第15期 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期(2025年10月) 将其代入抛物线方程， 第13期参考答案 得48=-2p×(-60),解得p=6 5 圆锥曲线核心素养综合测评 一、单项选择题 则抛物线的方程为=-12 1~4 BABB 5 ~8 ABCD 8.依题意得a=3,b=√5，c=2, 提示： 1.c=5-1=2,可得焦点坐标为(-2,0)和(2,0) 2.由焦点为(3,0)，则32=a+12,解得a=8. 3抛物线C:2=y的准线方程为y=一子 图1 又点M在抛物线上且纵坐标为1， F(-2,0),F2(2,0),N(3,5), 所以点M到C的焦点的距离为1-(-）=子 则1NE,I=√2+(5)2=6， 4.由题得a2=80,b2=35, INE1=52+(5)2=√30， 所以a=45,c=√a2-6=35, 所以IMWI+1MF,I≥|NF,I=√/30， 所以长轴长2a=85,焦距2c=65, 当M位于线段NF,与椭圆交点M2处时等号成立 所以长轴长与焦距之差等于2a-2c=25. 根据椭圆的定义可知IMNI+1MF,I=IMW1+2a- 5双确线号-若-1。>06>0)的渐证线方程为 I MF2 I =6+I MNI -I MF2Is6+I NF2 I, 如图1所示，设NF2的延长线与椭圆相交于M1, b y=± a , 则当M位于M1时，6+1MN1-IMF2I取得最大值， 又痛近线过点P3,-9),即-9=-合×3，则片=3， 为6+1NF21=6+6, a 综上，IMNI+MF,I的取值范围为[√30,6+6]. 所以离心率e=C= +6 /1+ =+3=m 二、多项选择题 6.设A(x1,少1)，B(x2,2),则y1+y2=1. 9.BCD;10.AC;11.ABD. 提示： y=4x1, 所以 →(y+y2)(y1-y2)=4(x1-为2)， 9.设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c, =4 椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆的直径， 所以k=么二上= 4=4. x1-x2y1+y2 由截面与圆柱底面的夹角0=牙得 7.由题意可设抛物线方程为x2=-2py(p>0), e0s0=8,解得a=4, 4 由题意知点(48，-60)在该抛物线上， 2a= 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 即椭圆的长轴长为2a=8,(A)不正确； 所以b=2a,所以占=2， 显然b=2,则c=√a-=25, 所以双曲线的渐近线方程为y=±√2x,故(C)错误； 肉心率e=台=.()正确： a 因为c2=a2+b2=3a2,所以e=C=5,故(D)正确： 当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立 因为OM⊥直线FP,且IOM1=a, 平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为后+号-1，（©）正确： 所以直线FP与圆x2+y2=a2相切，故(A)正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c=4-2√5， 双曲线的焦点坐标为（±√3a,0), (D)正确。 s1, 故选(B)(C)(D). 为中心在原点焦点在x轴上的椭圆， 10.由∠M0F=45°，可得amLM0F=6=1,即，=元， 半焦距=√4a2-a=5a,焦点坐标为（±5a,0), 「6=， 「x0=4, 联立方程组 解得厂4， 或 所以E与 +立=1有相同的焦点，故(B)正确。 262 y=4x0, %=4y0=-4, 故选(A)(B)(D. 所以(A)正确，(B)不正确； 三、填空题 又由抛物线的定义可得1MF1=+号=4+1=5， 2 12.25；13.3;14 2 所以(C)正确； 提示： 在△OFM中，可得1OF1=1,IMFI=5,I0M1=42, 12.由题意知，焦点在y轴上，则a2=4,b2=m,c2=1, 由余弦定理得 从而4=m+1,解得m=3. COSZ OFM =1 OF12+1 MF12-1 0M12 21 OFII MFI 则b=3,所以短轴长为2b=25. -- 13由题意得2，=0+号，解得=子，即A号，-3 2×1×5 所以(D)错误.故选(A)(C) 代入=2px(p>0)得(-3)2=2·号，解得p=3. 11.如图2，过双曲线的右顶点A(a,0)作x轴的垂线交渐 14.因为IPF,I=3IPF2I, 近线y=合于点B(a,b) 由双曲线的定义可得 I PF I-1 PF2 I =21 PF2 I 2a, 则1OBI=c=|OF1,不妨设M,P在x轴上方， 所以IPF2I=a,IPF1I=3a; 因为∠F,PF2=60°，由余弦定理可得4e2=9a2+a2-2 ×3a×a×cos60°， 图2 毯理可得：0，所以e后-子 因为IOBI=IOFI,∠AOB=∠MOF,∠OAB=∠OMF 即es 2 =90°，所以Rt△OAB≌Rt△OMF, 四、解答题 所以IFM1=IAB1=b,IOMI=IOA1=a, 由已知亦=2P成得1PM1=冬， 15解：(1)由题可得√+(-)=y+ 化简得2=2y.