第10期 抛物线（一）-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期(2025年9月) 设右焦点为F,左焦点为F', 第9期2版参考答案 当点P在左支上时，则1PFI≥a+c=6, 专项小练 所以1PF'1=1PF1-2a=8-2×2=4; 1.A:2ABCD:3.C.4.22:5.号-5=10y≤-3 当点P在右支上时，IPFI=lPF1+2a=8+2×2=12. 故选(D). 6,解：设双曲线方程为号-￡ a-F=1(a>0,6>0). 5.由题得。=02=9，解得a=子，则：=子+i, 由已知椭圆的两个焦点F,(0,-3),F2(0,3), 又双曲线与椭圆交点A的纵坐标为4， z= 42 (15)2 a2=4, 6.由题意知IAPI+lAF2I=IAP1+lAFI-2a, =1, 所以A(√15,4 解得 la2+b2=9, 6=5, 要求IAPI+AF,I的最小值， 只需求IAPI+1AFI的最小值， 故双曲线方程为4-了三人 当A,P,F,三点共线时取得最小值， 专项小练二 则IAPI+1AFI=IPFI=√/37 1.B;2.C:3.C.4.0:5.2. 所以IAPI+|AF21=IAP1+lAF,I-2a≥√37-25， 6,解：由题意可设要求的双曲线方程为号-上 4-6=入≠0， 瓦设双曲线的标准方程为多-京=1（口>0,6>0 把点P2,3)代人可得生-号=A,解得A=一分 1 因为半焦距c=5,2=a2+b2,所以62=5-a2, 听以双曲线方程为、 =1. 2 因为线段PF的中点的坐标为(0,2)， 第9期3,4版参考答案 所以点P的坐标为(5,4). 将P(5,4利代人双面线方程，得。=1， 16 双曲线同步核心素养测评（二） 解得a2=1或a2=25(舍去)， 一、单项选择题 所以双曲线的标准方程为2-千=1 1 ~4 CACD 5~8 ACBA 提示： 8依题意可知(4)，N,-2 2由双曲线号 3 之一。=1，则其渐近线方程为y=± 3y2 将M.N的坐标分别代人行二1， 由愿意整理方程x士2y=0可得y=±子，则3=子 1 =2 2516=1, 3a2-2 解得a=6. 得 解得a2=3,b2=9, 134 3.e= I FF I 8 =1 a=1Pg1-Pg,=1610=2, 4.由双曲线的方程可得2=4，b2=12, 所以双曲线C的方程为号-号=1，其流近线为y:±， 所以a=2.c2=4+12=16,可得c=4. 依次分析计算选项可知，只有(A)选项，其渐近线为y= 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 ±√5x,符合题意.故选(A) 2≠4时，4=16(b2-2+4), 二、多项选择题 若4<0，则方程组无解，直线与双曲线交点个数为0， 9.ACD;10.ACD;11.AD. 若4=0，则方程组有一解，直线与双曲线交点个数为1， 提示： 若4>0，则方程组有两解，直线与双曲线交点个数为2， 9.设IAF21=t,则1AF,I=2t,IFF2I=√3t, 综上得直线y=x+b与双曲线C的公共点个数只可能为 IF F I 0,1,2,即(D)正确.故选(A)(D). 离心率e=1a,1A,=5,(C)正确： 三、填空题 因此√+千=5.6=2，()正确： 2s51a542 1F,F1=2√+b=25,(B)错误； 提示： 设A(xA,yA),将x4=√5代人得yA=2,则A(5,2), 12.双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为 则△ABF的面积为)1FF,1·21=4,5,(D)正确 32-4 =1,可得a=42,b=2, 故选(A)(C)(D). 所以双曲线的实轴长为8√2，虚轴长为4. 10.由题意可得2a=6,2c=10. 所以a=3,c=5,b=√2-a2=4, 13.由题意e=√a5-1 a+1- 2 则双线c号-后=1 则1+1=3+E 2 C的渐近线上的点到F距离的最小值为F到渐近线的距离 所以a=2 5-1 1+5 21 d=c=b=4,所以(A)正确： 14.设P(x,y),根据双曲线方程知左顶点为A1（-1,0),右 离心率e=台=子，所以(B)不正确； 焦点为F2(2,0), 所以P·P2=(-1-,-y)·(2-x,-y)=x2-x 双曲线上，右顶点到F的距离最小，5-3=2，所以(C)正确： C的通径长为芹-号，故(D)正跪 2+=4--5=4x-g)-器 因为x≥1，所以当x=1时， 故选(A)(C)(D). PA·P取得最小值，最小值为-2. 1因双曲线C的标准方程为2- 41, 四、解答题 则a=1,b=2,c=√5， 15.解：设爆炸点为P,由已知得 1PA1-lPB1=340×4=1360(m), 双曲线C的离心率e=￡=√5，即(A)正确： a 因为1AB1=2km=2000m>1360m,IPAI>1PB1, 双曲线C的渐近线方程为y=±2x, 所以点P在以点A,B为焦点的双曲线并靠近点B的那一 而双曲线户-千=1的渐近线方程为y=±子， 支上 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面 它们不同，(B)不正确； 直角坐标系。 因双曲线C的渐近线和圆(x-1)2+y2=1都关于x轴对 由2a=1360,2c=2000,得 称，不妨选渐近线2x+y=0,圆心(1,0)到直线2x+y=0的 a=680,c=1000,b2=c2-a2=537600. 