第16期 5.2 勾股定理及其逆定理-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（湘教版2024）

八年级数学湘教第14~18期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 八年级数学湘教 第14~18期(2025年10月) 14期检测卷 AF AC. 一、选择题 在△ACE和△AFE中， ∠EAF=∠EAC, 题号1 2 5 910 AEAE. 答案BA 所以△ACE≌△AFE(SAS), B D 所以EF=EC. 提示： 因为BF<BE+EF,AF=AC 8.解：连接PB,图略。 所以AB+AF<BE+CE, 因为AP平分∠BAD, 所以AB+AC+BC<BE+CE+BC, 所以∠PAB=∠PAD. 即l1<2 因为AB=AD,PA=PA, 二、填空题 所以△PAB≌△PAD, 11.稳定；12.如果两条射线是邻补角的平分线，那么这 所以∠ABP=∠ADP. 两条射线互相垂直；13.19或23；14.7；15.30海里： 因为AB=BC,PA=PC,PB=PB, 16.1或3；17.30；18.4或36. 所以△PAB≌△PCB, 提示： 所以∠ABP=∠CBP,即∠ABC=2∠ABP, 16.解：点P在线段AC上时， 所以∠ABC=2∠ADP, ①CP=BC=2,CQ=AC=4, 所以a=2B. 即4-2t=4-2, 9.解：如图，连接AC交BD于点O. 解得t=1; 因为△ABD是等边三角形，BC=DC, ②CP=AC时，此时P和A重合，不符合题意，舍去. 所以∠BA0=∠DA0=30°， 当点P在AC的延长线时， AB AD BD =8. 因为CQ=AC=4,则CP=BC=2, 所以B0=OD=4. 因为CE∥AB, 此时t=4+2=3. 2 所以∠BAO=∠ACE=30° 综上，当点P运动1秒或3秒时，△ABC与以点P,Q,C为顶 ∠CED=∠BAD=60°， 点的三角形全等. 所以∠DAO=∠ACE=30°， 17.解：如图，作BF⊥AE于点F, 所以AE=CE=6, 因为CD⊥AE, 所以DE=AD-AE=2. 所以∠BFE=∠CDE=90°. 因为∠CED=∠ADB=60°， 因为AE是BC边上的中线， 所以△EDF是等边三角形， 所以BE=CE. 所以DE=EF=DF=2, 在△BEF和△CED中， 所以CF=CE-EF=4. r∠BFE=∠CDE. 10.解：延长BA至F,使AF=AC, ∠BEF=∠CED, 连接EF,如图. BE CE, 因为MW⊥AD, 所以△BEF≌△CED(AAS), 所以∠MAD=∠NAD=90°， 所以FE=DE,BF=CD. 所以∠BAM+∠BAD=∠CAD+ 因为AB=BD, ∠CAN. 所以AF=DF 因为AD平分∠BAC, 设FE=DE=m,BF=CD=n, 所以∠BAD=∠CAD, 则AF=DF=2FE=2m, 所以∠BAM=∠CAN 所以AE=AF+FE=2m+m=3m. 因为∠BAM=∠EAF, 因为SABD=S△BDE+S△cE 所以∠EAF=∠CAN. =EB+ LDE·CD 八年级数学湘教第14~18期 1 1 AB =CD, =2mn 2mn mn. 在△AOB和△COD中， ∠OAB=∠C, 且S△Bem=10, LAO CO, 所以mn=10, 所以△AOB≌△COD(SAS), 所以S△Bc=S△ABE+S△ACE 所以∠AOB=∠COD, 1 2AE·BF+2AE:CD 所以点D,O,B三点共线， 即钻头正好从点B处打出. 1 1 =2×3mn+2×3mn 23.解：因为DE垂直平分BC, =3mn=30, 所以BE=CE, 所以∠EBC=∠ECB. 所以△ABC的面积为30. 18.解：①如图，当点M在AB的延长线 因为BE=AC,所以CE=AC. 上时，作MD⊥AC于点D. 因为∠ACE=12°， 在Rt△AMD中， 所以LA=∠AEC=7180°-∠ACE)=84 因为∠ADM=90°，∠A=60°，AM= 因为∠AEC=∠EBC+∠ECB, 16. 所以∠EBC=42°. AD -2AM=8. 因为BF平分∠ABC, 所以CD=AC-AD=2. 所以∠EBP=号∠ABC=2IR 因为MW=MC,MD⊥CN, 24.解：(1)因为∠EAD=∠EDA, 所以DN=CD, 所以∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD. 所以CN=2CD=4. 因为AD平分∠BAC, ②如图，当点M在BA的延长线上时，作N 所以∠CAD=∠BAD, MD⊥CN于点D. 所以∠EAC=∠B. 在Rt△AMD中， 因为∠B=54°，所以∠EAC=54°. 因为∠ADM=90°，∠DAM=60°，AM= (2)设∠CAD=2x,则∠E=5x. 16, 因为∠B=54°， 所以AD=分4M=8, 所以∠EDA=∠EAD=2x+54°. 在△AED中， 所以CD=AD+AC=18. ∠EDA+∠EAD+∠E 因为MW=MC,MD⊥CW, =2x+54°+2x+54°+5x 所以DN=CD, =180°， 所以CW=2CD=36. 解得x=8°， 综上，CN的长为4或36. 所以∠E=5x=40° 三、解答题 25.证明：(1)因为∠ABD=∠CBE, 19.