第9期 24.1 圆的有关性质-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（人教版 广东专版）

中考数学人教(GDY)第9~12期 教理括 答案详解 2025~2026学年 中考数学人教(GDY)第9~12期 形，∠ACB=90°，AC=32,AB=BD,所以AC=BC=32, 第9期2版 BD=AB=6,∠ABC=∠CAB=45°.因为DE⊥AD,所以BF 24.1.1圆 为⊙O的直径，所以∠BCF=90°，所以∠ACB+∠BCF= 基础训练1.D;2.A;3.2;4.60°. 180°，所以点A,C,F三点共线.因为∠CAB=45°，DE⊥AD,所 5.证明：因为OC=OD,所以∠OCD=∠ODC= 10 以△ADF是以∠BDF为直角的等腰直角三角形，所以DF= AD=6+6=12,所以BF=√BD+DF=65,所以⊙0 -∠0).因为0A=0B,所以∠0AB=∠0BA=(180°- ∠O),所以∠OCD=∠OAB,所以AB∥CD. 的半径为5.35 24.1.2垂直于弦的直径 (2)连接GF,连接GC并延长交AB于点M,因为AG=BG, 基础训练1.D;2.B;3.7或17；4.6. AC=BC,所以点C在线段AB的垂直平分线上，点G在线段AB 能力提高5.连接OB,OM,过点O作EF⊥BC,交BC于 的垂直平分线上，所以GM⊥AB,AM=BM.因为∠ACB=90°， 所以CM=BM,∠BCM=45°.因为BF是⊙O的直径，所以 点E,交MN于点F,因为BC∥MW,所以EF⊥MW,所以EF平 LBGF=90°.因为四边形GCBF是⊙O的内接四边形，所以 分BC,MN.因为BC=14mm,MN=30mm,所以BE=7mm, ∠GFB=∠BCM=45°，所以△BGF是等腰直角三角形，所以 MF=15mm.由题意得OB=OM=25mm,AB=36mm,在 Rt△BEO和Rt△MOF中，由勾股定理得OE=√OB2-BE= AG=BG GF BF=3而 2 24mm,0F=√OM-MFP=20mm,所以该烧瓶的高度为 第9期3版 AB+0E+0F=36+24+20=80(mm). 24.1.3弧、弦、圆心角 题号12345678 基础训练1.D;2.D;3.8;4.1:3. 答案A BCCDB B C 5.过点O作OF⊥AB于点F,延长OF交⊙0于点E. 二、9.0<a≤10；10.12；11.70°或110°；12.8； (1)证明：因为CD是⊙0的直径，AB∥CD,所以CE= 13.25°；14.3. DE,AE=BE,所以CE-AE=DE-BE,即AC=B,所以AC= 三、15.证明：因为AB=CD,所以AB=CD,所以AB+AD= BD. CD+AD,所以BD=AC,所以BD=AC (2)因为0FLAB,所以AP=24B=4.因为AB与CD间 16.(1)证明：连接AE,因为AB是⊙0的直径，所以AE⊥ BC.因为AB=AC,所以CE=BE. 的距离是3，AB∥CD,所以OF=3,所以OA=√AF2+OF产= (2)因为AB=AC,所以∠B=∠C=70°，所以∠BAC= 5,所以0C=0D=0A=5,所以CD=0C+0D=10. 180°-∠B-∠C=40°，所以∠B0D=2∠BAC=80°. 24.1.4圆周角 17.(1)因为点D是弧AC的中点，所以AD=CD,所以 基础训练1.B;2.C;3.6;4.②③④； ∠DAC=∠DCA=35°，所以∠D=180°-∠DAC-∠DCA= 5.1或2. 110°.因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠B=180° 能力提高6.(1)连接BF,因为△ABC为等腰直角三角-∠D=70°.因为AB=AC,所以∠ACB=∠B=70°，所以 中考数学人教(GDY)第9~12期 ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40° 45°，∠C4B=7∠B0C=45,所以∠ACD+∠CAB=90,所 (2)连接OA,因为AB=8,所以AB=AC=8.因为点D是 以∠AMC=180°-（∠ACD+∠CAB)=90°，所以CD⊥AB. 弧AC的中点，所以OD⊥AC,所以∠AED=∠AE0=90°，AE =EC=4C=4.在△ADE中，AD=5,由勾股定理，得DE 所以AB,CD是⊙O的等垂弦 (3)如图1所示，当等垂点P位于圆内 =√AD-AE=3.设⊙0的半径为r,在Rt△AE0中，由勾股 时，过点O作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别 为E,F.根据题意，得AB⊥CD,所以四边 定理，得A0=AE2+0E,即2=42+(r-3)2,解得r= 形OEPF是矩形.因为AB=CD,所以OE 所以00的长为曾 =OF,所以四边形OEPF是正方形，所以 图1 OE=OF=PE=PF因为AP=3BP,设BP=x,则AP=3x, 18.(1)设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA,OA',OM,则 O,M,P三点共线.设半径为xm,则OA=OA'=OP=xm,由 AB=AP+BP=4,因为OE1AB,所以AE=BE=2AB= 垂径定理可知AM=BM,A'N=B'N.因为AB=30m,所以AM 2x,所以OE=OF=PE=PF=x.如图1，连接OB,因为⊙0 =4B=15m在△A0M中，0M=0P-PM=(x-9)m, 的直径为10，所以OB=5,根据勾股定理，得OB=OE+ 由勾股定理，得A0=OM+AMP,即x2=(x-9)2+152,解 BE2,即52=x2+(2x)2,解得x=5或x=-5(舍去)，所以 得x=17,即拱桥所在的圆的半径为17m AB=4x=45. (2)因为OP=17m,所以ON=OP-PW=17-2= 如图2所示，当等垂点P位于圆外时，过 15(m).在Rt△A'OW中，由勾股定理，得A'W=√OA2-OW 点O作OH⊥AB,OG⊥CD,垂足分别为H, =8m,所以A'B'=2A'W=16m>15m,所以不需要采取紧急 G.