第13期 17.1 用提公因式法分解因式-第十七章复习与小结-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（人教版2024 广东专版）

初中数学·人教八年级(GDY)第13~16期 数理橘 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY)第13~16期(2025年10月) 第13期2版 21.(1)因为a2+6a+9=(a+3)2,所以多项式a2+6a 17.1用提公因式法分解因式 +9是“双一次可分解式” 基础训练1.B;2.A;3.B;4.-5. (2)因为m(x-y)+n(y-x)=m(x-y)-n(x-y)= 5.(1)6a2b(2ac2-3b);(2)3(x-y)(x+4y): (m-n)(x-y),所以多项式m(x-y)+n(y-x)是“双一次 (3)2y(2m-n). 可分解式”. 6.由题意，得x-y=26, (3)设另一个因式为mx+3. 因为x2-y=x(x-y),所以26x=1040. 所以(mx+3)(x+2)=mx2+2mx+3x+6=mx2+(2m 解得x=40. +3)x+6=mx2+5x+6. 所以y=x-26=14. 所以2m+3=5. 答：父亲和儿子今年分别是40岁、14岁. 解得m=1. 17.2用公式法分解因式 五、22.(1)①(a-c)(a-b); 基础训练1.B;2.D; ②(3+a+3b)(3-a-3b). 3.(2m-1+2n)(2m-1-2n). (2)因为a2+262+c2-2ab+4b-6c+13=0, 4.(1)2ab(b+3a)(b-3a); 所以(a2-2ab+b2)+(62+4b+4)+(c2-6c+9)=(a (2)(x+2;(3)(m-2(m+2). -b)2+(b+2)2+(c-3)2=0. 因为(a-b)2≥0，(b+2)2≥0，(c-3)2≥0， 5.(1)①. 所以a-b=0,b+2=0,c-3=0. (2)原式=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y) 解得a=b=-2,c=3. =(4x+4y)(2x-2y) 所以a+b+c=-2-2+3=-1. =8(x+y)(x-y). (3)△ABC是等边三角形.理由如下： 第13期3,4版 因为2a2=c(2a-c)+b(2a-b), 所以2a2=2ac-c2+2ab-b2. 题号12345678910 整理，得2a2-2ac+c2-2ab+b2=(a2-2ac+c2)+(a2 答案DDBCDCABDC 2ab+62)=(a-c)2+(a-b)2=0. 二、11.2x2(2y+3)(2y-3)；12.y+4; 所以a-c=0,a-b=0. 13.x2+2x;14.154;15.20. 所以a=c,a=b. 三、16.(1)(x-y)(a+b)(a-b): 所以a=b=c. (2)(x+2)2(x-2)2 所以△ABC是等边三角形 17.(1)39.6;(2)6760. 23.(1)①(3x-2)(x-3); 18.a4+4=a+4a2+4-4a2=(a2+2)2-(2a)2=(a ②(b+2)(b-2)(62+3). +2+2a)(a2+2-2a). (2)(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+9 四、19.(1)平方差公式和提公因式，提公因式 =(x2+x-2)(2+x-12)+9 (2)x2-6xy+9y2-3x+9y=(x-3y)2-3(x-3y）=(x =(x2+x)2-14(x2+x)+33 -3y)(x-3y-3) =(x2+x-3)(x2+x-11). 20.(1)提公因式法 当x2+x=4时，原式=-7. (2)n,(1+x)+l (3)p的所有可能的值为-7，-2,2,7. (3)原式=（1+x)4[1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1 第14期2版 +x)3] 18.1分式及其基本性质 =(1+x)4(1+x)4 18.1.1从分数到分式 =(1+x)8. 