第15期 随机现象与随机事件、古典概型-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

鲨紫心实告三（汁司共）串|瑞济长·游丹测 本版责任埔锡：朝晓红 州纸端城质量反铺电话 02515271268 兹理括 2025年10月10日·星期五 高中数学 推纸发行质量反情电话 第 15期总第1159期 北师大 t2)k业UE.BUc: KL派ln.bnCi 17:115 151-5271248 必修（第一册 (3)D.AnC.BUC.DUE 横看成岭侧成峰 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办效理报社编辑出版 社长：徐文信 国内统 连续出版物号：CN140707MF)邮发代号：21-16 远近高低各不同 专题辅导 5).6.6)1 111213141516 这是苏拭的 例析 共包含36个样本点，抵个样本点出现的可 212223242526 能性相等，因此这个试胜是古典概型 3引3233343536 绝（题西林壁》诗 古典概型问题 事件A:“两数之和为8”，A=1(2,6),(3, 41424344 的前两句。意思是说 5),(4.4),(5.3),(62).A包含5个样本点 515253545556 “正看声山，高龄横 6162636465 。山东周勇 空：划看庐山.蝴损 所以事件A发生的概率为P代4)=。 图3 抛拥硬币中的古典概型问型 成峰，远近高低， (2)事件B:“两数之和是奇数”，B=(1 或者，记甲般子得到点数为素，乙版子得到 例1任意抛一枚质地均匀的股币 三次 象各异” 2),(1.4).(1.6),(2.1).(2.3).(2.53.(3. 点数为，则点(xy)看作是一个样本点，则所 (1)一共可能出现多少种结果： 我们观事物 2),(3.4),(3.6),(4.1),(4.3).(4,5》.(5 可能结暴如图3”点表”中的点其中”点数之差 (2)出现“两次正面厨上，一次反面朝上” 如果所处的立场 2).(5.4).(5.6).(6.1).(6.3).(6.5)1. 的绝对值为3“的事件A含有6个样本点，即~点 的概率是多少？ 表”中加横线部分的事件 同，观察到的结果也 (3)若至少有两次反面朝上，则小刚获性 所以事件B发生的概P)一 3同时取 会不可我们思考处 否小华获性.那么这个游戏公平码？为什么 (3)事作C:“两个数均为数”，C= (2, 例5柜子有3双不同的鞋，随机地取2 理某一个数学题.如 解：(1)有可能出现的结果有（正，正， 只，试求下列事件的率： 2),(2,4).(2.6).(4.2).(4.4,(4.6).(6 果从某一角度用某 正)，（正，正，反），（正，反，正），（反，正.正）， 44画4岛5 2),(6,4),(6.6)1,事作A与事件C室少有不 种方法解决以 正，反，反)，（反，正，反），（反，反，正）.（反， 发生包含的样本点有11个，即4+C=1(2,2) 时，不方换 个角 反，反)，共8种 (2,4).(2,6),(3,5),(42),(44),(4,6) 度去观，换一种方 (2)用事件4表示“两次正面朝上，一次反 (5,3),(6,2).(6,4),(6,6), 面朝上，事件A包含3个样本点.即《正，正 法去处理便有可能 所以事件A与事件C至少有一个发生的 反)，（正，反，正），（反，正，正 (1)取出的鞋不成对：(2)取出的鞋都是左 迎功市解”。 脚的：{3)取出的鞋都是日一只即的：(4)取出 因为每种结果出见的可能性相等， 如解方程 的鞋一只是左脚的一只是右脚的，但不成对 三，抽取中的古典型问置 解：用A,A分别表示第一双鞋的左右鞋 25x+2x-+1 丽以事件A的概率P(A)=是 1,依次不放回取 用B,B分别表示第二双鞋的左右鞋，用C,C 0 (3)记事件B表示“至少有两次反面朝 例3数中共有6个除了颜色外完全相同的 分别表示第三双鞋的左右鞋，所有可能结果 这是一个三次 上“，事件B包含4个样本点，即（正，反，反， 球.其中有1个红球2个白球和3个黑球，从袋 0如34的“数对表” 方程，但在现行中学 (反，正反)，（反，反，正（反，反，反）， 中侬次取出两球，求第二次取出的球为红球的 北有15个样本点，其中“取出的鞋都是同 教材中，未介绍解 沉以事件的半P代B)== 只即的”的事件包含6个样本点，如“数对表”中 般三次方程的方法 记事件C表示“小华获鞋”，由(1)知，时句 解：设袋中红球用：表示，2个白球分别用 加横线部分的事件因此P(都是同一种的 以求解。如果我有 C包含4个样本点，即（正，正，正），（正，正， ,6:表示，3个黑球分别用g1,1,,表示 换一个角度（已知利 反)，（正，反，正，（反，正，正） 所有可能结果如树图”（图1） 间理可得P(取出的鞋不成对)：吕=号 太知互易)去考感 那以事件C的概P(G)=音= 即将巨看做“未知 P代左脚的)== 故小和小华的获胜概率相同，这个游戏 数“，而将x看成“已 公平 知数”，则将原方 二、抛子中的古典型问题 四、数字选罩的古典概型同题 整理成 例2将一和子先后地2次，观察向上的 例6在区间-1,5)与(1,5)内各陆机取1 (2)3-(2 点数，事件A:“两数之和为8”，事件B:“两之 共有30个样本点，其中~第二次取出的球为 个整数，设两数之和为M,则gM>2成立的 和是奇数”事件C:“两个数均为偶数 红球”的事件A含有5个样本点，如图1中加树 概率为 +1)2+(2+1 (1)写出该试验的样本空间2，并求事件A 钱部分的事件 =0 ()(B)冬(C) 发生的既率： 所以所求半为P()== 解：从区问(-1,5)，(1,5)内各随机取1个 (2)求事件B发生的概率： 2依次放回取 整数的样本空问为2=1(02).(1,2).(22) (3)事件A与事件C至少有一个发生的摄率 例4廊甲，乙两枚子求点数之差的绝对 (3,2),(4,2),(03),(1,3),(23),(3,3) 解：(1)将一颗股千先后掷2次，观察向 (4,3),(0.4),(1,4),(2.4),(3.4),(4.4》1 ≠0)，故得： 值为3的率， 上的点数， 解：掷两枚股子的所有样本点，如图2的 共15个样本点， ■万-1， 0■1(1,1).