根据题意，得AB⊥CD,所以四边形OHPG 措施。 是矩形.因为AB=CD,所以OH=OG,所以 四边形OHPG是正方形，所以OH=OG= 图2 19.(1)证明：因为直径AB平分非直径弦CD,所以CD⊥ AB,所以∠CG0=90°，所以∠OCD+∠C0G=90°.因为EF⊥ PH=PG.因为AP=3BP,设BP=x,则AP=3x,AB=2x,因 AB,EH⊥OC,所以∠EF0=∠EH0=90°，所以∠AOC+ 为0H1AB,所以AH=BH=子AB=x,所以0H=0G=PH ∠FEH=180°.因为∠AOC+∠C0G=180°，所以∠C0G= =PG=2x.如图2，连接0A,因为⊙0的直径为10，所以0A= ∠FEH,所以∠OCD+∠FEH=90°. 5,根据勾股定理，得042=0+AH,即52=x2+(2x)2,解 (2)连接OE,因为∠EFO=∠EHO=90°，所以∠EF0+ ∠EH0=180°，所以点O,F,E,H是在以OE为直径的圆上.因 得x=5或x=-5(舍去)，所以AB=2x=25. 为∠CG0=90°，所以点O,C,G是在以OC为直径的圆上.因为 综上所述，AB=25或AB=45. OE=OC,所以以OE为直径的圆和以OC为直径的圆是等圆. 第9期4版 因为∠c0c=∠PE,所以m=元.所以FH=cG=D 重点集训营 二2 1.35；2.52 ；3.4 20.(1)证明：根据题意，得AB⊥AC,OD⊥AB,OE⊥AC, 4.（1)四边形ABED是矩形，理由如下： 所以因边形AD0E是矩形.因为AB=AC,所以化=子4C 因为CD是⊙O的直径，所以∠CED=90°，所以∠BED= 子AB=AD,所以四边形AD0E是正方形， 90°.因为AD∥BC,所以∠ABC+∠A=180°.因为∠A=90°， 所以∠ABC=90°，所以四边形ABED是矩形 (2)证明：因为OD⊥OA,OC⊥OB,所以∠AOD=∠B0C (2)因为∠A=90°，∠ABD=30°，所以BD=2AD=6. =90°，所以∠AOD+∠A0C=∠B0C+∠AOC,所以∠C0D 因为2DF=BF,所以BF=4,DF=2.因为四边形ABED是矩 =LA0B,所以AB=CD.连接4C,则∠ACD=方∠A0D= 形，所以∠FDE=∠ABD=30°，所以∠FCE=∠FDE=30° -2 中考数学人教(GDY) 第9~12期 因为CD是⊙O的直径，所以∠CFD=90°，所以∠BFC=90°，线. 所以BC=8,CF=45,所以CD=√CF+DF=2/3,所 因为DE为⊙O的切线，所以DE=BE,所以∠EBD= 以⊙0的半径是3 ∠EDB. 又因为∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，所以 第10期2版 ∠DCE=LCDE,所以DE=CE,所以DE=之BC 24.2.1点和圆的位置关系 能力提高7.证明：(1)因为点I是△ABC的内心，所以 基础训练1A;2.C；3.D: AI平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.因为CD=CD,所以 4.x≥8；5.不能；6.（-2，-1) ∠CBD=∠CAD,所以∠BAD=∠CBD. 7.(1)(2,0) (2)连接B1,因为点I是△ABC的内心，所以AI平分 (2)由勾股定理，得⊙D的半径为√42+22=25 ∠BAC,BI平分∠ABC,所以∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBL. (3)点E在⊙D内.理由如下： 又因为∠CBD=∠CAD,所以∠CBD=∠BAD.因为 因为DE=√32+3=32,32<25，所以点E在⊙D ∠BID=∠ABI+∠BAD,∠DBI=∠CBI+∠CBD,所以∠BID 内 =∠IBD,所以ID=BD 24.2.2直线和圆的位置关系（第一课时） (3)连接DC,因为∠BAD=∠CAD,所以BD=CD.因为 基础训练1.C;2.B;3.4;4.60;5.10或6. ID=BD,所以BD=CD=ID,所以点D是△BIC的外心 6.证明：连接OD,因为AC是⊙0的直径，所以∠ABC= 第10期3版 90°.因为BD平分∠ABC,所以∠DBE=45°，所以∠D0C= 2∠DBE=90°.因为DE∥AC,所以∠ODE=∠D0C=90°.因 题号1 2345678 为OD是⊙O的半径，所以DE是⊙O的切线。 能力提高7.(1)证明：连接OB,因为CB平分∠ACE,所 二、9.0（答案不惟一）；10.4；11.65；12.8或11； 以∠ACB=∠BCE.因为OB=OC,所以∠ACB=∠CBO,所 9 以∠BCE=∠CBO,所以OB∥ED.因为BE⊥ED,所以EB⊥ 13.614.9 B0.因为OB是⊙O的半径，所以BE是⊙O的切线. 三、15.在圆弧内作两条弦AB,BC, (2)连接OB,BD,因为AC是⊙O的直径，所以∠ABC= 分别作出AB,BC的中垂线，交于点O,以 ∠ADC=90°.因为BE⊥CD,所以∠E=90°，所以∠E+ 点O为圆心，OA的长为半径作圆，如图3， ∠ADC=180°，所以BE∥AD,所以，点B到AD的距离即为DE ⊙0即为所求。 的长 16.证明：因为AC=BC,所以∠AOC 图3 因为AB=2BC,所以∠AOB=2∠COB,所以∠BOC= =∠BOC.因为DB为⊙O的切线，所以 60°.因为OB=OC,所以△OBC是等边三角形，所以∠OBC= OB⊥BD,所以∠OBD=90°.在△OBD和△OAD中， ∠OCB=60°.因为OB⊥EB,所以∠EB0=90°，所以∠EBC OB =0A. =30°，所以∠BCE=60°，所以BC=2EC=2,AC=2BC=4, ∠BOC=∠AOC,所以△OBD≌△OAD,所以∠OAD= 0D=0D. ∠ACD=60,所以∠CAD=30°，所以CD=7AC=2,所以 ∠OBD=90°.又因为OA是⊙0的半径，所以AD为⊙0的切 DE=3.即点B到AD的距离为3. 