距离d= 2 :5,所以海近我2x+)=0孩该圆所裁 因此，点P所在曲线是双曲线的右支， √22+1 x- 弦长为个日25.(G不正确 它的方程是462400537600=1(x>0). 16.解：(1)由双曲线方程知：其渐近线方程为y=±3x. 2 由=+6，得(4-2)2-26h-(6+4=0, l4x2-y2=4 (2)由双曲线定义IPF,I-1PF1=2a=6, k=±2，b=0时，方程组无解， 又IPFI·IPF21=IPF212+61PF2I=16, 直线与双曲线交点个数为0， 所以IPF212+6IPF2I-16=(IPF2I+8)(IPF2I-2) k=±2，b≠0时，方程组有一解，直线与双曲线交点个数为1，=0，可得1PF1=2(负值舍)， 2 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 所以PF,的大小为2. =1+2-3(x1-4+x2-4)=26. 17.解：方案一：选择条件①. 因为m>0,所以a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m, 19(1)解：由题可得受 6=1,即后=空1 所以a=√m,c=√3m. 联立 若-91号 -yoy =1, 因为C的左支上的点到右焦点的距离的最小值为a+c, 所以m+√3m=(1+5)√m=3+5, 消去，得（空-）F+-1+)=0, 解得烟=3故C的方程为号-若=1 则x2-2xx+后=0，显然4=4x号-4后=0， 所以该直线与双曲线有且只有1个公共点 方案二：选择条件②. 因为C的焦距为6，所以c=3. (2)解：由(1)知，直线-w=1与双曲线号-了=1 若m>0,则a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m, 相切于点(x,o), 所以c=3m=3,解得m=3,则C的方程为号-石=1： 所以过双曲线-=1(a之0，b>0)上一点(x0,y。) 若m<0,则a2=-2m,b2=-m,c2=a2+2=-3m, 所以c=√-3m=3,解得m=-3, 的切线方冠为号-学1 侧C的方恐为后-号=山 证明如下然导亭=1，即形-= 保上，C的方为-若=1政后-号=1 ox Yoy =1. a2-82 由 .2 去于得空-2华+6+方-0， 方案三：选择条件③. a-=1 因为C上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4， 所以2a=4,即a=2. 于是A= 6462+6)=4（66-a6-a6) a a" 若m>0,则a2=m,所以a=√m=2,解得m=4, =0, 则C的方程为后-苦-1： 因此直线-罗-1与双黄线号-云=1(a>06> a -62 若m<0,则a2=-2m,所以a=√-2m=2, 0)相切于点(xo,少o), 解得a=-2,媚C的方程为号-号=1： x 12 所以过双曲线若-方=1(a>0,6>0)上一点(） a 综上，C的方程为片-专=1政好号=1 的切线方程为产是=1 18解（①）因为1√(x-102+子-√(x+102+子1=2 (3)证明：当n=0时，直线1的斜率不存在， <20,所以C是以（√10,0），(-0,0)为焦点，实轴长为 由对称性知，点T为线段PQ的中点： 2的双曲线. 当n≠0时，设P(x1y1),Q(:22),线段PQ的中点N(t,s), 设c号-茶=1a>06>0测c=而a=16=3 2y2 由 =0 所以C的方程为父-号1 消去得（层-）+2m-=0, (2)由(1)可得C的渐近线方程为y=±3x, n 之一=1，得2-2mx+2=0,则t=奖 2 由=-3：得=L,即D01,-3》. y=x-4,y=-3, 又罗1，于是（倍-= 设A(1y),B(22）, 即点T与点N重合，所以点T为线段PQ的中点 J=x-4, 由 2,得8x2+8x-25=0, 第10期2版参考答案 =1, 专项小练一 所以1+x2=-1, 3 则0.0i+0店.0D=x1+x3-3(1+y2) 1.B;2B:3.C4.x=-2;5.1 一3 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 6.解：在方程x-2y-4=0中，令x=0得y=-2: 故IAB1=24,1BC1=12, 令y=0得x=4,所以抛物线的焦点为(4,0)或(0，-2) 故B(12,-12). 当焦点为(4,0)时，号=4，所以p=8, 设抛物线的方程为：x=-2py(p>0), 则144=-2p×(-12),即p=6, 此时抛物线方程为)y2=16x,准线方程为x=-4; 故焦点坐标为(0，-3). 当焦点为(0，-2)时，号=2，所以p=4, 7.由抛物线定义可知， 此时抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2. IAFI等于点A到抛物线准线的距离， 专项小练二 1.D;2.B;3.C.4.2;5.y2=8x 1A1的最小值为抛物线顶点到准线的距离，即1AF1≥宁， 6.解：设P(t,4t),且点P到直线y=4x-5的距离为d, 若1AF1>1恒成立，则号>1，即p>2. 则d=14-4=51-4f-4+5 /7 7 8依题意可得F(30） -- 设P(x,y)(x≠0)，Q(t,0),则0P=(x,y), 当1=分时，d取得最小值此时，P(分，)为所求的点 1 成=-0成=(}-，-） 因为OP⊥PQ, 第10期3,4版参考答案 所以O币.P=x(t-x)-y 抛物线同步核心素养测评（一） =x-x2-6x =x(t-x-6)=0, 一、单项选择题 因为x≠0，所以t-x-6=0,即t-x=6, 1-4 ACBA 5~8 DABD 提示： 所以元.