基础训练1.C;2.B;3.x≠1. 初中数学·人教八年级(GDY)第13~16期 4.(1)m≠0：(2)x为全体实数；(3)2a≠b: 1.(24-2B=t--+2a+-山= (4)x≠3且x≠2. aa b a(a+b) 1500 atab+b 5.(1)修这段路实际用的天数是2：+30，它是分式 a2 ab 1500 (2)当x=135时，原式=2×135+30=5， 2若4=8则岩兰= 答：当x=135时，实际修完这段路用了5天. 等式两边同时乘以2a(a+b),得a2+2ab+b2=4ab. 18.1.2分式的基本性质 化简，得a2-2ab+b2=0,即(a-b)2=0. 基础训练1.C;2.B;3.A. 所以a=b. 4.(1)2%；(2)92 n 'a +2b 18(1)）令x=0,得a-号=2： 5.(1)最简公分母为10a26c. 令x=-2,得-a-b=-6. 0a6- 3a-3a·2a2-6a37c b 所以0-3=2，解得a=3, 1-a-b=-6. lb=3. (2)最简公分母为2x(x+1)(x-1) 2a-2a4- 2(x-1) 2)+名=2将=+2P+ x2-1 1 2(x+1) 2x+2 2-x=2x(x+1)(x-1=2-2x -1-3 x2-1 18.2分式的乘法与除法 所以+9-3·解得P=2, 基础训练1.C;2.C;3.-3. L-p+q=1. lg=-1. 4.(1)7 65(2)-1. 附加题1.(1)因为%+=3,6+=4，+=5，所以 ab bc ca 5.(1)③. 1 1 11 +=3,1+个 ·+ -=4,+ -=5. (2)原式=，m-4.2-m a a m2-4m+42 =(m+2)(m-22.2:m=-m+2 所u2片+方+=3+4+5=12 (m-2)2 2 2 所以片++ -=6. 18.3分式的加法与减法 基础训练1B:2.A:3 20+=日+古+=6 abe 402（2)子 )因为++=6+=3+日=4， 5.原式=x-1.根据分式有意义的条件，得x-1≠0，x- =5所以片=2分=1，=3 c a C 2≠0.所以x≠1，x≠2.当x=3时，原式=2. 第14期3版 所以a=方6=1c=方 2.(1)C是D的“差常分式”.证明如下： 题号12345678 因为C-n=头-名3出=3>0.所以c是 答案BAACDBBA x+1 D的“差常分式”，C关于D的“差常值”为3. 二9x≠1910名或%山-2x+, (2)由题意，得E-F=x+1)x-_x- x+2 x+2 2 13.1;14.16. 2-ax+x-a-2+bx=(b-a+1)x-0=2. x+2 x+2 三、15.(1)最简公分母是a262 所以(b-a+1)x-a=2x+4. 1 b22a 6=不，亦=aF 所以b-a+1=2,-a=4. 解得a=-4,b=-3. (2)最简公分母是x(x+y)(x-y). 所以a+b=-7. 2-了=(x+y)(x-)=2- 第15期2版 x-y x-y 18.4整数指数幂 +xx+-刀 基础训练1.D;2.A. 16.4)-￥：(2)5- 1 302器 2 初中数学·人教八年级(GDY)第13~16期 18.5分式方程 (2)设甲数据中心工作y小时，则乙数据中心工作(8-y) 18.5.1分式方程的定义及解法 小时. 基础训练1.B2.D;3.C;4.0或12. 由题意，得10y+2(8-y)≥56. 5(1)x=1:(2)x=9;(3)无解 解得y≥5. 答：甲数据中心至少需要工作5小时. 能力提高6=3两边同乘(x-1),得x= 第15期3版 3(x-1)+mx。 整理，得(m+2)x=3. 题号12345678 因为原分式方程有解，所以x-1≠0，x= 答案C BDAC BCA m+2 所以x≠1. =9.3:10.32-2y-1=0:1.7 因为原分式方程的解为正整数，所以=3。 12168,13.号；14方案三 所以m+2=1. 三、15.(1)x=11;(2)x=0;(3)无解. 解得m=-1. 16.