线 24.2.2直线和圆的位置关系（第二课时） 17.(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB= 基础训练1.B;2.A;3.5;4.80;5.5. 90°.又因为∠ABC=25°，所以∠CAB=90°-25°=65°.因为 6.证明：连接BD,因为AB为⊙0的直径，所以∠ADB= 四边形ABEC是⊙O的内接四边形，所以∠CEB=180°- 90°，所以∠BDC=90°. ∠CAB=115° 因为∠ABC=90°，OB为⊙O的半径，所以BC为⊙O的切 (2)DI=DA=DB,理由如下： 一3 中考数学人教(GDY)第9~12期 连接Al,因为点I为△ABC的内心，所以∠CAI=∠BAL,PE,所以PE=tcm,PB=(6-t)cm.在Rt△PEB中，由勾股定 LAC1=∠BCI=∠ACB=45,所以0=BD,所以∠DAB 理，得(6-)2=f+2,解得1=号 =∠DCB=∠ACI,AD=BD.因为∠DAI=∠DAB+∠BAI, (3)①由题意知⊙Q不与AB,BC相切，如图6，当⊙Q与 ∠DIA=∠ACI+∠CAI,所以∠DAI=∠DIA,所以DI=DA= AD相切时，设切点为E,连接QE,则QE上AD,QE=PQ,所以 DB. 四边形ABQE是矩形，所以QE=AB=PQ.在Rt△PBQ中，由 18.证明：(1)设PO和AB相交于点F,因为PA和PB是 勾股定得，得62=(6-)2+(2，解得1=0或号 ⊙O的切线，所以PA=PB,PO平分∠APB,所以AF=BF因 为OA=OC,所以OF是△ABC的中位线，所以OF∥BC,即BC ∥oP. (2)如图4，连接AE,BE,因为 PA是⊙O的切线，所以∠OAP= 图6 图7 90°，所以∠OAE+∠3=90°.因为 如图7，当⊙Q与DC相切时，则PQ=QC,在Rt△PQB中， PA和PB是⊙O的切线，所以PA= 由勾股定理，得(6-t)2+(2t)2=(8-2t)2,解得t1=-10+ B PB,PO平分∠APB,PO⊥AB,所以 图4 8√2,2=-10-82（舍去） ∠1+∠2=90°.因为OA=OE,所以∠OAE=∠2，所以∠1 =∠3，所以AE平分∠PAB.因为PO平分∠APB,所以点E是 综上，当：的值为0或号或-10+8厄时，©0正好与四边 △ABP的内心 形ABCD的一边（或边所在的直线）相切. 19.(1)证明：因为DE是∠AEB的平分线，所以∠AED= ②当t=0时，如图8所示，⊙Q与四边形DPQC有两个公 ∠BED.因为∠AOD=2∠AED,∠BOD=2∠BED,所以 共点： ∠A0D=∠B0D.因为∠AOD+∠BOD=180°，所以∠AOD= 0 ∠BOD=90°，所以∠ODF+∠OFD=90°.因为EF=EB,所 4(P B(0 以∠EFB=∠EBF.因为∠EFB=∠OFD,所以∠ODF+ ∠EBF=90°.因为∠CBE=∠ODF,所以∠CBA=∠CBE+ 图8 图9 ∠EBF=90°，所以BC⊥AB.因为AB为⊙O的直径，所以BC 如图9所示，当⊙Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两 为⊙0的切线. 个公共点，则QD=PQ在Rt△PBQ和Rt△DCQ中，由勾股定 (2)连接AD,因为AE=AE,所以∠ADF=∠ABE.因为 理，得(6-t)2+(2t)2=36+(8-2t)2,解得t1=-10- ∠EBF=∠EFB=∠AFD,所以∠ADF=∠AFD.因为AF= 24I(舍去)，t2=-10+24I,所以当0<t<-10+24T, 6,所以AD=AF=6.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD2= ⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点. A02+D02,即2A02=36,解得A0=32(负值舍去)，故⊙0 故填0<t<-10+2√4T. 的半径为32. 20.(1)由题意知，AP=tcm,BQ=2tcm,则BP=(6- 第10期4版 )cm,因为50=分P.B0=分(6-0·21=8，解得1= 重点集训营 2或t=4,故当运动时间为2秒或4秒时，△BPQ的面积为 1.(1)连接0D和0C,因为AD=DC=CB,所以∠A0D= 8cm2. ∠D0C=∠B0C= 号×180°=60，所以∠D0B=∠D0C+ (2)如图5，设切点为E,连接PE.由题意，得D ⊙P分别与AD,BD相切，所以AD=DE=8cm, ∠B0C=120因为0A=0D,所以∠DMB=分∠D0B=号 PE⊥BD.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD= ×120°=60° 10cm,所以BE=BD-DE=2cm.因为AP= (2)证明：由(1)知，∠B0C=∠DAB=60°，所以0C∥ 图5 中考数学人教(GDY) 第9~12期 AE.因为CE⊥AD,所以OC⊥CE.又因为OC为⊙O的半径，所 所以∠0EC=90°，∠0DC=90°. 以直线CE是⊙O的切线， 因为∠EFD=70°，所以∠E0D=2∠EFD=140°， 2.(1)证明：连接0C,因为AB是⊙0的直径，AC=BC,所 所以∠ECD=360°-90°-90°-140°=40° 以∠BOC=90°.因为E是OB的中点，所以OE=BE.在△OCE 由(I)知CE=a=9,所以点E运动的路径长= ,OE BE, 40×m×9=2m. 180 和△BFE中，{∠OEC=∠BEF,所以△OCE≌△BFE,所以 24.4弧长和扇形面积（第二课时）》 CE EF, ∠OBF=∠COE=90°，即OB⊥BF因为OB是⊙O的半径， 基甜训练1：24：3（合-停）：4受-4 所以直线BF是⊙O的切线. 能力提高5.由旋转的性质，得SARCO=S△m,∠B'0C (2)因为OB=OC=4,由(1)得△OCE≌△BFE,所以 =∠B0C=60°， BF=0C=4,所以AF=√AB2+BF=45,所以SAF= 所以∠B'0C=180°-∠B'0C-∠B0C=60°， 合4B·B=F,BD,即8×4=45D,所以BD=85 所以∠B0B'=∠B'OC+∠B0C=120. 