故点P的轨迹方程为x2=2y 由1OM12=FM1MP1,得a= 2 (2)由题意设A(x1少1)，B(x2y2), 2 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 将直线方程y=kx+1与抛物线方程x2=2y联立得x2- 2kx-2=0, 1&解：由=合√+（合= a 则x1+x2=2k,x1x2=-2. 得女=36 =,4=3,所以C的渐近线方程为y=±3x 所以IAB1=√+k·√(x1+2)产-4x (2)已知得：x=-号 =√1+k2·42+8=26, 解得2=1，所以k=±1. 代人浙近线方程得M(-子，-)，-分，) 16.(1)证明：双曲线C的渐近线方程为x±2y=0. 1 所以1MNI=3p,Sawm=2×3p×p=12, 点P(x,y)到直线x-2y=0的距离d,=|x-2yL 5 解得p=2√2，所以D的方程为y2=4√2x. 点P(x,)到直线x+2y=0的距离山，=x+2yL 2 1 5 「a+3=1， a2=3, 19.解：(1)由题意得 解得 所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为 1 2 d,d,=x-21.x+2l=1-421 后+3=1， 62=1, 5 5 5 所图C的方程为号+子。山 又P(x,)在双曲线C上，所以号-子=1， (2)设A(x1,y1)(x当1≠0)，D(x2,3), 即x2-4y2=4, 则B(-x1,-y) 所以44=号是一个含数 所以直线AB的斜率kB=立 (2)解：由号-y1得子- 4-1≥0， 设直线AD的方程为y=kx+m, 由题意知k≠0，m≠0. 解得x≤-2或x≥2.所以1PA12=(x-3)2+y =(-3)2+学-1=(-号)+号 因为AB上AD,所以k=-立 y [y =kx+m, 当x=号时，1PA1取得批小值子 由之 可得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0, 3+y2=1 所以1PA1的最小值为5 5 6mk 所以x+为=-1+3R 17.解：(1)由题可设椭圆C的标准方程为 2m =1(a>b>0). 1+=k(x+)+2m=1+3 b2 所以直线BD的斜率 且c=1,所以IPF,I+lPF2I=4=2a, 解得a=2,b2=a2-c2=4-1=3, 如-=一就=杂 1 x1+x2 即药园C的标准方裂为子+号1 所以直线D的方程为y+一汇(x+小， (2)在△PFF2中，由余弦定理得 IFF12=IPFI2+1PF2I2-2IPFI1PF2Icos120°， 令y=0得x=2x,即M(2x,0),可得h1=-当 4 =(I PF 1+I PF2 1)2-1 PF 1I PF21, 令=0得y=-号即N0-警）可得么一费 5y1 4=(2a)2-1 PF II PF,I 16-1 PFII PF2 I, 所以k=-子，即A=-子 3 所以IPF II PF2I=12, SamPF:PF I simn120 因此，存在常数入=一子使得结论成立。 —3 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 第14期1版参考答案 7.在Rt△ABC中，AC=√AB+BC=5cm, oB4G=专oLACB=子 专项小练一 1.ACD;2.C;3.D;4.(0,2,-3);5.(1,4,6). 所以cosLCAD=亏： 3 专项小练二 所以AC.BD=AC.(B+AD 2 1.BD2A:3.D:4.b-a-c:5.-30+2b+2C =AC.BA+A元.AD 专项小练三 =5×4×(号)+5x3×号-7 1.ABC2.D:3.C:43平：54 8.如图，过点P作平行于底面的截面圆O, 3 第14期3,4版参考答案 空间直角坐标系，空间向量与向量运算同步核心素养测评 一、单项选择题 B 1~4 ADAA 5~8 CBCC 提示： 过点Q作平行于底面的截面圆02,0102=6， 1.0A+AB CB OB CB BC BO OC. 设圆柱的底面圆半径为r,则2πr=12, 2.显然点B,的坐标为(2,4,2) 解得=合 3.因为BD=BC+CD=2a+4b=2AB. 于是(0，，0，⊙=2+2=2 且AB,B配有公共点B,所以A,B,D三点共线。 4.因为BM=BB,+BM 由P0=p0+0,02+020, =,+(BA+BC) 得1P01=√/(P0+002+0,0)2 (B =√/2r2+0022+2P0.0,d =c+(-a+b) √2×()+6+2×(】 =63+m T 5.