第14期 25.2.3 列举所有机会均等的结果 第二十五章整章复习-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

本蚕责任编辑：智带文 20 相纸编板质量反馈电话 025152712068 10 相纸发行质量反德电话 兹理格 年10月2日星期四 初中数学 第 14期 总第1158期 华东师大 0351-5271248 中考 接2版参考答案 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报 社辑出 社长 徐文 国内统 连续出 版物号：CN140707NF】 邮发代号：21-207 (2)VA.D.E.R国街出华锈泉阳金·川湖联金渡岳B.CXI度 ()AA.D.E.P国街共中锈款一磊·川诺纤装身点。C物油合司 8(10944:18 思维天地 概率与坐标系水乳 (210.95. (3)4750+0 概率做裁判 转 例 有三张完全 0001 游戏玩得 看看 题型交间 样的卡片，正面分别标有 答，估计该 写 。山西 承淮 数字-1.12.将其背面朝 500m个 在一些游戏中，常常需要通过判断游戏获 分析：（）列表到出所有羊可能果即可 上洗匀.从中抽出一张记 19.1)随模 2)转动转盘.转 的可能性来揭露游戏的公平性，那么这时就 (2》由表格写知和为隔级的有4种情况，和 为P点的核坐标x,放回后 的数字为属的餐 需要概率这个“越判来主持公道这种问题在 为奇数的有4种情况，中可判断 匀，再从中抽出一张记 是 各类考试中经常出现.现城取 一例解析如下，供 解：(1)列表如下： 为P点的纵坐标y,则点 率的 司学们参老 4 Px,)在第一象限的 张 (3)由题意易知 例某班甲，乙两名同学被推荐到学校艺 4.0 以物成三的毛第三条 术节上表演节目，计用销芦沙合奏一首乐曲， 12)(22)(3,2)42 解析：图如图1 线型长度用为大干4 要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤 小于0，其有56,7,8 由表格可知，(：，b)所有可能出现的结果总 竹》与彩云之南》中确定 首 用种可性 致有8种 L 游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装 因为现的可能料 (2》游戏公平，理由如下： 共白6， 有分别标有数字1,2.3,4的四个小球（龄标号 由表格知，+为奇数的情况有4种，为网 由树状图知，共有9种 外，其余都相同)，甲从口中任意摸出1个小 这三条线段能构 球，小球上的数字记为4.在另 个不透明的口 致的情况也有4种， 概率相，都是= ,所 等可能的结果，其中点 P(x)在第一象限的有 袋中装有分别标有数字1,2的两张卡片（除标 以游戏公平 4种结果，所以点P(x,y)在第一象限的概率为 李外，其余都相阿)，乙从口袋里任意摸出 20(10.3 1张卡片，卡片上的数字记为6然后计算这两 本周主讲 个数的和，即+,若a+为奇数，则演《月 (2)设每支铅笔 二，概率与一元二次方程如影相侧 光下的凤竹)，否则演奏（影云之南D 25.13列弹所有机会均等的结界 例2果从1,2,3.4中陆机选取一个数 元 (4-x)元， (1)用列表法或树状图法中的一种方法 第二十五章整章复习 记为，再从这四个数中随机选取一个数，记为 求(？，)所有可能出现的结果总数： m,关于y的一元二次方程y +4y+m=0 03x+500×034 (2)你认为这个游戏公平不？知果公平，请 主要内容：本期需重点掌报用列苹 受有实数根的率为 x)=8000 说明理由：如果不公平，理 一萄乐曲更可能被选 能率，并对本章知识进行系能的学习 解析：画树状图如图2 解得x= 则4-=4 个 所以度场每支 笔1元，则每指饮家 巧用列举法求 由时状图知，共有16种等可能的结果，其 中满足4=16-4mw<0,即mA>4的结果有 江苏 章晓庆 (2,3).(24),(3.2).(3.3),(34),(4.2) (3)设转盘上 、画树状图法 果牧多时，常用列表法.列表法可以不重不漏 "区线的圆角 当 次试险涉及两步成者多步且出现的等 地，有条理地列出所有可能的结果 (4,3).