5 又因为AB=2cm,所以B0=1cm, 第11期2版 所以c0=C0=宁80=宁 2 cm, 24.3正多边形和圆 所以5tw=2四X=号（cm).5atae 360° 基础训练1.C;2.C；3.90°；4.36°；5.9. 6.设AB与⊙0相切于M,AD与⊙0相切于N,BC与⊙O 120×m×(22 =受(cm),S形=SnmE-Sac=牙 相切于P, 360° 连接OE,OF,OM,ON,OP, 晋=平(cm2). 则∠EOF=90°，OM⊥AB,OW⊥AD,OP⊥BC 24.4弧长和扇形面积（第三课时） 所以四边形AMON,OMBP是矩形， 基础训练1.C；2.D;3.54π；4.45. 所以AM=ON,BM=OP. 设⊙0的半径为r,所以EF=√OE+OF区=2r,AM= 能力提高5.(1)根据题意，得m·DE=90·T·AD 180 ON =r,BM =OP =r, 所以AD=2DE=2×5=10(cm), 所以AB=AM+BM=2r, 所以AE=AD=l0cm. 所以图中空白部分与阴影部分面积的比值为 (2)因为∠BAC=90°，AB=AC,AD⊥BC,AD=10cm, 2r)2-(22=1. 所以BC=2AD=20cm,所以S阴影=S△ABc-S第形EAFr=2 (2r)2 24.4弧长和扇形面积（第一课时） ×10×20-90×m×102 =(100-25r)cm2. 360 基础训练1C:2.D:3.1；4 3m. 第11期3版 能力提高5.(1)因为BC,AC,AB与⊙0分别相切于点 D,E,F, 题号12345678 答案ABBACCA B 所以CE=CD=a,BF=BD,AF=AE, 所以AE+BD=AF+BF=AB. 二912：102；11.二十四：12牙 因为△ABC的周长为36， 所以AE+BD+AF+BF+CE+CD=2AB+2a=36. 13.8m-83;14.(2+2)π 2 因为AB=9,所以a=9. 三、15.连接OB,因为六边形ABCDEF是⊙O的内接正六 (2)连接OE,OD,因为AC,BC分别与⊙0相切于点E,D,边形，所以∠COB=60°，OC=OB,所以△COB是等边三角 5 中考数学人教(GDY) 第9~12期 形，所以OC=0B=6cm,即⊙0的半径R=6cm.因为OC= 23=8 π-25 OB=6cm,OG⊥CB,所以CG=BG=3cm,在Rt△COG中， 19.(1)证明：连接OB,因为AB=BC,所以∠C=∠A= T6=0G=√0C2-CG=35(cm),所以S。=6Saoc=6× 30°. 合×6×35=45(em) 因为OB=OC,所以∠OBC=∠C=30°， 16.(1)证明：因为CD⊥AB,CD是直径，所以AD=BD,所 所以∠A0B=2∠C=60°，所以∠OBA=180°-∠A- 以∠ACD=∠BAD. ∠A0B=90°， (2)连接OA,OB,BC. 所以OB⊥AB. 因为CD⊥AB,CD是直径，所以AD=BD, 因为OB是⊙O的半径，所以AB是⊙O的切线. 所以∠ACD=∠BCD=30°，所以∠ACB=60°， (2)①在R△0AB中，∠A=0,所以0B=240,A0- 所以∠40B=2LACB=120,所以AB的长=120T×3 180 0B2+AB2. =2m 又因为AB=6,所以0B=25,所以BD的长为60m×25 180 7.()S能e-1206=12m(cm),制作50个需要 360 25π 12m×50=600m(cm2). 答：制作50个这样的纸帽至少需要600πcm2的扇形纸片. ②作0H1BC于H,则CH=BC=3 (2)连接点H和底面边缘A点，因为4配=120×π×6 180 在R△0CH中，因为LC=30°，所以0H= 2C0,c02= 4r(cm）, OH HC2, 所以该圆锥底面周长为4πcm, 所以0H=万，0B=0C=25,所以5度=BC×0M 所以AH=4知=2(cm. 2T 60 在Rt△OAH中，OA=6cm,根据勾股定理，得OH= =35,500=380m×(25)2=2m, √OA2-Af=42cm. 所以S阴影=SA0Bc+S扇形ODB=3V5+2m。 18.(1)因为PA,PB与⊙O相切于A,B两点，所以PA= 20.(1)证明：因为CD=C⑦，所以∠CAD=∠DBC PB.因为∠APB=60°，所以△PAB为等边三角形，所以AB= 因为∠DAB=∠CBA,所以AC=BD,∠CAD+∠DAB= PA=4. ∠DBC+∠CBA,即∠CAB=∠DBA. (2)连接AD,OB,因为PA,PB为⊙0的切线，所以OA⊥ .AC BD. PA,OB⊥PB,所以OP平分∠APB,OP垂直平分AB,所以 在△CAB和△DBA中， ∠CAB=∠DBA,所以△CAB≌ ∠AP0=号∠APB=30,所以∠A0P=60 AB AB. △DBA. 因为∠PAO=90°，PA=4,所以由勾股定理，得OA= (2)①如图10，当点C与点A重 45易得∠0A=∠H0=0 合时，连接OD,OM,过点M作ME⊥ 因为AB=号P=2,所以AD=2AE=4 AB于点E,线段ME的长度即为点MA(C) 0 到AB的距离 图10 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=JAD-AE 因为直径AB=6,弦CD=3,所以OC=OD=CD=3, 25. 所以△COD是等边三角形. 易证得S△DE=S△BDE,S阴影AEc=S空白BBC, 因为M是cD的中点，所以CM=CD=子，OM1CD, 所以S阴影=S扇形Dc-S△DaE 180▣x4,5- 360 3 Γ2 ×2× 所以0M=V√0c2-CM=35 2 6 中考数学人教(GDY)第9~12期 四-0E, 所以ME=VOM-0E=√ r,则OD=r-2,OA=r,在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD+ 0D2=0A2,即42+(r-2)2=2,解得r=5,所以⊙0的半径 所以当OE最大时，ME最小，而当C与A重合（或D与B重 为5. 