成：(3-小4-)+ 1.根据已知2=2,2印= 之，焦点在y轴正半轴， =(3-小-到+6 所以焦点坐标为(0，g) =6(子-x+6=9, 2抛物线方程=宁，2印=分， 二、多项选择题 9.CD;10.BC;11.ABD. 所以准线方程是x=-8 提示： 3.由抛物线定义得3+号=4，解得p=2 9.√(x-4)2+y=1x1+4,当x≥0时， 4.设动点M(x,y),圆M与直线：x=-3的切点为N, 化简得y2=16x;当x<0时，化简得y=0,故(A)不正确， 则IMAI=IMW1,即动点M到定点A和定直线l:x=-3 显然点P始终在直线l上，故(B)不正确. 的距离相等， 等式的几何意义可理解为点P到定点(1,0)与到定直线 所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l: x+y=0的距离相等，符合抛物线的定义，故(C)正确， x=-3为准线， 可以转化为点P到F的距离与到定直线x=-4的距离相 故动圆圆心M的轨迹方程是y2=12x.故选(A) 等，符合抛物线的定义，故(D)正确。 5.直线3x+2y-6=0与x轴的交点为(2,0)， 故选(C)(D) 所以抛物线C的焦点为(2,0)，故5=2，解得P=4, 10.抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,故(A)错误； 由IAFI+|BF1=4,得y1+1+2+1=4, 所以抛物线的标准方程为y2=8x 6.如图1，AB为水面宽，BC为拱顶离水面的高度， 则1+力=2，所以点P的纵坐标==1， 2 即为点P到x轴的距离为1，故(B)正确： 因为直线I交抛物线于A,B两点，显然I的斜率存在， 设1的方程为y=:+m,与y=子联立消去， 图1 整理得x2-4hx-4m=0, 4 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 所以为=-4m所以为=4×4 =m2. 16 ly=±2p 若直线AB经过焦点F,则m=1,y2=1,故(C)正确； 则点D(2,2p),E(2,-2F), 若y1y2=1,则m=±1，当m=1时，直线AB过焦点F: 所以0i.02=4-4p=0,解得p=1, 当m=-1时，直线AB过点(0，-1)，故(D)错误 故选(B)(C) 因此C的准线方程为x=-号=一) 11,截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M, 故O也在截面上，同时根据对称性可知抛物线的对称轴为OM, 14.由1AB1=4+名+=8， 焦点在OM上，故(A),(B)正确 结合定义知AB的中点的横坐标为3， 设直线1：y=k(x-1),与y2=4x, 联立，得2x2-(22+4)x+2=0, 所以+5=2沙+4=6，得k=±1， 故直线的方程为：y=±(x-1). 图2 图3 四、解答题 15.解：由题意设抛物线的方程为x2=-2y(p>0), 由题可得圆锥的母线PA=PB=√4+4=42，AB=8, 所以AB=PA2+PB,所以PB⊥PA. 则其准线方程为y=号 如图2，连接OM,在△PAB中， O为AB的中点，M是PB中点， 由题可得号+4=6，解得p=4.。 所以OM为中位线，所以PA∥OM,PB⊥OM, 所以抛物线的方程为x2=-8y 所以0N=PA=22 又因为点A(m,-4)在抛物线上， 所以m2=32,即m=±4√2. 设平面a交底面圆于C,D,则CD=AB=8. 所以点A的坐标为（±42，-4） 以M为原点，M0为x轴建立坐标系如图3所示， 16.解：由抛物线的方程可知其准线为x=1. 则0(22,0)，D(2万，4).可设抛物线的方程为y2=2px, 设P(x,y),因为点P为抛物线上的动点，F为焦点， 把D(22,4)代入抛物线方程可得：42=2p, 所以IPFI等于点P到准线的距离， 所以抛物线为：2=42x,焦点F(2,0),故(C)错误， 所以IPA1+PFI的最小值是点A到准线x=1的距离。 所以焦点到准线的距离为2√2，(D)正确故选(A)(B)(D) 此时点P的纵坐标为y=1, 三、填空题 代人抛物线了=4，解得=一子 12.80;13.x=- 2；14.y=±(x-1. 所以点P的坐标为(-，小 提示： 17.解：(1)由题意知：抛物线C过点(250,156.25)， 12.以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为x轴， 设抛物线C:x2=2py(p>0),2502=2×156.25p, 建立平面直角坐标系，如图4， 解得p=200,所以抛物线C的方程为x2=400y. (2)由题意知：弦PQ为抛物线C的焦点弦， 所以当PQ为通径时，从入射点P到反射点Q的路程最短， 所以1PQ1mn=2p=400, 图4 所以P(±p,号)即P(±200,10). 设抛物线方程为x2=-2py, 18.解：(1)由点P(xo,√2p)在抛物线C上， 由题意得A(80,-40), 得(2p)2=2pxo,解得x=p, 将其代入抛物线方程得6400=80p, 解得p=80, 由揽物线定义得，1PF1=6+分=号=3，解得p=2, 故安全抛物线的焦点到其准线的距离为80米， 故抛物线C的方程为y2=4x 13.不妨设点D在第一象限，则点E在第四象限， (2)设直线l的方程为x=my+1, 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 联立=4， 因此，抛物线C的标准方程是y=2x 消去x,得y2-4my-4=0, (2)由(1)可得焦点F的坐标是(？