设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均 18.5.2分式方程的应用 每小时包(x+20)个粽子 基础训练1.B;2.B;3.600. 4.设斗容1.0立方米的装载机每小时装车x立方米，则斗 根据题意，得，9=1四 容0.5立方米的装载机每小时装车(x-180)立方米， 解得x=80. 根据题意，得2×1760=2080 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意， x x-180 所以x+20=100 解得x=440. 答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每 经检验，x=440是原分式方程的解，且符合题意. 小时包80个粽子. 所以x-180=260. 17.(1)A=-4 答：斗容1.0立方米的装载机每小时装车440立方米，斗容 x-1 0.5立方米的装载机每小时装车260立方米 24+8=+0-0华=1 x-1 5.(1)设A款套装的单价是x元，则B款套装的单价是(2x 根据分式有意义的条件，得x≠1，x≠-1，x≠4。 -30)元 根据题意，得 1=2×2x-30 450 2m-4:=1两边同乘(x-1),得2m-4x=x-1, x-1 解得x=60. 解得x=1+2m 5 经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意。 因为A+B=1的解是非负数，所以x≥0，即+2m≥0且 所以2x-30=90. 5 答：A款套装的单价是60元，B款套装的单价是90元 +2m≠1,1+2m≠4 5 (2)设学校可以购买m个B款套装，则购买(100-m)个 A款套装. 1 19 解得m≥-2且m≠2，m≠2 根据题意，得90m+60(100-m)≤8000. 解得m≤6号 所以m的取值范围是m≥-)且m≠2，m≠9 2 18.(1)设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进 因为m是正整数，所以m的最大值为66. 这款书签2x个. 答：学校最多可以购买66个B款套装。 6.(1)设乙数据中心每小时迁移xTB数据，则甲数据中心 根据题意，得00-1600=1. 2x 每小时迁移5xTB数据. 解得x=200. 由题意，得9-=5 经检验，x=200是原分式方程的解，且符合题意 5x 所以2x=400. 解得x=2. 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款 经检验，x=2是原分式方程的解，且符合题意， 书签400个. 所以5x=10. (2)设第一次销售时每个书签的售价为m元. 答：甲数据中心每小时迁移10TB数据，乙数据中心每小 时迁移2TB数据. 根据题意，得200m+40×号m+400×(1-号)m×05 初中数学·人教八年级(GDY) 第13~16期 ≥1880+1000+1600. 听以口=6+2a-a卡g十6= 解得m≥8. a+b a b 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元 （2)因为上-↓=m,所以y-x=m 附加题1.(1)x=6. x y (2)1 1 11 所以x-y=-mxy ）x+7x+6=x+4x+3 所以2-3xy-2y=2(x-y）-3y=-2my-3y= (3)答案不惟一，如，1 1 1 x+xy-y x-y +xy -mxy xy x-n+2-x-n+1=x-n-1 -2m-3)y=-2m-3-7 x-n-2,这个方程的解为x= 1 (-m+1)xy =-m+1=3 解得m=16, 2.(1)①×；②V:③×. 21.(1)③2，④3 (2)因为数对[n2-3,-n2]是关于x的分式方程0+1= (2)⑤5 ©=9-1的解是=4 6的”关联数对“，所以，3+1=-的解为=3- 1 (3)第n个方程为”， x十1=-1，它的解是x=n-1, -3 五、22.(1)当m=3时，该方程的解为x=-4. 所以3，-=-1 (2)方程两边同乘(x+1)(x-2),得2x+2+mx=3x- 以m+1=-3 6. 