合)时，OE最大 18.证明：(1)连接OE,因为EF为⊙O的切线，所以OE⊥ 因为△COD是等边三角形，M是CD的中点，所以∠MOC EF,所以∠OEF=90°.又因为AF⊥EF,所以∠AFE=90°，所 =30°，所以ME= 寸ow3 以∠OEF=∠AFE=90°，所以AF∥OE,所以∠FAE= 49 ∠AEO.又因为OE=OA,所以∠OAE=∠AEO,所以∠FAE= 即点M到AB的距离的最小值是35 ∠OAE,所以AC平分∠BAF D (2)连接OD,因为BC=AC,所以∠OAE=∠ABC.因为 ②如图11，由①知0M=3E 2 OA=OE=OB=OD,所以∠OEA=∠OAE=∠OBD= 所以点M的运动轨迹是以点O A(C) ∠ODB,所以∠AOE=∠BOD,所以BD=AE,所以CD=CE. 为圆心，3为半径的赢， 图11 四、19.(1)因为BE是⊙0的直径，所以∠BDE=90°.又 因为∠DBE=25°，所以∠E=90°-∠DBE=65°.因为四边 当C与A重合时，∠AOM=30°，同理，当D与B重合时， 形BCDE是⊙O的内接四边形，所以∠C+∠E=180°，所以 ∠B0M'=30°， ∠C=180°-∠E=115. 所以∠MOM'=120°，所以点M的运动路径长为 (2)因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠BCD 120m×3,3 +∠BAD=180°.又因为∠BCD=2∠BAD,所以3∠BAD= =√3π.故填3π. 180 180°，所以∠BAD=60°.因为BE是⊙O的直径，所以∠BAE= 第11期4版 90°，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°，所以∠D0E= 2∠DAE=60° 重点集训营 20.(1)证明：连接OC,因为AB是⊙0的直径，所以 1.32 m;2.a;3.12. ∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°.因为OA=OC,所以 ∠CAB=∠ACO,所以∠AC0+∠B=90°.又因为∠ACD= 4图中阴影部分的面积为}。-25 ∠B,所以∠AC0+∠ACD=90°，即∠OCD=90°，所以OC⊥ CD.因为OC是⊙0的半径，所以CD是⊙0的切线. 第12期综合评估卷 (2)连接OC,OE,因为OB=OC,所以∠OCB=∠B= 题号12345678910 55°，所以∠C0B=70°.由(1)知0C⊥CD,又因为AD⊥CD, 答案BCBABDDD A D 所以AD∥OC,所以∠DA0=∠COB=70°.因为OA=OE,所 二、I1.在同一直线上的三点能确定一个圆： 以∠OEA=∠DA0=70°.因为AD∥OC,所以∠COE= 12.15°；13.√2；14.129°；15.4049m ∠0EA=70°.因为AB=2,所以⊙0的半径为1，所以EC的长 三、16.因为∠D=28°，所以∠B0C=2∠D=56°.因为 为70m×1.7 180=18m OC⊥AB,OA=0B,所以∠AOB=2∠B0C=112°，∠OAB= 21.(1)证明：连接OB,OP,因为PA与⊙0相切于点A,所 ∠0BA,所以∠0AB=(180°-∠A0B)=34 以OA⊥PA,所以∠OAP=90°.在△AOP和△BOP中， 17.(1)证明：因为C是弧AB的中点，所以AC=BC,所以 PA PB, AC=BC.因为OA=OB,所以OC垂直平分AB. OP=OP,所以△AOP≌△BOP,所以∠OBP=∠OAP= (2)设OC与AB交于点D,由(1)知，OC垂直平分AB,所 0A OB. 90°，所以OB⊥PB.因为OB为⊙0的半径，所以PB与⊙0相 以AD=2AB=4,∠ADC=∠AD0=90°.因为AC=25,所 切 以CD=√AC2-AD=√(25)2-42=2.设⊙0的半径为 (2)连接CB,因为△AOP≌△BOP,所以∠BPO= 7 中考数学人教(GDY) 第9~12期 ∠APO,∠BOP=∠AOP.因为∠APB=60°，∠OBP=∠OAP (2)证明：当x=m时y=r2+分，所以7(m,分m2+ =90°，所以∠AOB=120°，所以∠C0B=60°，∠B0P= ∠A0P=60°.又因为0C=OB,所以∠0CB=60°，所以OP∥ 子.过点T作M上x轴于点M,TN1)轴于点N,连接0， CB,所以△OCB和△PCB等底等高，所以SAOBC=S△PcB,所以 则TN=Iml,∠TWQ=90°.因为⊙T与x轴相切，TM⊥x轴， S阴影=S扇形0CB因为PA=43,∠0AP=90°，∠A0P=60°，由 所以r=7M=分2+分在△T0中，由勾股定理，得Ng 1 勾股定理，得01=4，所以S影=SaB=60Xx全 360 =0-=(分m2+2-m2=m-22+= 8 . (2m2-2, 五、22.证明：(1)连接BL,因为I是△ABC的内心，所以 ①当7-7≥0时，0=-7，所以00=r ∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBL.因为∠CAD=∠CBD,所以 ∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠CBI=∠CBD+∠CBL.因为 N0=m2+分-（分m2-）=1,所以00,10： ∠BID=∠BAD+∠ABI,∠IBD=∠CBD+∠CBI,所以∠BID =∠IBD,所以DB=DL.因为OI⊥AD,所以A1=DL,所以AD ②当m2-分<0时，4Q=之-m2=PN,所以0P =2BD. =+P=++-=1所以P0,). (2)连接OB,OD,OD交BC于点E,因为∠BAD=∠CAD, 所以⊙T始终经过y轴上的定点(0,1) 所以BD=CD,所以OD⊥BC,BE=CE.因为OL⊥AD,IM⊥ AB,所以∠BED=∠AMI=90°，LA=DI.