解：因为∠B=60°，∠AWC=80°， 所以∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, 所以∠BAW=∠ANC-∠B=20°. 即∠ABC=∠DBE=90°. 因为AW是△ABC的角平分线， r∠ABC=∠DBE, 所以∠BAC=2∠BAN=40°， 在△ABC和△DBE中，{AB=DB, 所以∠C=180°-∠B-∠BAC=80° L∠BAC=∠BDE. 20.证明：因为AB=AD,AB+CD=DE, 所以△ABC≌△DBE(ASA). 所以AD+CD=AC=DE. (2)过点A作AM⊥BD于点M,图略 AB DA, 所以∠AMB=90°=∠EBD. 在△ABC和△DAE中， AC DE, 因为F是AE的中点，所以AF=EF BC AE, 由对顶角相等，得∠AFM=∠EFB. 所以△ABC≌△DAE(SSS). r∠AMF=∠EBF. 21.解：因为BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和 在△AFM和△EFB中， ∠AFM=∠EFB, 40两部分，AC>AB, AF EF, 所以BD=CD,AC+CD=60,AB+BD=40. 所以△AFM≌△EFB(AAS), 因为AC=2BC, 所以AM=EB=BC,MF=BF, 所以AC=4CD, 所以BM=2BF. 所以CD=12, 因为∠DBC+∠ABF=90°， 所以AC=48,AB=28. ∠ABF+∠BAM=90°， 22.解：根据题意，得∠0AB=∠C=90°. 所以∠DBC=∠BAM. 2 八年级数学湘教第14~18期 AB BD. 因为AD是△ABC的高线， 在△ABM和△BDC中 ∠BAM=∠DBC, 所以∠ADC=90°. AM BC. 因为E是AC的中点， 所以△ABM≌△BDC(SAS), 所以CD=BM=2BF 所以DE=宁4C 26.(1)证明：因为△ABC,△CDE都是等边三角形， 所以AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， 因为BD=宁4C, 所以∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, 所以DE=BD. 即∠ACD=∠BCE. 又因为F是BE的中点， AC BC. 所以DF⊥BE. 在△ACD和△BCE中，{∠ACD=∠BCE, 6.解：连接EN,DW,EM,DM,图略 CD CE 因为BD,CE都是△ABC的高， 所以△ACD≌△BCE(SAS), 所以∠AEO=∠ADO=∠BEC=∠BDC=90° 所以AD=BE. 因为M,N分别是BC,A0的中点， (2)解：由(1)，知△ACD≌△BCE, 所以EN=A0=DN,EM=2BC=DM, 所以∠ADC=∠BEC. 因为△CDE是等边三角形， 所以M,N都在线段ED的垂直平分线上， 所以∠CED=∠CDE=60° 即MW垂直平分ED. 所以∠ODE+∠OED=∠ADC+∠CDE+∠BED 5.1.3含30°角的直角三角形 =∠BEC+60°+∠BED 1.C;2.4cm;3.6. =∠CED+60°=120°， 4.解：因为∠ABC=40°，∠C=80°， 所以∠D0E=180°-（∠ODE+∠OED)=60°. 所以∠BAC=180°-∠ABC-∠C=60° (3)证明：由(1)，知△ACD≌△BCE, 因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠CAD=∠CBE. 1 所以∠BAE=2∠BAC=30°， 因为点M,N分别是线段AD,BE的中点， 因为BE是△ABD的高， 所以AM=AD,BN=BE, 所以∠E=90°. 所以AM=BN 因为BE=4, AC BC. 所以AB=2BE=8, 在△ACM和△BCN中 ∠CAM=∠CBN, 5.解：(1)△BDF是等边三角形.理由如下： LAM BN. 因为DE⊥AB,所以∠EDB=90°. 所以△ACM≌△BCN(SAS), 因为∠EDF=30°， 所以CM=CN,∠ACM=∠BCN, 所以∠FDB=∠EDB-∠EDF=60°. 所以∠MCN=∠BCN+∠MCB 因为∠A=30°，∠C=90°， =∠ACM+∠MCB 所以∠B=90°-∠A=60°， =∠ACB=60°， 所以∠DFB=180°-∠FDB-∠B=60°， 所以△MWC是等边三角形. 所以△BDF是等边三角形. 15期2版 (2)因为∠A=30°，∠C=90°，BC=1, 5.1.1直角三角形的两个锐角互余 所以AB=2BC=2. 1.D;2.B;3.B;4.B;5.15°. 因为AD=a,所以BD=AB-AD=2-a. 6.解：因为∠B=35°，∠AEB=90°， 因为△BDF是等边三角形， 所以∠A=90°-∠B=55°. 所以BF=BD=2-a,所以CF=BC-BF=a-1. 因为∠ADC=80°， 15期3,4版 所以C=180°-∠A-∠ADC=45° 一、选择题 7.解：因为∠EFG=90°，∠E=28°， 题号 56 78910 所以∠FGE=90°-∠E=62°. 答案D 因为GE平分∠FGD, 所以∠EGD=∠FGE=62°. 二、填空题 因为AB∥CD, 11.6.8cm;12.62°；13.60；14.13； 所以∠EHB=∠EGD=62°， 15.18°；16.10：17.20°；18.2+1. 