. 所以实数，的取值范围为[-名3]。 一3 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 第11期3,4版参考答案 同理可得B(lna-2,a),且1AB1=2, 核心素养阶段测评（一） 取AB的中点为D,连接CD,如图1 一、单项选择题 所示， 1 ~4 DDBD 5~8 DDBA 因为△ABC为等腰直角三角形， 提示： 所以CD⊥AB,且ICDI=1, 1.由题可知，集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长， 所以C(lna-1,a-1), 则a≠b≠c,所以一定不是等腰三角形， 又因为点C在函数y=e的图象上， 2.函数f代x)=e+4x+1的定义域为R,且f(x)是增函数， 可得a-1=ea-1= a e, 因为n4>n3>1,所以fln4)>fln3)>f1), 即a>b>c. 所以a（1-亡）=1，解得a= 3.因为-1<a<0,所以1+a>0,0<-a<1. 所以-a-a2=-a(1+a）>0, 所以。=ha-1=n。-1=-lh(e-1). a2-(-a3)=a2(1+a)>0. 二、多项选择题 所以-a>a2>-a3. 9.ABD:10.BCD:11.BC. 4.因为ga+lg6=0,所以-ga=lg6,即6=石 提示： 若0<6<1，则0<日<1，排除(C. 以属4器品3器2牛授 1-1g2 1-m 故(A)正确； 若b>1,则>1，排除(A)(B).故选(D). (兮) -log38 -3ln(lne)=3g38-3lne=8-3=5, 5.若命题“Vx∈[1,4]时，x2-4x-m≠0”是假命题， 故(B)正确： 则命题“3x∈[1,4]时，x2-4x-m=0”是真命题， 因为a+a1=14,所以a>0, 则m=x2-4x, 设f(x)=x2-4x=(x-2)2-4, 因为a+a1+2=(a2)2+(a7)2+2aza号 当1≤x≤4时，-4≤f(x)≤0，则-4≤m≤0. =(a7+a)2=16, 6.由x2-(2-a)x-2a<0,得(x-2)(x+a)<0, 所以a7+a乞=4，故(C)错误； 当a>-2时，不等式解集为xl-a<x<2},此时恰有3 个整数解，则3个整数解分别为1,0，-1， 4-25)2+210g2310g4 故-2≤-a<-1,解得1<a≤2； =1-万)+21og23·log2 当a<-2时，不等式解集为xl2<x<-a},此时恰有3 =11-5「+2=5+1，故(D)正确 个整数解，则3个整数解分别为3,4,5， 故选(A)(B)(D) 故5<-a≤6，解得-6≤a<-5; 10.“Vx>0,都有x2>x-1”的否定是“3x>0,使得x2 当a=-2时，不等式解集为⑦，不符合要求， ≤x-1”,(A)错误： 故实数a的取值集合为a|-6≤a<-5或1<a≤2}. 7.由题意得-f(x)=f代-x),f(x+1)=f(-x+1), 当>1时，2x+=2(x-)++2≥ 所以fx+2)=f[-(x+1)+1]=f(-x)=-fx), ① 22(x-0+2=2万+2， 所以f(x+4)=-f(x+2), ② 当且仅当2(x-)即=1+受时，等号成立， ①②联立可得：fx+4)=f(x),即f(x)的周期为4， 又f2)=f0)=0,f(3)=f-1)=-f1), 放当x>1时，2+的最小值为2万+2.()正确： 所以4a+b=0且a+b=-3,解得a=1,b=-4, 由题意得-1,2为ax2+2x+c=0的两个根， 即fx)=x2-4,xe[1,2], 所以(）=3）=(3)=-子 -1+2=-2-1x2=台 解得a=-2,c=4,则a+c=2,(C)正确； 8.设平行于x轴的直线l:y=a,其中a>0, 由e=a,可得x=na,所以A(lna,a), <1，但<1a>1, a>1→a -4 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 比如a=-1满足工<1，但不满足a>1, 提示： 12.因为A={1,2,3,5},B={1,2,3}, 故“a>1”是“<1“的充分不必要条件，(D)正确 所以B至A, a 故选(B)(C)(D). 则由x∈A推不出x∈B,故充分性不成立， 由x∈B推得出x∈A,故必要性成立， 11.f(-x)=-x -号 =-xx+2 m 所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件。 对于(A),若fx)为偶函数， 13.因为α，B分别是方程1og2x+x-5=0和2+x-5= 0的根，即α，B分别是方程1og2x=-x+5和2=-x+5的根， 所以ax,B分别是函数y=log2x与y=-x+5,y=2与y 当x>0时，x-受≥0， =-x+5交点的横坐标， 因为y=2与y=logx的图象关于y=x轴对称， 面-+受≤0， 所以y=2与y=-x+5的交点与y=log2x与y= -x+5交点关于y=x对称， 故f(x)与f(-x)不一定相等，故f(x)不可能是偶函数， (A)错误； 所以由三，得x=y=子 ly=-x+5, 对于(B),当m=0时f-x)=-x1xI=-f(x), 故f(x)为奇函数，故(B)正确； 所以专B=多，即Q+B=5 2 对于(C),f)=xx-2 。