由(1)易得DB=LA. (3)由(2)知r=71=子m+7,所以0A=之=子m 因为∠DBE=∠DAC,∠IAM=∠DAC,所以∠DBE=∠IAM. 1 + 4, ∠BED=∠AMI, 在△DBE和△IAM中， ∠DBE=∠IAM,所以△DBE≌ ①当2-子≥0时，由(2)知此时点Q的坐标为0， DB IA. 1).若点A与点Q重合，则0A=1,所以S=0A2=1,所以当 △IAM,所以BE=AM,所以2BE=2AM.因为BC=2BE,所以 ⊙T与线段OA有交点时，S≥1； BC 2AM ②当)m-<0时，由(2)知00=r-0=2+ 23.(1)当m=2时，即点T的横坐标为 子-（分-㎡）=m,所以Q0,㎡)，若点4与点Q重合， 2.所以y=号×2+之=子，所以72， 各)如图12所示，过点T作1销于点 则01=00，所以子n+子=m,解得m= 9所以4。 M,TW⊥y轴于点N,连接TQ,则TW=2, 图12 号此时S=)当点T在)轴上时，01=子此时S=6故 ∠TWQ=90°.因为⊙T与x轴相切，TM⊥x轴，所以r=TM= 1 16≤S≤g 多，所以T0=子在△Q中，由勾股定理，得0 综上所述，正方形0ABC的面积S的取值范围为6≤S≤ 0-7N=子，所以P0=20=3. 9或S≥1. 1 一84 素养·拓展 数理超 2025年9月4日·星期因 初中数学 351-S27126 (上接第3版) 19.12公)m到17在⊙0由占C当 AB上方半圆上的一个点，直径AB平分非直经 重点集训营 CD于点G.点E是AC上一点（不与A,C重会） 铺助线周周练 纸发行质量反喷电话 数理招 9 期总第1153期 人教 0B5-527248 中考(GDY 上接4版参考答案 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社辑出版 社长：徐文信 国内统一连续出版物号：CN140707F)邮发代号：21-15 过点E作EF⊥AB,EH⊥OC,足分别为F,H 1,图1，四边形ABCD内接于⊙0.AB是 1.如图1AB是⊙0的直径，C为圆上 程到， ⊙0的直径，点E在⊙0上，且∠ADC■125 名师课堂 弧是圆中的无名英雄，与圆有关的许多计 连接FH. (1)求证：∠0CD+∠FEH=0“ ∠北C的年数为 点，且∠A0C=120°.⊙0的半径为4，P为圆上 算和证正明题，表面上与斑没有直按关系，实际上 ,∠A 动点，Q为P的中点，则CQ长度的最大直是 用 却通着圆周角，西心角，弦等元素，起到了 (2)若CD=3.求FH的长 DP,∠Af 垂径定理有妙 牵线搭桥的作用.下面举例悦明 45 。广东张雨相 一、为弦牵线搭桥 垂径定理是圆的一条重要性质，指的是“垂 问圈：“今有圆材厘在壁中，不知大小以据据 例1如图1，AB是 直于兹的直径平分，并且平分所对的两条 之，深一寸，据道长一尺，问径几何？”根据原文 0的直径，四边形ABCD 孤“，它的应用非常广泛，下面攀例进行说明，供题意.画出圆材载面图如图2所示，已知铝口深 内接于⊙0，若C=CD 同学们学习时参 为1寸据道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆村 2如图2.四边形ACD内接于⊙0，且∠A DA=4m,则⊙0的直径 例1“青山绿水，畅享生活”，人们经常将 的直径为 90°BC=CD.若AB=4.AD=3,则CD的 B为 2.如图2，在平面直角坐标系中，边形 圆柱形竹向改造成生活用具，如图1是一个竹简 解析：车等0A,可点0作0E上AB,学AB 长为 A.5 em B.4 cm 3,如图3.C是⊙0 4BC0为矩形，A(0.4),B(10,4)点M为边0G 水容器的箴面.满量得这个水容器所施装满水点D.交⊙0于点E设⊙O的半径为r寸，在 C6 cm D.cm 的放，点B是⊙0上的 点，以点为圆心，G为半径作⊙M交x 的最大深度是I8m(水面是AB时的深度)，开 △AD0中，AD=5寸，0D=(-1)寸，0A= 架析：连旋OD,OC因为BC=CD=DM= 口AB宽为12m.这个水容器载面的半径为r寸，由勾股定理，得2=5+《r-1)2,解得r 个动点，且∠ABC=30 轴于点D,连接D交⊙于点E连接AE,点 + 机 13.所以⊙0的直径为26寸.故填26 4em,所以D=CD=BC,所以∠AOD= 若点D,E分别是AC,BC AE的中点，则OF的最小值为 3)W +HV 解析：连04,0B,过点0作0D⊥B干点 例3 一座拱 ∠D0G世∠B0G=0又丙为0A=0D.月以 的中点，AG长为4，则DE 月，明将AAD5 3 △A0D是等边三角形，所以04=AD=4m 的最大值是 县售40用 5A精村：作转10 D,交⊙0于点C.因为AB=12cm,所以AD= 桥的轮%是一段华少Bg雨 时AD写AB面 g6em设0A■OG■e,则0D(8 4为250m有因机 并以A■8m,故选D, 4.如图4，在四边形ABCD中，∠A=0 AD∥BC.以CD为直径的⊙O与BC边交于点 3所示)，桥拱和路面之间用数根钢索垂直 )m,在t△04D中，由定理，得0 E.与对角BD交于点F,连接DE.CF 所 相连，共正下方的路面AB长为300m,那么这些 AP=0D2,即2-62=(I8-)2.解得r=0. 牵线搭桥话 0.12分1义：个中.相日 (1)青目出四边千之ABED的无状，并用 组*用中#H37联3！联国Z联H3 弱赏中最长的一根为 相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的 故填10 理由： 解析：设圆的圆心为0，过点0作0C 圆 交点叫做等垂点 H道'06H3D7=337耳管"('s)3 河南 洁 (21折AD=3.2DP=BF∠ABD=30 AB于点C,交B于点D,连接0A,则0A=0D= (1)如图18-①.4B,AC是⊙0的等岁 (z01)H't=O用(001)灯#单锅 二、为圆周角牵线搭桥 求⊙0的半径 D 0D⊥AB,0E⊥AC,垂足分别为D.