所以∠EFB=∠EHB-∠E=34°. 三解答题 5.1.2直角三角形斜边上的中线 19.证明：因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°. 1.B;2.C;3.B;4.30. 因为∠ACD=∠B, 5.解：连接DE,图略. 所以∠A+∠ACD=90°， 一3 八年级数学湘教第14~18期 所以△ACD是直角三角形. 20.证明：因为CD⊥BC,所以∠DCB=90°. 所以BM=DM=AC,BV=DN, 因为点E是BD的中点， 所以MW⊥BD. 所以CE=号BD=BE (2)因为∠ABC=90°，点M是AC的中点， 所以BM=CM=DM, 因为LA=∠CEA,所以AC=CE, 所以∠MBC=∠MCB,∠MDC=∠MCD, 所以AC=BE. 所以∠BMD=∠AMB+∠AMD 2L.解：过点P作PC⊥AB于点C,图略 =∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD 由题意，得∠PAB=90°-75°=15°， =2(∠MCB+∠MCD) ∠PBC=90°-60°=30°. =2∠BCD=90°. 所以∠APB=∠PBC-∠PAB=15°=∠PAB, 因为BM=DM,点V是BD的中点， 所以PB=AB=20×2=40(海里). 所以MN=之BD=1 在Rt△PBC中，PC=PB=20海里<2海里， 26.解：(1)正确，正确. 所以若轮船仍向前航行，有触礁的危险 (2)分两种情况讨论： 22.(1)证明：因为CD为斜边AB的中线， 当EF⊥BC时，∠CFE=90°， 因为△ABC是边长为5的等边三角形， 所以CD=BD=24B, 所以AC=5,∠C=60° 所以∠DCB=∠B. 设运动时间为t秒.由题意，得AE=CF=t, 因为∠F=∠B,所以∠DCB=∠F, 则CE=AC-AE=5-t, 所以EF∥BC. 所以CE=2CF,即5-t=2t, (2)解：因为∠A=65°， 解得1=子： 所以∠B=90°-∠A=25°， 当EF⊥AC时，∠CEF=90°， 因为EF∥BC, 因为△ABC是边长为5的等边三角形， 所以∠FED=∠B=25°， 所以AC=5,∠C=60°. 所以∠AEF=180°-∠FED=155. 设运动时间为t秒.由题意，得AE=CF=t, 23.解：因为∠BAC+∠B+∠C=180°， 则CE=AC-AE=5-t, 所以∠BAC=180°-∠B-∠C. 所以CF=2CE,即t=2(5-t), 因为AE平分∠BAC, 所以∠B4E=分∠RMC=0-合∠B-7∠C 解得：=9 所以∠BEF=∠B+∠BME=90°+7∠B-子∠C 综上所述，当运动时间为？秒或9秒时，△CBF是直角三 角形 因为FD⊥BC, (3)BM=2MW.理由如下： 所以∠BDF=90°， 因为△ABC是边长为5的等边三角形， 所以∠P=∠BDF-∠BEF=(∠C-∠B, 所以AB=AC=BC,∠BAC=∠C=60° 由(2)，得AE=CF, 24.(1)证明：因为△ABC是等边三角形， 所以△EAB≌△FCA(SAS), 所以AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°， 所以∠ABE=∠CAF, 所以180°-∠ABC=180°-∠ACB,即∠ABD=∠BCE. 所以∠BMN=∠ABE+∠BAM 因为BD=CE, =∠CAF+∠BAM=∠BAC=60° 所以△ABD≌△BCE(SAS). 又因为BN⊥AF,所以BM=2MN (2)解：因为△ABD≌△BCE, 16期2版 所以∠D=∠E,AD=BE=6, 5.2.1勾股定理 所以∠AFG=∠D+∠DBF=∠E+∠CBE 1.A;2.D;3.B;4.8;5.26. =∠ACB=60°. 6.解：(1)在△ACB中，∠ACB=90°， 因为AG⊥EF,所以∠AGF=90°， 由勾股定理，得BC=√AB-AC=8. 所以∠FAG=90°-∠AFG=30°， (2)过点D作DE⊥AB于点E,图略. 所以AF=2FG=5, 所以∠DEA=∠DEB=90°=∠C. 所以DF=AD-AF=1. 因为AD平分∠CAB, 25.解：(1)猜想：MN⊥BD.证明如下： 所以∠CAD=∠BAD 连接BM,DM,图略. ,∠DEA=∠C, 因为∠ABC=∠ADC=90°， 在△AED和△ACD中 ∠EAD=∠CAD, 点M,N分别是AC,BD的中点， ADAD. 八年级数学湘教 第14~18期 所以△AED≌△ACD(AAS), 所以AE=AC=6,DE=DC, =45宁×3x6=36(em) 所以BE=AB-AE=4. 20.解：在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2=BC2+DC2, 在Rt△DEB中，由勾股定理，得BD2=DE+BE, 即(BC+1)2=BC2+32, 即(8-CD)2=CD2+42, 解得BC=4. 解得CD=3. 答：湖水的深度BC为4米 5.2.2勾股定理的验证及应用 21.解：甲组：AD边垂直于AB边.理由如下： 1.A;2.B;3.A;4.2.6m 因为AD+AB2=12+2.42=6.76, 5.解：因为点P,Q同时出发，且速度相同， BD2=2.62=6.76, 所以BC=CA. 