(4,4)这8种，所以关于y的一元二次月 倒2 应调整为n度 可能性结果不太多时常用画树状图法，画树状 一个不透明的袋子中装有2个红建 程 +4 +0没有实数根的低率为 一苗版习为汇通荐” 图法可以直观地、不重不漏地列出所有可能的 3个黄球，每个球除颜色外都相晓君同学 则5000×3× mN帮全seg正mT.mT.5o4.mr4.m3T话aon 结果 中王意模出个（不）后，烧 列1耳数字D,1,23组成个数字与 从袋中任意摸出1个球两人摸到红球的概率 立数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 、凝率与数脉脉相通 6D 倒3 从-3,0,13四个数中任两个数 解月a=36 解析：画树状图如下 作为一次数y=标+b的系数k.6,则一次函 所以转盘上” (，)《，)《黄红（黄.红 数的图象经过 二、四象限的概事为 视整为36变 解析：可料状图如图3， 第13期4版参考答南 个 重点集训营 由树状图知，共有9种布可能的结果，其中 (红，黄)《，黄) 1.:2.3. 数的结果有5种 个 个，个 45 所以是偶数的：率为。 出表知，共有20种等可能的结果，其中 由树状图知，共有12种等可可修的结果，其 1全文完】 都摸到红球的有2种结果 故。 一次函数的图象经过 二.四象限(k<0,b 所以两人都模到红球的率为分 >0)的结果有2种，所以一次函数的图象经过 二、列表法 当一次试验涉及两步且出现的等可能性站 故填号 二四象限的率为品=故填后 2 素养专练 数理极 滋学·是县兹此出兴浮火行领如丝超约 第3期2版参考答案 2丛.1在重复试险中观不确定现象第一课时 跟踪训练 重点集训营 基得练1.A:2C;3.C:4必然： 5.1:6.3. 25.2.3列举所有机会均等的结米 能力找高 7.(1)盒中装有红球2个，黄球8个（ 1,如图.A,B两个带指针的转盘分别被分成 使出训炼 :个面积相等的扇形，转盘A上的数学分别是 (2)盘中装有红球个，前球2个（答一》： 6。-1,5,转然B上数名分别品6。-7,4（两个 (3》念中装有红球8个，前球2个（答案不推一}： 1.小华抛一枚质地均匀的硬币两次，分别是 盘除表面数学不同外，共他完全相同).小聪利 4中为有1个，f线9个 正，反面各一次朝上的率是 小明同时转动A.B两个转盘，使之旋转（规定：指 251在重复试验中不确定现象第二课时》 A B c D. 恰好停在分暴线上，测重新一次) 基瑞润等L.:2折找抗的相文建新减小，05 2.围棋起源于中国，棋子分白两色， (1)转动转盘，转盘A指针指向正数的版率是 3()3点上“的率是=D5点刺上“的频 透明的盘子中装有2个色棋子和1个白色棋子 《2)若时转动两个转盘，转盘4指针所指的 每个棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一个棋 事是9=：子 敏字记为4，转盘B指针所指的数字记为.若4 子，记下颜色后放，再从中随机出一个棋子。 (2)小的说法不正确理由：品然在本次试险中“5 b>0.则小聪获胜：若+6<0，则小明获请用 则两次揽到相同颜色的棋子的概率是 朝上”的率最大，但不能觉明“5点朝上”这事件发 列表法或树状法说明这个游戏是否公平 的可能生最大 D.是 小虹的议法不正璃理由：因为事件发牛具袖机性。 e 3,如图1，随机闭合开关K,K,K,中的两个 并不最6点朝上”发生的频率总为。，放投烟0次，6 能让两盏灯泡L,L,同可时发光的率为 当上”的次数不 25,21氟率及其意义 蓄圈调练。工63,4宁：点 64 4.如图2，两个相同的可可以自由转动的转盘 工)中中心0环的可能性为一六 HCB0=9+5- 和B,转盘A被三等分，分别标南数字20，-1：转 盘B被四等分，分标有数字3.2，-2，-3.如果 )时彩上0环减0环胸可能维为器子 转特转肽A,B,转肚答上寸两个不指外指后封 3山中10环的阿能姓为1-十=名 盘A.B上的对应数字分别为xy(稻什指在两个 252别率与率 扇形的交线时，需重新转动转盘)，那么点（工，） 基瑞谓练上B:2B；3.400 落在平面直角坐标系y纳正半轴上的概率是 能力提痛4口)分 凭刀提高 2.有甲，乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小 (2)》和人了5个红 球，分别标有数字1.2,4.乙袋装有两个小球，分别 第3期3版参考答案 - 5.