设点C的坐标为(0，y,z),则 所以P,Q两点间的距离为53+ √/(0-1)2+(y-2)2+(z-2)7 二、多项选择题 =(0-1)2+(y+3)2+(z-1), 9.BD;10.AB;11.AD. 即(y-2)2+(z-2)2=(y+3)2+(z-1)2, 提示： 即5y+z+1=0. 9.在棱长为4的正方体ABCD-A1B,C,D,中，IBD,I=45, 经检验知，只有选项(C)满足. 对于(A),1BD1=√16+16+4=6≠45， 6.因为单位向量a,b,c两两垂直， 所以1a1=lb1=1cl=1,a·b=b·c=c·a=0, 对于(B),1BD11=√16+16+16=45， 所以(2a-2b+4c)·(-a-3b+2c)=-2a2-6a·b+ 对于(C),1BDI=√16+16+4=6≠45， 4a·c+2a·b+6b2-4b·c-4a·c-12b·c+8c2=-2+6 对于(D),IBD11=16+16+16=45, +8=12. 故选(B)(D). 4 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 10对于(A),因为0心=号+子成。 坐标分别为(0,1,2)，(2cos0,2sim0,-1) 所以1AB1=√/4cos20+(2sin0-1)2+9 则}(0配-0=子(o店-0心)，即号配=子成， =√14-4sin0≥√/10， 所以AC∥CB,所以A,B,C三点共线，故(A)正确； 等号成立当且仅当sim0=1.故答案为√0. 对于(B),空间中三个向量a,b,c,若a,b共线， 四、解答题 则a,b,c共面，故(B)正确； 15.解：由题图可得M=M+AD+DN, 对于(C),(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a M=Mi+B元+C, ② 共线的向量，而a与c方向不确定， MA =-MB.DN =-CN. 故无法确定(a·b)·c与a·(b·c)是否相等， 因此，①+②得2M=AD+BC, 故(C)错误； 对于(D),当非零向量a,b方向相反时，a·b<0, 即孤=子d+子8配 此时向量夹角为180°，故(D)错误。 16.解：由空间两点间的距离公式得， 故选(A)(B) 1AB1=√(1-4)2+(-2-2)2+(11-3)7=89， 1.因为P是CA的中点，所以正=之（杯+心 1AC1=(1-6)2+(-2+1)2+(11-4)2=53, 之(+店+=(a+b+c),()正确： 1BC1=/(4-6)2+(2+1)2+(3-4)2=√14， 所以IABI2=IACI2+IBCI2,且IAB1,IAC1,IBCI 因为点Q在CA1上，且CQ0A,=4:1, 互不相等，所以△ABC为直角三角形. 所以d-A+A,d=+5A,C 17.解：设B,正=AB1C(0≤入≤1) =+与（配-=5C+号 因为A正=AB+B,正=AB+ABC=AB+BB+AB,C, 所以A正·A元=(AB+BB+AB,C)·AC =与证+动+号=与+古0+专， 4 =A正.AC+BB.A+入B,C.AC (D)正确.故选(A)(D). =1×2×cos45°+入×1×2×cos45°=1+X. 三、填空题 所以向量正在向量A配方向上的投影数量为+A, 12.0;13.充分不必要；14.√10. 2 提示： 又0≤A≤1，所以1∈1+A≤2.所以号≤1方产≤厄 12.因为a,b是单位向量，所以a2=b=1. 因为1a1=1a+b1,所以a2+2a·b+b2=1, 所以响量死在向配涧上投数量的取值范为号.D] 故ab=-2 1 18.解：设AB=a,A元=b,AD=c, 所以（口+2b）b=a:b+28=-分+分=0 则1al=1b1=Icl=1,(a,b〉=(b,c〉=(c,a〉=60 13.由AP·AB=0,AP.AC=0得： ()脉=励=（而-=c-2,赋-a, A.(AC-AB)=0,即A.B元=0， 脉.=（分小(-a)=0-c 反之.B元=0，则4.(A配-A)=0, 但A.A元=AP.AB未必为0. =×12-×1×1×2 =4 故4.A=0且A4P.AC=0是4.BC=0的充分不必要条件 (2)E元.BD=(E+A·(AD-AB 14由题意点A(1,7,2）与点B(2,6,-1)的空间直角 =(分店+方元+分而)（动- -5- 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 =(-2a+2b+c）(c-a) 当且仅当O,A,B三点共线，且A在O,B中间时AB取最小值. =×(-1x1×+1x1x3+12+1-1x1× 第15期3,4版参考答案 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算 号1x1x2）= 同步核心素养测评 19.(1)证明：设C=a,C正=b,CC=c, 一、单项选择题 根据题意，1al=lb1=1cl,且a·b=b·c=c·a=0, 1~4 AAAC 5~8 BCCB 所以c2=b+之c,元=-c+2b-之a 提示： 1.a+2b=(1,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,3)+(-2,0, 所以屁.