解得n=±√5. 整理，得(m-1)x=-8. (3)因为数对[m-k,k]是关于x的分式方程a+1=b的 由分式方程无解，得m-1=0或(x+1)(x-2)=0. 1￥ 解得m=1,x=-1或x=2. “关联数对”，所以m二+1=k的解为x= 1 m-ktk=m 当x=-1时，m-1=8,解得m=9; 所以m(m-k)+1=k. 当x=2时，2(m-1)=-8,解得m=-3. 所以k=m2+1 综上所述，m的值是1或9或-3. m+1 23.(1)设95号汽油的单价为x元/升. 第16期综合测评卷 由题意，得200+10=280 x x 题号12345678910 解得x=8. 答案DB BDABDADB 经检验，x=8是原分式方程的解，且符合题意 二11云；12.答案不惟-，如， a+213.m;14.5: 答：95号汽油的单价为8元/升。 15.2或6或8. (21.5' 三.6(1ae:2)+2 (3)金额.理由如下： 甲、乙两人同时去同一家加油站加两次95号汽油，两次的 17.(1)x=3;(2)无解. 汽油价格有变化，第一次x元/升，第二次y元/升，且x≠少.两 18.(1)A=-+2 2y 人的加油方式也不同，其中甲每次总是加汽油a升，乙每次总 (2)因为x2-2x+y2+4y+5=x2-2x+1+y2+4y+ 是加汽油b元. 4=(x-1)2+(y+2)2=0,所以x-1=0,y+2=0. 解得x=1,y=-2. 所以甲两次加油的平均单价为：“=生（元/升）： 2a 所以原式。子 乙两次加油的平均单价为：力+6=2（元/升）。 b x +y 四、19.设该工程队原计划每天完成x米，则在完成600米 的施工任务后每天完成1.5x米. 因为+1-2x=x+)”-4=（x-) 2x+y2(x+y） 根据题意，得3000-600_3000-600=4. 2(x+y)t≠，且 x 1.5x x>0,y>0,所以(x-y)2>0,2(x+y)>0. 解得x=200. 所以x二y)? 2(x+y) >0. 经检验，x=200是原分式方程的解，且符合题意. 答：该工程队原计划每天完成200米 所以十y-2>0,即甲两次加油的平均单价比乙两 2 x+y 20(因为行+号=1，所以2a+b=血 次加油的平均单价高，故建议按相同金额加油更合算。一十 B51-527126 兹理相 初中数学 年10月1日·星期三 纸发行质量反喷电话 第 13期 总第1153期 人教 0351-5271248 八年级(GDY 二+二+5 出一++H+一+州 1上接2版参考答案 =11 1212: 山西师范大学主管山西师大敏育科技传媒集团主办报 社长 徐文 国内统 连续出版物号：CN140707NF) 邮发代号：21-15 1425 入门向导 众所周知，利用提公 15.10-0 三，6.(14m 学习因 式分解“四认清 因式法分解因式的关提 是正确出公因式下面 举例介绍公因式的几种 17.1)原式 类型，供同学们赏 因式分解是朝切中数学中 种重要的恒 +2 3)+2,这种变形只对 一，单项式公国式 式=a 形，的想因个多所行式表衣液若干个客式的 节面市两西北行了解，授后的法果和的开形式 单项式公因式要做 (2)百=-8 和的形式正确理解因式分解的概念是进行因 公因式类 这不是因式分解：+c+=ab(+ 到 三看”： 当年3时 式分解的前提和基础同学们在学习这一知识 看系数：若各项 可式2 时，嬖认清以下几点 ,后面的式子的分母中出现了字母，不是 数都是整数，则应选取名 、认清国式分解与整式乘法的关系 多 式.因面不是国式分螺 丽系数的号大入药数教： 多1g式为：(8a-4m 因式分解是对差化积，整式乘法是积化和 网，认清因式分解的特殊要求 二看字母：选取各 2)+7=16b 差，是两种互逆的恒等变形的过程，因此因式分 部含有的字母： 解的结果是否正确，可以用整式乘法来检 因式分解应分解到不能再分解为止，相同的 名正的数：送 果是：(16'6 8 (a+1)(a-1)=a2-1就是整式的乘法，而㎡2 因式要写成幂的形式，每一个因式要尽量化简 例如： 64a(2-64)这个分解就不底 取各个字母的最低次数 =(+)(a-1)就因式分解 .