第12期 4.3 解直角三角形 4.4 解直角三角形的应用 -【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

静应告三湖：姓盖·妹姓丑当 羞理括 2025 年9月18日星期四 初中数学 B51-527126 纸发行质量反喷电话 12 总第1156期 (湘教中考) 537080.053 0351-5271248 (12)联 11期 41,1正密 山西师范大学主警 山西师大教育科技传媒集团主办 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN140707川F 1A:2,C 38 思天地 三，方程思想 例3图4，一机器 三角函数中的数学思想 人从A处向正南方向走 20米到达B处，再从B处 41.2东蓝 min. 国东方击0米状 1 3. 0湖南 李青松 4 一、转化思想 C处，然后从C处向北慎 n∠ABD= .AB=5,BC=6.则CD的长为 西37°走到D处，最后从D回到A处，已知D在 63 例1如图1，在 A的北偏东73“方向，则C到D(即CD)的距离是 2正切 △ABC中，∠B=30.AC 3.C 解析：如图2所标，当△ABC是锐角三角形 米（结装保留整，参考数值：加73 4.45*:56 =2,cmC=，则AB边 30T 19 时，在△4D中，mD品京 的长为 2)武子 所以设AD4，BD=3x, es37an37= 解析：过点A作AD⊥BC于点D 重点集调营 在R△AD中，由勾股定理得(3x) 解析：设CD为x米， .D2,0 因为m-光=4c=2 4)2■52 由题意知∠ECD=37,∠MAD=73 330°或0 4硬直角兰用形 所以cD=号 11期3,4版 pE=CDin37P.子 -,1.A;2D 在R△ACD中，由勾定理易得AD 4.A: 解得x=1, 以D■50-子 6 C. 8 所以D=3,所以CD=C- BD=3: 故9 如图3所示，当△ABC是纯角三角形时，同 因为AB+AM=BM=CE,即20+150- 理可得BD=3,以CD=BC+BD =9 二分类讨论思 综上述，CD的长为3或9 =子，解得=20357 例2 已知AD是△AB 中BC边上的高 故填3或9 故填357 15.0B n单 例1 在一次综合实 践活动中，某小组对一独 三.9.(1)原式 筑物进行测量。图1，在 联袂解题 」坡坡脚C处测得该建筑 物摇B的角为60，沿 安 20.sin A= 坡向上走0m到达D处，得建筑物项端B 在R△CDG中，由勾骰定理， 的仰角为30°.已知山坡坡度i=3:4即an0三 00C+CG=30/10(来) 请你营助该小组计算建筑物的岛度AB(结 因为DF-FH=DH, 客：芳芳和亮亮之的距璃为0/0米 2尝 精确到0.1m,参考数据：一1,732 所以5，-y+2)=16。 (2)过点D作DM⊥AB于点H 解析：作DE⊥AC交AC于点E,作DF⊥AB 5) 2的值为 解得y■685 则四边形BHDG是矩形， ∠C的度数为90 交AB下点F,作CH⊥DF交DF于点H, 所以AB=BF+FA=6+8+2=18+ 所以BH=DG=30米，DH=BG 2)高 DE=AF,HF=AC,DH=CE 8,5-31.9(m) 因为∠BC=90,∠ACB=45 所以△ABC是等腰直角三角形 答：该建筑物AB的高度约为31.9m 24.(1)90 以设DE=3m.则CE=4m 例2如图2，芳芳 所以=BC, a) 在△CDE中，∠E=0°， 在G处看见飞机A的仰 设AB=BC=米，則AH=AB-BH=( 由匀段定理，得(3x)2+(4x) =20 角为45°，日时亮亮在斜 0)米，DH=BG■GG+G(x+90)米 25(1)16 2万 解得4（年值会去） F D 在B1△ADH中，∠ADH=30 20.3 坡CF上的D处看见飞机 G 26(1n120 所以DE=AF=12m.CE=DH =16m A的仰角为30°，若斜坡 2 经BF=ym,明AB=(y+12)m CF的被比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E 在R△BDF中，∠EDF=0, G.C,B在阿一求平线上，求： nl150= (1)芳芳和亮亮之间的距离CD: 即：识- (2)m=0.∠A (2)比时飞机的高度AB(结果保留根号 解得￥=605+90 0，/120 所以DF。万，m. 所以B=(60原+90)米 在RI△ABC中，∠ACB=60 解：(由，瓷 因为DG=0米. 答：此时飞机的高度AB为(605+90)米 以CG=90(来) 【对应练习见《重点集调营》】 2 素养专练 数理极 屋任拟非·展船丹但品投学源约 43解直角三角形 4,.4躲直角三角形的应用 重点集训营 1.下列条件中，不能解直角三角形的是 1.如图1，把梯子靠在垂直水平地面的城 1.如知图1，某中学依山而键，校门A处有一破 上，梯子AB的长是3米岩梯子与地面的夹角为 度i=5:12的坡AB,长度为13米，在坡顶B处 4已知两条直角 x,梯子底省到面的距离AC为 看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF■45°，离 B.