(12，(1,3).(.4，(1 不等式1%M>2等价于M>4 数对表”：共有36个样本点.其中“点数之差的 5).(1,6),(2.1,(2,2).(2,3).(2,4).(2 设事件A为“1eg2M>2” 2+1±22-1 绝对值为3”的事件A含有6个样本点，即“数对 5),(2,6),(3.1,(3,2),(3,3),(3,4).(3 则4=13,2.(4,2)，(23)，(33).(4,3) 表”中加横线部分的事件因此.P风A)=无 (1.4),(2.4).(34).(4.4)川，共9个样本点， 5),(3,6),(4.10,(4,2).(4,3),(4,4).(4, 5),(4.6).(5,1).(5,2),(5,3).(5,4).(5. 所以P=器=子 5),(5,6),(6,10,(6,2),(6,3),6,4).(6, 故选(A)。 公 +(9-8) 蓝 PUQ (D)r4 8.16.10.6: (-4+(3-4+(5-4)+(-4) (W)海用 D.i.2.3./滤s 0. (10。m 515+750 ()cL1-2.-0).元-4。 -4.5.6 A.B.c 8 HA+rB.A.e件 学米啡测扫器 (D)话A.M店街龙供E·星LIUE) 口海·E训天质培出铺A.E.C三社医用休社口 (c)a!.2.2.4u个限中”中便球术牌捷原 7小明与小华两人玩游戏，下列游戏不公平的是 随机现象与随机事件、古典概型 (A)一枚股子，向上的点数为奇数，小明获性，向上的点数为 第Ⅱ卷非选择题 (共92分) 偶数，小华获胜 同步核心素养测评 (B)同时抛艳两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明荻胜，两枚郴正 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 面向上，小华获胜 12,在1.23，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么 。数理攫杜试题研究中心 (C)从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明 这三个数字的和大于5”这一事件是 获胜，朴克牌是黑色，小华获胜 第」卷选择题（共58分） (D)小明.小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相 1.若A,B互为对立事作，P)=。()=子，Ha>0,6 一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 司，小明获胜，否则小华获 0,则2a+b的最小值是 1,从6个蓝球2个排球中任选3个球，下列事件中，是必燃率 8甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件 14.对于a,b∈N,规定a②6= +a与b的奇性相同已 件的是 1为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲，乙中至少有一人中 La×,a与6的奇阀性不同 (A)3个都是篮球 (B)至少有1个是排球 奖”，则下列说法正确的个数为 知点集M=1(a,6)1a②6=60，a,beN,,若从点集M中任取 (C)3个都是排母 (D)至少有1个是篷球 ①4与B为互斥事件， 个点，则在点的横，纵坐标中有偶数的条件下，横，纵坐标都是偶数的 高中数学 2已知集台4=-7，-5，-3，-1,0.2,4,6，从合4中选丽 摄率为 ②B与G为对立事件： 高中 不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观点的位置，则事料 四，解答题：本题共5小题，共77分 “点落在x轴上”包含的样本点共有 4nB与为互斥事件： 15.(13分)批拥两枚质地均匀的服子（标号为1号和Ⅱ号），记 必修第 (A)7个 (B)8个 {C19个 (D)10个 ④40B与C为对立事件 下两枚服子朝上的点数，求下列事件的概率： 3用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 (1)A■“两个点数之和是5“： 必修第 三位数是偶数”发生的概半为 二、多项选择题：本题共3小题，每小愿6分，共18分 (2)B=“阿个点数相等 一册（北师大版）同步核心素养测译 () (B) 9.下列现象为随机现象的是 (A)当x是实数时，x-1=2 4.如图1，甲、乙两个元件串联构成一段电 路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故 (B)某班一次数学测试.及格*纸于75% 障”，则表示该段电路没有故障的事件为( (C)从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个 (A)MUN (B)M UN 取出的纸国上的数字是兴数 (C)U (D)WnN (D〉从一时克中任意抽出一张是红桃5 册（北师大版）同步核心素养测评 5魔方又叫鲁比克方块，是由匈牙建筑学教 0.一个质地均匀的股子，掷一次股千并观察向上的点数A表司 授准家鲁比克于974年发切的机械益智切 事件“股子向上的点数大于等干3“，B表示事件“股千向上的点数为 奇数”.则 16,(15分)某射手在一次射击中命中9环的概李是0,28，命中8 具，与华容道、独立站石棋一起被并称为智力游 环的概率是019，命中不够8环的概*是0.29，计算这个射手在一次 界的三大不可进1议.如对2所的三的量方D以有 (PA)=号 (B)P(B)=号 射击中命中9环或10环的载半 作是将一个各面上均除有颜色的正方体的棱三等 分.然后沿等分战把正方体切开所得现将三阶德 (e)P4+)=音 (D)P氏AnB)= 方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边 11.