第11期 抛物线（二）-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期(2025年9月) 设右焦点为F,左焦点为F', 第9期2版参考答案 当点P在左支上时，则1PFI≥a+c=6, 专项小练 所以1PF'1=1PF1-2a=8-2×2=4; 1.A:2ABCD:3.C.4.22:5.号-5=10y≤-3 当点P在右支上时，IPFI=lPF1+2a=8+2×2=12. 故选(D). 6,解：设双曲线方程为号-￡ a-F=1(a>0,6>0). 5.由题得。=02=9，解得a=子，则：=子+i, 由已知椭圆的两个焦点F,(0,-3),F2(0,3), 又双曲线与椭圆交点A的纵坐标为4， z= 42 (15)2 a2=4, 6.由题意知IAPI+lAF2I=IAP1+lAFI-2a, =1, 所以A(√15,4 解得 la2+b2=9, 6=5, 要求IAPI+AF,I的最小值， 只需求IAPI+1AFI的最小值， 故双曲线方程为4-了三人 当A,P,F,三点共线时取得最小值， 专项小练二 则IAPI+1AFI=IPFI=√/37 1.B;2.C:3.C.4.0:5.2. 所以IAPI+|AF21=IAP1+lAF,I-2a≥√37-25， 6,解：由题意可设要求的双曲线方程为号-上 4-6=入≠0， 瓦设双曲线的标准方程为多-京=1（口>0,6>0 把点P2,3)代人可得生-号=A,解得A=一分 1 因为半焦距c=5,2=a2+b2,所以62=5-a2, 听以双曲线方程为、 =1. 2 因为线段PF的中点的坐标为(0,2)， 第9期3,4版参考答案 所以点P的坐标为(5,4). 将P(5,4利代人双面线方程，得。=1， 16 双曲线同步核心素养测评（二） 解得a2=1或a2=25(舍去)， 一、单项选择题 所以双曲线的标准方程为2-千=1 1 ~4 CACD 5~8 ACBA 提示： 8依题意可知(4)，N,-2 2由双曲线号 3 之一。=1，则其渐近线方程为y=± 3y2 将M.N的坐标分别代人行二1， 由愿意整理方程x士2y=0可得y=±子，则3=子 1 =2 2516=1, 3a2-2 解得a=6. 得 解得a2=3,b2=9, 134 3.e= I FF I 8 =1 a=1Pg1-Pg,=1610=2, 4.由双曲线的方程可得2=4，b2=12, 所以双曲线C的方程为号-号=1，其流近线为y:±， 所以a=2.c2=4+12=16,可得c=4. 依次分析计算选项可知，只有(A)选项，其渐近线为y= 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 ±√5x,符合题意.故选(A) 2≠4时，4=16(b2-2+4), 二、多项选择题 若4<0，则方程组无解，直线与双曲线交点个数为0， 9.ACD;10.ACD;11.AD. 若4=0，则方程组有一解，直线与双曲线交点个数为1， 提示： 若4>0，则方程组有两解，直线与双曲线交点个数为2， 9.设IAF21=t,则1AF,I=2t,IFF2I=√3t, 综上得直线y=x+b与双曲线C的公共点个数只可能为 IF F I 0,1,2,即(D)正确.故选(A)(D). 离心率e=1a,1A,=5,(C)正确： 三、填空题 因此√+千=5.6=2，()正确： 2s51a542 1F,F1=2√+b=25,(B)错误； 提示： 设A(xA,yA),将x4=√5代人得yA=2,则A(5,2), 12.双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为 则△ABF的面积为)1FF,1·21=4,5,(D)正确 32-4 =1,可得a=42,b=2, 故选(A)(C)(D). 所以双曲线的实轴长为8√2，虚轴长为4. 10.由题意可得2a=6,2c=10. 所以a=3,c=5,b=√2-a2=4, 13.由题意e=√a5-1 a+1- 2 则双线c号-后=1 则1+1=3+E 2 C的渐近线上的点到F距离的最小值为F到渐近线的距离 所以a=2 5-1 1+5 21 d=c=b=4,所以(A)正确： 14.设P(x,y),根据双曲线方程知左顶点为A1（-1,0),右 离心率e=台=子，所以(B)不正确； 焦点为F2(2,0), 所以P·P2=(-1-,-y)·(2-x,-y)=x2-x 双曲线上，右顶点到F的距离最小，5-3=2，所以(C)正确： C的通径长为芹-号，故(D)正跪 2+=4--5=4x-g)-器 因为x≥1，所以当x=1时， 故选(A)(C)(D). PA·P取得最小值，最小值为-2. 1因双曲线C的标准方程为2- 41, 四、解答题 则a=1,b=2,c=√5， 15.解：设爆炸点为P,由已知得 1PA1-lPB1=340×4=1360(m), 双曲线C的离心率e=￡=√5，即(A)正确： a 因为1AB1=2km=2000m>1360m,IPAI>1PB1, 双曲线C的渐近线方程为y=±2x, 所以点P在以点A,B为焦点的双曲线并靠近点B的那一 而双曲线户-千=1的渐近线方程为y=±子， 支上 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面 它们不同，(B)不正确； 直角坐标系。 因双曲线C的渐近线和圆(x-1)2+y2=1都关于x轴对 由2a=1360,2c=2000,得 称，不妨选渐近线2x+y=0,圆心(1,0)到直线2x+y=0的 a=680,c=1000,b2=c2-a2=537600. 