已知两锐角 A,3ine米 B.3a米 点4米远的E处有一个花台，在E处型C的仰角 C.已知边和一条直角边 D.已知一边与一锐角 c米 Dn米 是∠CEF=60”,CF的证长线交校处的水平面 点D,求楼顶C的高度CD(结某保根号】 2如图1，B1△ABC中，∠ABG=90°，4B=6, C8,D为AC边上一点，且um∠ABD=则 BD的长度为 A.155 B.25 C.5 2如图2，某校数学楼后面紧邻着一个山坡 皮上而出一块平电.已知BC∥AD.来技AB长26 m,坡AB的坡度为12：5，为了减缓坡面，防止山 2.鹏和好朋友一起旅游图2，他门租生 体滑坡，学校决定对该解坡进行改造，经地质人员 的定堂A君4家年些为i■1：244齿君D上 断爆，当坡角不超过53·时，可确保山体不滑坡 花馆界富为29米两在民页标的每云A 3,如图2，四边形04BC中，4在x轴的正半 如果改法时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC至少 处向外看风址，发现宾茁前有一难像C(像的 然上，∠OCB=∠0AB=90,AB=3,BC=5. 间百多 一m时，才作确保山体不滑坡 高度多略不计)，已知港像G距离海岸线D的距离 m∠A0C=e∠DCB=号，则点C的坐标是 取um53°-子) CD为260米，与实馆AB的水平拒离为36米，远如 玉如图3.轮妇B在码头A 海面上艘即将靠岸的轮船￡的府角为27 4.如图3，在△ABC中， 的正东方向，与码头A的距离为 (1》求BG的长度： LACB■90°，CD是斜边AB 100海里，轮妇B向北航行40海 (2)求轮帕E距离海岸线D的距离ED的长 的中线，过点D作DE⊥AC 里到达C处时.接到D处一被色 (结果保偏整数，参考数据：an27°一0.5引，n27 足为点若mA=,A山 船发来的求效信号，于是沿北编 w0.45)】 图3 西45·方向航行到D处，解救渔 =6,则△CDE的周长为 船后轮船沿南偏西32返回到码头A,那么码头A t+8t'd 与D的距离为 海里（陆果保筒梦数，参考 5.如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高. 据：n32°0.5，cm32°08，an32 A是BC边上的中线，@G=号血B:,A山 06. 4知图4所示.一感顶的水平观台的 每拔高度为1600m,小明想利用这个观显台薄量 (1)求BC的长： 数理报杜试题研究中心 对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选 参考答案见14期 (2)求nn∠DAE的值 定了一点A,在点A处得C点的印角∠CAE 42,再在AE上选一点B,在点B处测得C点的刚 辅助线周周炼 角∠CBE■45°，AB=10m.求山顶C点处的海拔 1.如图I,在△ABC中，∠ABC=0,D为BC 加+0 高度《小明身高略不计，考数据：n42 的中点，点E在AB上，AD,CE交丁点F,AE=EF 0.67,e%42=0.74,1an42°=0.90) =4.FC=9,则cm∠ACB的值为 2,如图2.△ABC中，CD为边AB上的中线.点 E在AC上，连接BE交CD于点F,∠BC=12D BF=AE+EF,若AB=4,万，E=8,则CD的长 c98 32口 拉平希羽中坐围三出体甘“H'LV用浓坐电三电 ◆ ▣￥满[=馆水门啦用客修'用程 6=3= :1 修罪8斜某0=0能到'程憾州买1 (1+)81V 82-0000:0.00-000.: w 08'V 【些群】初中数学湘教中考第10~13期 载理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学湘教中考 第10~13期(2025年9月) 10期 设AB=BC=AC=5a, 一、选择题 因为AD:CD=3:2, 题号1 所以CD=CG=2a. 23 4 5 6 7 8910 因为DP⊥BC, 答案DACB A 所以CP=PG=a, 提示： 所以BP=BC-CP=5a-a=4a. 8.解：因为CM=CW, 因为BD=DE,DP⊥BE, 所以∠CNM=∠CMW, 所以PE=PB=4a,BE=PE+PB=8a, 所以180°-∠CMW=180°-∠CWM, 所以GE=PE+PG=4a+a=5a. 即∠AMB=∠AWC. 因为DG∥AB, 因为cw=,兴-器 △EDG∽△EFB, .5 所以兴：兴 所以△AMB∽△ANC. 所以知、 5 FD=3, 9.解：由题意，得AB⊥BC,所以∠ABC=90°. 因为DE⊥AC, 所以D 5 FD 3 所以∠DEC=90°， 二、填空题 所以∠DEC=∠ABC=90° 因为∠DCE=∠ACB, 11.5:3:12.5:2:13.(105-10)；14.2 所以△DCE∽△ACB, 15.3;16.4;17.14.4cm;18.2. 所以P=E 提示： AC AB 16.