字公因式 品。27) 因为-4还可以再分解为(+8)(m-8) 若+n =4,则2m2 16 + 因式分解的对象不仅婴是整式，而耳还必 下列从左到右的变形中，属于因式分 需要化部分的面 顽是多项式，如果不是多项式也就设不上因式 解的是 5的为 A.27 C.3 为：(3g+26)(4+6) 分解，刷如：y:=年·y·y·:就不是因式分解 A.(x+2y)2=+4y+4y -18xy3=-6y23ry 解：因为侧+=4.所以2m+4 23 药 这是因为：是单项式，它本身就是整式的积 2(m2+2mn+a2》-5=2(m+n)2-5= Cx(2-y)+2(2-y)=(2 -y(x+2y】 的形式再例知一 =( 一1》也不是因 D.r2-+1=（x+Y】(x-y】+1 故法A + 式分解，这是为a一 解折：选项A中，等式从左到右的变无 不是整式 2字母公因式 整式的来法：选琐B中，等式左边是单琐式，不 例2 把多项式2-3x分解因式是 三，认清因式分解的结果 能因式分解：选项C中，等式左边是多项式， (Hu 因式分解的结果是几个整式的积的形式 式右边是整式的积，属于因式分解：选D A.x(x+3) B.x(x-3) 分分海积，1不量兴有和：相式学幻整式 3. 等式的右边不是积的形式.故迭C 当 C.(x+3)月 D.(年+3)(-3) 时，班化分 名师点睛 解：x2-3-3) 为，10a2+6w-2 故法R ×9+6×3%1 因式分解 大秀场 3组合公因式 例3将多顶式2 8:因式分解为 20.主大 21.(1-4 广东徐瑾婷 (2)6 因式分解是初中数学的重要知识，同时它+b◆9=10 解：原式=2(y 4) + 也是一种重的数学模型，与因式分解有关的 故填10 =2x2y(y+2)(y-2) 型颇多，现取几例，供同学参烤。 四，判断三角形的形状 故填2x2(y+2)(y-2) 22.112x3 一，简便坛算 二、多项式公因式 (2)2+2 例4若三角形的三边长分别为,b,,且 例1计算85 -130×85+65的结果是 满足 ar2-c,这个三角形一定是 在进行多项式公因式的提取时，要注意荷 号的变化，有时需要将式子进行变形 (3)长形的 边长为3x-14. 解：原式■85 =2×65x85+65m185 A.直角三角形 B.等边三角币 例4分解因式(+)-(a+1)2的结 《)收补经图，形光iT-Lkm+)m-3)0F+1t4.出！ 23.(1) 65)2=202=400. C领角三角无 D等腰三角形 解：原式=[a(m+1)]2-(a+1) (2)(2025-y) 故填400. 解：因为ab-me=-c,所以a(b-c）)= 二解决整问 =a(a+1) -(a+1) (6-r).所以a(6-e)-b(b-c）=0.i以(d =(+1)2(m2-1) (3)Du2+46 例2(-8)+( 一8)能被下列数整的 c(a-)=0所以6-c=0或a-6=0. =(a+1)2(e+1)(a-1) 2 +4o 所以=或a=,所以这个三角形一定是等圈 =(a+1)2(-1). 42=26 A.5 .6 C.7 D.9 三角形 故填(a+1)(a-1) 解：因为(-8)+(-8)7■(-8)×[1+ 故选D --1 (-8)门=65×(-8)°=13×5×(-8)，所 五，证明不等关系 周主讲 以{-8)”+(-8)7能被5整除 例5已知，b,c是△ABC的三边长，求 60 17,1用提公因武法分解贵 故A E:m2+62-2+26>0. 72用公式法分解因式 三，求整式的值 证明：m2+-242b■(a+b) 学习目标：1理解国式分解的意义 例3已知+■1，整式4°+26 (a+b+c)(a+b-e).因为,,c是△ABC的 2掌强提公式法和公式法这两种国式 +9的值为 边长.所以a>0.b>0,c>0,m+6>巴所 解的基木方法 解：因为a+b=1,所以m°-6+26+9= +6+e>0.a+6-e>0.T以a+b+e)(a 认知重点：能棕合选用两种方法进行固式 (a+b)(a-b)+2b+9=a 6+2+9=0 +b-e)>0,即a2+b2-2+2ab>D 兹画兰，是丹刘塔<斜<品益(GDY)旅仁泥华刹 2 素养专练 数理极 7.2用公式法分解因式 第11期2版参考答案 跟踪训练 16,2整式的乘法2】 座出训练 1622整式的除法 1.