距离d= 2 :5,所以海近我2x+)=0孩该圆所裁 因此，点P所在曲线是双曲线的右支， √22+1 x- 弦长为个日25.(G不正确 它的方程是462400537600=1(x>0). 16.解：(1)由双曲线方程知：其渐近线方程为y=±3x. 2 由=+6，得(4-2)2-26h-(6+4=0, l4x2-y2=4 (2)由双曲线定义IPF,I-1PF1=2a=6, k=±2，b=0时，方程组无解， 又IPFI·IPF21=IPF212+61PF2I=16, 直线与双曲线交点个数为0， 所以IPF212+6IPF2I-16=(IPF2I+8)(IPF2I-2) k=±2，b≠0时，方程组有一解，直线与双曲线交点个数为1，=0，可得1PF1=2(负值舍)， 2 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 所以PF,的大小为2. =1+2-3(x1-4+x2-4)=26. 17.解：方案一：选择条件①. 因为m>0,所以a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m, 19(1)解：由题可得受 6=1,即后=空1 所以a=√m,c=√3m. 联立 若-91号 -yoy =1, 因为C的左支上的点到右焦点的距离的最小值为a+c, 所以m+√3m=(1+5)√m=3+5, 消去，得（空-）F+-1+)=0, 解得烟=3故C的方程为号-若=1 则x2-2xx+后=0，显然4=4x号-4后=0， 所以该直线与双曲线有且只有1个公共点 方案二：选择条件②. 因为C的焦距为6，所以c=3. (2)解：由(1)知，直线-w=1与双曲线号-了=1 若m>0,则a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m, 相切于点(x,o), 所以c=3m=3,解得m=3,则C的方程为号-石=1： 所以过双曲线-=1(a之0，b>0)上一点(x0,y。) 若m<0,则a2=-2m,b2=-m,c2=a2+2=-3m, 所以c=√-3m=3,解得m=-3, 的切线方冠为号-学1 侧C的方恐为后-号=山 证明如下然导亭=1，即形-= 保上，C的方为-若=1政后-号=1 ox Yoy =1. a2-82 由 .2 去于得空-2华+6+方-0， 方案三：选择条件③. a-=1 因为C上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4， 所以2a=4,即a=2. 于是A= 6462+6)=4（66-a6-a6) a a" 若m>0,则a2=m,所以a=√m=2,解得m=4, =0, 则C的方程为后-苦-1： 因此直线-罗-1与双黄线号-云=1(a>06> a -62 若m<0,则a2=-2m,所以a=√-2m=2, 0)相切于点(xo,少o), 解得a=-2,媚C的方程为号-号=1： x 12 所以过双曲线若-方=1(a>0,6>0)上一点(） a 综上，C的方程为片-专=1政好号=1 的切线方程为产是=1 18解（①）因为1√(x-102+子-√(x+102+子1=2 (3)证明：当n=0时，直线1的斜率不存在， <20,所以C是以（√10,0），(-0,0)为焦点，实轴长为 由对称性知，点T为线段PQ的中点： 2的双曲线. 当n≠0时，设P(x1y1),Q(:22),线段PQ的中点N(t,s), 设c号-茶=1a>06>0测c=而a=16=3 2y2 由 =0 所以C的方程为父-号1 消去得（层-）+2m-=0, (2)由(1)可得C的渐近线方程为y=±3x, n 之一=1，得2-2mx+2=0,则t=奖 2 由=-3：得=L,即D01,-3》. y=x-4,y=-3, 又罗1，于是（倍-= 设A(1y),B(22）, 即点T与点N重合，所以点T为线段PQ的中点 J=x-4, 由 2,得8x2+8x-25=0, 第10期2版参考答案 =1, 专项小练一 所以1+x2=-1, 3 则0.0i+0店.0D=x1+x3-3(1+y2) 1.B;2B:3.C4.x=-2;5.1 一3 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 6.解：在方程x-2y-4=0中，令x=0得y=-2: 故IAB1=24,1BC1=12, 令y=0得x=4,所以抛物线的焦点为(4,0)或(0，-2) 故B(12,-12). 当焦点为(4,0)时，号=4，所以p=8, 设抛物线的方程为：x=-2py(p>0), 则144=-2p×(-12),即p=6, 此时抛物线方程为)y2=16x,准线方程为x=-4; 故焦点坐标为(0，-3). 当焦点为(0，-2)时，号=2，所以p=4, 7.由抛物线定义可知， 此时抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2. IAFI等于点A到抛物线准线的距离， 专项小练二 1.D;2.B;3.C.4.2;5.y2=8x 1A1的最小值为抛物线顶点到准线的距离，即1AF1≥宁， 6.解：设P(t,4t),且点P到直线y=4x-5的距离为d, 若1AF1>1恒成立，则号>1，即p>2. 则d=14-4=51-4f-4+5 /7 7 8依题意可得F(30） -- 设P(x,y)(x≠0)，Q(t,0),则0P=(x,y), 当1=分时，d取得最小值此时，P(分，)为所求的点 1 成=-0成=(}-，-） 因为OP⊥PQ, 第10期3,4版参考答案 所以O币.P=x(t-x)-y 抛物线同步核心素养测评（一） =x-x2-6x =x(t-x-6)=0, 一、单项选择题 因为x≠0，所以t-x-6=0,即t-x=6, 1-4 ACBA 5~8 DABD 提示： 所以元.