将四个分别标有数字1,2,5,8的小球放在 标有数字2,3，这些小球除数字不同外其余都相 题号2345678 -个不透明的子中，每个小球号外都相同 答米DB A BDC D C 每次摸出小球后记下数字放回袋子中， (1)从甲袋任意摸出一个小球，求”恰好摸到 (1)从授子中随机的模出一个小球，求小球 数字灯1的载”民界事： 上的数字是备数的概事： (2)见制定游戏规则如下：游戏者先选定 1.614 is (2)小、明和小红做游戏，从袋子中陆机地摸 个袋子摸出一个小球，再从另一个发子摸出 出2个小球，瘦出的2个小球上数字之和记为5他 球，若第一个袋子模出小球的数字小于第 三，15(1)不可统事件 们规定若s是阀数，则小明获胜：若8是奇数，则小 袋子摸出小球的数学，则该游戏者可获得一份奖 (2)机件 红胜这个游观对双方是否公平？若不公平，谁 品为了使获奖的可能性更大，游戏者应先迷定 3》机事件中 茯胜的可能性大？说明理由 W个夜子镜球？说明你的理由， 16.(1)100 湘 (2》因为发行溪卷5000张，其中设等奖2个 斋 奖8个，三等奖40个，四等奖200个，五等数1000个，以 9'd 50D 17.(1)x=1000-412-3s=20m(条】 《2)推学以B家快程店打外卖，理由如下： (宋2二 以样本看，4家快餐店获得良好用餐体墅的比例为 家快餐店得良好用餐体的壮例为× n 00 W华=81备 廣一 (家快餐店武将度好用餐体经的比例为婚、 009-78经 因为B家快餐店我得良好用每体比例最高， 数理报杜试题研究中心 数理报牡试题研究中心 由北，B家使程店我得专用酸体的的可能作后 案 (参考答案见下期】 (参考答案见下期 (下转1,4版中缝)中考数学华东师大第1418期 °数理柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学华东师大第14.18期 第14期2版 由树状图得，共有6种等可能结果，其中“第一个袋子摸出 25.2.3列举所有机会均等的结果 小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字”的共有3种结 基础训练1.C:2.C3了：4石 果，所以P(获奖)=2=人 6=2 能力提高5()分 ②若先选定从乙袋摸球，画树状图如图2： (2)这个游戏不公平，小红获胜的可能性大，理由：画树状 图略，由树状图知S共有12种等可能的结果，其中是偶数的结果 24124 有4种，是奇数的结果有8种， 图2 所以小明获鞋的概米为合：号小红获胜的概率为号 共有6种等可能结果，其中“第一个袋子摸出小球的数字 2 , 小于第二个袋子摸出小球的数字”的共有2种结果，所以P(获 1 3 因为3<了，所以这个游戏不公平，小红获胜的可能性 类)=21 6=3 大 因为分>子，所以游戏者应先选定从甲袋摸球 重点集训营 1.)5 第14期3,4版综合评估卷 -、题号123456789101112 (2)列表得： 答案CBCCBBDACBAD a -6 -1 5 6 二137：14右154；163m 6 (-6,6) (-1,6) (5,6) -7 (-6,-7) (-1,-7) (5,-7) 三、17.(1)由记录得兴近似为，所以P(落在⊙0内) 4 (-6,4) (-1,4) (5,4) m 由表格得，共有9种等可能的结果，其中α+b>0的有 m+n≈3 4种，分别为(-1,6)，(-1,4)，(5,6)，(5,4)： ⊙0的面积 叉因为P(落在O0内）=⊙0的面积+阴影的面积，所以 a+b<0的有4种，分别为(-6，-7)，(-6,4)，(-1， -7),(5,-7), 所以P(小聪茂鞋)=专，P(小明获胜)=专 S图形ABC 3” 所以S封瓶图形Ac≈3Tm2. 因为P(小聪获胜)=P(小明获胜)，所以这个游戏公平 (2)将从左到右的三条竖线分别记作a,b,c,将从上到下 2.(1)从甲袋任意摸出一个小球，标有数字的所有可能结 的三条横线分别记作m,n,l,列表如下： 果为1,2,4，共3种等可能的结果，恰好摸到数字为1的小球的 竖线 ab be ac 结果只有1种，所以P(拾好接到数字为1的小球)=了 横线 mn abmn bemn acmn (2)游戏者应先从甲袋摸球理由如下： nl abnl benl aenl ①若先选定从甲袋摸球，画树状图如图1： ml abml beml acml 由表可知共有9种等可能结果，其中所选矩形含点A的有 bcmn,bcml,acmn,acml这4种结果，所以所选矩形含点A的概 图1 为号 中考数学华东师大第14~18期 18(1)子 兰胜；四边形的周长为5的倍数，小英胜（答案不惟一） 28.