一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中3个红 缘为块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任 球，2个绿球，1个黄球.若从中任取2个小球，则测下列判断错误的是 取一个，恰好抽到边缘方块的概举为 (A) (B) (e) (D)2 (A)恰有一个红球的概半为号 6已知事件A,B互斥，记事件A为事件A的对立事件若事件A B都不发生的纸率为石，且P)=2P(B),则P0= ()两个球都是红球的纸率为号 (C)“有黄球”和两个球都是红建”是互斥事件 ( (D)“至少有一个绿球”和“至多有一个绿球“是对立事件高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 数理极 答案详解 2025~2026学年 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期(2025年10月) 第14期3,4版参考答案 排除。 6.由题意及频率分布直方图的定义可知： 统计核心素养综合测评 属于醉酒驾车的频率为：(0.01+0.005)×10=0.15， 一、单项选择题 又总人数为28800， 1~4 DDBD 5~8 DCDC 故属于醉酒驾车的人数约为：28800×0.15=4320. 提示： 7.对于(A),抽取的样本容量为4000×2%=80，故(A) 1.由题意可 9 n-T= 1 错误； 4 对于(B),该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为 故n=37, 4000×35%×50%=700(人)，故(B)错误： 所以每个个体被抽到的机会为号 对于(C),抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为 24, 2.成绩在515分及以下的人数为 则80×40%×a%=24,解得a=75,故(C)错误； 16000×60%=9600(人)， 对于(D),由扇形统计图知该校学生中选择学科拓展类课 则成绩在515分以上的人数为 程的频率为1-35%-40%=25%， 16000-9600=6400(人). 则该校学生中选择学科拓展类课程的人数为4000×25% 3.对这8个数据按从小到大的顺序排列得： =1000(人)，故(D)正确. 86,89,90.91,92,93,94,95. 8.对于(A),假设甲组存在选手失分超过7分，比如失分 则中位数为1+92 2 =91.5,极差为95-86=9. 为8分，根据极差为5，得到最低失分为3分，此时可满足中位 4.由题意知36岁至50岁的居民所占的比例为 数为3，假设可以成立，故(A)错误； 700 1 对于(B),假设乙组的失分情况为0,0,1,1,2,2,2,2,2,8， 840+700+560=3, 满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，故(B)错误； 故这次抽样调查抽取的总人数是100÷弓=30. 对于(C),设丙组的失分情况从小到大排列依次为x1,x2, 5.四个选项中(D)比较难计算，所以可以使用排除法. …,X10 A样本中的众数是88，所以B样本的众数是90，(A)排除； 由丙组平均数为2，方差为3， A样本的中位数是86，B样本的中位数为88，所以(C)排 得(x1-2)2+(x2-2)2+…+(x10-2)2=30. 除； 若x0=8,则(x10-2)2=36>30,不合要求， A样本的平均数是所有数的和除以样本量，B样本量没有 故x10≤7，所以该组每位选手失分都不超过7分， 改变，但是每个数都有加2，所以所有数的和有改变，所以(B) 则该组为“优秀小组”，故(C)正确： 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 对于(D),85%×10=8.5, 39.9+40.1+40.1+40.1+40.0+39.9)=40, 故丁组选手的失分数据按从小到大排列，选取第9个数作 故甲机床数据的平均数等于乙机床数据的平均数，(C)错误； 为85%分位数 对于(D),甲机床数据从小到大排列为：39.8,39.8,39.8， 即从小到大排列，其第9个数为7. 39.9,40.0,40.0,40.1,40.2,40.2,40.2, 假设丁组失分情况为0,0,0,0,0,0,0,5,7,8，满足平均数 故中位数为40+40=40. 2 为2,85%分位数为7，但不是“优秀小组”，故(D)错误 乙机床数据从小到大排列为：39.9,39.9,39.9,40.0， 二、多项选择题 40.0,40.0,40.0,40.1,40.1,40.1, 9.ACD;10.ACD;11.ABD. 提示： 故中位数为40丰40=40，(D)正确 2 9.对于(A),此次调查属于抽样调查，(A)错误； 故选(A)(B)(D). 对于(B),根据样本容量的定义，可知样本容量是150， 三、填空题 (B)正确； 12.44;13.平均数=60%分位数=众数； 对于(C),根据总体的定义，可知全校1700名学生的身高 14.1,19. 情况是总体，(C)错误； 提示： 对于(D),根据个体的定义，可知被抽取的每一名学生的 12.根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次 身高情况称为个体，(D)错误 从左向右选取两个数字，如下： 故选(A)(C)(D). 32,58,65,74,13,36,98,32,44, 10.对于(A),0.0025×40=0.10,属于第一档，故(A)正确； 其中58,65,74,98不在编号范围内，舍去， 对于(B),(0.0025+0.0040+0.0060)×40=0.50, 再去除重复的，剩下的号码为32,13,36,44， 所以年月均用电量在[160,200)内的不属于第二档，故 所以选取的第四个号码为44. (B)错误； 13.