而-之c+=0, 2)=(-1,2,5) 所以C龙⊥A'D,即CE⊥A'D. 2.设点A在基底{a,b,c}下对应的向量为p, (2)解：因为AC=-a+c, 则p=8a+6b+4c=8(i+j》+6(0+k)+4(k+i)= 1C1=1a1,=1al, 12i+14+10k, 故点A在基底{ij,k}下的坐标为(12,14,10). C.成=(-a+c(b+2)=2c=1a, 3.0元=子0C=子(+aG 所以cos(AC,C2= 10 :是成+×号引宁+脑] 万.51a2 2 =子+[（成-+(o元-0] 即异面直线CE与AC所成角的余弦值为而 10 =子o+o成+0d 第15期2版参考答案 4.由正方体的性质可得E(2,0,1),C1(0,2,2), 专项小练一 设F(2,y,0),则EC=(-2,2,1),E=(0,y,-1), 1.B;2.A;3.A; 因为∠CEF=90°，所以EC·E=2y-1=0, 4(3,3:5(号号号) 解得y=,则点F的坐标为(2,2,0）月 6.解：a+b=(2,-3,5)+(-3,1,-4)=(-1,-2,1), 5.由P,A,B,C四点共面，可得PA,P店，P元共面， a-b=(2,-3,5)-(-3,1,-4)=(5,-4,9), 设P元=xP+yP=(x+5y,2x-y,4x+3y)=(m,n,-1), 8a=8(2,-3,5)=(16,-24,40), x +5y m, 1+2n=-5y, a·b=(2,-3,5)·(-3,1,-4)=-6-3-20=-29. 则2x-y=n, 解得 1+4m=17y, 专项小练二 4x+3y=-1, 1.ABc:2.A:3c:4-9:52厘 所以17(1+2n)+5(1+4m)=0, 21 得10m+17n=-11,反之亦成立， 6.解：因为A(x,y,z),0(0,0,0),B(2,5,2),A0=1, 故“P,A,B,C四点共面”是“10m+17n=-11”的充要条件 所以A是以O为球心，1为半径的球上的点。 6.由题可得=店+B配+C=店+办+子A, 因为B(2,5,2), 所以0B=√(2)2+(5)2+2=3. 于是A=A=A店+布+专A, 所以AB的最小值为OB-OA=3-1=2, 由N为AM与平面BDA1的交点，得点N,B,D,A1共面， 6 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 则：+1+方=1，所以1=弓 0 7.因为a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),t∈R, 所以a-b=(-1-t,1-2t,0), 所以1a-b1=√(-1-t)2+(1-2t)7 图2 =52-2t+2= √5-+号 10.以D为原点，D,D元，DD的方向为x,y,z轴的正方向 建立空间直角坐标系， 35 ≥ 5 设正方体棱长为2， 8.由圆锥的性质可知SO⊥平面ABC,故可以点O为坐标 则A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),A(2,0,2),B1(2, 原点，平面ABC内过点O且垂直于AC的直线为x轴，OC、OS分 2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),M(2,0,1),N(2,2,1). 别为y、z轴建立空间直角坐标系，如图1， 于是AC=(-2,2,0),D1N=(2,2,-1), A元.DN=0,AC⊥D,N,(A)正确： M元=(-2,2，-1)，M元.D,=1,(B)错： 4B-AD=D,B=(2,2,0), MC.(AB-AD)=0,(C)正确； 图1 配=记-成=证+而-分=屈+2耳店+0 设0A=0B=1,SA=5,则0S=2, (D)正确.故选(A)(C)(D). 易知A0,-1,0),c0,1.0),50.0,2),4M(0,-之1 11.连接并延长PG交CD于点F, 因为G为△PCD的重心， 因为cos∠B0C=亏， 2 所以民=子序=子x宁屁+励=了（民+励， 所以sin∠B0C=√1-cos2∠B0C= 5 所以B配=B脉+P心=B+子(P心+P 所以（停号） =-p+子(P元+P=成-P+}(P元+p 所=（停号-2）网=(0.-是） =成-元-+（元+m=--子元+专成 所以cos(SB,C= -1-2 又BG=mpi+nP元+pPi, 所以m=-1n=-号p=子， 2 4 =-665 65 所以m+n+p=-号，(A)正确； 因此，异面直线SB与CM所成角的余弦值为5丽 65 因为P丽=元+成=号(P元+Pi-子BC 二、多项选择题 9.BCD;10.ACD;11.ACD. =元+成子可+号风+网 提示： +子心-}m, 9.结合长方体，如图2，可知向量a,b,x共面，x,y,2不共 面，b,c,z不共面，x,y,a+b+c也不共面，故选(B)(C)(D) 所以1成2=（分+号元-号Pm) -7 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 =g亦+号心+4㎡-号成.