m 的定义域为， 14.在f(xx2)=fx)+f(x2)+2中， 令1=x2=1,得f代1)=-2， 因此[0，+∞)是f(x)的值域的子集， 令1=为2=-1，得f代-1)=-2， 因此对任意实数M>0,存在实数xo,使得f代x)>M,故 令1=x,2=-1,得f-x)=f代x), (C)正确； 又f代x)的定义域为(-0,0)U(0,+o),所以f代x)为偶函数， x)2 又对Vx3,x4e(2,+0),都有(x3-x4)[f(x-2)-fx4 对于(D)fx) -2)]<0, 即对x3,x4∈(2，+0)，都有[(x3-2)-(x4- 2)][fx3-2)-fx4-2)]<0, 当m>0时，f代x)的图象如图2， 所以y=f(x-2)在(2，+∞)上为减函数， 要使f(x)在区间(a,b)上单调递减， 所以y=fx)在(0，+∞)上为减函数， mm 则(b-a)m=2-4 = m 又f(1)=-2,f(m)>-2,f(x)为偶函数， 所以1ml<1,解得-1<m<0或0<m<1, 所以m的取值范围为(-1,0)U(0,1). 四、解答题 15.解：(1) )+() -0.1253 当m=0时f代x)的图象如图3， 5 1 7 2+2 此时f(x)在定义域内单调递增，无单调递减区间； 2=2 当m<0时，f(x)的图象如图4， .25 (2）l1og.9 +log2 3 logo.5 5 1 要使f(x)在区间(a,b)上单调递减， =le( 2 +log23-log2-154 则(b-a)mas= mm 综上，6-a的最大值为，放(D)错误 =ag}+lg3-,5 log2 5-log2 3 log2 3 -log 5 =0. 故选(B)(C) 16.解：选择条件①：B=xl-1<x<4,因为A∩B=☑， 三、填空题 当A=☑时，a≥10-a,解得a≥5， 12.必要不充分条件；13.5； 14.(-1,0)U(0,1). 当A≠0时，{05或a<5, 10-a≤-1la≥4， 5 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 解得4≤a<5, u(x)在(-1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 所以a的取值范围为[4，+∞). 因为y=logu在(0，+∞)上单调递增，所以函数g(x)的 选择条件②：CRB={xlx>6}, 单调递增区间为(-1,1)，单调递减区间为(1,3). 则B={xIx≤6}，因为A∩B=0, (2)因为不等式g(x)-m+3≤0的解集非空， 当A=0时，a≥10-a,解得a≥5， 所以m-3≥g(x)mn,x∈ [32] 当A≠0时， 口<5，无解， a≥6， 由(1)知，当xe[宁，2]时，函数g)的单调递增区间 所以a的取值范围为[5，+o). 选择条件③：B={xIx≥7}，因为A∩B=⑦， 为[兮小，单调递减区间为1,21， 当A=0时，a≥10-a,解得a≥5， 因为g(兮）=lbs是>1,8(2)=1，所以g(0n=1, 当4≠⑦时，0<5， 解得3≤a<5, 10-a≤7， 所以m-3≥1，即m≥4， 所以a的取值范围为[3，+∞). 故实数m的取值范围为[4，+0). 17.解：(1)函数f(x)为奇函数，定义域为(-∞，+∞)， 19.解：(1)因为y=f(x)为偶函数， 则f(0)=0,所以m=1,经检验知符合题意； 所以f(-1)=f1),即-2k=0, -1 解得k=0,经检验k=0符合题意. 3+1 3*+1 (2)由题意得，方程x2-1-k1x-11=0有且仅有一个解， 2 因为3+1e1,+0,则3+e(0,2), 显然，x=1已是该方程的解， 当x≥1时，方程化为(x-1)(x+1-k)=0; 所以函数f(x)的值域为(-1,1). 当x<1时，方程化为(x-1)(x+1+k)=0; (2)由题知：当(0，+0)时a·3-3>0 所以x+1-k=0(x≥1)有且仅有一个等于1的解或无 3+132+1 解且x+1+k=0(x<1)无解， 恒成立，则a>[] 又x=1时，k=2,此时x=-3也是方程的解，不合题意， 令t=3,t∈(1，+o), 所以关于x的方程x=k-1(x≥1)，x=-(k+1)(x< 1)均无解，可得k<2且k≤-2， 综上，k≤-2，即实数k的取值范围为(-9，-2] 2 (3)当xe[0,2]时， =（1+ +I/m 「x2+kx-k-1,0≤x≤1， f(x)= lx2-kx+k-1,1<x≤2， 又1+2 2 =2 因为y=f(x)在[0,2]上由两段抛物线段组成，且两个抛 t+- 1 t 物线开口均向上， 当且仅当t=1时等号成立， 所以最大值只可能是f代0)，f2)f1)其中之一， 面1>1所<2 又f0)=-k-1f1)=0f2)=-k+3, 显然f(2)>f0), 则a≥2，即a的取值范围为[2，+∞). 