成：(3-小4-)+ 1.根据已知2=2,2印= 之，焦点在y轴正半轴， =(3-小-到+6 所以焦点坐标为(0，g) =6(子-x+6=9, 2抛物线方程=宁，2印=分， 二、多项选择题 9.CD;10.BC;11.ABD. 所以准线方程是x=-8 提示： 3.由抛物线定义得3+号=4，解得p=2 9.√(x-4)2+y=1x1+4,当x≥0时， 4.设动点M(x,y),圆M与直线：x=-3的切点为N, 化简得y2=16x;当x<0时，化简得y=0,故(A)不正确， 则IMAI=IMW1,即动点M到定点A和定直线l:x=-3 显然点P始终在直线l上，故(B)不正确. 的距离相等， 等式的几何意义可理解为点P到定点(1,0)与到定直线 所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l: x+y=0的距离相等，符合抛物线的定义，故(C)正确， x=-3为准线， 可以转化为点P到F的距离与到定直线x=-4的距离相 故动圆圆心M的轨迹方程是y2=12x.故选(A) 等，符合抛物线的定义，故(D)正确。 5.直线3x+2y-6=0与x轴的交点为(2,0)， 故选(C)(D) 所以抛物线C的焦点为(2,0)，故5=2，解得P=4, 10.抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,故(A)错误； 由IAFI+|BF1=4,得y1+1+2+1=4, 所以抛物线的标准方程为y2=8x 6.如图1，AB为水面宽，BC为拱顶离水面的高度， 则1+力=2，所以点P的纵坐标==1， 2 即为点P到x轴的距离为1，故(B)正确： 因为直线I交抛物线于A,B两点，显然I的斜率存在， 设1的方程为y=:+m,与y=子联立消去， 图1 整理得x2-4hx-4m=0, 4 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 所以为=-4m所以为=4×4 =m2. 16 ly=±2p 若直线AB经过焦点F,则m=1,y2=1,故(C)正确； 则点D(2,2p),E(2,-2F), 若y1y2=1,则m=±1，当m=1时，直线AB过焦点F: 所以0i.02=4-4p=0,解得p=1, 当m=-1时，直线AB过点(0，-1)，故(D)错误 故选(B)(C) 因此C的准线方程为x=-号=一) 11,截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M, 故O也在截面上，同时根据对称性可知抛物线的对称轴为OM, 14.由1AB1=4+名+=8， 焦点在OM上，故(A),(B)正确 结合定义知AB的中点的横坐标为3， 设直线1：y=k(x-1),与y2=4x, 联立，得2x2-(22+4)x+2=0, 所以+5=2沙+4=6，得k=±1， 故直线的方程为：y=±(x-1). 图2 图3 四、解答题 15.解：由题意设抛物线的方程为x2=-2y(p>0), 由题可得圆锥的母线PA=PB=√4+4=42，AB=8, 所以AB=PA2+PB,所以PB⊥PA. 则其准线方程为y=号 如图2，连接OM,在△PAB中， O为AB的中点，M是PB中点， 由题可得号+4=6，解得p=4.。 所以OM为中位线，所以PA∥OM,PB⊥OM, 所以抛物线的方程为x2=-8y 所以0N=PA=22 又因为点A(m,-4)在抛物线上， 所以m2=32,即m=±4√2. 设平面a交底面圆于C,D,则CD=AB=8. 所以点A的坐标为（±42，-4） 以M为原点，M0为x轴建立坐标系如图3所示， 16.解：由抛物线的方程可知其准线为x=1. 则0(22,0)，D(2万，4).可设抛物线的方程为y2=2px, 设P(x,y),因为点P为抛物线上的动点，F为焦点， 把D(22,4)代入抛物线方程可得：42=2p, 所以IPFI等于点P到准线的距离， 所以抛物线为：2=42x,焦点F(2,0),故(C)错误， 所以IPA1+PFI的最小值是点A到准线x=1的距离。 所以焦点到准线的距离为2√2，(D)正确故选(A)(B)(D) 此时点P的纵坐标为y=1, 三、填空题 代人抛物线了=4，解得=一子 12.80;13.x=- 2；14.y=±(x-1. 所以点P的坐标为(-，小 提示： 17.解：(1)由题意知：抛物线C过点(250,156.25)， 12.以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为x轴， 设抛物线C:x2=2py(p>0),2502=2×156.25p, 建立平面直角坐标系，如图4， 解得p=200,所以抛物线C的方程为x2=400y. (2)由题意知：弦PQ为抛物线C的焦点弦， 所以当PQ为通径时，从入射点P到反射点Q的路程最短， 所以1PQ1mn=2p=400, 图4 所以P(±p,号)即P(±200,10). 设抛物线方程为x2=-2py, 18.解：(1)由点P(xo,√2p)在抛物线C上， 由题意得A(80,-40), 得(2p)2=2pxo,解得x=p, 将其代入抛物线方程得6400=80p, 解得p=80, 由揽物线定义得，1PF1=6+分=号=3，解得p=2, 故安全抛物线的焦点到其准线的距离为80米， 故抛物线C的方程为y2=4x 13.