心}m 13.设P(x,y,2),则A=(x-2,y+1,2-2), +子底风 (-d=(3,子，-2） 号x32+号×32+×2-号×3×3x-号× 所以(x-2,y+12-2)=(3,号，-2） x-2=3, rt=5, 3x2×7+号×3x2×=5， 所以+1=多解得y=2 1 所以PM=√5，(B)错误； 2-2=-2, z=0. 因为G=P时-P心=P历-P心-历=-}P氏 所以点P的坐标为(5，，0 -元而=丽-P,P成=+子元-分成 14.因为AB,AC的夹角为锐角， 所以A正.A元=2A+2+2>0, 设D=xG+yPm, 且不能同向共线，解得入>-2，且入≠4. 则宁=1，-分+子=0，-立分=1， 则入的取值范围为(-2,4)U(4,+). 所以x=-4,y=-2,所以Ad=-4G7-2P. 四、解答题 所以向量Pi,AD,G7共面，(C)正确： 15.解：(1)AB=(-1,-1,-1)-(1,-2,-3)=（-2,1,2). 因为才=时-底=可-专庇-背可-号元 （2②)因为a/6,所以片=手= 解得x=2,y=-4, +(A-)元，成=--号元+号而， 则a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 由BG1可得，.=(--子P元+号m): 又因为b1c,所以b·c=0,即-6+8-z=0, 解得z=2,于是c=（3,-2,2). [-g元+(a-号)m]=0 16.证明：由题图知 MN DN -DM 又1P12=4,1pP元2=1Pm2=9, pp元=pm=3,Ppm=号， =(号耐+成)-号成 =子成+}成.子(+心 所以1-3a-号）+2-3A-3)-2+12(A-3) =0 =号成子成 所以向量M,C⑦，D正共面。 所以6(-号)=-1，所以A=右，(D)正确， 17.解：(1)成=-花=分AC+子-成 故选：(A)(C)(D) BC=BC BB'AC AB AA 三、填空题 (2)连接AB,假设线段CB上存在一点E,使得BD⊥AE, 2(兮号号)或（分子号）： 且B,E=BC,A∈[0,1]， 13.(5,30:14.(-2,4)U(4,+) 则A正=AB+B正=A店+AA+入B,C 提示： =入A配+(1-A)A店+(1-A)AA, 12.AB=(1,2,2),1AB1=3,所以与AB平行且模为1的向量 因为BD1A,所以励·花-（分C+分-） 器片导)品宁子》 [A4花+(1-)+1-A)=2(1-3M).+ 一8一 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 之AA交+之1-0-(1-)A应 6.解：(1)由已知可得， 长方体顶点A,B,A',D的坐标分别为 =1-3x+2A+8(1-入)-4(1-A)=5-5λ=0， A(4,0,0),B(4,2,0),A'(4,0,3),D'(0,0,3) 所以入=1，此时点E与点C重合，1A正1=1AC1=2, 因为向量A4=(0,0,3), 所以存在点E,且1A正1=2. 所以直线A4'的一个方向向量为(0,0,3) 18.解：AB=（-2,-1,3),AC=(1,-3,2). (2)因为向量BD=(-4,-2,3), (1)因为cos(A正，AC=A店·AC IABIIACI 所以直线BD'的一个方向向量为(-4，-2,3). -2+3+6 专项小练二 4+1+9·个+9+4= 1.A;2.ABD;3.B. 所以m(店心= 4.-8;5.(1,1,1)(答案不唯一)，x+y+z=3. 6.解：以D为原点，以DA,DC,DD的方向分别为x轴、y轴、 所以S=|ABII ACI sin(AB,AC=75. z轴的正方向建立空间直角坐标系， 即以AB,AC为边的平行四边形面积为75. 则D(0,0,0),D(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0): (2)设a=(x,y,z),由1a1=5,a1AB,a上AC, 因为DP:PA=DQ:QB=5:12, x2+y2+2=3, =1， =-1, 所以P(音0号》（吾.o,成=(0，高，-》 可得-2x-y+3z=0, =1,或y=-1, x-3y+2z=0 z=1, z=-1. )101=√0+(》+(-)=号 所以=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1) (2)因为DA=(1,0,0),所以P0.D=0,即PQ1DA 19.解：以C为原点，以CA,CB,CC,所在直线分别为x轴y 又DA=(1,0,0)是平面CDDC1的一个法向量， 轴、z轴建立空间直角坐标系C一xz 且PQ丈平面CDD,C1,所以PQ∥平面CDDC: (1)依题意得B(0,1,0),M(1,0,1), 所以1B1=√(1-0)2+(0-1)2+(1-0)=5. 