(1)由题知，该顾客可以抽2次，由抽奖规则可知，两次 (2)列表略.由表格知，共有12种等可能的结果，其中选中 抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元，从1个红球，2个 B.陕北民歌和D.皮影制作传承人的情况有2种，所以P= 2 2 白球中有放回的抽2次，列表略 由表格知，共有9种等可能出现的结果，其中一红一白的 有4种，所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金15元 19.(1)0.5 的概率为号 (2)原来纸箱中红色乒乓球有100×20%=20（个），向纸 (2)有3种情况： 箱中再放进红色乒乓球x个，任取一个球是红色球的概率是 ①只选择方案A抽奖2次，由(1)可得，获得15元的概率 0.5,则0020=0,5，解得=60.经检验，x=60是原方程的 为号，获得30元的概率为)，获得0元的概率为号，所以只选 解，所以x的值为60 20.(1)画树状图略.由树状图知，所有可能的结果数为4， 择方案A抽奖2次获得奖金的平均值为：15×号+30×) 圆球维到G的结果数为2，所以P(维到G)=子=宁 10(元)； ②只选择方案B抽奖2次，所有可能出现的结果列表略。 (2)画树状图略.由树状图知，圆球下落过程中共有8种等 可能的结果，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号 由表格知，共有9种等可能的结果，获得20元的概率为号，获 相内的概率为子 得10元的概率为号，获得0元的概率为)，所以只选择方案B 21.(1)根据从A,D,E,F四个点中任意取一点，一共有 抽奖2次获得奖金的平均值为：20×号+10×号=13.3（元）： 4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，故 ③选择方案A抽奖1次，方案B抽奖1次，获得奖金的平均 P(所画三角形是等腰三角形)=车 值为：15×了+10×号~17（元），因此选择方案B抽奖 (2)画树状图略.由树状图知，共有12种等可能的结果，因 2次更为合算 为当选取的两个顶点为点A,E或点D,F时，所画的四边形是平 第15期1,2版综合评估卷 行四边形，所以所画的四边形是平行四边形的概率P=立=了 41 -、题号123456789101112 四2子；23.7；24；2510，丙 答案BDBDACCADDAA 二、13.160000；14.70；15.-4；16.25. 五、26.(1)画树状图略.由树状图知，共有25种等可能的 1 结果，其中红色和蓝色的结果有4种，所以摸到的两个球的颜 三、17.(1)x1=2,=2 色能配成紫色的概率=去 (2)1. 18.(1)图略. (2)画树状图略.由树状图知，共有20种等可能的结果，其 中红色和蓝色的结果有4种，以摸到的两个球的颜色能配成 23号》. 紫色的概率=20=了 4 (3)图略. 19.电视塔的高度WP为90m. 27.(1)取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与已知线 20.(1)本周他销售这种水果可获利288元. 段组成等腰三角形的有4cm,4cm,5cm,所以取出的卡片上标注 (2)不能获得500元的利润，理由：依题意，得(x-10)· 的数据对应的线段能够与已知线段组成等腰三角形的概率为子 (-2x+80)=500,整理，得x2-50x+650=0,因为4= (-50)2-4×1×650=-100<0,所以该方程无实数根，所以 (2)不公平.列表略.由表格知，共有42种等可能的情况， 不能获得500元的利润. 其中四边形的周长为奇数的情况有18种，所以小兰胜的概率 =授=号，小英胜的概率=228-于，面号<号，所以 21.(1) 42 (2)树状图略.