，0) 故y1+2=4m,y12=-4, 所以=誉×暮=落 又直线OA的斜率为1， =1, 故与直线OA垂直的直线的斜率为-1. x1+x2=(my1+1）+(my2+1) 因此，所求直线的方程是)=-(x-), =m(y1+y2)+2=4m2+2, 即2x+2y-1=0. 则0.0B=-(6+x2)=x132+y1乃2=-3， 专项小练二 1 即4m2+2=3,解得m=±2， 1.D,2B:3A4;54 所以所求直线1的方程为y=2x-2或y=2-2x 6.(1)解：若点A,C在C1上，则22=2p,42=8即， 19.解：(1)以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建 解得p=2, 立如图5所示的平面直角坐标系， 此时C1:y=4x,点B不在C1上； 若点A,B在C1上，则2=2p,32=4p,无解； 若点B,C在C1上，则32=4p,42=8p,无解； 综上，C1的方程为y2=4x 图5 (2)证明：将y=kx+m代人y2=4x得 依题意可得4的坐标为（号，4）， k2x2+2(km-2)x+m2=0, 所以4=4(km-2)2-4k2m2=4[(km-2)2-(khm)2] 设抛物线的方程为x2=2py(p>0), =16(1-km)=0,即km=1,所以k2+m2≥2km=2. 则=8解得p= 81 第11期3,4版参考答案 故该抛物线的标准方程为x=8引 16, 抛物线同步核心素养测评（二） 81 焦点到准线的距离为p= 32cm. 一、单项选择题 1~4 BCAA 5 ~8 BDDD (2)设小球大圆圆周的方程为2+(y-)2=子(r>0), rx2+(y-r)2=2, 提示： 联立方程组 81 x2=16, 2抛物线了=2p>0)的焦点为（号.0） 解得y=0或y=2,-81 则点（号，0）到直线y=x+1的距离 16 要使小球能触及杯盏的底部（顶点）， 则小球与杯子有且只有一个交点，即抛物线的顶点， d= =2,解得p=2. w1+1 则y=2-沿=0或)=2-器无解 3.由题意抛物线C的焦点坐标为(0,1)， 所以抛物线C的标准方程为x2=4y,其准线为y=-1, 又因为地物线不可能在x销下方，所以y=2:-沿<0， 而w=k== 综上2-g≤0，解得r≤ 16 所以C上点N(-2,k)到l的距离为d=yw+2=3. 所以，的最大值为器 4.如图1，建立平面直角坐标系 第11期2版参考答案 专项小练一 1.A;2.D;3.B.4.y2=16x或x2=-12y;5.x2=16y 10 6.解：(1)设抛物线C的标准方程为y2=2px(p>0). 图1 因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p=1. 设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0), 6 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 易知抛物线经过点(5，-6)， h 整理得克-了+。一 =0, 所以5°。-2印×(-6)，解得p=总 =0,解得k=卫 25 放该抛物线的顶点到焦点的距离为号-器 前0，周4=1-4会(。) o 由L,⊥2及圆的性质知， 故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为 d=6克=4%（米 直线4过圆心（兮6）及点（劳）小： 5.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0), 于是得：-b=卫，整理得2b。=+p, y6卫y% 准线方程为l:x=-1,点M(4,4), 2p-2 由抛物线的定义可知1MFI=IMH1, 所以∠FMH的角平分线所在的直线就是线段HF的垂直 平分线。 即、」 因为过点M(4,4)作直线l:x=-1的垂线，垂足为H, 4p2 4+8-2by0=0, 所以点H的坐标为(-1,4)， 因此有的-+号0 所以FH的斜率r=4-0 -1-7=-2, 解得y=3p,而%>0，即y。=√5p, 所以∠FMh的角平分线的斜率为=2 于是有满足414的两曲线交点只有点（头，万印），选项 6.设从点A(5,2)沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直 (A),(C)不正确； 线与抛物线交于点P,易知yp=2,将(xp,yp)代入抛物线方程 得xp=4,即P(4,2), 显然6=2 3P,即正数P值确定，b值也随之确定，并且唯 设焦点为r,则F(行0小 一，选项(B)不正确，(D)正确.故选(D). 二、多项选择题 设Q(y6yo),由P,F,Q三点共线 9.AC:10.ABD:11.AB. 有2-9=-0，化简得8%-15。-2=0， 提示： 4--日 9.由题意可知C1的焦点为(1,0)，C2的焦点为(0,1)，过C1与 解得0=-令或0=2（合），即0（位，-日）】 G焦点的直线方程为片+十=1，即x+y=1,(A)正确： 7.作出抛物线的准线l:x=-1, 广“解得=0或三4 由 设A,B在1上的射影分别是C,D, x2=4y, y=0ly=4, 连接AC,BD,过B作BE⊥AC于E. 