勾股定理的赵爽弦图问题-2025-2026学年浙教版数学八年级上册培优训练

勾股定理的赵爽弦图问题-浙教版数学2025-2026学年八年级上册培优训练 一、选择题 1． “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若( 大正方形的面积为17，则小正方形的面积为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图所示是由4个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案指出下列关系不正确的是（　　） A．x2＋y2＝49 B．x－y＝2 C．2xy＋4＝49 D．x＋y＝13 3．如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连结四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为（　　） A． B． C． D．2 4． 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点P，若，且的面积为4，则正方形的面积为（　　） A．20 B．30 C．40 D．50 二、填空题 6．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在 中， AC=b， BC ，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则 的值为　 　. 7． 如图，正方形 ABCD 的边长为 13，以 BC 为斜边向内作，，， 于点 E，连结 DE.若 ，则 的面积为　 　. 8．我国汉末三国初数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①.图②由弦图变化得到，它是用8个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若 则S2的值是　 　. 9．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”图，后人称其为“赵爽弦图”由图变化得到图，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，若，则的值为　 　． 10．图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）． （1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝　 　； （2）如图2，若，则＝　 　（用含的代数式表示）． 三、解答题 11．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB. （1）求证：EF=DF； （2）若EF=2，求PE的长. 12．探究： （1）图（1）是由四个全等的直角三角形紧密拼接形成的飞镖状图形，若AB+AC=20，OC=5，求该飞镖状图形的面积. （2）图（2）是由八个全等的直角三角形紧密拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3.若 求 的值. 13．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 答案解析部分 一、选择题 1． “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若( 大正方形的面积为17，则小正方形的面积为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：设斜边长为c，则c2= 17. 由勾股定理，得a2+b2=c2= 17， 又(a+b)2=26， ∴ab=. ∴小正方形的面积为(a−b)2=a2−2ab+b2=(a2+b2)−2ab=17-2x=8. 故答案为：C. 【分析】先根据勾股定理，建立三边关系；再结合已知条件运用完全平方公式的变形，求解小正方形的面积. 2．如图所示是由4个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案指出下列关系不正确的是（　　） A．x2＋y2＝49 B．x－y＝2 C．2xy＋4＝49 D．x＋y＝13 【答案】D 【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：A中，根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到，正确；B中，根据小正方形的边长是2即可得到，正确； C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确； D中，根据A，C联立结合完全平方公式可以求得x+y=，错误． 故选D． 【分析】根据勾股定理和正方形的面积列等式，逐项判断解答即可． 3．如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连结四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n， 标记A、B、C、D如图②所示，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2， 设AB=CD=x， ∴ ∴S2=4S△ACD=2x2， ∵S1=S2，S1+S2=m2 ∴4x2=m2， ∴m=2x， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2 ∴x2+(x+n)2=m2， ∴x2+(x+n)2=4x2， ∴， ∴， ∴. 故答案为：A. 【分析】设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，如图2，设AB=CD=x，则可以用x表示出S2，又由于S1=S2，S1+S2=m2，所以可以得到m与x的关系式，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，最后根据等量代换进行运算即可. 4． 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：∵中间小正方形的面积为4， ∴EF=EH=FG=HG=2 ∵E，F，G，H为各直角边中点， ∴AH=DG=CF=BE=4，AE=DH=CG=BF=2， ∴阴影部分的面积=正方形ABCD的面积-正方形EFGH的面积-4×△AEF的面积 . 故答案为：D. 【分析】根据正方形和三角形的面积公式以及勾股定理即可得到结论. 5．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点P，若，且的面积为4，则正方形的面积为（　　） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：设AC于BF相交于点Q，如图所示： 由题意得：△AEB≌△BFC≌△CGD≌△DHA， ∴AE=BF=CG=DH，BE=CF=DG=AH，∠CGD=90°=∠CGH， ∴AE－AH=BF－BE=CG－CF=DH－DG，即HE=EF=GF=HG， ∴四边形GHEF是正方形， ∴AE//CG，DH//BF， ∴∠EAQ=∠CGP ∴△EAQ=△CGP（ASA）， ∴GP=EQ. ∵DH//BF，AH=HE， ∴HP为中位线， ∴GP=EQ=2HP. ∴ ∵AH=HE，设， ∴，AE=BF=CG=DH=2a. ∴， ∴解得：， ∴在中，由勾股定理得，， ∴正方形的面积为30， 故答案为：B． 