平均数为日×(20+30+40+50+50+60+70+80) 对于(C),(0.0025+0.0040+0.0060+0.0045+ 0.0030)×40=0.80,属于第三档，故(C)正确； =50 对于(D),(0.0020+0.0010×3)×40=0.20,属于第四 因为8×60%=4.8， 档，故(D)正确。 所以第5个数50即为60%分位数，众数为50， 故选(A)(C)(D). 所以它们的大小关系是平均数=60%分位数=众数. 11.对于(A),甲机床数据的极差为40.2-39.8=0.4， 14.设这组数据的最后2个分别是：10+x,y(x∈N,x≤9)， 乙机床数据的极差为40.1-39.9=0.2，所以甲机床数据 依题意9+10+11+(10+x)+y=50, 的极差大于乙机床数据的极差，(A)正确； 则y=10-x, 对于(B),乙机床数据比甲机床数据更集中，所以乙机床 这组数据的方差=宁1+0+1++(~门=子 数据比甲机床数据更稳定，(B)正确： 2 对于(C),甲机床数据的平均数为(40.0+39.8+0.1 5 .164 5 当且仅当x=9时取等号，此时y=1, +40.2+39.9+40.0+40.2+39.8+40.2+39.8)=40, 所以这组数据的方差最大的时候被污损了两个数据分别 乙机床数据的平均数为(40.0+40.0+39.9+40.0+ 是1,19. 2 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 四、解答题 0.35+5×0.036=0.53>0.5, 15.解：由a,b是方程x2-8x+5=0的两根， 所以中位数位于区间[25,30)中， 得a+b=8,a·b=5, 设中位数为x, 则这个样本的平均数为元=8+3+5=4， 则0.35+(x-25)×0.036=0.5, 4 解得x≈29.2.即样本中位数是29.2. 这个样本的方差为 因为样本中频率最高的一组为[30,35)， a-4+(3-42+6-42+-4门 2= 所以样本的众数为32.5. [(a+b2-2ab-8(a+)+34]=6 (3)依题意可知，休闲跑者共有(5×0.02+5×0.024)× 1000=220(人)， 16.解：(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层随机抽样 核心跑者共有(5×0.026+5×0.036+5×0.044+5× (2)①将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称的 0.030)×1000=680(人)， 人员及其他人员四层； 精英跑者共有1000-220-680=100（人）， ②角定抽样比？=胡=办 1 所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要 ③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8,16,10,6； 20×2500+680×4000+100×4500=3720(元). 1000 ④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本； 即该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要3720元 ⑤将各层抽到的样本汇总，构成一个容量为40的样本. 19.解：(1)由题意知0.015+0.035+b+a=0.05+5a= 17.解：4班的5名学生的平均得分为(5+8+9+9+9)÷ 0.1,解得a=0.01: 5=8, 估计满意度得分的平均值元=65×0.15+75×0.35+85 方差号=号×[(5-8)2+(8-82+(9-82+(9- ×0.4+95×0.1=79.5. (2)超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位 8)2+(9-8)2]=2.4: 数大于等于75 B班的5名学生的平均得分为(6+7+8+9+10)÷5=8， 由满意度在[60,70)的频率为0.15<0.4，满意度在[60， 方差号=5×[6-8)2+(7-8+(8-82+0 80)的频率为0.5>0.4， 8)2+(10-8)2]=2. 知40%分位数位于[70,80)· 因为s子>s,所以B班的预防知识的问卷得分要稳定一些 由70+4-05×10-50可以估计40%分位数为9 0.5-0.15 18.解：(1)该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直 >75. 方图，如下图 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，衢州市5月 频率 0.048 组距 份文旅成绩合格了. 0.044 (3)把6月1日-6月7日的样本记为x1,x2,…,x0m,其 平均数记为x,方差记为 0004 0 M052025303540455055周跑量(km/周) 把6月8日-6月14日的样本记为y1,y2,…,y0oo,其平均 数记为y,方差记为， (2)中位数的估计值： 由5×0.02+5×0.024+5×0.026=0.35<0.5， 则总样本的平均数：=音×+品×了=告×80+品× 6 4 一3 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 90=86, 第15期3,4版参考答案 由方差的定义，总样本的方差为 随机现象与随机事件、古典概型同步核心素养测评 2=2+(-门+哥+（行-门 一、单项选择题 4 6 1~4 DACD 5~8 CDBB =0×[75+(80-86)]+8×[70+(90-86)] 提示： =96. 1.从6个篮球2个排球中任选3个球，(A),(B)是随机事 所以总样本的平均值为86，总样本的方差为96. 件，(C)是不可能事件，(D)是必然事件 第15期2版参考答案 2.事件“点落在x轴上”所包含的样本点的特征是(x,0), 专项小练一 又依题意，x≠0，且A中有7个非零常数， 1.ABD;2.B;3.C;4.1,3,4},{3}; 故共包含7个样本点。 