第16期3,4版参考答案 (2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B(0,1,2) 4.1~4.2同步核心素养测评 所以BA=(1,-1,2),CB=(0,1,2),B·CB=3, 一、单项选择题 1BA1=6,1CB1=5, 1~4 BAAD 5~8 ADCC 所以（瓜，成）：·成画 提示： IBA,I .ICB I 10 1.因为a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0, （3)依题意得C(00,2).N分72 所以4上12 2.由题知：AB=(-1,2-y,z-3), 所以4店=(-1,1，-2)，G=(分 因为m》孩房以子名，：品 因为1庄.G=-分+分+0=0， 解得y=子：=子，所以y-:=0 所以AB⊥CN,即A,B⊥C,N. 3.由题意可知，A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1), 第16期2版参考答案 则BA=(0,-1,1),BC=(-1,0,1). 设平面A1BC的法向量是n=(x,y,z), 专项小练一 1.B;2.BCD:3.B. rn·BA=-y+z=0, 则 取x=1,得n=（1,1,1), 4.(0,0,z)(z≠0)；5.-1,2. ln·BC=-x+z=0, 9 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 所以平面ABC1的法向量是(1,1,1). 4.若可能l∥a,则b⊥n,即b·n=0. （A)选项，b·n=1×(-2)=-2≠0； (B)选项，b·n=1×1+5×1=6≠0： 图2 (C)选项，b·n=1×(-1)=-1≠0； 则P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),0(1,1,0), (D)选项，b·n=(-1)×3+3×1=0.故选：(D). 则F(1,0,1),E(0,1,1) 5.设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 所以F元=(1,2，-1)，F2=（-1,1,0), 由AB⊥n,AC⊥n, 得+2y+32=0, 设平面EFC的法向量为n=（x,y,z), z=x 所以 l3x+2y+z=0,y=-2x, n·F元=0，「x+2y-2=0, 则 n.F2=0l-x+y=0, 令x=-1,解得y=2,z=-1, 令x=1,则y=1,2=3. 所以n=(-1,2,-1). 所以平面EFC的一个法向量为n=(1,1,3), 6.如图1，连接B'D',BD,ED',FB, 因为OG∥平面EF℃，则n·OC=0. 正四棱柱ABCD-A'B'C'D'的对角面BDD'B'是矩形， 设G(0,0,a),则0C=(-1,-1,a), 则BD∥B'D' 所以-1-1+3a=0. 解得a=子所以c(0.0,子)， 即46：景 图1 8.如图3，连接DM,D1B, 因为E,F分别是AD,AB的中点， 且以C为原点建立空间直角坐标系， 则EF∥BD∥B'D' 又O为上底面中心，则O∈B'D', 因此四边形EFB'D'是平面OEF截正四棱柱ABCD- A'B'CD'所得的截面.延长GO∩A'B'=H, 图3 由G是CD'的中点，0为上底面中心，得 故C(0,0,0),D1(1,2,0),D(1,0,0),B(0,0,1) GH∥B'C'∥BC, 设Q(x,y,z）, 连接BH,CG,则四边形BCGH是平面OBG截正四棱柱 由D示=N元，B成=2MD, ABCD-A'B'C'D'所得的截面， 知N是DC的中点，M是DB的三等分点， 显然FB'与BH相交，令交点为M,M∈l,四边形BB'HF是 正方形，则M(4,3,1), 所以（分0.0）（子，22） 而0(2,2,2)，又0el, 所以向量0=(2,1，-1)是直线1的一个方向向量，(D) 城（令29合）丽=（合小 满足， 因为Q.M0=0, 选项(A)(B)(C)中向量与O不共线，故选(D). 则（分-，-（分9写）=0 7.以A为坐标原点，AB,AD,AP的方向分别为x,y,z轴的正 方向建立空间直角坐标系如图2所示， =0, 3 10牌 本森责任编情：冀朝调 相纸编框质量反情电话 02515271268 兹理相 [22 年10月20日·星期 高中数学 担纸发行责量反墙电话： 15期总第1159期 北师大 0351-5271248 选择性必修第一 社长：徐文 国内统 教授与乞丐 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版 连续出版物号：CN140707F)邮发代号：21-16 两个人同时在南上 新题速递： 以运算结果是C的有①②④ 交汇问道，解题的关键是熟蛛掌模充分条件、动 帝所：万能的主 室间向量及其运算 点评，然论开改型创好问数，站论是不确定 要条件，充委件的概念 业成再年径一日吧 一的，解时委注意运用相应的解题篆 三，探索型 ,“上听到后，召览 略，如举反例、精殊植法，神豫法、等价转化、数 例3已知A,B,C 三点不共线，对平面AB 1 创新题展示 利出会笔 外的一点0.