所以AD+AB2=BD2, 因为0A=36cm, 所以∠DAB=90°， 所以OC=(36-BC)cm 所以AD边垂直于AB边. 因为∠A0B=90°， 乙组：在BC上量取BE=3cm,在AB上量取BF=4cm, 所以在Rt△BOC中，由勾股定理，得OB2+OC=BC, 如果EF=5cm,则BC边垂直于AB边，否则就不垂直. 即122+(36-BC)2=BC2, 22.解：过点M作ME⊥CD于点E,图略. 解得BC=20cm. 因为∠ACB=∠ADB=90°，AB=10, 5.2.3勾股定理的逆定理 点M是AB的中点， 1.B;2.C;3.√2 所以GM=4B=5,DM=分4B=5, 4.解：△BCD是直角三角形.理由如下： 所以CM=DM. 在△ABD中，因为∠BAD=90°， 点O是BD的中点，A0=2, 因为ME⊥CD,CD=6, 所以BD=2A0=4. 所以CE=DE=3. 因为CD=3,BC=万， 由勾股定理，得EM=√CM2-CE=4, 所以CD+BC=BD2, 所以△MCD的面积为之CD·EM=12 所以△BCD是直角三角形 23.解：(1)勾股定理：直角三角形两直角边a,b的平方和， 5.解：(1)连接CE,图略. 等于斜边c的平方，即a2+b2=c2. 因为D是BC的中点，DE⊥BC, 所以CE=BE. (2)由题意，得图①的面积为76×3+心2+6公， 因为BE-EA2=AC,所以CE2-EA2=AC2, 所以EAP+AC2=CE, 图②的面积为b×3+ 所以△ACE是直角三角形，且∠A=90°， 因为图①，②的面积相等， (2)因为D是BC的中点，BD=5, 所以BC=2BD=10. 所以2b×3+a2+8=bx3+, 因为∠A=90°，AC=6, 所以a2+62=c2. 所以AB=√BC-AC=8. 24.解：因为点N是FG的中点，FG=BC=12cm, 在Rt△AEC中，AE2+AC2=CE2 所以FW=之FG=6cm 因为CE=BE,所以AE2+62=(8-AE)2, 解得AE=车 7 ①将长方体展开，前面与上面所在的平面形成长方形 ABGH. 16期3,4版 因为AB=18cm,BF=10cm, 一、选择题 所以BM=AB-AM=12cm, 题号123456 BN BF FN 16 cm. 789 10 在Rt△BMN中，MN=√JBMP+BW2=20cm 答案DCC ABBCDB ②将长方体展开，前面与右面所在的平面形成长方形 二、填空题 ACGE,过点N作NP⊥BC于点P,图略. 11.17;12.4;13.直角；14.5-1；15.6； 所以BP=FW=6cm. 16217,25；181. 因为AB=18cm,BF=10cm, 所以PM=AB-AM+BP=18cm, 三、解答题 PN BF 10 cm. 19.解：在Rt△ABC中，因为AC=3,BC=6, 所以AB=AC2+BC2=45, 在Rt△PMW中，MN=√PM+PW=2√106cm 所以S阴影=S正方形sDE-S△ABc 因为20<2√106， -ABF -TAG 8G 所以它需要爬行的最短路程是20cm, 25.解：(1)设BE=AE=x. 5 八年级数学湘教 第14~18期 因为BD=16, 在Rt△BFC中，由勾股定理，得CF=√BC-BF=5, 所以DE=BD-BE=16-x. 所以HG=FG=CF+CG=7. 因为AD⊥BC, 在Rt△HGF中，由勾股定理，得 所以∠ADE=∠ADC=90° HF=HG +FG =72, 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2=AD+DE, 即x2=12+(16-x)2, 所以F=之F=73 2 解得x=12.5, 所以DE=16-x=3.5. 综上所述，0F的长是或7 (2)证明：在Rt△ABD中，AD=12,BD=16, 17期2版 由勾股定理，得AB=√BD+AD2=20. 5.3直角三角形全等的判定 在Rt△ADC中，AC=15,AD=12, 1.C;2.C;3.7;4.52. 由勾股定理，得CD=√AC-AD=9, 5.图略. 所以BC=BD+CD=25. 6.证明：在Rt△ADC和Rt△CBA中， 因为AB+AC2=202+152=625,BC2=252=625, 因为AC=CA,DA=BC, 所以AB+AC2=BC, 所以Rt△ADC≌Rt△CBA(HL), 所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°. 所以CD=AB. 26.解：(1)AC=BE,AC∥BE 因为BE⊥AC,DF⊥AC (2)AD+BE=AB2.理由如下： 所以∠AEB=∠CFD=90°. 延长BC至点F,使得CF=BC,连接DF,AF,图略. 在Rt△ABE和Rt△CDF中， 因为∠ACB=90°，即AC⊥BF, 因为AB=CD,AE=CF, 所以AC垂直平分BF, 所以Rt△ABE≌Rt△CDF(HL). 所以AF=AB. 7.证明：在Rt△ABM和Rt△DEN中， 因为CE=CD,∠FCD=∠BCE, 因为AM=DN,AB=DE, 所以△FCD≌△BCE, 所以Rt△ABM≌Rt△DEN(HL), 所以FD=BE,∠CFD=∠CBE, 所以BM=EN. 所以DF∥BE. 因为AM,DN分别是△ABC,△DEF的中线， 因为AD⊥BE,所以AD⊥DF 所以BC=2BM=2EN=EF. 