因为DEFG为矩形， 因为AB=60cm,AB+BC=140(cm), 所以DG∥EF: 所以BC=140-60=80(cm), 因为EF∥BC,所以DG∥BC, 所以AC=/AB+BC=√602+802=100(cm). 所以△AHM∽△ABC. 因为点D是BC的中点， 因为AH=HK=KB,SA8c=12cm, 所以DC=之Bc=40(em), 所以四 (An? S△ABC 所以0-货 所以Sam=5。 解得DE=24(cm), 同理可得△AKW∽△ABC, 所以钢梁DE的长为24cm. 10.解：过点D作DG∥AB交 所以之 S AABC BC于点G,作DP⊥BC于点P, 如图1，因为△ABC是等边 所以SAKY=9SAARC, 三角形， 所以AB=BC=AC, ∠ABC=∠ACB=∠BAC 17.解：如图2，过点C作桌面 图1 =60」 的垂线CM,垂足为点M,交BF于 水面 因为DG∥AB, 点N. 所以∠CDG=∠BAC=60°，∠CGD=∠CBA=60°， 过点B作桌面的垂线BP,垂 桌面 所以△CDG是等边三角形， 足为点P. P 所以CD=CG=DG. 因为水面BF离桌面的高度 图2 初中数学湘教中考第10~13期 为9.6cm, 22.证明：(1)因为AD∥BC, 所以BP=MN=9.6cm. 所以∠ADB=∠EBC. 因为BF∥AP,CN⊥AP, 又因为∠ABD=∠BCE, 所以CN⊥BF 所以△ABD∽△ECB. 因为∠CBN+∠ABF=∠ABP+∠ABF=9O°， (2)因为在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC, 所以∠CBN=∠ABP. 所以∠ABC=∠BCD. 又因为∠CNB=∠APB, 又因为∠BCE=∠ABD 所以△CWB△APB, 所以∠DBC=∠DCE. 所胎即器。 因为∠BDC=LCDE, 所以△DEC∽△DCB, 解得BW=3.6. 根据勾股定理，得CN=√BC-BN=4.8(cm), 所以瓷=器 所以CM=CW+MW=4.8+9.6=14.4(cm), 所以DC2=DE·DB. 即此时点C离桌面的高度为14.4cm. 23.解：延长PE交AB于 F北 18.解：如图3，连接BQ 点F,如图5所示。 因为ABC是等腰直角三角形，AB 因为PE⊥CD,AB∥ CD. 南声 =22,AD⊥BC, 所以∠PED=∠PFB= 所以BC=2AB=4, 90°， ∠CAD=∠ACD=45° 图5 所以PF⊥AB. 因为△CPQ是等腰直角三角形， 图3 设这条河的宽度为x米 所以QC=2PC,∠QCP=∠ACB=45°， 因为AB∥CD, 所以∠ACP=∠BCQ. 所以△PBA△PDC, 又因为%=巨=% 所以器=品 所以△APC∽△BQC, 因为CD=30米，AB=75米，PE=20米， 所以∠QBC=∠PAC=45°， 所以点Q在BQ上运动. 所以20。=品 所以当D01B0时，D0有最小值，最小值为=万. 解得x=30. 2 答：这条河的宽度为30米. 三、解答题 24.(1)证明：因为AD⊥BC,DE⊥AC, 19.解：因为(x+y)：（x-y)=3:1, 所以∠ADC=∠AED=90°. 所以x+y=3(x-y), 因为∠DAC=∠DAE, 整理，得2x=4y, 解得x:y=2. 所以△D1E~△CAD,所以器- 20.解：不一定相似.理由如下： 所以AD=AC·AE. 根据题意，得 因为AB=AC, ∠D=∠H=360°-100°-90°-120°=50°， 所以ADP=AB·AE. ∠A=∠E,∠B=∠F,∠C=∠G, (2)解：因为DE⊥AC于点E,CD=2,CE=1, 对应角都相等，但是两个四边形的对应边的比值不能确定 所以DE=√CD2-CE=5. 相等， 因为AB=AC,AD⊥BC, 所以四边形ABCD与四边形EFGH不一定相似. 21.解：(1)如图4所示， 所以BD=DC. △A1B,C1即为所求； 因为∠ADB=90°，F是AB的中点， (2)△AB1C,与△ABC的位似 所以DF=子AB 比为3：1： 因为F是AB的中点，BD=DC, (3)因为△ABC的周长为 所以DF∥AC, 3+2+17+√22+1 所以∠AGE=∠DGF,∠GAE=∠GDF, =3+2+5, 所以△DFG∽△AEG, 所以△AB,C,的周长为 所以AC=4E 9+32+35. 元=0 故答案为：(2)3：1；(3)9+32+35. 因为AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点E, 所以∠ADE+∠CDE=90°， 2 初中数学湘教中考第10~13期 ∠DCE+∠CDE=90°， 所以AC=CH=AH=2a, 所以∠ADE=∠DCE, 则△ACH是等边三角形. 所以Rt△ADE Rt△DCE, 又因为CF=FH=a,所以AF⊥BC. 所以光-先= 因为∠ABC=30°，所以AF=AB 因为品-振 AD 因为△ABC∽△ADE, 2 BAD AB 所以铝=%-怨 2 ∠C=∠E,∠CAB=∠EAD=90°， 2 所结-长所以△4CF一△c 所拟光是 所以华=AC A花=AE∠CMF=∠EAG 25.