￡，求证正：四 甲·9021宰“9学中H班H3HN果H 250m,4C=BC=7AB=150m,所以0C= 例2如图2，AB是 边形ADOE是正方形 ⊙0的直径，C,D是⊙0上 (2)如图18-②.AB是⊙0的弦，作0D1 √/0N-AC=200m.以CD=0D-0C= 的两点，若∠C4B■65°，则 0A,0C⊥OB分别交⊙0于D,C两点，圭接CD u怕Y门用胖*￥得00 50m,即这些钢常中最长的一根为50m故 ∠ADC的背为( 分别交AB,0A于点M,E,求正：AB,CD是⊙D 4斜9Y3要ò学'YDY⊙ AB+ 例2 填50 原g0Ng阴0学亚率H学孙 因为∠D4 4.250 B.35 的等垂弦： 数理报社试题研究 专题抽导 C.459 D.65 (3)已知⊙0的直径为10.AB,CD是⊙0 H000康【些群】少x+1【是】 (参考答案见下期 DAF 90°圆周角的性质体验 解折：因为AB是直径.所以∠ACB=90 的等弦.P为等垂点，若AP=3BP.求AB的 因为∠CAB=65",所以∠ABC=90 第8期2题参考容案 17路 月为∠4E=乙0 。山东"李洁然·▣ =25,所以∠ADC=∠ABC=25,故达A. 232.3关于值点珠的点的坐标 1R(1)45的长为3 245=60 三，为圆周角和圆心角牵线搭桥 2B: 10 4 2}∠AE=10 “直径所对的圆周角是直角，0°的圆周角 A.2万 B.4 C.B A D.25 四，19（1)图，点坐标为2，2)，D点坐标为 例3如图3A,B,C是 6.A-1,2.-3 -2 5 所对的弦是直径”，这是由圆周角定理得出的推 解析：因为AB为⊙0的直径，所以∠ACB ⊙0上的三点，若∠A0C {1)图略.由坐标系可得4，(-1，一4)，《1， 2)当C,》两d有 在坐标粕上时.P点坐 论，应用这一推论可解决与此有关的些试题. =90因为∠BAC和∠CDB是弧BC所对的 90°，∠ACB=25",则∠B00 3),C3,=21 (2)关干原点对你的4点和A,点之同的阳离为 0}或0，-石 下面让我们一起体险 求图的半径 园周角，以∠BAC=∠CDB=30,因为AB= 的度数是 2 A.20 B.25 例1如图1，点A.B,C.D 能力提高 &(1)点P关于原点的对称点P的坐 (2)2FM+DE ∠AD 5 .所以C=AB=2.所以AC=√AB-C C.409 D.50 明：过点A指A,的长线于点，用 A月 在⊙0上，AB L BC.若BC= 为2,1)， 解析：根屈在同圆或等圆中，可面或等克所 】∠HAC=上AC=0,∠H=∠6,∠HA0 (2)符合条件的的值为-，三，4 4,LDC■30°.则⊙0的半径 /-225,故D =∠ACN=∠A为C=AC之CE=∠C月 ∠AD-∠A占 对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠AOB= 23.3课题学习 以△BD△亡H.以CD=H.由IEF =30eFL∠H 三、求圆周角的度数 图案设计 2∠ACB=50°，因为∠A0G=0°，所以∠B0C 以D-CECH。F,以D=因为为( 00 基W练1.D:2C:3.年： ,以F+ A.4 B.22 C25 D.8 例3如图3，在⊙0中， =∠AOC-∠A0B=40.放选C 4.将△A0B闭时针整转知“，向左学移2个单位 H r.所以DV+M 解折：连接AC,则∠CAB=∠BDC=30°. CM. 因 全文完 径AB与CD相交于点P,连 四、为特鹅角牵线描桐 长立 5.6 F HM-CM 因为AB1BC,所以LBC=90,所以AC为AC,AD,BD,若∠C=2D 例4图4，AB是⊙0 6略 FM=CE-F,所以2+E=CE 0的直径因为∠ABC=90°，∠C4B=30 ∠BPC=70°，则LADC的度数 的直径，G,D,E是⊙0上的 第8期3,4版综合评估卷参考答案 BC=4,以AC=2BC=8,所以⊙0的半径为 则∠1+∠2等 号11345679 五，22.《1)点/关干点的时针“重链点”的坐 -2,3) =4.故法A A.70 B.60 SE CC D C A B C A B C (2)点0关于点严的垂点的坐标为(-1，一1) 解析：连接AC,BC,根据 二、求弦的长度 C.50e D.409 -2:120: 13.2cBC《4:4.1 同宽所对的圆周角相等可 15.1+5 AE CF 别2四图2AB可0 解析：因为∠C=20,所以∠B=20,因为 致理报杜试研究中 .匠明：在正方形ACD中， 知，∠I=AB,L2=LCAB,所以L1+∠2 三.16.(1)3略A'(0.-6 的直径，点C,D在⊙0上，若 ∠BPG■70°.所以∠BDP∠BPG-∠B= 卷考客客见下期 2)图略，D3，-5). =CD,∠4DC=90°，将△AW(下转1,4版中缝】 =∠ABC+∠CAB.因为AB为⊙0的直径，所 ∠CDB=30,AB=4.则A0 50只.又因为AB为直径，所以∠ADB=90”,所以以∠ACB=90°，所以∠1+∠2=∠ABC+ 的长为 ∠ADC=∠ADB-∠BDP=40°，故选D. ∠CAB=90故填90° 2H 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 折叠后，弧AB恰好经过圆心0，若D■6.则⊙0 2414图周角 16.10会)卤知相14.在△ABC中，AC AB. 跟踪训练 的半径为 B为直径的⊙0分别交AC,BC于点D,E 俺刀提高 匣出训练 同出达标 检测题（亢） (1)求证：CE=BE: 2411图 1.如图1,0C,0B分别为⊙0的半径.点4在 (2)若∠C■70，求∠B0D的度数 5,国4.D.吧定客南是出等基中由用 原训练 圆上，连接AB.AC.若∠A=35,则∠0C的度数 种烧瓶类琥病器皿，主要用来盛被体物圻，可可以 【检测范围：24.1】 为 8如图7 ⊙0的半径为2 1.若A,B是半径为4的⊙0上的两个点，则 轻度受热.如图4-②，它的面图可以近似看作 A.135 B.709 C,55 D.35 (满分：120分1 点A是半圆上的一个三等分点 弦AB的长不可能是 是由©O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成 精心选一选（每小题4分，共32分》 A.2 B.6 C.8 D.10 的图形，其中BC∥NM.