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AD2+DF2=AF2, 在△ABC和△DEF中， 所以AD+BE2=AB」 因为AB=DE,∠B=∠E,BC=EF, (3)当点E在线段DB上时，延长FD至点H,使得DH= 所以△ABC≌△DEF(SAS). DF,连接AH并延长交CF于点G,图略.。 5.4角平分线的性质 由(2)，得△ADH≌△BDF 1.C;2.C;3.C;4.30° 所以AH=BF,∠DAH=∠DBF, 5.图略. 所以AH∥BF 6.证明：过点P作PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F,图略. 因为BF⊥CE,所以AG⊥CE. 因为S AABP=S△cP, 因为∠ACB=90°， 所以∠CAG+∠ACG=∠ACG+∠BCF=90. 所以4BPE=CD·PR 1 所以∠CAG=∠BCF 因为AB=CD,所以PE=PF, 又因为AC=BC, 所以点P在∠MON的平分线上. 所以△CAG≌△BCF, 7.证明：因为PE∥AB,PF∥AC, 所以AG=CF,CG=BF=AH=2, 所以∠DPE=∠BAD,∠DPF=∠CAD. 所以AG-AH=CF-CG,即HG=FG. 因为AD是△ABC的角平分线， 在Rt△BFC中，由勾股定理，得CF=√BC-BF=5, 所以∠BAD=∠CAD, 所以HG=FG=CF-CG=3. 所以∠DPE=∠DPF, 在Rt△HGF中，由勾股定理，得 所以点D到PE和PF的距离相等. 8.解：过点D作DM⊥AB于点M,图略. HF=√HG+FG=32, 因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC, 所以DF=F=32 所以DM=DE=5, 2 当点E在线段DB的延长线上时，延长FD至点H,使得DH Sm=74C·0E=15, =DF,连接AH并延长交FC的延长线于点G,图略. 同理可得△CAG≌△BCF, 所以5m=2AB·DM=0, 所以AG=CF,CG=BF=AH=2, 所以SAABG=S△ABn+S△4D=55, 所以AH+AG=CG+CF,即HG=FG, 因为AF是△ABC的中线， 6 八年级数学湘教 第14~18期 所以5a=5度=27.5， 所以∠CMF=分∠C4E=30 所以S△r=S△icp-S△im=12.5. 25.(1)解：图略.因为点P与点M关于OA对称，点P与点 17期3,4版 N关于OB对称， 一、选择题 所以ME=PE,PF=NF, 题号1 23456789 10 所以△PEF的周长为PE+EF+PF=ME+EF+NF= 答案C DA CBBCAD B MW=15. (2)证明：因为PM=PN,点Q,R分别为PM,PW的中点， 二、填空题 11.A0=D0;12.15;13.110°；14.5cm;15.5; 所以PQ=PM,PR=PW, 16.40°；17.W5;18.75°或150°. 所以PQ=PR 三、解答题 因为点P与点M关于OA对称，点P与点N关于OB对称， 19.证明：因为ED⊥AB,FC⊥AB, 所以OA⊥PQ,OB⊥PR, 所以∠ADE=∠BCF=90. 所以OP平分∠AOB. 因为AE∥BF, 26.(1)证明：过点E作EP⊥OC于点P,EQ⊥OB于点Q, 所以∠A=∠B. 图略， 在△ADE和△BCF中， 则∠EQM=∠EPN=∠EPO=90. 因为∠A=∠B,AD=BC,∠ADE=∠BCF, 因为OE平分∠B0C, 所以△ADE≌△BCF(ASA). 所以EQ=EP. 20.图略. 在Rt△EQM和Rt△EPW中， 21.证明：过点P作PE⊥CD于点E,图略. 因为ME=NE,EQ=EP, 因为P是AB的中点， 所以Rt△EQM≌Rt△EPW(HL), 所以AP=BP. 所以∠EMQ=∠ENP 因为DP平分∠ADC,∠A=90°，PE⊥CD, 设EM交ON于点I, 所以AP=PE,所以BP=PE, 则∠MIN=∠EMQ+∠AOC=∠ENP+∠MEN, 所以CP平分∠BCD. 所以∠MEN=∠AOC. 22.解：因为AE⊥EF,CF⊥EF, (2)解：补图略.NF+OG=OM.证明如下： 所以∠AEB=∠CFB=90°. 在OF上取一点R,使得RP=OP,图略. 在Rt△AEB和Rt△BFC中， 因为EF=EG,EP⊥NG, 因为AB=BC,BE=CF, 所以PF=PG, 所以Rt△AEB≌Rt△BFC(HL), 所以PF-RP=PG-OP,即RF=OG 所以AE=BF, 在Rt△OEP和Rt△OEQ中， 因为11块相同长方体小木块的高度都是2cm, 因为OE=OE,EP=EQ, 所以AE=10cm,CF=12cm, 所以Rt△OEP≌Rt△OEQ(HL), 所以BE=CF=12cm,BF=AE=10cm. 所以OP=OQ, 所以EF=BE+BF=22cm. 所以RP=OQ. 答：两堵木墙之间的距离EF为22cm. 因为Rt△EQM≌Rt△EPW, 23.解：因为AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, 所以QM=PW, 所以DE=DF 所以WF+OG=NF+RF=PW-RP=QM-OQ=OM. 