所以当k<3时，所求最大值为f代2)=-k+3; 1&解：)由题意可知-2a-2=1, 当k≥3时，所求最大值为f1)=0. la>0且a≠1， 解得a=3(负值舍去)，所以f(x)=logx 第12期2版参考答案 因为g(x)=l0g(x+1)+log(3-x), 专项小练一 所以+1>0即：>：1即-1<x<3, 1.B;2.B;3.BD;4.简单随机抽样；5.14. 13-x>0,lx<3, 6.解：总体中个体数较小，用抽签法 故g(x)的定义域为xI-1<x<3}. 第一步，将30个篮球，编号为1,2，…，30； 由于g(x)=log(x+1)+log(3-x)=log(-x2+2x+3), 第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的 令u(x)=-x2+2x+3(-1<x<3), 小纸条上，揉成小球状，制成号签； 则由对称轴x=1可知， 第三步，把号签放人一个不透明的盒子中，充分搅拌； 6 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 第四步，从盒子中不放回地逐个抽取3个号签，并记录上 对于(C):金奖人数为120×音=20（人） 面的号码； 第五步，找出和所得号码对应的篮球， 所以银奖和铜奖的人数和为100人， 故获奖同学中金奖所占比例不可能最高，(C)错误； 专项小练二 对于(D):高一年级获奖人数为30人，金奖人数为20人， 1.ACD;2.C;3.B;4.15;5.70. 故获金奖的同学可能都在高一年级，(D)正确。 6解：①样本容量与总体中的个体致的比值为品-0： 二、多项选择题 9.AC;10.BD;11.ACD. ②确定要抽取的各种百货商店的数目，大型商店为20× 提示： =2(家).中型商店为40×。=4（家），小型商店为150× 9.对于(A),根据抽样调查和普查的概念可知，调查一的 10 调查方式是普查，调查二的调查方式是抽样调查，故(A)正确； 10=15(家)： 对于(B),根据总体和样本的概念可知，总体是指该社区 ③采用简单随机抽样的方法在各层中分别抽取大型商店2 所有60周岁以上老年人的体重，样本是指抽取的该社区500名 家，中型商店4家，小型商店15家，这样便得到了所要抽取的样本 60周岁以上老年人的体重，故(B)错误； 第12期3,4版参考答案 对于(C),结合已知条件和样本量的概念可知，样本量是 500,故(C)正确： 获取数据的途径、抽样的基本方法同步核心素养测评 对于(D),由于检测一批灯泡的寿命，具有损毁性，故只能 用抽样调查，故(D)错误。 一、单项选择题 故选(A)(C) 1~4 BCAA 5~8 ADCD 10.设样本中高二、高三的学生人数分别为a,b, 提示： 则200：a:b=4:3:3,得a=b=150,故(D)正确： 3.①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差 样本容量n=200+150+150=500,故(B)正确； 异，用分层随机抽样比较恰当； 无法确定该校三个年级总的学生人数和该校高二年级总 ②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当. 的学生人数，故(A)(C)错误 4.根据简单随机抽样及分层随机抽样的定义可得， 故选(B)(D). 每个个体被抽到的概率都相等， 100 所以每个个体放捕到的藏率都等于品 10 1.依题意，抽样比为60+350+180=109 5.根据题意，高一学生占总人数比例为280=7 960=24 则甲应付8x560=51总钱故()正确： 则应抽取高一年级学生的人数为240×24=70， 7 乙应付9×30=32品钱放(B)不正确： 109 6.从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两 丙应付品×10=16总钱放(0)正确： 个数字，选出的编号依次为：12,13,40,33,20,38,26,13,89,51,03，， 剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，则选出来 显然510>32品>16的故(D)正确 的个体的编号依次为：12,13,20,26,03，…， 故选(A)(C)(D). 所以选出来的第5个个体的编号为03. 三、填空题 7.设A种型号的产品有2x件， 12.P1=p2=p3;13.6;14.5600. 因为A,B,C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5， 提示： 所以B种型号的产品有3x件，C种型号的产品有5x件， 12.