解：(1)因为AD=DF=FH=HB,AB=24米， 又因为∠CAB=∠EAD=90°， 所以AD=DF=FH=HB=￥AB=6(米). 所以∠FAB=∠GAD, 所以∠FAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG, 由题意，得∠CDM=∠PAM=90° 即∠FAG=∠BAD. 因为∠CMD=∠PMA, 所以△CMD△PMA, 又因为能=骆 所以织 所以AF=AB AG=AD 哈=2子6 2 所以△AFG△ABD. 解得PA=12 所以品-治=子 答：明德楼的高PA为12米； (2)由题意，得∠PAN=∠EFN=90° 故答案为：2 1 因为∠ENF=∠PWA, 11期2版 所以△ENF∽△PNA, 4.1.1正弦 所以货袋 1A:2C:3.B:47:5 即品=n0+6 FN 6.解：因为∠C=90°，∠ADC=45°， 所以∠DAC=∠ADC=45°， 解得FW=4. 所以AC=CD. 答：塑像EF的影长FW为4米. 因为BD=2DC, 26.(1)证明：因为△ABC△ADE, 所以BC=3AC, 所以∠B=上D铝-能 所以AB=AC2+BC=√IOAC, 因为F,G分别是BC,DE的中点， 所以n∠Ac-治= 所以BF=2BC,DG-DE, 4.1.2余弦 1B:2C:3.B:4分：5号 1 所以 BCAB DE AD' 2 6.解：因为AB=AC,AC=15, 所以AB=15, 所以△AGD∽△AFB. 因为BD⊥AC, (2)解：连接AF,AG,取BC的中点H,连接AH. 因为4CF=BC,4EG=ED, 所以∠ADB=90°， 所器-器 因为A-品=专 又因为AC=BC, 所以AD=号×15=12， 所以CD=AC-AD=15-12=3. 则cF=6C=4C 4.2正切 设CF=a,则BC=4a, 1.C;2.D;3.C;4.45°；5.6. 所以BH=CH=AM=8C=2a,AC=2, 6舞：①武=2×宁1+（停）=子 3 初中数学湘教中考第10~13期 （2)原式=万×竖-分+(=子 7 10.如图2所示，过点D作DH⊥EC交 EC于点H, 重点集训营 因为CE⊥BF,CE⊥DH, 1.D;2.C;3.30°或60°；4.等腰直角三角形 所以∠DGF=∠GDH. 5.解：过点A作AD⊥BC于点D, 因为DG=CD,DH⊥CG, 图2 因为∠A=120°，AB=AC, 所以∠CDH=∠GDH,且CH=GH. 所以∠B=∠C=2(180°-∠A)=30,BC=2BD, 在正方形ABCD中，∠BCD=90°， 所以∠BCE+∠DCE=90°，BC=CD, 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=1, 所以∠BCE=∠CDH. 因为cosB=BD 在△BCG与△CDH中， AB r∠BGC=∠CHD, 所以BD=AB·cosB=1×cos30°= 2 BC CD, L∠BCG=∠CDH, 所以BC=2BD=2× B-3. 所以△BCG≌△CDH, 所以BG=CH. 所以BC的长是5. 设GH=x,则BG=CH=x, 11期3,4版 在Rt△BCG中， 一、选择题 BG 1 anZBCG-C花=cG+C23 题号1 2 34 5 6 1 8910 所以tanLDGF=tan_BCG=2 1 答案ADBABCCBBB 提示： 二、填空题 7由csA-分+(5-mB)=0可得s4-分 ” 12.60；13.号；142；15.0B: =0,√5-tanB=0, 16n2918 即cosA=之，amB=万， 提示： 所以∠A=60°，∠B=60°， 16因为LA=LC.msC=子 则∠C=60°， 所以△ABC为等边三角形. 所以asA=子-怎 8.如图1，过D作DE∥ 设AE=3x(x>0),则AD=5x,所以DE=4x. AC,交BC的延长线于点E. 因为BE=2,所以AB=3x+2. 因为AD∥BC,所以四边 因为AB=AD,所以3x+2=5x, 形ADEC是平行四边形， 解得x=1, 所以AC=DE=4. 图1 所以DE=4, 因为BD⊥AC, 所以BD=√DE+BE=√4+22=25， 所以BD⊥DE, 所以∠BDE=90°， 以m匙一器-活停 所以BE=√BD2+DE=√82+4=45， 17.由作法可知，AG平分∠BAC,过点G作GH⊥AC交AC 质以w4c=器-4539 于点H. 5 因为∠B=90°，GH⊥AC,AG平分∠BAC, 9.设正方形边长为2a,则DC=2a, 所以HG=BG=1. 因为E是AD的中点，所以DE=a. 因为BC=4,则CG=BC-BG=4-1=3, 由折叠的性质可知ME=MC, 所以CH=√CG-GF=√/3-1下=22， 设MD=x, 则MC=ME=2a-x, 所c-器：29 在Rt△MDE中，由勾股定理得x2+a2=(2a-x)2, 18.过C作CF⊥l于点F,交l D 解得x=, 3 于点E,设CB交4于点G, 由题意得GE∥BF,CE=EF, 3 所以sin∠MED=MD- 3 所以△CEG∽△CFB, ME 3 2a- 5 所以S=CE。