由树状图可得共有12种等可能的结果，其 游戏不公平 中满足条件的有10种，所以P(小源抽到婺源、明月山两个景点 公平的游戏规则：随机取出两张卡片，若卡片上标注的数 据对应的线段与已知线段组成的四边形的周长为3的倍数，小 中至少-个)=吕音 一2 中考数学华东师大第14~18期 四、22.7；23.2024；24.√7；25.2404. 因为∠B=∠ADE=30°，BD=√5CE,四边形ADCE为轴 五26.(1)因为a2=(√4+万)2=4+万，62= 对称图形， 所以∠ADE=∠CDE=30°，此时△ADE,△CDE关于DE (√4-万)2=4-万，所以a2+b2=4+万+4-万=8. 对称，即△ADE≌△CDE, (2)由(1)知a2+2=8, 因为∠B=∠ADE=30°，所以∠B=∠CDE=30°，所以 因为ab=√4+万×√4-万=√42-（万）2= AB∥DE,所以∠BAD=∠ADE=30°，所以∠DAC=90°- 16-7=3,所以(a+b)2=a2+2ab+b2=8+6=14.所 ∠BAD=60°，BD=AD 以a+b=±√14，因为a>0,b>0,所以a+b=14. 因为AD=CD,所以△ADC是等边三角形，所以AD=BD 27.(1)因为∠ABD=∠C,∠A=∠A,所以△ABD =CD,所以BD=AC=1. △4GB,所号-铝所以A=AD:AC因为D:4.D: 第15期3,4版综合评估卷 -、题号123456789101112 2,所以AC=6,所以AB=26. 答案ACCDDBBDCBAD (2)BC=2FG. 二、13.0.8；14.30°；15.1：2；16.2或0. 证明：连结BF,因为EF∥BC,所以∠AFE=∠C 三、17.(1)2-25. 因为∠C=LABD,所以∠AFE=∠ABD 又因为∠BAF=∠DAB,所以△4FE△4Bn所若- a号 铝所以呢-号所以△AB~△AD,所以LAD=LAFB 18.0D=25,tan∠ED0= 19.(1)进馆人次的月平均增长率为50%， =90°，所以∠BFD=∠BED=90°，所以∠FBC=∠C=45°， (2)由题意可得，第四个月的人数为288(1+50%)=432 所以FB=FC. <500.所以校图书馆能接待第四个月的进馆人次 因为FG⊥BC,所以BC=2FG. 28.(1)因为∠BAC=∠DAE=90°，所以∠BAD+∠DAC 20()总人数为：5=40（人），所以m=40-6-8- =∠DAC+∠CAE,所以∠BAD=∠CAE. 6-4=16(人)， 又因为BA=CA,DA=EA,所以△ABD≌△ACE,所以BD 1%三8×1009%=20%，所以n=20, =CE,∠ABD=∠ACE. 又因为∠BAC=90°，BA=CA,所以∠ABC=∠ACB= 故填16：20. 45°，所以∠ACB=∠ACE=45°，所以∠BCE=∠ACB+ （2100×0=150人)小 ∠ACE=90°，即直线BD与EC相交所成的夹角为90度。 故填150. 故填BD=CE:90. (3)画树状图如图3所示： (2)结论：①BD=5CE;②90°.理由如下： 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，所以∠ACB=60°，所以 tn/ACB-侣-万， B C DA C DA B DA BC 图3 在Rt△ADE中，∠ADE=30°，所以∠AED=60°，所以 m∠D一是：5，所以是-所u始-能 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中恰好选到一男 AD AE 女的结果有6种，所以恰好选到一男一女的概率=2= 6 因为∠BAC=∠DAE=90°，所以∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC,所以∠BAD=∠CAE,所以△BAD△CAE, 2 所以器=铝=5，所以0=5CE 21.证明：(1)在平行四边形ABCD中，AD∥BC,所以 因为△BAD∽△CAE,所以∠ABD=∠ACE=30°，所以 ∠ADB=∠CBD. ∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°. 因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD,所以∠ADB AB =∠ABD (3)因为∠BAC=90°，∠ABC=30°，所以AC= tan∠ACB 因为AG=BF:B0,所以品-器 AB =1,BC sinZACB =2. 