在抽签法、随机数法和分层随机抽样中，每个个体被抽 已知可得光=2x++5 n 中的概率均为朵，所以P=h=P: 所以n=80. 1由题意可得2+品+子=高解得m=3, 2 8.对于(A):高二和高三年级获奖同学共120-120× 24 3 =90(人)，（A)错误； 则B地被抽取的数量是18×2+3+4=6， 对于(B):不能确定银奖和铜奖的人数，(B)错误； 14.设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲，T乙，T丙件产品， 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 则a:6:c=Tn:T2:T,即元= b 比例也应为5%，即100×5%=5， = 所以应抽取5名高收入者比较合理. T甲+T丙=2T2, 因为2b=a+c,所以 同理，应抽取15名中等收人者、80名低收入者， T甲+Tz+T丙=16800， 再对他们的具体收入状况分别进行调查， 所以T2=16800 =5600. 19.解：(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a, 3 b.c, 四、解答题 15.解：(1)抽签法。 则去A会场的学生总数为0.25(a+b+c), 第一步：将30名大学生随机编号，编号为01,02,03，…， 去B会场的学生总数为0.75(a+b+c), 29,30; 则对应人数如下表所示： 第二步：将30个号码分别写在30张外形完全一样的纸张 高一 高二 高三 上，并揉成团，制成号签； A会场0.125(a+b+c)0.1(a+b+c) 0.025(a+b+c 第三步：将30个号签放人一个不透明的盒子中，充分搅拌； B会场0.3(a+b+c)0.375(a+b+c)0.075(a+b+c) 第四步：从盒子中逐个抽取8个号签，并记录上面的编号， 则x:y:z=0.425(a+b+c):0.475(a+b+c):0.1(a 编号对应的大学生就是选出的大学生志愿者成员. +b+c)=17:19:4. (2)随机数法. (2)依题意，n×0.75×0.5=75,解得n=200, 第一步：将30名大学生随机编号，编号为01,02,03，…， 故抽到的A会场的学生总数为50人， 29,30; 则高一年级人数为50×50%=25（人）， 第二步：在随机数表中任选一个数作为开始，按照任意方 高二年级人数为50×40%=20（人）， 向读数，比如从第8行第29列的数7开始，向右读； 高三年级人数为50×10%=5（人） 第三步：每次取两位，凡是在01~30之外的数或者已读过 的数，都跳过去不做记录，依次可得到12,07,21,29,15,13,02， 第13期2版参考答案 09; 专项小练一 第四步：找出以上号码对应的大学生，他们就是选出的大 1.C;2.D;3.C;4.1400;5.48. 学生志愿者成员 6.解：(1)由频率分布直方图及频率和等于1可得， 16.解：(1)因为总体容量是50，样本量是10， 0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2.0×0.1+2.5×0.1 故可用简单随机抽样 +a×0.1=1,解得a=3.0. (2)设年龄在20~39岁之间应抽取x人， (2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为 则=。，解得x=2 0.2×0.1+0.8×0.1+2.0×0.1+3×0.1=0.6, 即年龄在20~39岁之间应抽取2人. 所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 17.解：根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为 0.6×10000=6000. n,则C产品的数量为(1700-m)件，样本容量为n-10. 专项小练二 根据分层随机抽样的特点可得产= n-10-130 1.B;2.B;3.ABD;4.70;5.173.6. 1700-m=1300, 6.解：(1)乙队测试成绩的中位数为72，众数为75. 解得m=900,n=90, (2)xm=63+66+72+73+76+82=72. 故补全后的表格如下： 6 产品类型 A B ￥-名(63-72产+(66-722+(2-72+(3- 产品数量/件 900 1300 800 72)2+(76-72)2+(82-72)2]=39, 样本容量 90 130 80 无2=62+6图+69+75+75+83=72， 18.