5.①②③. 3.将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有 6.解：(1)样本空间为：2={(-2，-4)，(-2,5)，(-2， 234,243,324,342,423,432},共6种， 6),(3,-4),(3,5),(3,6),(-4,-2),(5,-2),(6,-2), 其中偶数有{234,324,342,432}，共4种， (-4,3)(5,3),(6,3) 所以事件这个三位数是偶数”发生的概率为合=子 2 (2)由(1)知这个试验样本点的总数为12. (3)记事件M=“得到的点是第一象限内的点”， 4.因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障， 则M={(3,5),(3,6),(5,3),(6,3)}. 即甲、乙都没有故障，即事件M和N同时发生， (4)事件A={(-2,-4),(-4,-2)}表示得到的点是 即事件M∩N发生. 第三象限内的点 5.沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共27 专项小练二 个，其中只有2个面涂色的小正方体共有12个， 1.C;2.A;3.AD;4.0,0.6;5.0.3. 所以恰好轴到边缘方块的概率为号=号 6.解：(1)有放回地先后两次取卡片共有10×10=100个 样本点 6.因为事件A,B互斥， 记“x+y是10的倍数”为事件A, 所以P(AUB)=P(A)+P(B)=1- 6=6, 则A=(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7, 又P(A)=2P(B), 3),(8,2),(9,1),(10,10)},共10个样本点， 所以PW=0=0 所以2P(B)+P(B)=三 6 (2)要使xy是3的倍数，只要x或y是3的倍数即可，包括 解得P(B)=高P氏A)=多， 三类： ①x是3的倍数，y不是3的倍数，有3×7=21个样本点； 所以P(面=1-P()=号 ②y是3的倍数，x不是3的倍数，有7×3=21个样本点； 7.对于(A),抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为 ③x,y都是3的倍数，有3×3=9个样本点， 奇数的概率为7，向上的点数为偶数的概率为？，所以游戏公平： 故xy是3的倍数共有51个样本点. 对于(B),同时抛掷两枚硬币，一共4种情况： 所以y是3的倍数的概率为00 51 （正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）， -4 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 恰有一枚正面向上的概率为？，两枚都正面向上的概率为 B={1,3,5},共3个样本点， 士所以游戏不公平， 所以P()=名=子，（)错误 由选项(A)(B)知，A+B={1,3,4,5,6},共5个样本点， 对于(C),从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌 是红色的概率为了，扑克牌是黑色的概率为？，所以游戏公平： 所以P(A+B)=名，(C)正确； 由选项(A)(B)知，A∩B={3,5,共2个样本点， 对于(D),小明、小华两人各写一个数字6或8，共(6,6)， (6,8),(8,6),(8,8)四种情况 所以PAnB)=名=了，(D)正确 两人写的数字相同的概率为7，两人写的数字不同的概 故选(A)(C)(D) 11.从6个球中任取2个球共有30种取法， 率为2，所以游戏公平。 设三个红球记为1,2,3，两个绿球记为a,b,一个黄球记为h, 8.当A发生时，B也可能发生 记事件A为恰有一个红球， 即A与B不为互斥事件，故①错误； 则A={(1,a)(1,b),(1,h),(2,a),(2,b),(2,h),(3, 当B发生时，若甲中奖，则C发生， a),(3,b),(3,h),(a,1),(b,1),(h,1),(a,2),(b,2),(h, 则B与C可能同时发生，故②错误； 2),(a,3),(b,3),(h,3)},共18种取法， A∩B为甲、乙都中奖，C为甲、乙都不中奖，A∩B与C不 所以PA)=8=子，(A)错误： 可能同时发生， 记事件B为两个球都是红球， 所以A∩B与C为互斥事件，故③正确； 则B=(1,2),(1,3),(2,3),(2,1),(3,1),(3,2)},共 AnB为甲、乙都不中奖，C为甲、乙中至少有一人中奖，A 6种取法， ∩B与C不可能同时发生，且(A∩B)UC为必然事件， 所以A∩B与C为对立事件，故④正确 所以P(B)=哥=号，(B)错误： 综上，正确的个数为2个 记事件C为有黄球，表示2个球中至少有1个是黄球， 二、多项选择题 而两个球都是红球，不可能包含黄球， 9.BCD;10.ACD;11.ABD. 即C和B不可能同时发生，是互斥事件，(C)正确； 提示： 记事件D为至少有一个绿球，则D包含恰有1个绿球， 9.当x≥0时，x-x1=0: 记事件E为至多一个绿球，则E也包含恰有1个绿球， 当x<0时，x-lx1=2x<0, 所以D∩E≠⑦， 所以x-1x1不可能等于2，故(A)不是随机现象； 所以“至少有一个绿球”和“至多有一个绿球”不是对立 由随机现象的定义知(B),(C),(D)均是随机现象. 事件，(D)错误 故选(B)(C)(D). 故选(A)(B)(D) 10.掷一枚骰子并观察向上的点数，样本空间为{1,2,3,4， 三、填空题 5,6,共6个样本点， 12必然事作：13.8：4多 则4=3,4,56，共4个样本点，所以P(A)=4=2 6=3 提示： (A)正确； 12.