又因为∠ABD=∠FBA,所以△ABF△DBA,所以 —3 中考数学华东师大第14~18期 ∠FAB=∠ADB,所以∠FAB=∠ABD,所以AF=BF,即点F 连结CM,设AC交BM于点O.由旋转的性质可知，∠BCB1 在边AB的垂直平分线上. LACA,CB=CB,CA=CA,所以=，所以△BCB (2)由(1)可知∠CBD=∠FAB,又因为∠FEB ∠BE,所以△FEB△BB,所以能-张 ∽△ACA,,所以∠CBO=∠OAM 因为∠B0C=∠A0M,所以△A0M~△B0C,所以 因为品-铝所以品-能 OB 因为∠ADB=∠AB,所以4B=AD,所以品=装即 0所u-82 BD 因为∠AOB=∠MOC,所以△AOB△MOC,所以∠OAB AD·AE=BE·BD =∠OMC. 四，223；23.-3或29241205；25.7 因为∠OAB+∠OCB=90°，所以∠AM0+∠OMC=90°， 3 所以∠AMC=90°，所以CM⊥A4 五、26.（1)x1=0,x2=-2,x3=1. 因为CA=CA1,所以AM=MA1. (2)√2x+3=x,方程的两边平方，得2x+3=x2,即x2 (3)2. 2x-3=0,所以(x-3)(x+1)=0,所以x-3=0或x+1= 第16期2版 0,解得x1=3,x2=-1, 26.1二次函数 当x=-1时，√2×(-1)+3=1≠-1，所以x=-1不 基础训练1.D；2.B;3.A;4.<;5.四. 是原方程的解。 6.(1)正方体的体积y与棱长x之间的关系是y=x,不是 所以方程√2x+3=x的解是x=3. 二次函数； (3)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠D=90°，AB (2)该商品8月的售价y与x之间的关系是y=30(1- CD 3 m. x)2,是二次函数； 设AP=xm,则PD=(8-x)m, (3)汽车匀速行驶的时间t与速度u之间的关系是t:=s 因为BP+CP=10m,BP=√AP2+AB,CP= 不是二次函数； √CD+PD,所以√9+x+√(8-x)2+9=10,所以 (4)等腰三角形的顶角度数y°与底角度数x°之间的关系 (8-x)2+9=10-√9+x, 是y=180°-2x,不是二次函数. 两边平方，得(8-x)2+9=100-209+x+9+,整 能力提高7.(1)根据题意，得m+3≠0且m2+m-4 理，得5√2+9=4x+9, =2,解得m=2, 两边平方并整理，得x2-8x+16=0,即(x-4)2=0,所 即当m=2时，y是x的二次函数. 以x=4.经检验，x=4是方程的解. (2)①当m+3=0且m+2≠0时，即m=-3时，y是x 答：AP的长为4m 的一次函数； 27.(1)AD的长度约为14千米. ②当m2+m-4=0且m+2≠0时，y是x的一次函数， (2)由题意可得：BC=10,CD=14,所以路线①的路程为 解得m=L±⑦ 2 AD+DC+BC=38千米.过点D作DF⊥AB于点F,因为DF =BC=10,∠DAF=∠DAN=45°，∠DFA=90°，所以△DAF ③当m2+m-4=1且m+3+m+2≠0时，y是x的一 为等腰直角三角形，所以AF=DF=10,所以AB=AF+BF= 次函数，解得m=1±2工 2 AF DC 24. 由题意可得∠EBS=60°，所以∠E=60°，所以AE= 综上，当m为-3或1专万或山专厅时，y是x的 2 2 0=8厅，BE=0=16,5,所以路线②的路程为4证 AB 一次函数 26.2.1二次函数y=ar2的图象与性质 +BE≈42千米，所以路线①的路程<路线②的路程，故小明 基础训练1.A;2.B;3.D;4.k<2;5.2; 应该选择路线①. 28.(1)因为CB=CB1,∠BCB1=100°，所以∠CBB1= ∠CB1B=40°.因为∠CB1A1=90°，所以∠A1B1M=180°- 65>:129 8.(1)把B(2,2)代入到直线y=-x+b中，解得b=4; 40°-90°=50° (2)结论：AM=AM.