不妨设点D在第一象限，则点E在第四象限， (2)设直线l的方程为x=my+1, 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 联立=4， 因此，抛物线C的标准方程是y=2x 消去x,得y2-4my-4=0, (2)由(1)可得焦点F的坐标是(？，0) 故y1+2=4m,y12=-4, 所以=誉×暮=落 又直线OA的斜率为1， =1, 故与直线OA垂直的直线的斜率为-1. x1+x2=(my1+1）+(my2+1) 因此，所求直线的方程是)=-(x-), =m(y1+y2)+2=4m2+2, 即2x+2y-1=0. 则0.0B=-(6+x2)=x132+y1乃2=-3， 专项小练二 1 即4m2+2=3,解得m=±2， 1.D,2B:3A4;54 所以所求直线1的方程为y=2x-2或y=2-2x 6.(1)解：若点A,C在C1上，则22=2p,42=8即， 19.解：(1)以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建 解得p=2, 立如图5所示的平面直角坐标系， 此时C1:y=4x,点B不在C1上； 若点A,B在C1上，则2=2p,32=4p,无解； 若点B,C在C1上，则32=4p,42=8p,无解； 综上，C1的方程为y2=4x 图5 (2)证明：将y=kx+m代人y2=4x得 依题意可得4的坐标为（号，4）， k2x2+2(km-2)x+m2=0, 所以4=4(km-2)2-4k2m2=4[(km-2)2-(khm)2] 设抛物线的方程为x2=2py(p>0), =16(1-km)=0,即km=1,所以k2+m2≥2km=2. 则=8解得p= 81 第11期3,4版参考答案 故该抛物线的标准方程为x=8引 16, 抛物线同步核心素养测评（二） 81 焦点到准线的距离为p= 32cm. 一、单项选择题 1~4 BCAA 5 ~8 BDDD (2)设小球大圆圆周的方程为2+(y-)2=子(r>0), rx2+(y-r)2=2, 提示： 联立方程组 81 x2=16, 2抛物线了=2p>0)的焦点为（号.0） 解得y=0或y=2,-81 则点（号，0）到直线y=x+1的距离 16 要使小球能触及杯盏的底部（顶点）， 则小球与杯子有且只有一个交点，即抛物线的顶点， d= =2,解得p=2. w1+1 则y=2-沿=0或)=2-器无解 3.由题意抛物线C的焦点坐标为(0,1)， 所以抛物线C的标准方程为x2=4y,其准线为y=-1, 又因为地物线不可能在x销下方，所以y=2:-沿<0， 而w=k== 综上2-g≤0，解得r≤ 16 所以C上点N(-2,k)到l的距离为d=yw+2=3. 所以，的最大值为器 4.如图1，建立平面直角坐标系 第11期2版参考答案 专项小练一 1.A;2.D;3.B.4.y2=16x或x2=-12y;5.x2=16y 10 6.解：(1)设抛物线C的标准方程为y2=2px(p>0). 图1 因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p=1. 设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0), 6 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 易知抛物线经过点(5，-6)， h 整理得克-了+。一 =0, 所以5°。-2印×(-6)，解得p=总 =0,解得k=卫 25 放该抛物线的顶点到焦点的距离为号-器 前0，周4=1-4会(。) o 由L,⊥2及圆的性质知， 故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为 d=6克=4%（米 直线4过圆心（兮6）及点（劳）小： 5.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0), 于是得：-b=卫，整理得2b。=+p, y6卫y% 准线方程为l:x=-1,点M(4,4), 2p-2 由抛物线的定义可知1MFI=IMH1, 所以∠FMH的角平分线所在的直线就是线段HF的垂直 平分线。 即、」 因为过点M(4,4)作直线l:x=-1的垂线，垂足为H, 4p2 4+8-2by0=0, 所以点H的坐标为(-1,4)， 因此有的-+号0 所以FH的斜率r=4-0 -1-7=-2, 解得y=3p,而%>0，即y。=√5p, 所以∠FMh的角平分线的斜率为=2 于是有满足414的两曲线交点只有点（头，万印），选项 6.设从点A(5,2)沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直 (A),(C)不正确； 线与抛物线交于点P,易知yp=2,将(xp,yp)代入抛物线方程 得xp=4,即P(4,2), 显然6=2 3P,即正数P值确定，b值也随之确定，并且唯 设焦点为r,则F(行0小 一，选项(B)不正确，(D)正确.故选(D). 二、多项选择题 设Q(y6yo),由P,F,Q三点共线 9.AC:10.ABD:11.AB. 有2-9=-0，化简得8%-15。-2=0， 提示： 4--日 9.由题意可知C1的焦点为(1,0)，C2的焦点为(0,1)，过C1与 解得0=-令或0=2（合），即0（位，-日）】 G焦点的直线方程为片+十=1，即x+y=1,(A)正确： 7.作出抛物线的准线l:x=-1, 广“解得=0或三4 由 设A,B在1上的射影分别是C,D, x2=4y, y=0ly=4, 连接AC,BD,过B作BE⊥AC于E. 