若多项式-+36能用完全平方公式进 基础调练B:2D:32:4子 17.1用提公因式法分架因式 行因式分解，则网的值是 5.(2-3x+6). 優迎阑练 A.±6 B.±12 C.6 D.-12 6(1)2m:(2)0:(3)33-2y2:+1 6 2.已知4-1可以被10到20之间的某两 7.(1)A=(y+1)(xy-2)-2xy2+2= 1,下列各式从左到右的变彩中，是因式分解 整数胚除，这网个数是 二 的是 ( A.2,14 B13.5 (2)根意，得B=A-(-x)-y A.《e+b)2=a2+2ab+b C.14.16 D.15,17 y+x2=-m以A÷B=(-x22-）÷ B.2ma +4ma +2m2m(a+1) 3.分解式：4m2-4m-42+1= +1-ala+) 4.丙式. 16.3乘法公式 (1)2ab-18a6: 163.1平方差公式 D.2+6鲜+35=(g+3)2+27 甚础训练1.D:2.B:3.3:436:54 2.多顶式12ab2-8ab如的公因式是《 6,（14a=49:219:(318◆4y=7. 19.1-2-5188.040.1xM.21) A.4ub 4n2很 7.{1)式=2x-3x当x=-2y=3时.原 C.2ab D.2abe 式=-13 3.如图，边长为4，毒的长 (2)原式4x2+6y当■1y2时，原式 方形的周长为10，面积为6，则 a6+b2的值为 2)(x+1(x+2)+ 16.32完全平方公式 A.60 B.30 基础训练【.B:2,A:3.24 C.24 D.15 4.(1)92-30p+25:(2)-40y (3)16+24e+13c2-8Mr 4.已知a-6=5,b-c=-6,则代数式2 5.(1)甲，乙两个花坛的面积之和为(2m2+ ac-(a-c)的值为。 6b◆影2)平方米 5.分解因式： (2)改造后的乙花坛的面积为(2a2476+ (112a'62-18a2w: (3)m-2m2-4m+8. 36)平方米 能力提高6.2或-2. 第11期3版参考答案 题号12345678 多B CADAABC (215x(x-y》-12(y-x): 5.对于图日“分解因式：(3+)-(x 3y),”,嘉淇始出具体解法后，又通过代入特殊值 三9y-24:100:1.-3w 检验时，发现左右两边的值不相等，下面是他的明 齐和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务 213.0或31452 真速的鲜生： 三，15.(1)-2x:(2)r2y-2+2: (32-y2+12y-36. -。 N<M … (3)(2m-n)(+y)+(x-y)(w-2m) =《年+y+年+3)3红+1-+ 16(1)因为(x)”==x3,以b=3 =（4红+412s+) 因为(x)2+=2=,以2a-b=1 =81:+y)年+21 (24a2+62=(2a-b)2+4ab=1+4×3 春的性量： 3 8年✉0,1时，{5+护-+3y2护-3。-8 17.(1)他门的推测不正确.理由移 S+ s{x+1g◆2y5=%x1x2=16, (2)当x=-1y=2时，B=-20 商为=容6，阶以分部国式每溪 18.(1)a-b. 6.父亲今年￥岁，儿子今年y罗，父亲比儿子 大26岁，并且2-对=1040，请求出父亲和儿于 (2)(a+b)2-(a-6)2=4ad 任务： (3-y=4 今年各多少岁： (1)嘉试的解答是从第 步开始出蜡 (4》主舞台和观众区的面积和为116平方米. 的（填序号》： 附加题1(1)a=2.6=-4 《2)请尝试写出正确的因式分解过程 (2)(a+1)(m2+1)(a+ 1】+1}+1=2 -3).4 2.(1)①(5-2m)(4-2m) 斯 24m-9=±3 (2)图中阴影部分的面积为 6 ) 第12期综合测评卷参考答案 号234367890 微理报社试题研究中 S2 B C H C B DABAA +日 (参老答案见下期 (下转1,4服中缝 过兴·<<慕(GDY)如约