若0=20-0i-0元则点M 二.知识液江型 是否与A,B,C一定共面，井說明理由 。山东费青 例2已知空间任意一点0和不共找的三点 解：点M与A,B,C不共面，理由如 的知识多， 结论多解型 4.B.C.满足0示=x0+y0丽+：O元(xeR,) 假设点与A,B,C一定共面， 例1如右图所示，在正 R,cR).则“x+y+=1“是“点P位于平 则存在实数对(，y》 体ABCD-A,B,CD, 面ABG内”的 使得=+y成立 的 ①A,+CC:② (A)充分不必要条 于是对平面ABC外任一点0. AD)+D.C:(AB (B)必要不充分条件 0=1-x-y》0+xi+y0元 B B,C:④(AL (C)充要条件 --y=2 A,B+,G,上列各式中运算的结果为向量 (D)既不充分又不必要条件 比较原式，由基本定理得 ￥=-1。 解：若空间任意一点0和不共线的 三点A AC的共有 (将以上运算结果为AC的 -1 序号填到镜线上) B.C,满足0示。：0+，丽◆：0元（￥eR,y 此方程组无解，这与根设千盾， 成想再年轻 解：①（+BC+CG=C+CG R,eR),且+y+:=1.则点P位于平面ABC 所以不存在xy使丽=x店+yA花成立 内，反之.若点P位于平面ABC内，且0=xO 第二位4 我 2(AA,+A,D)D.C:=AD,+= 所以点M与A,B,C不共面 这 点评：本题正要考查了空简向量的头面向 的感觉 3(AB+BB)+AB,+B,C AC +y0+:0元(x∈R,yeR,:R),则x+y+ :=1.故选(C) 量定厘，考查了方程思想的远用，从然论入手降 ④(+B)+BC=AB+B,C=AC.所 点评：衣题只曼是空间向量与辑条件的 低了思掉堆度 在我年轻的时候 从近几年高考看，空向量的题目几乎剂 用中 我漫到过妇 以4=(-2.0,2，B,E=（-1,0, -2 离不开空间向量的坐标运算运用空间向量的 所以s(Ad,B,E -2 空间向量坐标运算 零动的陕感 我所有 坐标孟算可以解决有关定量和定性的向题下面 =2元 的只有 器味 华例说明，供大家参考 现在所美慧的是 一，求长度 和创造。 即40与，所成角的余弦值为巴 应用show 例1已知A,B,C三点的坐标分别是(2 三，处理平行问题 我会让 1.-2).(450,-2,23且d=d 例4已知A1.5.-2).B(3.4.4).C4,3. 。山西魏虎蝴 再年一的 ，同意他们的要 2A，求向量国的模 +2),如果A,B,C三点共线，则：+5= 两人见章新回到 解：=(2.6,3)，4记 =-4.3.5) 解：因为A,B,C三点共找，所以∥ 所以B,D⊥BA,B,D⊥BD 人同，生从1性岁开 则丽=丽-2G=(5,0.-子） 又BABD=B,因此B,D⊥平面ABD 而Ag=(2.-1,6). 五，巧氧探究性问 推授样所有的书 奶在了一边」 天 所以1A= +0+(- AC={g-1,-2,b+4), 例7已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,M %子玩乐之中 N分别是AB,PC的中点，∠PDA=.能否确定 149 ,使直线MN是直线AB与PC的公垂线若能确 2 所以4=5，b=8.所以a+b=3. 定，求出的值：若不衡确定，请说明理由 ZBCA 90".AA, 求角度 四、处理垂直问 解：如国3，以点A为 (Y (3 (2):(2 例2已知空间三点A1,2,3),(2,-1. 例5已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x). 原点建这空间直角坐标系，设 的 5),C(3,2,5),设a=Ab=C,若a与b的夹 (1,-4x2),若(a+b)1c.则x= A0,0,0).D2a,0,0),(0 上◆又8 角为8，求c8 2b.0).C(2a.26.0) 解：因为4=(1,-3,2)4=(2,0,2) 解：由题得a+6=(-21,江+3 那么P(0,0,2anna) 所以1a=11=√个+(-3)+2 因为(a+b)上e. (0,b0) 所以-2-4+2(x+3》=0 Vabutan 解得x=2. 所以A店=(0,26,0)，P元=(2m,2h 1b1=AC1=2+0+2 =2 例6在直三楼柱ABC-A,B,C,中，∠ABC 2guan 0)N=(a.0.gtan 0). a.b 3 90°，lG1■2,1GC,14，D为CC,的中 4 点.正明：BD⊥平面ABD. 因为.=(0.26.0)(a.0,m)=0 例3在长方体0AB 证明：2.以为坐标源点，建立空间直角 所以店上不，圆AB上MN恒成立 0A.BC,中，0川=2.AB=3 坐标系.则B(0,0.0),D02,2),B,(0.0,4) 若MN⊥PC 大启： 不要想 埋自己的境况不往 AA, =2,E为C的中点 设BA=a,则A(a,0,0) 则W示.元=(a0.atam)(22,-2atm8 豆 40 与B,E所成角的余弦值 和人 以=(a.0,0) =2a -2aa0=0, 解：建立空间直角坐标有 得an28=1. 