1 B F CB=CF=2 图3 初中数学湘教中考第10~13期 因为BC=3, (2)如图4，过点B作BE⊥MC于 所以GB=cG=BC=是 点E, 因为∠BCM=∠BAC, B 因为4∥4， 所以sinLBCM=sin∠BAC=方，M 5 所以∠a=∠GAB, E 所以BE=BC·sinLBCE=5× 图4 因为四边形ABCD是矩形，AB=4, 5 25 所以∠ABG=90°， 13=5 所以ama=m∠B4G=答=子 24.解：(1)过点C作CD⊥AB,垂足为D 三、解答题 在A4CD中，mA=0=手 ()2+2x2 所以设CD=4k,则AD=3k, 2 19.解：(1)原式= 3+2 由勾股定理，得AC=√AD2+CD=√(3k)2+(4k) =5k, 因为AC=15,所以5k=15,解得k=3, =3+2. 所以AD=9,CD=12, 2 所以56c=号4B:CD=3×15×12=90, =1++x分- 1 (2)在Rt△BCD中，BD=AB-AD=15-9=6,CD=12, 所以由勾股定理，得BC=√CD+BD2=65, 20.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, 所以cosB=0=6=5 所以由勾股定理，得AB=√32+4=5， CB 65 5 所以sn4%=专os4-始=子m4-%:青 所以∠B的余弦值为得 21.解：(1)因为∠BAC=90°，4B=8,AC=6, 25.解：(1)过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D, 在Rt△ADC中，AC=4,因为∠ACB=150°，所以∠ACD= 所以BC=√62+82=10. 因为AD⊥BC, 30,所以AD=24C=2,cD=ACcs30°=4×9=25 2 所以5ac=子4B×AC=分BC×AD, 1 在m△40中，mB一品-高·令 所以AD=24 所以BD=16, 所以BC=BD-CD=16-25. (2)因为E是BC的中点， (2)在BC边上取一点M,使得CM=AC=4,连接AM. 所以4E=BC=5, 因为∠ACB=150°， 所以∠AMC=∠MAC=15. 所以o∠DME=-若 因为CD=25, 所以MD=4+2/3, 22.解：因为∠A=60°，所以tanA=√5. 把x=5代入方程22-3mx+3=0得2(5)2-35m 所以tanl5°=am∠AMD=0 +3=0, 2 1 解得m=√3. 4+252+5 =2-5≈0.3. 把m=5代入方程22-3mx+3=0得2x2-35+3= 26.解：(1)由题意，得sin120°=sim(180°-120)= 0. 5 解得=万，= sin60°= 73c0s120°=-c0s(180°-120)=-c0s60°= 2 2:sin150°=sin(180°-150）=sin30°=2 所以cosB=,即∠B=30, (2)因为三角形的三个内角的比是1：1：4， 所以LC=180°-∠A-∠B=90°. 所以三个内角分别为30°，30°，120°， 23.解：(1)因为∠ACB=90°，AB=13,AC=12, ①当∠A=30°，∠B=120°时， 所以BC=/AB-AC=√132-122=5， 易求得方程的两根分洲为宁，一宁 所以sim∠BAC=BC=5 AB=13 1-1=0, 将x=子代人方程，得4×（宁）2-m× 5 初中数学湘教中考第10~13期 解得m=0, 所以AD= 经检验x=-宁是方程4-1=0的根。 an4200.9 所以m=0符合题意； 因为4B=10m,所以g-x≈10， ②当∠A=120°，∠B=30°时， 解得x≈90， 易求得方程的两根分别为，，不符合题意： 所以山顶C点处的海拔高度约为1600十90=1690(m). 重点集训营 ③当∠A=30°，∠B=30°时， 1.解：如右图，过点B作BM ,15 ⊥AD,过点E作EN⊥AD, 易求得方程的两根分别为2,2， 学 因为斜坡AB的坡度i=5：校门 将x=代入方程，得4×（宁） 12 -m×2 -1=0, 解得m=0, 所以高， 经检验不是方程4-1=0的根，所以不符合题意 又因为AB=13米， 所以BM=5米，AM=12米， 综上所述，m=0,∠A=30°，∠B=120°. 所以BM=DF=5米. 12期2版 设EF为x米，则BF=(4+x)米， 4.3解直角三角形 因为∠CBF=45°， 1B2.D:3(号6： 4.4+22 所以BF=CF=(4+x)米. 因为∠CEF=60°， 5.解：(1)在△ABC中，因为AD是BC边上的高， 所以∠ADB=∠ADC=90° 所以m60:,4兰 因为aC=号.C为锐角 解得x=（2+25）米， 所以∠C=45°. 所以CF=6+25）米， 在△ADC中，因为∠ADC=90°，AD=1,∠C=45°， 所以DC=AD=1. 所以CD=CF+FD=（11+2B）米. 在△ADB中，因为∠ADB=90°， 所以血B-铝=子 1 答：楼顶C的高度CD为(11+25米 又因为AD=1, 2.