因为△ABC的面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm, 18期章节检测卷 所以S△Bc=S△ABD+S△ACD 一、选择题 =4B:0E+c:F 题号 2 5 6 > 89 10 =28, 答案C 0 B B 解得DF=2cm. 二、填空题 24.解：由旋转的性质，得AD=AB,AE=AC, 11.不变；12.40°；13.39；14.3.5；15.15°； ∠BAD=∠CAE=60°， 16.26米；17.30°；18.4或√34. 所以∠BAD-∠BAE=∠CAE-∠BAE, 三、解答题 即∠DAE=∠BAC, 19.解：因为D为AB的中点，AB=8, 所以△ADE≌△ABC(SAS), 所以∠AED=∠C=90°， 所以AD=宁4B=4 所以∠AEF=180°-∠AED=90°. 因为DE⊥AC, 因为AF=AF,AC=AE, 所以∠AED=90° 所以Rt△ACF≌Rt△AEF(HL), 因为∠A=30°， 八年级数学湘教第14~18期 所以DE=4D=2 =√AC2+CG=313 所以甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值分别是 20.证明：因为BD平分∠ABC, 所以∠ABD=∠CBE. 137,55,313. 因为AD⊥AB, (2)因为137>55>33，所以三只蚂蚁都走自已的 所以∠DAB=90°， 路径，蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达 所以∠D+∠ABD=90° 26.解：(1)45-4. 因为∠C=90°， (2)设AB,A'C交于点E,图略. 所以∠CEB+∠CBE=90. 因为∠ACB=90°，∠ABC=30°， 由对顶角相等，得∠CEB=∠AED, 所以∠A=60°. 所以∠ADE=∠AED. 由折叠的性质，得∠DA'C=∠A=60°. 21图略（提示：连接AB,作AB的垂直平分线，然后作两条 因为DA'∥BC, 公路m和n夹角的平分线，其交点即为加油站的位置) 所以∠BCA'=∠DA'C=60°，∠A'DB=∠ABC=30°， 22.解：连接AF,图略. 所以∠DEA'=90°. 因为AB=AD,F是BD的中点， 由对顶角相等，得∠CEB=90°， 所以AF⊥BD. 因为∠ABC=30°，BC=45, 因为E是AC的中点， 所以EF=7AC=3, 所以CB=28C=2, 所以A'E=A'C-CE=4-25, 23.解：在Rt△AMW中，AM=50米，MW=30米， 所以AD=A'D=2A'E=8-4V5. 由勾股定理，得AW=AM-MN=40米 (3)56-8√33或64-165.过程如下： 在Rt△MWB中，BM=34米，MW=30米， 当∠DA'B=90°时， 由勾股定理，得BW=√BMP-MW=16米， 由折叠的性质，得∠CA'D=∠A=60°，A'C=AC=4, 所以AB=AWN+BN=56米. 所以∠CA'B=∠C'AD+∠DA'B=150°. 所以汽车从A到B的平均速度为： 过点C作CF⊥A'B,交BA'的延长线于点F,图略， 56÷5=11.2(米/秒)=40.32千米/时<60千米/时. 所以∠CFA'=90°，∠CA'F=180°-∠CA'B=30°， 所以此车没有超速。 24.(1)证明：由旋转的性质，得AF=AC,EF=BC,∠F= 所以CF=AC=2, ∠ACB=90°， 所以A'F='C-CF产=25 所以∠ACD=180°-∠ACB=90°. 在Rt△BCF中，∠BFC=90°，由勾股定理，得 在Rt△ADF和Rt△ADC中，因为AD=AD,AF=AC, CF2+BFP=BC2,即22+BF2=(45)2, 所以Rt△ADF≌Rt△ADC(HL), 所以DF=DC, 解得BF=2√II, 所以AD平分∠FAC. 所以A'B=BF-A'F=2√T-25, (2)解：因为BD=10,BC=8, 所以A'B=56-8/33. 所以CD=BD-BC=2. 当∠A'DB=90°时，∠A'DA=90° 由(I),得DF=DC=2,EF=BC=8, 由折叠的性质，得∠ADC=∠A'DC=45°， 所以DE=EF-DF=6. 过点C作CG⊥AB,交AB于点G,图略. 25.解：(1)蚂蚁甲的行走路程：将长方体表面展开得到长 因为∠CGA=90°，∠A=60°，所以∠ACG=30°， 方形GFAD,连接AG,图略. 所以AG=之4C=2. 由题意，得FG=4,AE=6,EF=5, 所以AF=AE+EF=1L. 所以CG=√AC-AG=25. 在Rt△AFG中，由勾股定理，得AG=√FG+AF区= 在Rt△CGD中，∠ADC=45°， 137. 所以DG=CG=25, 蚂蚁乙的行走路程：将长方体表面展开得到长方形 所以A'D=AD=AG+DG=2+25, HGBA,连接AG,图略. 所以BD=AB-AD=6-25, 由题意，得AB=5,BF=6,FG=4, 所以A'B=BD2+A'D2=64-165 所以BG=BF+FG=10. 不存在∠A'BD=90°的情况， 在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG=√AB+BGC=55. 综上所述，A'B2的值是56-8√33或64-165. 蚂蚁丙的行走路程：将长方体表面展开得到长方形EGCA, 连接AG,图略. 