所以C,与C2有2个公共点，(B)错误； 因为AF=3FB, 由抛物线C:y2=4x知，开口向右，对称轴为x轴， 所以设1AFI=3m,1BF1=m, 所以与x轴平行的直线与C,有1个交点， 由点A,B分别在抛物线上， 由抛物线C2:x2=4y知，开口向上，对称轴为y轴， 结合抛物线的定义，得IAC1=3m,IBD1=m. 所以与x轴平行的直线与C2最多有2个交点，综上，与x轴 因此，在△AE中cas∠B4E==分得 平行的直线与C及C2最多有3个交点，(C)正确： C,与C2关于直线y=x对称， ∠BAE=60°，所以直线AB的斜率k=tan60°=5， 若存在直线与C1和C2都相切， 则直线1的方程为y=√5(x-1),即3x-y-5=0. 则该切线也关于直线y=x对称，不妨设为y=一x+t,与 8依题意，设圆与抛物线的交点（多心）>≥0， x2=4y联立得x2+4x-4t=0,由4=0得t=-1, 所以直线y=-x-1与C1和C2都相切，(D)错误 显然直线2的斜率存在且不为0，设2方程为： 故选(A)(C). 10.y2=4x,p=2,l:x=-1. 又圆A半径为1，圆心为A(0,4), 所以点A到直线1的距离为1， 2=2px 所以圆A与l相切，(A)正确； 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 当P,A,B三点共线时，yp=yA=4, =1+m+八+1 m 代入y=4x中，xp=4,所以PA=4, ≥2+2=4. 所以PQ=√PA-=√5，(B)正确； 当且仅当m=n时取到最小值4. 当1PB1=2时，xp=1,yp=2(假设P在x轴上方).此时， B(-1,2),P(1,2),A(0,4),AP2=AB2=5,BP2=4 4设心，刊，曲阿氏圆的定义可得份=后 3 因为AP+AB2≠BP2,所以PA与AB不垂直，(C)错误； 即x+3)2+(y-1)2.2 因为PB=PF(F为抛物线C的焦点)， (x+3)2+(y-6)=3, 所以PA=PB时，PA=PF 化简得x2+y2+6x+18y-60=0. 所以，点P在AF中垂线上 所以(x+3)2+(y+9)2=150, 所以点P在圆心为(-3，-9)，半径为56的圆上， (0,4),F(1,0),所以4中垂线的方程为x三 15 因为抛物线C:=。的焦点为F,所以F(0,号)， 联立 =4y-2'得y-16y+30=0,4>0 47<150, y2=4x, 因为0+3)2+(+9）= 所以AF的中垂线与抛物线C有两个交点，故点P有且仅 所以点F在圆(x+3)2+(y+9)2=150内， 有两个，(D)正确.故选(A)(B)(D). 因为点F到与圆心的距离为，√： 2 1因为马按面的标准方程为号-卡-2(a>0,6>0， 所以过点F的最短弦长为2√50-=V西， 4 对于(A),平行于x0y平面的面中z为常数，不妨设为z(z 过点F的最长弦长为2√150=106， ≠0)，得后一卡=2么故所得轨迹是双萄线放()正确： 所以过点F的最长弦与最短弦的和为106+√23. 对于(B),法向量为(1,0,0)的平面中x为常数，不妨设为 四、解答题 0,则y2=-2622+ 士为抛物线方程，故(B)正确： 15.解：(1)因为M(p,p-1)是C上的点， 所以p2=2p(p-1), 对于(C),垂直于y轴的平面中y为常数，不妨设为y, 因为p>0,解得p=2, 圆22心：“。，为抛物线方程，故(C)错误 所以抛物线C的方程为x2=4y (2)设A(1,y1),B(2,2), 对于(D),不妨设平面上的点坐标为A(x,y,2), 因为平面过原点且法向量为n=(1,1,0),由0A·n=0, 由=+2得2-4s-8=0.4=16+32>0. 1x2=4y, 得x+y=0, 则x1+2=4k,x1x=-8, 故y=-x,代入马鞍面标准方程，得 -)=2， 由抛物线的定义知，IAF1=少1+1，IBFI=2+1, 则I AFII BFI=(y,+1)(为+1) 当a=b时，方程为z=0,不是抛物线，故(D)错误 =(kx1+3)(kx2+3) 故选(A)(B). =2x162+3(x1+x2)+9=42+9=13, 三、填空题 解得k=±1. 12.3;13.4;14.10√6+123. 16.解：(1)依题意F(1,0), 提示： 设直线AB方程为x=my+L. 12因为A(受，)，所以1AF1=3n,则1MF1=多， 与y2=4x联立得y2-4my-4=0. 设A(x1y1),B(2), 所以M点横坐标为p,代人得y=±√2p, 所以少1+y2=4m,1y2=-4. ① Sm=宁×3pxap=22所以p=3 因为A正=2FB,所以y=-2y2. ② 13由抛物线的任质可知片+片：子=1， 联立①和@，消去，得m=±是 所以直线AB的斜率是±2√2 则m+a=(a+)(六+） (2)由点C与原点0关于点M对称， —8 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 得M是线段OC的中点， 因为a为锐角，可得cosa<1,且m>0, 从而点O与点C到直线AB的距离相等， 所以m=2c0-2<0不符合题意，得 所以四边形OACB的面积等于2S△AOB: sina 因为25am=2×方×10F1X刻为-为1= m=2c0sg+2-2(c0s&+1) sin'o sin"a √(y+y2)2-4y2=4√1+m2≥4， 即1AF1=2(cos&+1) sin2a 所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4. 19.解：(1)以O为原点，OM为x轴正向建立平面直角坐标系， .