解：延长AB交ED的延长线于点F,过点C作CG上AF, 所以AB=AD 垂足为G. sinB3 (1)由题意，得CG=36米，∠BFD=90°， 所以BD=√AB2-AD2=22, 因为斜坡BD的坡度i=1:2.4, 所以BC=BD+DC=22+1. 所以C=1:5 CG=2.4=12 (2)因为AE是BC边上的中线， 所以BG=15米. 所以cE=BE=万+分 在Rt△BCG中，由勾股定理，得 所以DE=GE-D=万-分 BC=JCG2+BG=39(米). 答：BC的长度为39米 所以am∠DAE=光-万-分 (2)因为BC=39米，CD=260米， AD 所以BD=299米. 4.4解直角三角形的应用 因为斜坡BD的坡度i=1:2.4, 1.B;2.8;3.105. 4.解：如图1，过点C作CD1AE交AE 所以易得BF=115米，DF=276米， 的延长线于点D, 因为AB=129米，所以AF=24米 设CD=xm, 在△4F中，m27=部 在Rt△CBD中，∠CBD=45° ∠BCD, 图1 所以EF=a748米). 所以BD=CD=xm. 所以DE=EF-DF=478-276=202(米). 在Rt△CAD中，∠CAD=42°， 答：轮船E距离海岸线D的距离ED的长约为202米， 6 初中数学湘教中考第10~13期 12期3,4版 所以CD的最大值为1+25. 一、选择题 二、填空题 题号1 2 345 9.60°；10.6.4；11.10：12.(415-25)： 13.18. 提示： 提示： 12.如图4，过点E作水平地面的平 6.如图1，过点0作EF⊥OM,过 A 行线，交AB的延长线于点H,则∠BEH 点A作AG⊥EF于点G, 、0 =∠DCF. 因为AB=6米，OA:0B=2:1, *B 在Rt△BEH中，tan∠BEH= B 所以0A=4米，0A1=4米， M 地面 LBCF=8路=子 1 因为∠AOM=120°，∠E0M= 图1 G- …f 图4 90°，所以∠A0E=30°. 设BH=x米，则EH=2x米， 在Rt△A10G中，A1G=A0·sin30°=2（米），点A位于最 所以BE=√EH+Bf=5x米， 高点时到地面的距离为2+3=5（米）， 所以5x=10,得x=25, 所以点A位于最高点A,时，点A到地面的距离为5米 7.如图2，过P作PC⊥AB于C, 所以BH=25米，EH=45米 北 由题意知∠PAB=30°，∠PBC= 因为∠EAH=180°-60°-90°=30°， 60°， 所以AH=5EH=45米， 所以∠APB=∠PBC-∠PAB= B 所以AB=AH-BH=(4√15-25)米， 图2 60°-30°=30°， 即大树AB的高为(4√15-25)米. 所以∠PAB=∠APB, 13.如图5所示，过点B作BE/AC,与AD 所以AB=PB. 的延长线交于E,过点B作BF⊥AE于点F, 在Rt△PAC中，AP=65千米， 因为BE∥AC,所以∠E=∠CAD, 所以PC=sin∠PAC~PA=PA=3万千米 又因为∠ADC=∠EDB, 所以△ADC∽△EDB, E 图5 在RI△PBC中，in∠PBC=答 所品-品=品=号 所以鸣源 设AD=3x(x>0),则DE=5x, 所以AE=AD+ED=8x. 所以PB=6千米. 因为AD是∠BAC的平分线， 所以AB=6千米. 所以∠BAD=∠CAD, 8.如图3，在AD的下方作Rt△ADT,使得 所以∠BAD=∠E, ∠ADT=90°，DT=1,连接CT, 所以AB=EB 则AT=5, 因为BF⊥AE, 因为品-瓷=2， 所以EF=AF=AE=4, 所以治=既 所以DF=AF-AD=4x-3x=x. 因为∠ADC=∠EDB, 又因为∠ADT=∠ABC=90°， 所以△ADT△ABC, 所以cos∠ADC=s∠EDB=品=子 所以∠DT=∠C,品=是 AT 因为BD=10,所以FD=6,所以x=6, 所以AD=3x=3×6=18. 所以∠DAB=∠TAC,号= 三、解答题 14.解：因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90° 所以△DAB△TAC, 所咒岩后 因为∠B=30°，所以AD=分AB=3. 所以TC=25 因为amc=3.所以号=品=3。 因为CD≤DT+CT, 所以CD=1. 所以CD≤1+25， 所以AC=AD+CD=√32+1下=0 初中数学湘教中考第10~13期 15.解：如图6，过点C作CH 18.解：(1)如图8，过B作BM⊥I于M, 太阳 ⊥AB于点H,过点D作DG⊥AB, 所以CD=BM=1.5米， 60° 交AB的延长线于点G. 459 BC=DM=1.5米， 因为∠CAB=45°， 60 AC =30 n mile, H G B 在Rt△BEM中，tan∠BEM=BM EM 图6 D 所以AH=CH=l52 n mile. 即5品 图8 因为∠CBH=60°， 所以EM=0.3米， 所以BC= CH 152 sin60°= =10./6(n mile). 