若⊙0的半径为25mm 点B是N的中点，P是直径MN A=36mm.C=14mm,=30mm,i可 2 4 6 7 2.下列说法正确的是 上的个动点，则PA+PB的最 A,直径是圆中最长的 长烧瓶的高度， 值为 B面是品4周 1,如图1，在⊙0中，若AB=CD,∠A0B A.1 C半圆是圆中最长的属 2.如图2，四边形ABCD内接干⊙0，AB为 35,则∠C0D的度数为 C.25 D.万-1 D.弦是直径 ⊙0的直径，连接AC若∠ADC=115,则∠B4C A.35 B.45可 二、纽心填一填（每小题4分，共24分】 3如图1，点A.0,D,点C,D,E以及点B,0,C 的度数为 C.55 D.65 9,已知⊙0的半径为5,4B是⊙0的弦，则4B 分别在一桌直线上，圆中的集数为 A.5 .230 C25 D,30 的长度：的取值范围是 3.如图3，⊙0的半径为6，直角三角板30°角 10.如图8所示.A.B是牛径为3的⊙0上的两 的顶点A落在⊙0上，两边与⊙0分别交B,C 点，若∠A0B=120°，C是AB的中点，则四边彩 两点，弦BC的长为 0BC的周长为 17.(0分)如图15.在⊙0的内接四边形 ABCD中，AB■AC,点D是孤AC的中点 2,如图2.0A是⊙0的半径，AB是⊙0的 国1 2413弧、弦圆心角 (1)当∠DAC=35°时，求∠CB的度数： 0C⊥AB于点C.若0A=5,AB=8.则OC的长为 (2)连接0D交AC于点E,当AD=5,AB=8 4如图2，点A,B,C均在⊙0上，接AB 时.求OD的长 AC.DB,0C,AC与0B相交于点E.若∠A=50 A.2 B.3 ∠C=10,则∠B的度数为 图3 C.4 D.5 1.如图1，AB是⊙0的直径=CD=C 44 5.如图3。点0是同心圆的圆心，大圆半径 则∠BOC的度数为 4.如图4，AB是⊙0的孩，CD是⊙0的直径 3.如图3.BD是⊙0的直径，4C是⊙0的弦 11.如图9，点A,B在⊙0上，∠A0B=140 0A,0B分别交小圆于点C,D,求证：AB∥CD A.45 ∠BAG■35°，则∠DBC的度数为 B.50 C.55 .60 CD⊥AB于点E,有以下结论：①0B=BC: 若C为⊙0上任意一点（不与点A,B重合），则 2∠CBD=90:③∠C0B=2∠0BD:④∠B0D A.35 B.70 ACB的大小为 .55 D.45 ■2∠C:3∠G0B■∠C,其中正确的是 12.如图10是小帮妈妈做的一个祸盖果的 面图，垂直放置的锅与架子左右两竖杆的交 5.如图5,4B是⊙0的直 三为A,B.AB矩32，号首为0m, 径，AC是⊙0的弦，AB=2. 盖及低点C到AB的距离是 ∠BC=30,若点D在⊙0 2.知图2，AB是⊙0的一条弦，直径CD 上，且∠BD=60°，则CD长 B,垂足为B,下列结论不一定成立的是( 4.下说法正确的是 A.相等的用心、角计的豇相 24.12垂直于弦的直径 A.AE BE B.AD =BD 传刀提高 B平分弦的直径垂直丁弦 D.0E■CE 图0 6.如图6，△ABC为等腰直角三角形，∠AC C,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 原团训练 3,如图3.点A.B分别为半 0°，C■32，点D在AB的延长找上，且AB 线都是它的对称轴 13.如图，AB是⊙0的直径，D在弦BC的 0上的三等分点，如果⊙0 长线上，CD=BC,A的延长线交⊙0干点E,若 D.长度相等的两条弧是等豇 18,(10分)如图16，有一座圆弧形拱桥，它的 1.如图1，在⊙0中，A BD,DE⊥AD于点D,过B,C,D三点的⊙O交DE ∠DAB=130P.0∠E的数为 的平径为8世m,那么弦AB的长 于点F,连接CF 5.如图4.四边形ABCD内接于⊙0.AB是⊙0 度AB为30,拱高PW为9m,当洪水泛到腾 =8,半径0C⊥AB于点D,0D 14.如图12.四边形ABCD 平只有15曲日对，好采取紧台指，若某次共水 CH. =3,则⊙0的半径为( (1)求⊙0的半径： 的直径.∠ADC=116°，点E在⊙0上，则∠BEC ⊙00年动，AC⊥BD 4,在圆中，若圆心到一条弦的距离与该弦 的度数为 中，拱顶离水面只有2m,即PV■2m时，试求： A. R.5 (2)深究：其他条件不变，将点C在圆上移动 A.28 广点P,OE⊥AB于点E.若0 B.56 (1)桥所在的圆的半径； 的比为1：2，则这条弦所分成的两条弧的度数比 至点,使AG=B,求AG的长度 e1.5,日0C》的长为 (2)通过计算说期是否需要采取紧急措施， D.5 C.46 D.26 41 三、耐心解一解（本大题6 5.如图4，CD是⊙0的直径，AC,AB,BD是 6,把球故在长方体纸盒内，球的一部分幕出 小题，关64分) 2.唐代孝桌发明了“桨轮船”，这种船是原始 ⊙0的弦，AB∥CD 盒外.其旋面如图5所示已知EF=CD=8,那么 形态的轮船，是近代明轮航行模式之先尿如图 (1)求证：AG=BD 球的半径长为 15.(10分)如图13.点A.B,C.D在⊙0上，A 2,某案轮船的轮子被水截得的波AB长为8m B.5 CD求T座：BD=AC (2)如果弦AB的长为8，AB与CD间的距离 A.4 轮子的吃水深度CD为2m,则该奖轮船的轮子直 C.6 D.8 是3，求CD的长 径为 A.5 m B.10m C.3 m D.6 m 了.如图6，在平面直角坐标系x山中，点4在 轴负半姓上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A.B 3.已知⊙0半径为13，AB,CD是⊙0的两 0,C四点，∠AC0=120°，AB=4,买圆C点D的坐 弦，AB∥CD,AB=24.CD=10,则AB与CD之间 标是 的距离为 数理报社试题研究中心 A.(31) B.(-E,1 4,如图3，AD是⊙O的直径，将孤AB沿孩AB (参老答案见下期】 C(-1,5) D.(-2,25) (下转第4版