从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字， 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 那么这三个数字和的最小值为1+2+3=6， (2)因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6, 所以事件“这三个数字的和大于5”一定会发生， 6)},所以n(B)=6, 所以由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件 所以P()=名=石 13.因为A,B互为对立事件， 16.解：记“这个射手在一次射击中命中10环或9环”为事 则P(A)+P(B)= a +2=1,且a>0,b>0, b 件A,命中10环9环、8环、不够8环分别为事件A1,A2,A,A4 可得2+6=（+）2a+6)=4++会 由题意知，A2,A3,A4彼此互斥， 所以P(A2 UA3 U A4)=P(A2)+P(A3)+P(A4) ≥4+2a6 /b.4a =8, =0.28+0.19+0.29 =0.76. 当且仅当合=号即6=24=4时，等号政立， 又因为A与A2UAUA4互为对立事件， 所以2a+b的最小值是8. 所以P(A)=1-P(A2UA3UA4) 14.已知a☒b=60,a,b∈N, =1-0.76=0.24 若a和b一奇一偶，则ab=60, 因为A1与A2互斥，且A=A1UA2, 满足此条件的有1×60=3×20=4×15=5×12， 所以P(A)=P(A1UA2)=P(A)+P(A) =0.24+0.28=0.52 故点(a,b)有8个， 17.解：A={出现奇数点}={1,3,5}，B={出现偶数点} 若a和b奇偶性相同，则a+b=60, =2,4,6},C={出现点数小于3}={1,2}，D={出现点数 满足点的横、纵坐标中有偶数的情况为2+58=4+56= 大于2}={3,4,5,6}，E={出现点数是3的倍数}={3,6}. 6+54=…=28+32=30+30,共15组， (1)A∩B=☑，B∩C={出现的点数为2. (2)AUB={出现的点数为1,2,3,4,5,6}，BUC=出 故点(a,b)有29个， 现的点数为1,2,4,6}. 所以点的横、纵坐标中有偶数的个数为8+29=37， (3)由题意可知A={出现的点数为2,4,6}，B={出现的 横、纵坐标都是偶数的个数为29， 点数为1,3,5}，D=出现的点数为1,2}，E={出现的点数1， 所以在点的横、纵坐标中有偶数的条件下，横、纵坐标都是 2,4,5}, 则A∩C=出现的点数为2}，BUC={出现的点数为 偶数的既*为号 1,2,3,5},DUE={出现的点数为1,2,4,5. 四、解答题 18.解：(1)设“甲临时停车付费恰为5元”为事件A, 15.解：记“I号出现的点数”为m,“Ⅱ号出现的点数”为 则P(4)=1-方右=分 n,则(m,n)表示这个实验的一个样本点， 所以甲临时停车付费恰为5元的概率为兮 样本空间2={(m,n)1m,n∈{1,2,3,4,5,6}}，共有36 (2)设甲停车付费为a元，乙停车付费为b元，其中a,b可 个样本点。 能取值为5,10,15,20. 由于骰子的质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相 则甲、乙二人的停车费用的所有样本点为(5,5)，(5,10)， 等，因此这个试验是古典概型， (5,15),(5,20),(10,5),(10,10),(10,15),(10,20),(15, 5),(15,10),(15,15),(15,20),(20,5),(20,10),(20,15), (1)因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}, (20,20),共16种情形， 所以n(A)=4, 其中，(5,20)，(10,15)，(15,10)，(20,5)这4种情形符合题意. 所以P(A)=36=9 4 1 放，乙二人停车付资之和为25元的薇率为P=音=子 6 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 19.解：(1)由题意，每10000张奖券中设特等奖5个，一等 1 1 3=6 奖20个，二等奖100个，三等奖500个， (2)事件A与事件B相互独立，则至少一人解答正确的概 5 1 20 故P(A)=000=2000,P(B)=1000=300, 率为 Pc)=00=0P)=006=0 100 5001 P=1-P(AB)=1-P(A)P(B) (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖、三等奖， =1-(1-)×(1-号)=子 设“1张奖券中奖”这个事件为M, 第16期3,4版参考答案 则M=AUBUCUD, 频率与概率、事件的独立性同步核心素养测评 又因为A,B,C,D两两互斥， 一、单项选择题 所以P(M)=P(AUBUCU D) 1~4 BABB 5~8 BABA =P(A)+P(B)+P(C)+P(D) 提示： .5+20+m0+50=6 2.因为是有放回摸球， 10000 所以第一次摸球与第二次摸球相互不受影响， 放1张奖券的中奖概率为。 所以事件A与A2是相互独立事件， (3)设“一张奖券获得的奖金低于200元”为事件V, 所以事件A与A2也是相互独立事件. 则事件N与“一张奖券获得的奖金不低于200元”为对立事件， 3.根据独立事件的乘法公式知小明买的书和衣服都能按 而“一张奖券获得的奖金不低于200元”为奖券获得特等 奖和一等奖的和事件， 时送达的概率为子×分=了 1 所以P(N)=1-P(AUB) 4.由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为4+5=01， 90 =1-P(A)-P(B)=1-2000300=400 1399 所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估 计值为0.1. 即一张奖券获得的奖金低于200元的概率为39 5.记甲、乙能破译密码分别为事件A,B, 第16期2版参考答案 由题意可知P4)=子B)=子 专项小练一 1.D:2.C:3.BCD:4.0.03. 