所以DE=DM-EM=1.5-0.3=1.2(米). 2 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2米。 因为∠DBG=180°-60°-30°-60°=30°， (2)如图9，过B作BF⊥AC于F,过BA 所以∠BDG=60° 作BM⊥L于M, 则BF=DM=1.2米， 所以∠CDB=180°-60°-60°=60°， 因为∠CBD=30°+60°=90°， 所以CF=√BC-BF2 所以CD=BC」 1.52-1.22=0.9(米)， m60。=10/6=202(n mile) 图9 E 所以BM=DF=CD-CF=1.5-O. 2 9=0.6(米)， 答：C,D间的距离为20√2 mile. 由表格可知，在12时~14时，α的正切值逐渐减小， 16.解：(1)如图7，过点B作BC 所以∠BEM逐渐变小， ⊥AF,则四边形BEFC是矩形， 所以14时，点E最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆 因为山坡AB的坡度i=1:√5， 放位置与墙壁的最远距离，在Rt△BEM中，amn∠BEM=B业 EM' 所以∠A=30°， 由题意知AB=300m, A301 C 即125=品所以BM=048米， 所以BF=BC=宁B=10m, 图7 所以DE=DM-EM=1.2-0.48=0.72(米) 答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.72米. 因为DF=534m, 13期 所以DE=DF-EF=384m. 答：B,D两地间的垂直高度差DE为384m. 一、选择题 (2)由(1)知，在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE= 题号12 345678910 53°，DE=384m, 答案BBDBBDDABC 所以0=货“0器=（国， 提示： 300÷30+480÷16=40(min). 9.如图1，延长BA交MN于点C,M 22 45 答：他们从山脚A处到山顶D处需要40min 则∠ACN=90°， 17.解：(1)由题意可得PQ⊥AE,PQ=2.6m,AB=CD= 由题意可知，BC=119m,MN= EO 1.6 m,AE BO 4 m,AC BD =3 m, 74m. 则CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1(m). 因为∠BWC=45°，∠BCN= 图1 因为∠CEP=90°，CE=PE, 90°， 所以B=∠PCE=45°， 所以CN=CB=119m, ma=a/PAE-器=子 1 所以CM=CW+MW=119+74=193(m), (2)因为CE=PE=1m,∠CEP=90°， 所以m∠Ac=盖-折=im2, 所以CP=√2+1产=√2(m). 所以AC≈77.2m, 过点C作CH⊥AP于点H, 所以AB=BC-AC=119-77.2=41.8(m)≈42(m). 因为ma=m∠P北-升-子 10.过点C作CD⊥x轴，垂足为D, 则∠OCD=∠B0C=a 设CH=xm,则AH=4xm, 在Rt△ACH中，由勾股定理，得x2+(4x)2=AC2=9, 因为1ma=分-8品 解得：3（负位合去 所以CD=2DO. 因为OC2=BC·AC, 所以CH=3 17m, 所以OC=AC CBC OC 37 又因为∠AC0=∠BCO, 所以sin LAPC= CH 334 所以△CB0∽△COA, 2 34 所以∠CAO=∠COB=a. —8 初中数学湘教中考第10~13期 因为tana=立， 1 所治 所以%=子 叶 .2x 所以A0=2B0, 解得x=-1(舍去)，2= 在Rt△AB0中，A+B02=AB2,AB=√5， 6 所以4B02+B02=5, 所以AE=2×L=L 63, 所以B0=1,所以AO=2BO=2. 因为∠CD0=∠BOA=90°，∠BA0=∠CAD, 所以ED=√AE2+AD= 所以△BAO△CAD, 所以咒=品 EB AB-AE =1-- 在Rt△EBG中， 即 2 20D=2+0D, EG=BE·sim45°= 3 2 解得00=子 迈 所以cD=手， 所以sin∠EDM= EG 3 ED = 3 所以c(-子，号) 三、解答题 二、填空题 2 19:tan 0-2sin cs45+3tan 30in 45 11.3:12.9:13.(2-2c0saw;14.5:15.3.083 = 2 -2×Ex 2 2 +3x号 3 16.128；17.30.5米；18. 5 3 提示： =25-+ 17.如图2，延长AB交ED的延长线于点 =23. M,则AM⊥ME,过点C作CN⊥MD,则CN= BM,BC=MW=5米 20.解：因为∠C=90°，∠A=30°，a=√3， B: 在Rt△CDW中，CD=35米，因为坡比i 所以sin4=名=乞∠B=60, c =1:0,5,所祭号 MN D 所以c=2a=25. 