解：可以采用分层随机抽样的方法 6 按照该公司员工的收人水平分成三层：高收入者、中等收 2=6[(62-72)2+(68-72)2+(69-72)2+(75- 入者、低收人者 72)2+(75-72)2+(83-72)2]=44, 高收入者为50名，占所有员工的比例为，00=5%，为保 因为x甲=之，屏<2，所以甲、乙两队水平相当，但甲队 证样本的代表性，在所抽取的100名员工中，高收入者所占的：发挥较稳定 —8 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 第13期3,4版参考答案 可得m+”=16,所以m+n=32, 2 用样本估计总体分布、用样本估计总体的数字特征 所以这6周的周慢走里程的平均数为 同步核心素养测评 11+12+m+n+20+27=17. 6 一、单项选择题 要使这6周的周慢走里程的标准差最小，需要(m-17)2+ 1~4 BADD 5~8 CAAC (n-17)2最小， 提示： 又(m-17)2+(n-17)2=(m-17)2+(32-m-17)2 1.由题可知，样本在[35,60]上的频率应为(34+28+15 =2m2-64m+172+152, +10+5)÷200=0.46. -64 2.该组数据从小到大的排序是：4,5,5,6,7,7,8,9， 故当标准差最小时，m=-2X2=16, 且8×0.25=2， 二、多项选择题 9.ABD:10.ABC:11.ABC. 则该组数据的25%分位数为3十5=5. 2 提示： 3.设该组小矩形的面积为P, 9.由频率分布表的性质得m=100-8-10-20-28-12 则其余n-1个小矩形的面积之和为9P -6=16,(A)正确； 则10P=1,P=10 1 因为样本中观看比赛不低于4场的学生的频率为：16%+ 12%+6%=34%, 设样木容量是，里=六，得=@ 所以估计高一年级观看比赛不低于4场的学生约为：1000 ×34%=340人，(B)正确； 4.由小到大排列的4个数据1,3,4，a,则a≥4， 样本中，观看2场的人数为50×20%=10人，(C)错误； 这4个数据的极差为。-1，中位数为3兰=子 样本中出现频率最高的为3，故估计高一年级观看比赛场 因为这4个数据的极差是它们中位数的2倍， 数的众数为3，(D)正确. 所以a-1=2×子解得a=8 故选(A)(B)(D). 10.将数据由小到大排列：8,9,12,12,13,16,16,16,18,20. 5.由题意结合频率分布直方图可得，第四组与第五组的频 率之和为(0.04+0.02)×5=0.3， 对于(A),=0(8+9+12+12+1B+16+16+16+18 第二组频率为0.07×5=0.35. +20)=14,（A)正确； 因为第四组与第五组共有150人， 对于(B)2=0(6+5+2x2+1P+3×2++6) 所以样木容量a=6智=50。 =13.4,(B)正确； 所以第二组人数为500×0.35=175， 对于(C),因为10×85%=8.5，所以85%分位数为第9个 所以第二组中男性球迷人数为175-75=100. 数据，即18，(C)正确： 6.由条形图得演讲人数为30，由饼状图得演讲人数占比 对于(D),16出现了3次，12只出现2次，所以众数为16， 15%,因此选取的总人数为说=290。 (D)错误 故选(A)(B)(C). 由饼状图得绘画及合唱人数和占比为1-20%-20%- 11.甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的 15%=45%,人数和为200×45%=90， 平均数相同，所以(A)正确； 由条形图得合唱人数为70，所以绘画人数为20. s=191>110=s,所以甲班成绩不如乙班稳定，即甲 7.因为男生30人，女生20人，则抽取的时候分层比为3：2， 班的成绩波动较大，所以(B)正确： 即10个人中男生、女生分别抽取了6人和4人. 甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位 这10人答对题目的平均数为六×(6×10+4×15)=12. 数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，所以 (C)正确： 所以这10人答对题自的方差为品×[1+(10-12)]+ 由题表看不出两班学生成绩的众数，所以(D)错误. 故选(A)(B)(C). 0×[0.5+(15-12)2]=6.8, 三、填空题 8.由这6周的周慢走里程的中位数为16， 12.183.5;13.9.5,28.5；14.29. 9 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 提示： 因此，可以规定如下：若要给至少80%的员工年度考评评 12.数据从小到大排列为：85,86,88,89,90,92,94,98， 级为通过，应将标准设定23辆，或22辆，或21辆. 8×50%=4,50%分位数为89+90=89.5， 18.解：(1)由频率分布直方图可得，(0.04+0.08×2+ 2 0.12+0.16+2a+0.42+0.50)×0.5=1, 8×80%=6.4,80%分位数为94， 解得a=0.30. 