【分析】设AC于BF相交于点Q，由全等的性质可证得四边形GHEF是正方形，于是有AE//CG，DH//BF.证明△EAQ=△CGP可得GP=EQ.，再证明HP为中位线，可得GP=EQ=2HP继而可得表示霎那间CGP的面积，可得，最后在中利用勾股定理即可得到结论。 二、填空题 6．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在 中， AC=b， BC ，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则 的值为　 　. 【答案】79 【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：由图可知， ， 故答案为：79. 【分析】根据图形表示出小正方形的边长为(b-a)，再根据四个直角三角形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解. 7． 如图，正方形 ABCD 的边长为 13，以 BC 为斜边向内作，，， 于点 E，连结 DE.若 ，则 的面积为　 　. 【答案】72 【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；解一元二次方程的其他方法 【解析】【解答】解：如图，作DM⊥AE， 易证△AEB≌△BFC，且△AEB≌△DMA， 不妨假设BF=AE=DM=a，FC=BE=b， ∴EF=BF-BE=a-b=7， 又∵∠AEB=90°， ∴a2+b2=132=169， 解方程组， 解得， ∴AE=MD=12， 又∵MD⊥AE， ∴. 故答案为：72 . 【分析】作DM⊥AE于点M，得到△AEB与△BFC与△DMA均全等，从而BF-BE=5，BE2+AE2=132，可以解得AE=BF=MD=12，又MD⊥AE，进而可以表示的面积. 8．我国汉末三国初数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①.图②由弦图变化得到，它是用8个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若 则S2的值是　 　. 【答案】​​​​​​​ 【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：解法一 ， ，得 即 解法二 ，， ，即 ， 故答案为： . 【分析】解题的关键在于理解如何拼接成“弦图”，并运用弦图中隐含的结论寻找新的等量关系.设直角三角形的两直角边分别为a，b(b>a). 9．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”图，后人称其为“赵爽弦图”由图变化得到图，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，若，则的值为　 　． 【答案】24 【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：设每个全等的直角三角形的面积为S，则根据图形可得： 故答案为：24. 【分析】根据已知图形的面积分割即 正方形的面积等于正方形的面积加上正方形的面积再加上8个全等三角形的面积列出关系式，再根据正方形的面积等于正方形的面积加上4个全等三角形的面积，列出等式，然后再变换进行求解即可. 10．图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）． （1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝　 　； （2）如图2，若，则＝　 　（用含的代数式表示）． 【答案】； 【知识点】勾股定理；用代数式表示实际问题中的数量关系；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】 （1）设5个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b ∵若的面积为，∴ab=10 ① ∵小正方形的面积为，∴ 即② ①代②得 ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ， ，化简得 ∴． 故答案为：． 【分析】（1）设5个全等的直角三角形长直角边为a，短直角边为b，根据三角形ABF面积为5，可知Aab=10；根据小正方形FGHK的面积为9.得到，通过代数式的化简得到，而，可求出 （2）. . 用a、b表示它们的面积，根据 。求出a、b、k之间的关系。而化简并把a、b、k代入求值即可。 三、解答题 11．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB. （1）求证：EF=DF； （2）若EF=2，求PE的长. 【答案】（1）证明：∵∠ABE=∠AEB ∴AB=AE ∵AB=AD ∴AE=AD ∵∠DFA=90° ∴EF=DF （2）解：由（1）得：EF=DF ∵EF=2 可以求得 AG=HE=2， 证△APG≌△EPH ∴PG=PH=1 ∴PE= 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；“赵爽弦图”模型 【解析】【分析】(1)先通过∠ABE=∠AEB判定AB=AE=AD，再利用等腰三角形的性质证得EF=DF. (2)由题意可得EF=DF=AG=HE=2，通过AAS判定△APG≌△EPH ，进而得到PG=PH=1，再利用勾股定理计算出 PE的长. 12．探究： （1）图（1）是由四个全等的直角三角形紧密拼接形成的飞镖状图形，若AB+AC=20，OC=5，求该飞镖状图形的面积. （2）图（2）是由八个全等的直角三角形紧密拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3.若 求 的值. 【答案】（1）解：由题意得OB=OC=5.因为AB+AC=20，OC=5，所以 ，所以AB=25-OA，所以 ，解得 OA=12，所以该飞镖状图形的面积为 （2）解：设直角三角形的长直角边长为 a，短直角边长为b，斜边长为c，则 由题意得 所以 所以 【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理；“赵爽弦图”模型 【解析】【分析】(1)根据周长公式和勾股定理求出OA的长，分割法求出面积即可； (2)利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系，求解即可. 13．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】解：（1）， （2）证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为： 【知识点】三角形的面积；勾股定理的证明；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； 【分析】（1）根据三角形的面积计算公式可得出结合图形可得出正方形边长为a-b，根据正方形的面积计算公式和割补法分别求正方形ABED的面积，即可得出结论； （2）根据AAS可证得进而可得出； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设故又在中，则，求出后可列式计算得解. 学科网（北京）股份有限公司 $