理由如下： 把8(2,2)代入到抛物线y=a2中，解得a=之 中考数学华东师大第14~18期 所以a的值是)，6的值是4 子+bx+e, (2)因为b=4,所以点A(0,4),所以0A=4. =解得4 y=-x+4, 08一r 联立 ly=2ly=8, 因为抛物线与y轴交于点C,所以C(0,4), 设直线BC的表达式为y=kx+4, 所以点C的坐标为(-4,8)， 将B(4,0)代入y=kx+4,有4k+4=0,解得k=-1,所 所以5e=分40(-)=方×4×6=12 以直线BC的表达式为y=-x+4, 能力提高9(1)把点A(-4,8)代入y=- 2x+6,得 综上，抛物线的表达式为y=-方+x+4,直线BC的表 达式为y=-x+4 7×(-4)+b=8, (2)根据题意.设0N=0M=1,MH=-+1+4, 所以b=6； 因为ON∥MH,所以当OW=MH时，四边形OMHW为矩 把点A(-4,8)代入y=ax2,得(-4)2×a=8,所以a= 1 2 形，即=+1+4， (2)如图4，分别过点A,D作AM⊥y轴 解得t=22或t=-22(舍去)， 于点M,DW⊥y轴于点N. 所以MH=-+:+4=2万，所以H025,2万. 由(1)知直线AB的表达式为y= 第16期3版 +6, -、题号12345678 令x=0,则y=6,所以C(0,6), 答案BAAA AABC 图4 因为∠AMC=∠DWC=∠ACD=90°， 二、9.3；10.m>-1；11.-1；12.1；13.4; 所以∠ACM+∠DCW=90°，∠DCN+∠CDW=90°， 14(-子-10 所以∠ACM=∠CDN, 三、15.(1)将(-1,0)和(0,4)代人y=x2+bx+c, 因为CA=CD,所以△AMC≌△CND, 0 解得 b=5, 所以CN=AM=4,DN=CM=2, c=4. 所以D(-2,2), 所以该二次函数的表达式为y=x2+5x+4. 当x=-2时，y=方×(-2)2=2，所以点D在抛物线y （2)二次函数了=+5x+4化为顶点式为y=(+ =72上 0 4· 26.2.2二次函数y=ax+bx+c的图象与性质（第一课时） 向下平移2个单位长度后，二次函数的表达式为y=(x+ 基础训练1.A;2.D;3.B;4.D: 5.-9；6.<；7.1. 多-号-2即，=2+5数+2 4 8.(1)因为a=3,b=6,且二次函数y=2(x-m)2-2(m 16.(1)-1,-1. 是常数)的图象经过点P(a,b), (2)联立=--2解得=-1或=2， 所以把点P(3,6)代入表达式，得2(3-m)2-2=6, lr=-2. ly=-1 y=-4, 解得m1=5,m2=1, 所以点B的坐标为(2，-4). 所以m的值为5或1. (3)由图象可得，当ax2<kx-2时，x<-1或x>2. (2)因为二次函数y=2(x-m)2-2的图象的对称轴为 17.(1)抛物线y=(x+4)2的对称轴为直线x=-4, 直线x=m,点P到对称轴的距离为1， 令x=0,则y=(0+4)2=16,所以点B(0,16),所以点 所以a=m+1或m-1, B关于对称轴的对称点B'(-8,16), 当a=m+1时，b=2(m+1-m)2-2=0, 设直线OB'的表达式为y=kx,将(-8,16)代人，得16 当a=m-1时，b=2(m-1-m)2-2=0, =-8k,解得k=-2,所以直线OB'的表达式为y=-2x, 综上，b的值为0， 当x=-4时，y=8,所以C(-4,8) 能力提高9.(1)把A(-2,0),B(4,0)代入抛物线y= (2)存在. -5 中考数学华东师大第14~18期 令y=0,则(x+4)2=0,解得1=2=-4，所以点 20.(1)由题意得C(0,3). A(-4,0). 因为一次函数y=ax+2a+3=a(x+2)+3, 因为AP∥OB,所以当AP=OB=16时，以P,A,O,B为顶 所以一次函数y=ax+2a+3过定点(-2,3)， 点的四边形是平行四边形. 当x=-2时，y=-（-2+1)2+4=3,所以(-2,3)在 当点P在点A的上方时，点P的坐标为(-4,16)， 抛物线上，所以P(-2,3). 当点P在点A的下方时，点P的坐标为(-4，-16)： ①因为点Q为该一次函数图象的“1阶方点”，所以当Q的 综上，当点P的坐标为(-4,16)或(-4，-16)时，以P,A, 纵坐标为-1时，△PCQ面积最大 O,B为顶点的四边形为平行四边形. 所以△PC0面积最大为分PC元-%=方×2×( 1 18.