如图1所示 i。(022) B,d=(0,2,-2 因为8为能角，所以1m8=1.即8=45 由题意得4(2,0.0)，0，(0,0,2) 即当845时，直线MN是直线AB与PC的 B(2,32),E(1,3,0). 因为BD·=0 公垂线 (-.2..8 N 5. 12.0:沙：A 5-4.6). 1.ACD;2.C:3.D:4.(0.2.-3) 3.e80--.1.00.d-0i..csc-. -2..- .-4) (c10 2：11。-2.1)。- (D)-2 (8t-2.4.-2) 11-. 耗：gi话54.1c56.1orc 米ai话。n-.ia.a.0 5.=(-1.2,3)b (1,1.1), N:用：42043：14. (粮：用礼-7+e. (A)2 (A)3 BCE L A'D,CE 1 A'D. 日可全回出电训光：11.0000 5.(-1,2.3),8 =(1,1,1). 共2...dntt23)4. 8-2 1元m格)活耐此arLl2.drl2.-1. 8)4 znt-R.2.k:! (#*-3.3.3).4te.34.400 (C)e =(2.3.0)f(0.0.0) (#e-1100).i-t-3000 C的三等分点，点N满足N■A,若N为A与平面DA,的交点 (A)m+n+p = 空间向量基本定理及向量的 则■ (B)PM =5 直角坐标运算同步核心素养测评 (N) (B) (c) (D) (C)若A=},则向量P网，而，矿共面 ◆数理报杜试题研究中心 (D)老成1京.则A=名 第1卷选择题（共58分） 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。 1.已知向量4=(1.2.3).b=(-1.0,1》,则a+2b 三，填空重：本题共3小题，每小题5分，共15分 7.a ,)b (24，)，则 I a 1的最小值是 12已知4(1.1，-1)，(2,3,1)，则与平行且模为1的向量 (A)(-1.2.5) ((-14.5 是 高中数学· (C)(1.2.5) {D)(1.4.5) (B)质 95 13.已知点0为坐标原点，三点的坐标分别是A(2,-1,2》, 2.已知点A在基a,b,c下的坐标为(8,64).其中a=i j,b=广+k,e=k+i,则点A在基底i,k}下的坐标是 8.如图3，某谁S0的始面SAC,共中=5A0,点B是成 (45,-0,c(-2,23.若证=号（店-，则点P的坐标为 高中数学 选择性必修第一 (A)(12,14,10】 (B)(10.12,14】 面圆周上的 一点，且mL0C子，点W是线段81的中点，则异面 (C)(14,12,10) (D)(4.32) 直线sB与GV所成角的余弦值是 14.已知点A(1,2,1),B(332),C(A+1,4,3),若,元的夹 3已知0-ABC是四面体，点G,是4ABC的重心，点G是OG 上的-一点，且0G=3cG.若0=x0+y0丽+：0元，则(x,ya)为 2 角为悦角，则A的取值范围为 选择性必修第 四，解答题：本题共5小题，共77分。 15(13分)(1》已知A(1,-2,-3),B(-1.-1,-1),求A的 一册（北师大版）同步核心素养测评 ((合号4】 ((是) o得 (D号 坐标： 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共8分 (2)已知a=(x,4,1),b=(-2y.-1),e=(3.-2.),且 c)(仔】 (D(子号】 g.设r=a+b=b+c,:=c+a,且a,b,c是空间的 个 a∥bb⊥e,求g.b.c 基底，则下列向量组可作为空间的基底的有 4,如图1，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-4,B,C,D,校长 为2.E为正方体的棱M,的中点，F为棱AB上的一点，且∠G,EF (A)a.b.r (B)1b,c,2 (D)ix.y.a+8+c 0°，则点F的坐标为 (C)x3,2 册（北师大版）同步核心素养测评 10如图4.在正方体ABCD-A,B,C,D中，点 (a2,0】 M,N分别是棱A4,和B,的中点，则下列选项正确 (B(2号0】 的是 (A)AC⊥D,N c230】 (B)C⊥Dd ((2号0 (C)C.(B-A,D=0 5已知空问量P=(1.2,4),P=(5,-1,3).P元=《m.n (D)w底=正+于屈，店+ 1),则P,A,B.C四点共面”是“10m+17a■11“的( 1.图5，四按锥P-ABCD的贱面为河 (A)充分不必要条件 行四边形.且LAPm=LAPC:∠DPC= ()充要条件 (C)要不充分条件 PA=2.PC=PD=3.G为△PCD的重心，W为 (D)既不充分也不必要条件 BG的中点若B配=mP+n元+PP可，P7= 6.图2，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点M是CC,上靠近点 AP元，则下列结论正确的品 (