()解：由题意得r(号，0） 当点A与F重合且直线l垂直于x轴时，l方程为x= 2 代人y2=2px得y=±p,所以1PQ1=2p=4, 解得p=2, 图2 所以C的方程为y=4x 由题意，抛物线C1的通径为2a, (2)证明：可设直线l的方程为x=my+x4, 所以抛物线C1的标准方程为y2=2ax 设P(x1少1)，Q(x22）, (2)设抛物线C2:x2=my(m>0), 将x=my+x4代人y2=4x中得y2-4my-4x4=0, 又由题意，0M°=x3=2a,所以xp=2a,代人y2=2ax. 则4=16m2+16.x1>0,y1+y2=4m,12=-4x4, 由∠PBA=∠QBA得kpB+koB=0, 得：y2-22a2,解得：yp=4a, 即为+为一=0， 所以点P(2a,4a),代人x2=my, x1-xB x2-xB 得：(2a)2=m4a,解得：m=a, 即y1(x2-xB）+y2(x1-xB）=0, 所以抛物线C2的标准方程为x2=ay 所以y(名-xB）+32(1-x8) 第12期3,4版参考答案 y(my2 +xA-xB)+y(my +x-xB) =2my1y2+(xA-xB)(y1+2) 直线与圆锥曲线的位置关系同步核心素养测评 =2m·（-4xa)+(x4-xB）·4m 一、单项选择题 =-4m(x4+xg）=0, 1~4 BDDA 5~8 CCAD 又直线l不垂直于坐标轴，所以m≠0，所以x4+xB=0. 提示： 所以x4+xB为定值O. 1.因点(2,4)在抛物线y2=8x上， 18.(1)解：设抛物线厂的方程为x2=2y(p>0), 所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的 直线都与抛物线只有一个公共点.故选(B) 由题可得号=1，解得p=2, 2.由双曲线的几何性质可知，当直线！的斜率不存在或斜 因此，抛物线T的方程为x2=4y 率的绝对值不小于1（渐近线斜率的绝对值）时，！与双曲线没 (2)证明：过点A作AK⊥y轴于点K,设IAFI=m, 有公共点。 则Rt△AFK中，∠KFA=a, 所以直线倾斜角的取值范围是[牙，妥] 可得ma=msa= IAFI' 可得1|AKI=I AF I sin a=msin a,IFKI=|AFI cos a 3.联立方程6+子=1，得y-2y=0, =mcos a,由此可得点A的坐标为(-msin a,1+mcos a), x+2y-4=0, 因为点A为抛物线x2=4y上的点， 所以y1+3=2,+x2=4, 所以(-msin a)2=4(1+mcos o), 所以中点M的坐标为(2,1). 整理得m2sim2a-4 ncos a-4=0, 4.由题意，联立 kx-y+1=0, 解得m=4cosa±16cosa+16sima y=2, 2sin'a 可得：x2-kx-1=0, =4cosa±4=2c0s&±2 则4=2+4>0恒成立， 2sin2 a sin a 则直线x-y+1=0与抛物线y=x2必定有两个交点， 高中数学北师大版选择性必修第一册第9~12期 则p→9显然成立，9→p不成立，故选(A). 2 5.设该椭圆焦点在x轴上，以中心为原点，建立直角坐标 3 系，如图所示， 二、多项选择题 2 9.ACD;10.BD;11.BC. 纹椭圆的方程为：，+2=1，a>b>0 提示： 由题意可得2a=212,2b=144, 9在号--1中，令=1.得y=: 4 当t=-2或t=2时，均只有一个交点； y=24 当t<-2或t>2时，有两个交点； 当-2<t<2时，无交点.故选(A)(C)(D) 10.由已知得a2=2,62=1, 即a=106,6=72,则椭圆C的方程为G+2=1) 因为直线l平行于长轴且C的中心到1的距离是24m, 则c=G-8=1,即e=号=号故(a)错： a 令y=24,得12x1-424E≈20(m. 由已知得要使△PFF2的面积最大， 3 需底边F,F2上的高最大，高的最大值为1， 6.设所求抛物线方程为y2=ax(a≠0)， ① 1 直线方程变形为y=2x+1. ② 则△PF,F面积的最大值为2×2×1=L,故(B)正确： 设抛物线截直线所得弦长为1ABI. 以线段F,F,为直径的圆的方程为x2+y2=1, ②代入①，整理得4x2+(4-a)x+1=0, 则该圆的圆心到直线的距离为 则IABI= √0+2-44=压 d=10+0-山=5<1， √2 2 解得a=12或a=-4. 即以线段FF2为直径的圆与直线x+y-1=0相交， 所以所求抛物线方程为y2=12x或y2=-4x 故(C)不正确； 了.设椭圆的方程为兰+怎=1(4之6之0)， 设点P(x少)，则 设椭圆的右焦点为F, kpA·kpB= Yo 2 所以F(c,0),所以直线1的方程为y=x-c, +万-万626-2 2 所以原点O到直线1的距离等于E的短轴长， 故(D)正确。 即9=2b,得c2=862,又a2=b2+c2, 故选(B)(D) 所以c2=8(a2-c2)→8a2=9c2, 山抛物线Cy2=2x的焦点为F(分.0）， 所以e=÷=22 a 3 设过焦点F的直线方程为：x=心+分 8.因为该双曲线的一条渐近线方程是y=√2x, 与抛物线方程联立可得y2-2my-1=0, 设P(x1,y1),Q(x2y2), 若M的坐标为(1,2)，则x1+x2=2,y1+y2=4, 又由=+，可得兰=√ ry +y=2m, 而{y2=-1, 即2m=4, 由过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于 (2m2+1=2, 点M,可知M的横坐标为c, x1+x2=2m2+1, 代人双曲线方程可得： 方程组无解，所以(A)错误； -尔=1， 又0p.00 1学号 a =+n为=(m+2)(m+)+为 又有y>0.