则这8人成绩的50%分位数和80%分位数的和为183.5. (2)由频率分布直方图知，该区100位居民月均用水量不 13.记20位病人的平均等待时间为x,等待时间的方差为s2, 低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 则=2六(25×4+7.5×8+12.5×5+17.5×2+225 由以上样本的频率分布，可以估计70万居民中月均用水 ×1)=9.5, 量不低于3吨的人数为700000×0.12=84000. 2=0[(2.5-95)2×4+(7.5-9.5)2×8+(2.5 (3)因为前6组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.42 +0.50+0.30)×0.5=0.88, 9.5)2×5+(17.5-9.5)2×2+(22.5-9.5)2×1]=28.5, 前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.42+0.50) 所以估计该医院急救中心病人的平均等待时间为9.5，病 ×0.5=0.73, 人等待时间的方差为28.5. 所以2.5≤x<3, 14.假设五个数据按照由小到大排列为a,b,c,d,e, 由0.30×(x-2.5)=0.82-0.73,解得x=2.8, 因为这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7， 因此，估计月均用水量标准为2.8吨时，可使82%的居民 所以c=6,d=e=7, 每月的用水量不超过标准。 所以最大的三个数的和为6+7+7=20， 19.解：(1)将甲运动员的数据按从小到大排列如下： 因为两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等， 445677891010 最大为4和5，所以这五个数的和一定大于20且小于等于29， 因为85%×10=8.5， 则他们投中次数的总和最大是29， 所以第9个数据是85%分位数， 四、解答题 所以甲运动员样本数据的85%分位数为10. 15.解：(1)由频率分布直方图可得(0.010+2a+0.025+ 0.035)×10=1,解得a=0.015. (2)期=04+4+5+6+7+7+8+9+10+10)=7， (2)由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀” 2=06+6+6+7+7+7+7+8+8+9)=7, 的频率为0.015×10=0.15， 则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15， 品=0[4-7)2×2+(5-7)》+(6-7)2+(7-7)2 故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生 ×2+(8-7)2+(9-7)2+(10-7)2×2]=4.6, 人数为1200×0.15=180 16.解：(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15, 元=6-7+6-7)产x2+7-7P×4+(8 故a=0.35,b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. 7)2×2+(9-7)2]=1.2. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3 (3)由(2)知，5>2，甲=之 ×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 平均数 方差 命中9环及9环以上的次数 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4× 甲 7 4.6 3 0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6. 乙 7 1.2 1 17解：(1)将20个样本数据从小到大进行排序如下所示 (ⅰ)因为两名运动员射击成绩的平均数相同，且> (单位：辆)： 2,则乙的成绩比甲稳定； 21222223242526272828 (ⅱ)因为两名运动员射击成绩的平均数相同，命中9环及 30323333343435383839 9环以上的次数甲比乙多，所以甲爆发力更强： 由于20×90%=18是整数，所以第一个临界值为有序样 (ⅲ)乙成绩在平均数上下波动；而甲处于上升势头，从第 本中第18和19两个数的平均数，故为38. 六次以后就没有比乙少的情况发生。 因此，可以规定如下：若需要有10%的优秀员工，应将标 故确定人选时，甲更有潜力 准设定在38辆. (2)由于20×20%=4是整数，所以第二个临界值为有序 样本中第4和5两个数的平均数，故为23.5. 10