所以C,与C2有2个公共点，(B)错误； 因为AF=3FB, 由抛物线C:y2=4x知，开口向右，对称轴为x轴， 所以设1AFI=3m,1BF1=m, 所以与x轴平行的直线与C,有1个交点， 由点A,B分别在抛物线上， 由抛物线C2:x2=4y知，开口向上，对称轴为y轴， 结合抛物线的定义，得IAC1=3m,IBD1=m. 所以与x轴平行的直线与C2最多有2个交点，综上，与x轴 因此，在△AE中cas∠B4E==分得 平行的直线与C及C2最多有3个交点，(C)正确： C,与C2关于直线y=x对称， ∠BAE=60°，所以直线AB的斜率k=tan60°=5， 若存在直线与C1和C2都相切， 则直线1的方程为y=√5(x-1),即3x-y-5=0. 则该切线也关于直线y=x对称，不妨设为y=一x+t,与 8依题意，设圆与抛物线的交点（多心）>≥0， x2=4y联立得x2+4x-4t=0,由4=0得t=-1, 所以直线y=-x-1与C1和C2都相切，(D)错误 显然直线2的斜率存在且不为0，设2方程为： 故选(A)(C). 10.y2=4x,p=2,l:x=-1. 又圆A半径为1，圆心为A(0,4), 所以点A到直线1的距离为1， 2=2px 所以圆A与l相切，(A)正确； 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 当P,A,B三点共线时，yp=yA=4, =1+m+八+1 m 代入y=4x中，xp=4,所以PA=4, ≥2+2=4. 所以PQ=√PA-=√5，(B)正确； 当且仅当m=n时取到最小值4. 当1PB1=2时，xp=1,yp=2(假设P在x轴上方).此时， B(-1,2),P(1,2),A(0,4),AP2=AB2=5,BP2=4 4设心，刊，曲阿氏圆的定义可得份=后 3 因为AP+AB2≠BP2,所以PA与AB不垂直，(C)错误； 即x+3)2+(y-1)2.2 因为PB=PF(F为抛物线C的焦点)， (x+3)2+(y-6)=3, 所以PA=PB时，PA=PF 化简得x2+y2+6x+18y-60=0. 所以，点P在AF中垂线上 所以(x+3)2+(y+9)2=150, 所以点P在圆心为(-3，-9)，半径为56的圆上， (0,4),F(1,0),所以4中垂线的方程为x三 15 因为抛物线C:=。的焦点为F,所以F(0,号)， 联立 =4y-2'得y-16y+30=0,4>0 47<150, y2=4x, 因为0+3)2+(+9）= 所以AF的中垂线与抛物线C有两个交点，故点P有且仅 所以点F在圆(x+3)2+(y+9)2=150内， 有两个，(D)正确.故选(A)(B)(D). 因为点F到与圆心的距离为，√： 2 1因为马按面的标准方程为号-卡-2(a>0,6>0， 所以过点F的最短弦长为2√50-=V西， 4 对于(A),平行于x0y平面的面中z为常数，不妨设为z(z 过点F的最长弦长为2√150=106， ≠0)，得后一卡=2么故所得轨迹是双萄线放()正确： 所以过点F的最长弦与最短弦的和为106+√23. 对于(B),法向量为(1,0,0)的平面中x为常数，不妨设为 四、解答题 0,则y2=-2622+ 士为抛物线方程，故(B)正确： 15.解：(1)因为M(p,p-1)是C上的点， 所以p2=2p(p-1), 对于(C),垂直于y轴的平面中y为常数，不妨设为y, 因为p>0,解得p=2, 圆22心：“。，为抛物线方程，故(C)错误 所以抛物线C的方程为x2=4y (2)设A(1,y1),B(2,2), 对于(D),不妨设平面上的点坐标为A(x,y,2), 因为平面过原点且法向量为n=(1,1,0),由0A·n=0, 由=+2得2-4s-8=0.4=16+32>0. 1x2=4y, 得x+y=0, 则x1+2=4k,x1x=-8, 故y=-x,代入马鞍面标准方程，得 -)=2， 由抛物线的定义知，IAF1=少1+1，IBFI=2+1, 则I AFII BFI=(y,+1)(为+1) 当a=b时，方程为z=0,不是抛物线，故(D)错误 =(kx1+3)(kx2+3) 故选(A)(B). =2x162+3(x1+x2)+9=42+9=13, 三、填空题 解得k=±1. 12.3;13.4;14.10√6+123. 16.解：(1)依题意F(1,0), 提示： 设直线AB方程为x=my+L. 12因为A(受，)，所以1AF1=3n,则1MF1=多， 与y2=4x联立得y2-4my-4=0. 设A(x1y1),B(2), 所以M点横坐标为p,代人得y=±√2p, 所以少1+y2=4m,1y2=-4. ① Sm=宁×3pxap=22所以p=3 因为A正=2FB,所以y=-2y2. ② 13由抛物线的任质可知片+片：子=1， 联立①和@，消去，得m=±是 所以直线AB的斜率是±2√2 则m+a=(a+)(六+） (2)由点C与原点0关于点M对称， —8 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 得M是线段OC的中点， 因为a为锐角，可得cosa<1,且m>0, 从而点O与点C到直线AB的距离相等， 所以m=2c0-2<0不符合题意，得 所以四边形OACB的面积等于2S△AOB: sina 因为25am=2×方×10F1X刻为-为1= m=2c0sg+2-2(c0s&+1) sin'o sin"a √(y+y2)2-4y2=4√1+m2≥4， 即1AF1=2(cos&+1) sin2a 所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4. 19.解：(1)以O为原点，OM为x轴正向建立平面直角坐标系， .