可知M(,会) 1 =(m+1)+2m(i+2）+4 所以tanLMF,E=2ae9 62 1 bb =-(+1)+m2+=-子<0， -10本森责任编情：冀朝调 相纸编框质量反情电话 高中数学 开汁用 02515271268 兹理括 202 年9月8日星期 相纸发行质量反德电话 10期总第1154期 北师大 0351-5271248 选择性必修第一 什么也没得到 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版 社长：徐文信国内统一连续出版物号：CN140707F)邮发代号：21-16 一个猎人管儿 (A)x=1 (B)x=-1 从而知点P到点A(-,)的距离与点P到 子去打雅，在林子罗 抛物线 (C)x■2 (D)x■-2 F(1.0)的阳离之和的最小值为5 PAI+PF -2.1). 话提了一是小小山笔 分析：在陶维曲问题中，如果出见相交弦 热点问题归类 即点P到点A(-1,1)的范离与点P到直线 儿非常高， 中点的坐标，这是使用中点致公式解决问题的 饲养这只小山羊，父 =一1的距离之和的最小值为⑤ 际态性信号，解决网题的关键是设点，代入抛物 亲答应了，将待斯灵 。河北李国超 (2)如右图所示，自点B作 线方程相减得到针牵的美系式，然后再根据其 热点间1：求抛物线的方程 BQ垂直于抛物线的准线于点 他备件进行求解 家去 例1设斜率为2的直线过抛物线) Q,交抛物线于点P, 北时 儿子挎着枪，牵 解：设A(11),B(名方) 着羊，着小河回 r(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若 则=2pr,=2 中途，羊在嘴求 △0AF(O为坐标原，点)的面积为4，求抛物线的 那么1PB1+PF1= PB 两式相减得(-(为+为)=(- 的时候然挣航 方程 Q1■3，即最小值为3 小猎人繁追 分析：根感抛物线的焦在坐标设直线方程 又因为度线的料率为1，以之一 =1 热点问题4：与抛物线有关的证明问题 近，还是量抓往， 桌得奴情藏距，利用面积公式建立才程可 从而+=2 例4已知抛物找y=2(p>0),过定点 手的精物就这么 得的值，色就求了抛线的方程 又规段AB的中点的级坐标为2 (2，0)的直线与抛物线交于A,B两点，证明： 走了 解：抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F的坐 即方+=4，所以=2. 0410B 小猎人既火 证明：若直战AB的韩率存在，设直线AB的 【1)天林磨： 又伤心，在汀边 : 干是地物线的准线方程为：=一号 =-1. 方程为y=k(x-2p)(k0) 块大石头后哭注，不 故选(B) 知道如何向父亲交 则直线1的方程为y=2:-） 与y2=2联立，得2-2y-4pk=0 热点问题3：地物使中的最值问题 ,满脸悔之情 设A(红)，B(2),则yy=-4p 淘里彻冷等到 它与y轴的交点为0.一) 例3设P是物线，y2=4r上的一动点， 因为A,B两点在抛物线上， 磅晚，看见父帝沿河 (1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到 流走表了小错人 以△0AF的面积为 =4 所以■2，片■25 直线x=一1的距离之和的最小值： 起来.告诉父帝失羊 解得=±8 (2)若B(2,2),求1PB1+PF1的最小值 一事。父亲非常 所以抛物战的方程为y=±8x 分析：问题(1)可转化为：在曲汽上秦一点 讶，问：“那你就一直 热点间题1：抛物线中点弦公式的应用 P,使点P到点A(-1,1)与到点F1,0)的距离 这么坐在大石头后 例2已知地物线22(p>0),过其属 最小的问题，从而获得问题的解答 所以0A上0B. 解：1)由干A(-1,1),F(1,D),P抛物 结人赶壮为 点且斜率为1的直线交地物线干A,B两点，若线 若直线AB的料率不存在.则点A(2中.2) 自己解：我没能 段AB的中点的纵坐标为2，则陵抛物线的准线 钱上任意一点， B(2,-2)或A(2,-2),B(2,2),易证得 方程为 则IAPI+1PF1≥1AF1=2+1=5, OA⊥0B. 了，没有影 名师课堂 1,即点制的坐标为(1，-2)时，1A1+的直线交抛物线于A,B两点，线段AB的垂直平 着河算泥地上 MF的最小值为4 分线交对称轴于点N,证明：AB1■2NF 凌乱的新解脚印 用 点评：在将两点距转化为点线的间时。 证明：如图3，不妨设抛物 看，那是什么？ 抛物线定义解题 把抛物战内倒的两点特化为并侧的两点，为A, 线方程为y2=2解(p>0) 小猎人仔如察 H三点共线，使之达到最小位创选了条件 A(·y,),B(y),且线段 有后，问：“刚刚来起 0山东王明章 例2已知附物线=4y外有一点A(12 B的中点为(y%) 只吗？” 地物线的定义具有特殊的解圆功能.凡涉 6),M是抛物线上的动点，求点M到A的距离与 由抛物线的定义得 又素点杰头 及与地物线的焦点F成准线有关的时。 点M到的距离之和的最小值。 ABI =I AFI+1 BFI 就是！为了那只司 应首先考虑用世物线的定义，下面举例说明 解：如图2.由2=4y, 山羊，你辑这了整楚 =(+号+(+5) 例1已知地物线y2=4标内有一点A(3 得2p■4，则号 1, 2),F为批物线的焦点，M是物线上的动点 =属*)+p=2+2》 大启示：每个人 即F(0.1), 求1AI◆1MF的最小值及得最小值时 都有这样的经沥：为 的坐标 设M到准线y=一1的距离为d,由地物 了一只羊抑失去 的定义得d=MF1,从而M到x轴的距离为d 解：如图1，由y2=4,得 群 酷明的人，只 -1=1MF1-1,所以11+(d-1)= LN所以w=-，从而直线MN一 会吃一次河祥的亏 =4,则片=1设M到 F1-1)1AF1 不国前的和 x=-1的距离为4，由射物线 /2+(6-1-1=12.