由题意，得AB=5,BC=4,CG=6, 所以AC=AB+BC=9.在Rt△ACG中，由勾股定理，得AG —8然实告工特神一燃盖·非姆日当 数理招 2025年10月15日·星期 初中数学 51-527126网 16期总第116期 RC智格合港自工用过电？ 之 纸发行质量反喷电话 (湘教/八年级) 035-5271248 5期2版参考答案 山西师范大学主管 山酒师大教育科技传媒集团主办 出版 :徐文伟 连续出版物号：CN140707川F FDZ.BCAZ。.ZI)(22 22 1,1直角三角形的 三角形 两个锐角互余 分析：本题考壶了理的还定理：加果 .D:2.B:3.B 4.B:5.15 直 角 角形的判别 三角形的三边共.b,c满足+2=己，那么这 个三角形就是直角三角明.电考查了完全平方 6.45.7.34 公式，先根完全平方公式对已知等式行他 山 5.1,2直角三角形 简，再根股定理的递定理进行料别， 如果一个三角形的三边长a.,心满足2+ 直角三角形，故此选项符合题意：D选项中，13 解：因为(a+b)2=2+2a6,所以m2+2ab 斜边上的中线 =,那么这个三角形是直角三角形根据这 +4415,以不能构成直角三角形.故此选 =2,所以这个三 B: 2.C3.B 个条件，我们可以别直角三角形判别直角三 项不符合意故选C 角形是直角三角形故填直角 4.30 5,略 角形的本思路是：①确定最长边2分别计 二，已知三角形三边长之比判别直角三角形 四、己知网格信息判别直角三角形 6.路 算2和a2+2的：若m2+2=2,则△ABC 例2已知△ABC的三边长u,b,r满足a 例4 如右图，在正方 是直角三角形：若a+,则△ABC不是直 5.13含30°角的 b:c=8:17: 15,试判断△ABC是否是直角三 形网格中，小正方形的边长 角三角形 直角三角形 为1，点A,B.C为网格的交 己知现体线绘长度制制直角三角形 分析：题中只给出了△4BC三边长之比，不 点，试判断△ABC的形状 1.C:2.4cm 例 下列各组数中能作为直角三角形 易确定三边的具体长度，为此可考虑设参数来 并说明理由， 3.6 48 边长的是 表示三速的，然后验证△AC是否为直角三 18 em.BC 分析：由网格信息.我们 5. (I)△BDF 是等 A.2,5,6 B.32.5 角形. 可以根据约定理分别计算出△BC三边的平 (Lku观繁克系 边三角税里由略 C.7.2425 D.13.14,15 解：设a=8(≠0)，则b=17k,e=15 方，再判断两条校短边的平方和是否等于最长 2)a-1. 分析：委利断所给的一纽段能否姐成 因为a2+2=(8k)2+(15)2=289 业的平方中可. 超.51-64.21-DA.61"DRRL.长E 商三角形，只委看两意较姐线段长的平方和是 b2=(17k)2=29k2,所以a2+2=. 15阴3,4版参考答案 解：△ABC是直角三角形理由如下： 等于最长线陵的平方即可 所以△ABC是直角三角形 因为网格中每个小正方形的边长都是1， -、1D:2A:3A: 解：A项中，22+526，所以不能构成直 三，己知三角形的三边长满足的关系式判 根期勾枚定理.得AB=32+4=25 4B:5.A: 6.c: 角三角形，放比选项不符合题意：B选项中，3+ 别直角三角形 =+2=5,4C=2+4=20,所以 7.: 8. 9.C 22*52,所以不能构成直角三角形，故比选项不 例3已知三角形的三边长为，，，且满 AC BC AB 10.D. 符合意：C法顶中，7+24 =25所以能构成 足(m+) =c +2ab,则这个 角形是 所以△ABC是直角三角形 二，1l.6.8m 面所在的平面彩成长方彩形ACG 1262°：13.60 因为Ef=4,PF=2,AE=8, 14.13:15.18 勾股定理助 短路径问 所以PE=EF+PF= 16.10:17.20* 在R1△APE中，根据股定理，得 18.2+1 周丽 AP=PE+A=62482=100 三19略 在学习了勾股定理后，我门经常会遇到求 长方体中的最短路徭 即AP=10 最短路径的问题.现针对该类问题选取三例分 20.略 例2如图3，一个长方体的底面边长分别 折如下，供写学们考 为2cm和4m,高为5cm.若一只虹以从P占开 21,有触的危险 始经过4个而爬行一到达Q点，则叔震 22.(1)略： 例1如图1，透明的圆住形客器（客器厚 的最短路径长为」 26 (2)155 度感不计)的高为2cm,底面周长为0 cm 28.∠P=4C 在客器内腰离容器底部3m的点B处有一饭 粒，此时一只蚂蚁正好在客器外壁，且离容器上 万奥维安用12)m国江-4。金份团公共。个食版0： ∠B) 沿3m的点A处，料蚁吃到饭粒需爬行的 2如图，将长方体展开，前面与上面所在 .(-12Em）(】) 24.(1)略 4 的平面形成长方彩ABGH 解：如图4，将长方体沿侧而展开成一个长 因为AB=4,BF=8,PF=2 2)1 方形，则PQ的长即为妈蚁爬行的最短路格由 所以BP=BF+PF=1D. 25.(1)猜想：Mn 题意可知，PA=4+2+4+2=12(和m),40■ 在B1△ABP中，根据匀股定理，得 BD.正明略 5em在△APQ中，由勾段定理，得PQ 4P3=AB+BP=43+103=116 (2)1 解：如图2，将客沿侧面展开，￡F 为底面 √P+A=3em ③如图8，将长方体展开。下面与右面这个 26.