()解：由题意得r(号，0） 当点A与F重合且直线l垂直于x轴时，l方程为x= 2 代人y2=2px得y=±p,所以1PQ1=2p=4, 解得p=2, 图2 所以C的方程为y=4x 由题意，抛物线C1的通径为2a, (2)证明：可设直线l的方程为x=my+x4, 所以抛物线C1的标准方程为y2=2ax 设P(x1少1)，Q(x22）, (2)设抛物线C2:x2=my(m>0), 将x=my+x4代人y2=4x中得y2-4my-4x4=0, 又由题意，0M°=x3=2a,所以xp=2a,代人y2=2ax. 则4=16m2+16.x1>0,y1+y2=4m,12=-4x4, 由∠PBA=∠QBA得kpB+koB=0, 得：y2-22a2,解得：yp=4a, 即为+为一=0， 所以点P(2a,4a),代人x2=my, x1-xB x2-xB 得：(2a)2=m4a,解得：m=a, 即y1(x2-xB）+y2(x1-xB）=0, 所以抛物线C2的标准方程为x2=ay 所以y(名-xB）+32(1-x8) 第12期3,4版参考答案 y(my2 +xA-xB)+y(my +x-xB) =2my1y2+(xA-xB)(y1+2) 直线与圆锥曲线的位置关系同步核心素养测评 =2m·（-4xa)+(x4-xB）·4m 一、单项选择题 =-4m(x4+xg）=0, 1~4 BDDA 5~8 CCAD 又直线l不垂直于坐标轴，所以m≠0，所以x4+xB=0. 提示： 所以x4+xB为定值O. 1.因点(2,4)在抛物线y2=8x上， 18.(1)解：设抛物线厂的方程为x2=2y(p>0), 所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的 直线都与抛物线只有一个公共点.故选(B) 由题可得号=1，解得p=2, 2.由双曲线的几何性质可知，当直线！的斜率不存在或斜 因此，抛物线T的方程为x2=4y 率的绝对值不小于1（渐近线斜率的绝对值）时，！与双曲线没 (2)证明：过点A作AK⊥y轴于点K,设IAFI=m, 有公共点。 则Rt△AFK中，∠KFA=a, 所以直线倾斜角的取值范围是[牙，妥] 可得ma=msa= IAFI' 可得1|AKI=I AF I sin a=msin a,IFKI=|AFI cos a 3.联立方程6+子=1，得y-2y=0, =mcos a,由此可得点A的坐标为(-msin a,1+mcos a), x+2y-4=0, 因为点A为抛物线x2=4y上的点， 所以y1+3=2,+x2=4, 所以(-msin a)2=4(1+mcos o), 所以中点M的坐标为(2,1). 整理得m2sim2a-4 ncos a-4=0, 4.由题意，联立 kx-y+1=0, 解得m=4cosa±16cosa+16sima y=2, 2sin'a 可得：x2-kx-1=0, =4cosa±4=2c0s&±2 则4=2+4>0恒成立， 2sin2 a sin a 则直线x-y+1=0与抛物线y=x2必定有两个交点， 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 则p→9显然成立，9→p不成立，故选(A). 2 5.设该椭圆焦点在x轴上，以中心为原点，建立直角坐标 3 系，如图所示， 二、多项选择题 2 9.ACD;10.BD;11.BC. 纹椭圆的方程为：，+2=1，a>b>0 提示： 由题意可得2a=212,2b=144, 9在号--1中，令=1.得y=: 4 当t=-2或t=2时，均只有一个交点； y=24 当t<-2或t>2时，有两个交点； 当-2<t<2时，无交点.故选(A)(C)(D) 10.由已知得a2=2,62=1, 即a=106,6=72,则椭圆C的方程为G+2=1) 因为直线l平行于长轴且C的中心到1的距离是24m, 则c=G-8=1,即e=号=号故(a)错： a 令y=24,得12x1-424E≈20(m. 由已知得要使△PFF2的面积最大， 3 需底边F,F2上的高最大，高的最大值为1， 6.设所求抛物线方程为y2=ax(a≠0)， ① 1 直线方程变形为y=2x+1. ② 则△PF,F面积的最大值为2×2×1=L,故(B)正确： 设抛物线截直线所得弦长为1ABI. 以线段F,F,为直径的圆的方程为x2+y2=1, ②代入①，整理得4x2+(4-a)x+1=0, 则该圆的圆心到直线的距离为 则IABI= √0+2-44=压 d=10+0-山=5<1， √2 2 解得a=12或a=-4. 即以线段FF2为直径的圆与直线x+y-1=0相交， 所以所求抛物线方程为y2=12x或y2=-4x 故(C)不正确； 了.设椭圆的方程为兰+怎=1(4之6之0)， 设点P(x少)，则 设椭圆的右焦点为F, kpA·kpB= Yo 2 所以F(c,0),所以直线1的方程为y=x-c, +万-万626-2 2 所以原点O到直线1的距离等于E的短轴长， 故(D)正确。 即9=2b,得c2=862,又a2=b2+c2, 故选(B)(D) 所以c2=8(a2-c2)→8a2=9c2, 山抛物线Cy2=2x的焦点为F(分.0）， 所以e=÷=22 a 3 设过焦点F的直线方程为：x=心+分 8.因为该双曲线的一条渐近线方程是y=√2x, 与抛物线方程联立可得y2-2my-1=0, 设P(x1,y1),Q(x2y2), 若M的坐标为(1,2)，则x1+x2=2,y1+y2=4, 又由=+，可得兰=√ ry +y=2m, 而{y2=-1, 即2m=4, 由过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于 (2m2+1=2, 点M,可知M的横坐标为c, x1+x2=2m2+1, 代人双曲线方程可得： 方程组无解，所以(A)错误； -尔=1， 又0p.00 1学号 a =+n为=(m+2)(m+)+为 又有y>0.