即所求的最小值为12 =一-，当=0时解得=+ 益，了也不一定是 的定义得IMF1=4,所以 点评：与比较，在将点线距转化为两点 坏事 矩的网时，也花抛物线外剑的两点转化为并侧 所以1NF1=-号=+号 ≥A1=4,其中AH为点A到准线的距离 的两点，为A,，F三点共线，使之达到最小值创 枚1AB1=2INFI 这时一2，代人抛物找方程，得子 条件 点评：过佩点的直线与国维线交时 例3过抛物线的焦点F作不垂直于对称轴 活周定义能更灵活、更有效地解决问通 2H 素养专练 数理松 烟母树拼·报姓划的坐酰！宝（慢K避）区品趣米系女 专项小练一、抛物线及其标准方程(1) 4地物线2=解的准线方程为 专项小练二、抛物线的筒单几何性质(1） 【,抛物线x2■-16y的准线方程为( 5已知点A(22)在抛物找C:x=2r上，则 1,抛物线x■4y上一点A的纵坐标为4.则 (A)y=-8 (B)Y=4 C的焦点到其准线的距离为 点A与地物线焦点的距离为 (G)y=-8 (D0y=-4 6求焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的 (A)2 (B)3(C)4 (D)5 2,已知抛物线的准线方程是x=-7,则抛物 标准方程，并求出其准线方程 2,抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是 : 线的标准方程是 ( (A)y2=-28 (B)72=28x (C)2=-14 (D)y2=14 (A)手(B)5 (D)10 3.已知A(9,m)为附物线C:y2=2r(p>0) 3,过物找x=4r的焦点F作直线交地物 上一点，点A到C的焦点的距离为2，则P= 线于P,(,),P(2)两点.若1+=6 则IPP:1= (A)2 (B)3 (A5 《B)6 (C)8 (D)10 (C)6 (D)9 4.设F为附物战C:y2=2x的焦点，点P在励 物战上，点Q在准线1上，满足PQ∥x轴若 第9期2版参考答案 因为C的左支上的点到右的最值为+。 PQ1=IOF1.刚PF1■ 5.抛物线y2=mx(a>0)上有一点M,它的 专项小蜂 解得m=3,故C的方程为行一 横坐是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方 L:2ADm,342i:5号-=- 一 程为 6解：设双血线方程为号-号。1a>0,6>0。 为6，所以=3 6.在地物线y4x上求一点P,使点P到直 若m>0,则。-=,&=222+3 线y=4x-5的距离最短. 24 若m<,则m2=-2m=-,=+=-3m 以石4.任-=1.5 所以C=/一3m=3.解9w=-3. 放双线方程为子一专=1 的方程为片-专1 专项小塔二 做上，C的方程为号-。=1欢若-号=1 (8+ 1.12.3.C4.05园 方米三：是择第件金 因为C上任餐一中两焦点的面离之差的地对值为4。 ) 60) 6解油要水的双线方程为片一=40 以2a■4，即g■2 若m>0,。d2。w,所以a后2，解得m4 所以双油线方程为子-苦=儿 C的方为片一=山 数理报杜试题研究中心 若n<0,则2=-2m,所以0=2m=2. 参老等案见下期 第9期3,4版参考答案 解得m-2.则C的方程为号1与 一，单项选择是 上.的方型-=1-号= 别以过双线 -=1>0,6>0)上一点( 1-4 CACD 5-8 ACBA ACD:11.AD 解： (8-)) RD 三，填空 √/m+71=2c2而，以C是以《而，0) 正明下 0.4 28:454-2 (-而，0)为焦点，实轴长为2的双曲提 四、解荟题 设C:号-=a>0≥0.c=而a=1=3, 15解：设w饰点为P,出已知，得PA1十P唱1·340 以C的方程为一。1 x4=1360(m) 因为1A1=2m=2国m>130m.1P41>1Pg (2)由(1)可得C的济近线方程为y一±3 玩P以点A,居水的双战并红点异感 以直线4为轴，线叔的垂直平分线为y轴建立 投4A{需)，车)， 平面直角坐标名 因t直号-号1与双曲号-长1(>0， 出2a 960 03=537600 F-号.+8-250 6>0)相于点(w,以过双号-爷=1(a> 米 因此，点P所在曲线是双由线的右支， 0.6>0)上一点（o)的切线方型分-装=1 (众典) ) ) 的方程是6m一5m=1(>0 与-3(1-4+年-4)=26 3)证明：当县：0时，直线/的斜率不存在 6解：1)由双曲线方程知 其近线方程为±一 9（山解：由题可背受-元。1.即元=子-1 当0时，设x),02历》线发能中点 2)由双线定文51-1P1=2=6 联号-y1芳-=1 又EP1·1P1=1PF1+61P1=16 消去于：（-+6-1+=0 消得（-）+m-=0 F以1PF,1+6IPF.I-16=《1F,1+8)PF, 回 一 2)=0.可得1PF.1=2黄值含)， -∞ 以PF,的大小为2 +=0，显然4=4后-4=0 以直线与双曲线有且只有1个公共点 因为m>0,所以=.=2m2=2+=3m (2)解：由()知，直线号-o1与双曲线- 婴-器1，干是…共（侣） ( I(V) ) ) 絜 .003) (1-.0 以a=e=3e =1相切T点o), 即点了与点N重合，用以点T为线我的中点 树任拟孙·瑕独坦台尝城