(1)正确，正确 周长的一半，作点A关丁EF的对称点A',连接 面所在的平面形成长方形ADGF I'B交EF干点C,连接AC,过点A'作A'D⊥BD 例3如图5，长方体的高为 因为AB=4,BF=8,PF=2, F点D,此时A'B■4G+C,A'B的长度即为妈 8cm,底边是边长为4em的正方 所以AF=AB+BF=12. (3)BM 2MN 理 蚁吃李饭粒需爬行的最短路径由圆意可知，高 形，P点阳离F点2m,一只好蚁如 在R1△APF中，根据勾段定理，得 由略 为12cm,底面周长为10em,4E=3em所以AD 果婴沿着长方体的表面从A点尼李 P2■F2◆PF3=122+22148 =5m,BD=12-3+3=12(em）.在R△4'D P点，则蚂蚊爬行的最短距离是 因为100<116<148 ，由勾最定理，得A'B=D+B0=Bm 所以蚂蚁爬行的最短距离是0m 故填13 解：①如图6，将长方体展开，前面与右面这 填0. N (2)返c功质长 CE:AD幼AC 33 多 C.14 .CD 12.AD 16.BC 15.A= 02 开2 C.6 cm A.20 em 5.m图2。品D律具池电出店5. M2.5.6.5.5 D224 8.如图5，小明想利用“∠A=30°，AB=6em,BC=4m”这些 16.如图11，将长方形纸片ABCD析叠，使点B与点D重合，折痕 5.2同步达标检测卷 件作△ABC,他先作出了∠A和AB,在用圆规作C时，发现点( 为EF,连接DF.若AB=3,BC=9,则△BDF的面积为 出现C,和G两个位置，则C,C,的长是 17.如图12，圆花形容图高9m,底面周长为12em,在杯口点B ◆数理报社试题研究中心 A 3cm 且4国 C.25m D.27 cm 处有一滴蜂蜜，此时妈奴在杯外联部与蜂蜜相对的点A处，若好钢 (答题时长120分钟，满分120分】 9,如图6.在一个长AB为8em,宽AD为6m的长方形木板上 出发时发现B处的蜂蜜正以1cm/的迷度沿杯内下滑，3后蚂 饮着一根长方体木块，木块较长的棱和木板的宽AD平行且棱长为 蚁吃到了蜂蜜，如效的平均速度至少是 一，选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分》 1.如图1，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形M 干AD,木块从正面着是边长为2m的正方形，一只蚂救从点A出发 程 的面积为 达BC边的中点！需要走的最短路程为 A.140 B.235 C.2 A.10 em B.3/17em C./20em D65 en D.24 18如图13.四边形ABCD的对角线交于点E,BE■ED,LBAG 90°，∠ACD■2∠ACB.若CD■10，AD■14，则DE的长为 0.如图7是中国古代数学家赵爽用来正明内股定理的使图示意 三，解答题（木通8小，共的分】 2,已知直角三角彩两条直角边的长分别为2和3，则斜边长为 19.(6分)图14，在AABC中，∠C=90°，AC=3m,BC= 图，它是由四个全等的直角三角形：一个小正方形组成的大正方形 初中数学 6m,以AB为边在△ABC的同侧作正方形ABDE,求图中阴影部分 A.6 B.5 己R1△CDH的两条直角边分别为a,b(u<),连接AH,BE,CFDG四 初电 D.1 3.已知D是△ABC中BC边上的一点，若AC2-CD=AD,则 条纪段得判星“风车“形状的阴图形，面积配为已知R1△CD的 的面积 AD是 面积为3，大正方形ABCD的面积为3，则S的值为 A,BC边上的中线 B,∠BAC的平分线 A.4 .8 C.25 D.45 湘教八年级同步达标检测卷 C.BG边上的高线 D.AC边上的高线 二，填空骄（本题共书小短，每小短3分，共24分） 4.某商场一楼与二楼之间的干扶电梯如图2所示，其中AB,CD 11若8,15x是一组股数，则x的值是 分别表示一棱，二楼地古的水平线.CE是竖直线，高度是4m,BC的 12.如图8，一个大正方形被两条线段分割成两个正方形和两个 长是8m,则BE的长是 长方形，在长方形ABCD中，连接BD,若两个正方形的面积分别为IC c 利6.0BD阿长为 A.4万m B.&m D.4 m 达标检卷 5.如图3，在R△ABC中，∠C=90,D 为AC上一点若DA=DB=8,△ABD的面 20.(6.分)如图15，在平静的动面上，有支芦苇AB,高出水面 积为24.则CD的长是 的部分4C为1米，阵风欢来，芦苇被吹到一边，芦苇顶编被水面海 A.3 B.2万 13.如果三角形的三边长分别为，，6,2，那么这个三角形是 没（即AB=DB).这支芦苇移动的水平距离为3米，求湖水的深搜 C.4 D.6 《填”忧角”“直角”或“纯角”》三角形 BC. 6.下面几姐数中，能作为直角三角形边长的是 14.如图9，点B到数轴的距离是1.AB=AC,数轴上点C所表 A.2.4.6 B1.2.5 示的数是 C.8,7,1 D.6.6.6 15.如图10，一块边长为24米的正方形绿地四周被小路环绕，位于 7.如图4，在△4BC中，4B=5.4G=2,∠BAC=30,将 路边C处的的健身器距速路口B处7米，居住在A处的民时常沿4C走 △ABC绕点A逆时针旋转60“得到△ADE,连接BE,则BE的长为 建2，者地.相在A一个示理”走■米.骨回了 请你十算后小明在标的矿■“处填上通当的数字为 B.5 C.3