可得P(④=子，P(=子 5.解：设“出现正面朝上”为事件A, 所以这份密码被成功破译的概率为 则n=30000,n4=17967, P=1-P(MA=1-P(不P(A=是 a4)=品8 =0.5989, 6.由事件A和B相互独立，且P(AB)=P(BA), (2)P(A)=0.5. 得P(A)P(B)=P(B)P(A), 即出现正面朝上的频率近似是0.5989；掷一枚硬币，正面 即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)], 朝上的概率是0.5. 所以P(A)=P(B) 专项小练二 又P(i画=G所以P(而=P(面=石 1.C;2.A;3.ABD:4.i6 5 所以P()=名 5.解：设事件A表示“甲解答正确”，事件B表示“乙解答正 确”， 7.由题意得若乙要赢得这局比赛，则乙在投剩下的两支箭 后至少要再得3分，按照乙第三支箭的情况可分为两类： 则P(A)=子，P(B)=了 (1)第三支箭投入壶口，则第四支箭必须投人壶耳，其概 因为事件A与事件B相互独立，所以 1 11 率P,=3×5=5 (I)两人解答都正确的概率为P(AB)=P(A)P(B)=2 (2)第三支箭投人壶耳，则第四支箭投人壶口、壶耳均可， 一7- 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 其概率B=5×(号+5)=务 P(A)P(B)P(C),(B)错误； 对于(C):P(A)>0,P(B)>0, 所以乙赢得这局比赛的概率P=R,+B=古+号=号 13 若事件A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0, 8.设三门考试课程考试及格的事件为A,B,C, 若事件A,B互斥，则P(AB)=0,(C)正确； 相应的概率为a,b,c, 对于(D):设任意事件A发生的概率为P,必然事件B发生 则考试三门课程，至少有两门及格的事件为 的概率为1，不可能事件C发生的概率为0， ABC ABCABCABC, P(AB)=P=P(A)P(B),P(AC)=0=P(A)P(C), 其概率为 (D)正确. P ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)be abe 故选(A)(C)(D) ab ac be -2abe, I山.由题意可知P(M)=2P(W）=p,故(A)正确： 设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P2, 因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不 1 1 1 则B,=3ab+3ac+3c, 赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 又由P-P2 1 所以p+3+g=1 ab ac be-2abc- 1 又因为p= 5 车，所以g=2故(B)正确； 2 2 = T3ab+三ac+bc-2abc 易知M,N相互独立， 所以P(T)=P(MW)+P(MW)+P(MW) ab ac be 3abe) =31-p)+2+ 号[d(1-0+c1-)+bc(1-a]>0, =分+2 所以P>P2,即用方案一的概率大于用方案二的概率. 二、多项选择题 若P(T)=0.75,则p=0.5,故(C)正确； 1 9.BCD:10.ACD:11.ABC. 若P(刀>08，期时+之>08， 提示： 所以p>5 3 9.由题意可知装能命中的频半为0-Q6, 得到的频率可能比概率大，也可能小于概率，也可能等于 又因为p+3+9=1,9>0, 概率，故(A)正确，(C)错误； 所以p<子 投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的 结果都是随机的， 号<<号故(D)不F确 所以 其结果可能一次命中，或者多次命中等， 故选(A)(B)(C). 概率只反映事件发生的可能性的大小，不能说明事件是否 三、填空题 一定发生，故(B),(D)错误。 故选(B)(C)(D). 2013品14袋 “729 10.对于(A):由P(A)=0.6,P(B)=0.3, 提示： 则P(A)=1-0.6=0.4,P(B)=1-0.3=0.7, 12.设这群小孩共有x人， 又事件A,B相互独立， 由题意可得k三n ”= P(AB U AB)=P(AB)P(AB)P(A)P(B)+ P(A)P(B)=0.6×0.7+0.4×0.3=0.54,(A)正确； 解得x= n 对于(B):若三个事件A,B,C两两独立， 13.用事件A,B,C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码， 由独立事件的乘法公式P(AB)=P(A)P(B),P(AC)= P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),无法确定P(ABC)= 则P(A)=子，P(B)=子P(O=子 —8 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 且P(ABC)=P(A)P(B)P(C 放至多有两名同学当选的概率为1一务一器 =(1-子)(1-)(1- 18.解：(1)由表可知仅使用A支付方式的学生有30人，仅 使用B支付方式的学生有25人，由题知A,B两种支付方式都不 使用的有5人， 所以此密码能被译出的概为1一力=号 所以样本中A,B两种支付方式都使用的有100-30-25- 5=40(人)， 14.由题图，可知AC之间未连通的概率是 ()=g 据此估计全院系学生中两种支付方式都使用的频率为40 100 连通的概率是1-号=8 所以用样本频率估计总体频率得全院系学生中上个月A, 2 EF,GH之间连通的概率均是（ 2 B两种支付方式都使用的有恕×100=40（人）。 (2)由题意知样本中仅使用B支付方式的学生共有25人， 未连通的概率均是1- = 9 只有1人的支付金额大于2000元， 则B之未连的概*是(）广 据此可知该学生上个月支付金额大于20元的概率为5 B之间莲通的概率是1一宁-总。 (3)可以认为仅使用B支付方式的学生中本月支付金额 大于2000元的人数有变化.理由如下： 故4B之间连道的概率是号×警-袋 由(2)知，从样本中仅使用B支付方式的学生中随机抽取 四、解答题 1人，发现他上个月支付金额大于200元的概率为公=0.04， 15.解：记这两个零件中恰有一个是一等品的事件为A, 概率值很小. 即仅第一个实习生加工一等品(A)与仅第二个实习生加 因为小概率事件在一次试验中几乎不可能发生， 工一等品(A2)两种情况， 所以可以认为样本中仅使用B支付方式的学生中本月支 则P)=PA)+Pr)=号x+写×子=高 付金额大于2000元的人数有变化，且变得比上个月多. 19.解：(1)估计A小区当年（供热期172天）的供热状况 16解：(1)由题意，可以估计甲在比赛时答对题的概率为 为“舒适”的天数为货 ×172=129(天). 120 (2)记A,表示A小区供热等级达标，A2表示A小区供热等 乙在比赛时答对题的概率为P2= 120-20= 120 6 级舒适，B,表示B小区供热等级不达标，B2表示B小区供热等 (2)设事件B=“某轮比赛中甲得1分”，事件C=“某轮 级达标， 则A1与B,独立，A2与B,独立，A2与B2独立， 比赛中乙得1分”， 又C=A1B1UA2B1UA2B2, 则事件A=BC U BC U BC, 则P(C)=P(A1)P(B)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2), 所以P(A)=P(BC)+P(BC)+P(BC) 由已知可得4,4,8，品发生的氮率分别为品品0。 17.解：(1)恰有一名同学当选的概率P=号×(1-子) 20 散PA)=写，P)=子，P(B)=0,PC)=品 ×(1-0)+(1-号)×号×(1-0)+(1-号)× )*品篇+品+瑞悬 所以PG=0+0+子×号-高 (3)若从供热状况角度选择生活地区居住，建议选择A小区. (2②)由于三名同学春当选的概率为片×号×石=器 因为4小区供热等级舒适的频率为品。 42 9 125 B小区供热等级舒适的频率为20： 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 5 20 ,所以建议选择A小区. 9 >1 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资 金减少，中奖资金增加， 第17期3,4版参考答案 所以要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少， 概率核心素养综合测评 所以5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于7即可 一、单项选择题 1~4 DBDA 5~8 BBAC 由5张卡片中任取2张的方法数有10种， 提示： n张“中奖”卡中取到2张的方法数有(n,卫种， 2 2.因为树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食 物的概率为号=司 所以a0> 20 即n(n-1)>10,且2≤n≤5， 3.甲不输这个事件可以看作是甲获胜和两人和棋这两个 故n=4或n=5,即n至少为4. 互斥事件的和， 二、多项选择题 因此所求概率为P=0.3+0.55=0.85. 9.BCD;10.ABD;11.BD. 4.目标受损但未击毁的概率是1-0.2-0.4=0.4. 5.抛出一次，恰好出现蛇的图案朝上的概率为7，出现其 提示： 9.在(A)中，不满足等可能性，不是古典概型； 他图案朝上的概率为号， 在(B)中，同时掷两枚骰子，点数和为9的事件是随机事 件，满足有限性和等可能性，是古典概型； 由于甲、乙抛掷模型的结果相互独立， 在(C)中，从7名同学中选出5名同学参加学校演讲比赛， 故所球概率为站×吕+吕×立=号 每个人被选中的可能性相等，满足有限性和等可能性，是古典 6.因为至少道过-个社团考核的概率为号，所以三个社 概型； 在(D)中，3个人站成一排，其中甲，乙相邻的事件，满足 团都没有通过考核的概率为号，则依题意， 有限性和等可能性，是古典概型. 故选(B)(C)(D). 1 3mn=30, 10.由概率和频率的关系知(A)正确； 得 l(1-)1-m)1-m)= 不同的样本点是彼此互斥的，在同一次试验中不可能同时 发生，所以(B)正确； (mn 10 任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，所以 2 (C)错误； -(m+n）+mn= 某种皮肤传染病的治愈率为0.9,100个病人前来看病，被 解得m+n=0 治愈的可能有92人，所以(D)正确。 故选(A)(B)(D) 7.设A,B,C,D四位妈妈的小孩分别是a,b,c,d, 11.由题意得，事件A的样本点为{1,3,5,7}，事件B的样 则坐车方式的样本空间为(Ab,Ba,Cd,Dc),(Ab,Bd,Ca, 本点为1,2,3,4}，事件C的样本点为2,3,5,7. De),(Ab,Be,Cd,Da),(Ac,Ba,Cd,Db),(Ac,Bd,Ca,Db), 对于(A),事件B与C共有样本点为2,3，所以不互斥，(A) (Ac,Bd,Cb,Da),(Ad,Ba,Cb,De),(Ad,Be,Ca,Db),(Ad,Be, 错误； Cb,Da)},共包含9个样本点， 对于(B),事件AUB的样本点为{1,2,3,4,5,7}，所以 而A的小孩坐C的车的样本点为(Ab,Bd,Ca,Dc),(Ac, Bd,Ca,Db),(Ad,Bc,Ca,Db),共3个， P(AU)=名=子，(B)正确： 放所求概率为号=了 对F(C),P0=音=，P0=冬=分Anc的 8.由题可知，刮第1张卡前，下注50元： 样本点为3,5,7}， 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否 中奖，资金必减少； 所以P(AC)=冬≠P(A)P(G, 10-