可知M(,会) 1 =(m+1)+2m(i+2）+4 所以tanLMF,E=2ae9 62 1 bb =-(+1)+m2+=-子<0， -10本蚕责任编辑：蛋研调 相纸编板质量反馈电话 02515271268 兹理相 02 年9月15日·星期 高中数学 业3一十 相纸发行质量反德电话 第 11期总第1155期 北师大 1.(5 0351-5271248 选择性必修第一 快乐的钥匙 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社端辑出版 社长：徐文信 国内统一连续出版物号：CN140707NF)邮发代号：21-16 有两比邻 特邀讲座 所以地物线的焦点到准线的距离为名 所以1ABI=AF+BF1=+P=2 所以1AB1=12 一边住着快 参数⑦的： 点评：解决表题的关键是把方程化为标渔 点源：过焦点的直战与批物线交于A,B两 乐， 一边住着愁 几何意义与应用 方程，然后题明抛物越的焦点到准线 点，由袁线方很和物线方程解得两点坐标从而 你选择哪一边呢？ 的拒高与P的关系中可轻检获解 AB者考虑利用抛物线的定义求得AF 避是，这两网小会 湖南影超 例2已知抛物规的方程为x-2=0,其中 在抛物线方程中含有唯一的参数”，所以我 BF两段的长，求和即可.后一种方法相时筑便 常都关着的，让人 不 为实数，且>0,抛物线的准线方程为￥= 要想学好抛物战，就必须对参数进行灵活的 例4如图2，过地物线，2 3a= 识山真面日，漫有 阻解掌爆.深究其几何意义，特别是p,2,p的 解：已知批找的方程为x-y=0化为 3的焦点的直线限次交抛物 现成的钥，有的只 标准形式得= 线及其准钱于点A,B,C,着 是一块原始的料 几何意义，井且运用它的几何意义解决问题 BCI=2IBFI,则IAF 要制成怎秤的一 参数严的几何意义 如图1批物线y了2=2p四 所以地物线的准线方程为：=一 解：由抛物线的定义，过A 你。于是想起了 焦点坐标为.0，准线方 所以一名-3解得 点作AD垂直于准线，垂足为D,过B点作BE面 直于准线，垂足为F,准找与x轴的交点为H, 个故事来 程为x=-),20,号的几 点评：已加物的准线方程，可以求得 则由题1BG1=2IBF1, 从前一老妇 抛物线的方程，然后对比境有的地物线方 可意义分别为：2单表示通径 所以IBC1=21BE1,可得∠BCE=30 二子，老大制雨伞 程，可得参数，表者把现有的抛斯线方程化为 即通过焦点且垂直干对称轴的直线与世物线交 由励物规的定义可知1AF1=AD1, 来养家，老二靠据 标准方程求得准戏方程，令其为一3，色可解将 「两点，连接这两点的规段长，表示焦点到准 在△ACD中，1AC1=21ADI=21AF1 愈针，这西种方法靠是律是在对地斯当的量自 子糊口。这老知常 所以F为C的中点，F为△CD的中线. 方程和乘数户的几何意义完会幅会的基础上， 年客满面，晴天为 覲的距离，号表示焦点到顶点的距离戒顶点到 以需要大家认真提参数的何意义 所HF1=，所以1AF1=1AD1=3 老大雨伞卖不出去 二，关于参数加的应用 例1已知物线的方程为y=3x2,则抛 点评：本题主要是抛物线y2=2px的参数刀 而长守叹前天又 制3已物e业的万是y·=12x.t海 的年占有推的币宽为 的灵活应用，参数户的性黄很多，精利是过焦点 为老二的生意而郁 线的焦点且垂直干抛物线对称轴的直线交抛物 解：把的方得化标滩方行得父=子 F的弦AB的性非常重要，若A(出》，B( 都欢，后一智者点 线于A,B两点，则1AB1= 化.胸中块会顿化据 阴为2p=，拟P= 解：由题意，抛物线的方程为y2.12 y:) 以=6, 云，从北，而天为老 因为附物的焦点到准线的距离为 因为直钱过焦点且垂直于x轴 BF=子11=与++p等 大离兴，睛天又替老 二庆幸，成天后欢眼 BF=+号，新以AB1=1++ 顿针角，此会式对于慰物线2=-2四(r>0) 条件变变变 也用 笑的 周为是已如量，所以运附本公文求弦长的关统 快乐与沈越仅 是求+求解方法是：免把直线方程与批物 晴之福。但著没有 线方程颗，演去受量y,就会得3到一个关于x的 智者”出见，老妇 公式换换 一元二次方程，远用根与系最的头系可求出 32(2-5). 难穿墙而过。在这个 。江西章娃新 ·对于其他是型的批物战，可用上适方法推 公式三：1：A 个+ 世幕上，每个人都 等出相应的集点缤长公式 问题：设直线与抛物线，2■8：交于A.B两 望生活美好、开心 1.解：设A(1),B(》 公式解读：把一条直线y=+阳和一条已 因为地物线=8x的焦点为(2,0) 吹曲方程联立消去y后，会得到一个头于的 这就需要我们对自 ,若直线1的斜率为2，且过抛物规的焦点 元二次方程2+b+=0(a≠0)（），则 己行精神美容” 所以直钱1的方程为y=2(x-2)。 最化己的情感，司 2.若有线！的频斜角为75°，且过世物线的 由=2(x-2. 直战南线得的弦长AB= L7=8x 康白己的心态。只要 生，AB1= 消去y可得-6x+4=0 其中△是方程()的根的别式若三直我 体的信念之树常绿 3.若直线1的方程为x-y+1=0,刚AB 所以x+工=6.所以1B=6+4= 和二次曲线才很后消去，附得出的是关于y的 凭你的热情与爱心 一个一元二次方程2++c=0(m 以上三个问题都是求抛物线的弦长问四 缘的气与智 公式二：1AB1a 其中馆两条弦都是过抛物线焦点的弦，听做提 凭你的乐观与选 公武解读：若物y=2x(>0)的 0(*),相的弦长公式为1A1 物的焦点弦，第三条显然不过地物线的用 配制一枚神奇的 点，是物线的一条普通弦.