图2 设CN=4h,DN=3k, 因为cosA= 点=且 所以CD=5k=35,解得k=7, 2 所以CN=28米，DW=21米 所以6=只=9x2万=3 又在Rt△AEM中，∠AEM=52.5°，ME=MN+DN+DE =5+21+19=45(米)， 21.解：(1)因为在△ABC中，AB=AC=13,BD⊥AC于 所以AM=ME·tan52.5°≈45×1.30=58.5（米）. 点0，nA=号 因为BM=CN=28米， 所以AB=AM-BM≈58.5-28=30.5（米）， 所以0-是即智是， 即铁塔AB的高度约为30.5米. 解得BD=12. 18.如图3，过点E作EG⊥BD于点G,A (2)因为AC=AB=13,BD=12,BD⊥AC, 已蜘崇=号 2 所以AD=5,所以DC=AC-AD=13-5=8. 设AE=2x,则DW=5x, 所以mC=哭=号=子 由旋转性质得CF=AE=2x,∠DCF 图3 22.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， =∠A=90° 所以AD=BC,AD∥BC. 因为四边形ABCD是正方形， 因为BE=DF,所以AD-DF=BC-BE, 所以∠DCB=90°，∠ABC=90°，∠ABD=45°， 即AF=EC, 所以∠DCB+∠DCF=180°， 所以四边形AECF是平行四边形. 所以点B,C,F在同一条直线上 又因为AC=EF, 因为∠NCF=∠EBF,∠NFC=∠EFB, 所以平行四边形AECF是矩形. 所以△FNC∽△FEB, (2)解：因为四边形AECF是矩形， -9 初中数学湘教中考第10~13期 所以∠AEC=∠AEB=90° 所以∠B+∠ACD=90° 因为AE=BE,所以△ABE是等腰直角三角形， 因为AH⊥CD, 所以E=BE-号B=万 所以∠AHC=90°， 所以∠ACD+∠CAH=90°， 因为tan LACB=E元=2 AE 1 所以∠B=∠CAH, 所以sinB=sin∠CAH. 所以EC=2AE=2万， 在Rt△ACH中，因为AH=2CH, 所以BC=BE+EC=√2+22=32， 所以AC=AH+C=5CH, 即BC的长为3√2. 23.解：(1)如图4，过点 所以im∠CAH=C1=CH=5 AC 5CH 5 C作CM⊥AD于M, 由题意得，∠CAD=90° 即simB= 45 5 70° -70°=20°，∠CBD=90°-4 B 25°M D (2)因为CD=√5，sinB= 5 45°=45°，AB=14×2= 5 28(海里)， 图4 所以AB=2CD=25, 因为∠CBD=45°， 所以AC=2. 所以CM=BM, 因为∠CAH=∠B, 在Rt△CAM中，tan∠ACM= CM 所以sin∠CAH=sinB=5 51 即tan70°=28+CM 设CE=x(x>0),则AE=√5x, CM 解得CM≈16. 由勾股定理，得x2+2=(5x)2, 所以CE=x=I(负值舍去)， 在Rt△BCM中，BC=2CM=162≈22.6（海里）. 答：B处距离小岛C的距离约为22.6海里。 在Rt△ABC中，因为AB=25,AC=2, (2)如图4，过点C作CN⊥BE于N. 所以由勾股定理得BC=4, 所以BE=BC-CE=3. 在Rt△BCW中，∠CBW=45°+25°=70°，BC=162海 26.解：(1)如图5，过点D作DG1AB,垂足P 里， 为G, 所以CW=BC·sin∠CBW≈162×0.94≈21.2（海里）. 因为四边形ABFE是矩形， 因为21.2>20，所以船能安全通过. 所以∠ABF=90°，∠EFB=90°， 答：船能安全通过. 所以四边形DGBF是矩形， 图5 24.解：(1)设CD=xm,由DE=36m,得CE=CD+DE 所以DG=BF=24cm,BG=DF=32cm =(x+36)m. 因为EC⊥AB,垂足为C,∠BDC=45°， 在△DGB中，mLB0G=%=器=手 所以BC=CD=xm. 由对顶角相等得∠BDG=a, 在Rt△BCE中，tan_CEB=C花，∠CEB=3Io, 所以tana=tanLBDG=子 4 所以BC=CE·tan∠CEB=(x+36)·tan31°， (2)由(1)知BG=32cm,DG=24cm, 所以x=(x+36)·tan31°， 因为BC=14cm,所以CG=BG-BC=18cm, 解得=的的0治= 在Rt△CDG中，CD=CG+DG=30cm, .CG 3 答：线段CD的长约为54m 所以simB=C=5 (②)在△4CD中，∠c0A=2品.∠D1=6, 在Rt△BDG中，BG=32cm,DG=24cm, 所以BD=√BC+DG=40cm, 所以AC=CD·tan∠CDA=54×tan6°≈54×0.1= 5.4(m). 所以ma=sm∠6=品=号 所以AB=AC+BC=5.4+54≈59(m). 4 答：桥塔AB的高度约为59m. 所以折射*n:品吕=是=号 5 25.解：(1)因为∠ACB=90°，CD是AB边上的中线， 所以CD=BD,∠ACD+∠BCD=90°， 所以∠B=∠BCD, 答：光线从空气射人水中的折射率加为号 -10