那么，知何求上述 条焦点监AB所在直战的领斜角为《，则弦长 +当直线的斜不存在时，长AB 阴匙，去打开快乐之 条弦长呢只需运用不同的滋长公式，即可快 =|一：1.这三个长公式能来出所有直线 门.享受美好的生 速求出弦长下述其详 >0)也用，此焦点关公式可用公式AB1 被曲线截得的长 吧 公式一：AB1=，++ +工+P然合三角数知推导，对于抛 得2-6s+1=0 公式解读：若直线1址抛物线)■2供(P> 3解：迪+1=0 线产=2(>0),焦点装公式为AB y =8 0)的然点F,且与抛物线交于A(1,),B( )两点，剥由科物线的定义可知1A1=青 ,其中奶是地物线的点就所在直线的 个+下=然 2 素养专练 数理极 裙世教拼·报姓划的坐酰！宝(K避)区品趣紧稀溪壮 抛物线及其标准方程(2】 到定点下(0,4)的距离相等，！点P的轨迹方程为 二、抛物线的简单几何性质(2】 1.批物线x2=-32y的焦点坐标为( 6.在平面直角坐标系x0y中，抛物线C的顾 (A)(0.-8) 1,若抛物战？=2m的焦点与双曲线了-号 (B)(0.8】 点在原点，且经过点A(2,2),其焦点F在x轴上 (C)(-8.0) (D)(8.0 (1》求抛物线C的标准方程： ■I的上焦点重合，则P■ 2.已知地物线C:y2=2r(p>0)的焦点为 (2》过点F且直线0A岳直的直的方吊 (A)-2 (B)2 F,地物线上一点(2，m)满足1MF1=6,则抛物 (C)-4 (D)4 () 线C的方程为 2,抛物线y42上的一点M到焦点的距离 (A)y=2 (B)2=4红 为1.则点M的织坐标是 ( C}2=8 (D)y2=16x (c) (D)0 3.在平面内，“点P到装定点的距离等丁到某 定直钱的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的 3.已知物线C:y2=4r的焦点为F,A是( 上一点，0为坐标原点，若AF1=10F1+3.则 (A)充分不必要条件 △A0F的面积为 (B)必要不充分条件 (A)万(B)3 (C)25(D)6 (C)充要京件 4.若线2■2y上一点到坐标原点0 (D)既不充分也不必要条件 的距离是原，则点M到该地物线焦点的距商为 4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线3x一4y 興照卫519 12=0上的物战的标准方程为 5,已知点M是地物线y2=2x上的动点，F为 5.着动点P(,y)到直线1：y=-4的距离和 地物线的焦点，点A的坐标是（子2小，则 第10期2版参考答景 所以I1+1PF1的最小值品点A到雅线：一1的 F1的最小值是 6.已知点A(1,2),(2,3),C(4,4)中，只有 专项小 此点P的坐标为y=1, 1.2时3C4-子51 点不在抛物钱C:y=2x(>0)上 代人抛物线子三一4标.解特x=一子 (1)求C,的方程 6解：在材保x-2女-4=D中，令士=0得y=-2 (2)若直线y=x+m与G,相切，证明：日 令y=0=4，别的点为4,0)0，-2》 所以点P的坐标洲- m≥2 当须点为(4,0)时，号=4，所以=8 17.解：(1)由题修知：对物线C过点(20.13625) 设物线G12=2yn).2=2×15625 时触线方程为子，16，准线方积为￥，一4： 降市三00，所以馆线C方4灯x= 当焦点为0，-2)时，号=2.所以p4 (2)由意知：弦为对物线C的点弦。 此时方程为2。一8y,准找方程为y一2 以当？为通经时，从人射技P到饭射点Q的路程 G15+ 专项小练二 1.D:2.13,C4.215.y2-8 6解：设代4.4r),且点P到的线y=4s-5筑离为d, 所以P=p,号）即P(±20,10a 18.解(1)出，E)在物线C上 - 得(52=2，解将5=： 由抛物设定文得，1P51=+号=要▣3 当上子封d取最小格时川行球的点 数理报杜试鉴研究中心 解得》2， 参考答案见下期 特物找C的方界为2=4 第10期3,4版参考答案 2)设直1的方程为：+1， 一、单项选择题 位战的民的标方型为子=器 I-4 ACBA 5 -8 DABD 二、多项选择题 得2-4my-4=0。 焦点到准找离为P-是 i 9.CD:10.BC:11.ABD 放折+万·4m5为-4， 2)经小球大圆周的为+y-了=(>) 三，填空通 12糊：B-之14子-1 +(m听+1)=m(新+与)+2=4n2+2, m 四，解答地 解得y=0y=2-船 5解：山盟道设的方程为2- 风0.0派。-《+）生+九“-3 (众典) (0、1)) 一 米。) 即4m,2,3,解得m±7 婴使小球能触及杯的底部（顶点）. 则比作线方程为了=号 以所求直线1的方程为22)2-2 则球与杯子有且只有一个交点， 由题可得号+4=6，解得n=4 即物线的点 19解：《1)物线的度点为 所以钱的方程为子■一多y 坐标原点，对称轴为y轴，建立如图 则y=-器=0成y=2女-品无解 叉因为点A(m,一4)在附物线上 所示的平面直所坐标系 又因为附物线不可能在x轴下方， 以m=3是.阳m=±4反 体烟阿得A的生尚（兰） 一 以y=2-<0 回 以点A的坐标为±4，及，一4 设时物方程为2·2(p>0)一9 综上2一君0，解得r≤费 收解：出时物线的方程可知其港线为车=1。 设P风,),因为点P为物线上的动点，F为点 最 所以IPF等于点P到座线的用离 解将p“受 航以，胸题大锁为受 (0-T-14) () 耀母拟拼·报烘坦尝新