(1)过点C作CD⊥AB于点D,设AD为a, 因为△ABC为等边三角形，CD⊥AB, +3)=4 所以AD=DB=a,∠ACD=30°， ②因为一次函数y=ax+2a+3图象的“1阶方点”有且 只有一个， 所以AC=2a,由勾股定理，得CD=√5a, 所以在以O为中心，边长为2的正方形ABCD中，当直线与 所以点B坐标为(2+a,3a), 正方形区域只有惟一交点时，图象的“1阶方点”有且只有一 因为点B在抛物线上， 个， 所以5a=22+a-23,解得a=号或a=0(舍去， 当一次函数过(-1，-1)时，有-1=-a+2a+3,解得a =-4； 所a告，. 当一次函数过(1,1)时，有1=a+2a+3,解得a=- (2）得0=0B=9D= 2 综上0=号或-4 所以AB=√5， (2)如图5，在以0为中心，边长为2m 所以5ac=B,CD=3语 的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域 4 有公共部分时，二次函数y=-(x-m)2- 19.(1)因为二次函数y=x2-ax的对称轴为直线x=2, 2m+2图象的“m阶方点”一定存在， 图5 所以-号=2，解得a=4, 当m>0时，A(m,m),C(-m,-m),B(m,-m),D(-m, 所以y=x2-4x, m), 因为点A(5,b)在二次函数图象上， 当抛物线经过点B时，-m=-(m-m)2-2m+2,解得 所以b=25-20=5. m=2; 当抛物线经过点D时，m=-（-m-m)2-2m+2,解得m (2)由题意设B(2,m)(m>0),直线OA的表达式为y= kx,因为A(5,5),所以5k=5,解得k=1, :3、④（含去）或m=3t④ 8 8 所以直线OA的表达式为y=x, 设直线OA与抛物线对称轴交于点H,则H(2,2), 综上，m为取值范围为3+④≤m≤2 8 所以BH=1m-21, 第16期4版 因为Sas=15,所以号×1m-21×5=15, 重点集训营 题型-：1.D；2.D. 解得m1=8,m2=-4(舍去)， 所以点B的坐标为(2,8) 题型二：1.B;2m>2 (3)设直线AB的表达式为y=cx+d, 第17期2版 把A(5,5),B(2,8)代人， 26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质（第二课时） 得5c+d=5解得=， 基础训练1.B;2.D;3.36. l2c+d=8,ld=10, 能力提高4.(1)由题意得2x+y=80,所以y=-2x+ 所以直线AB的表达式为y=-x+10, 80. 当PA-PB的值最大时，A,B,P在同一条直线上， 由0<-2x+80≤42，且x>0,所以19≤x<40. 因为P是y轴上的点， 由题意得S=AB·BC=x(-2x+80),所以S=-2x2+ 所以P(0,10) 80x(19≤x<40). 6 中考数学华东师大第14~18期 (2)由题意得S=-2x2+80x=750,所以x=15(舍去) 1 2 或x=25. 答：当x=25时，围成的矩形花圃的面积为750平方米 令2=0，得x1=1,x2=-2, (3)因为S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800, 所以抛物线y2=ax2+ax-2a与x轴的交点坐标为(1,0)， 又因为-2<0，且19≤x<40,所以当x=20时，S取最 （-2,0) 大值为800. 因为无论x为何值，总有y1≤y2,所以a>0,抛物线2= 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方 ax2+ax-2a与直线y1=2x-2没有交点或只有一个交点， 米，此时x的值为20. 令y1=2,可得ax2+(a-2)x-2a+2=0, 26.2.3求二次函数的表达式 则4=b2-4ac=(3a-2)2≤0，所以3a-2=0,解得a 基础训练1.B;2.D;3.B;4.答案不惟一，如y= 2 3· (x-1)2. 能力提高5.(1)二次函数表达式为y=x2-4x+3,对 第17期3版 称轴为直线x=2. 一、 题号12345678 (2)因为m>2,所以当m≤x≤m+1时，y随着x的增 答案ADD BCDCD 大而增大，所以y最大=（m+1)2-4(m+1)+3,y小=m2- 二、9.y=3x2；10.m>9；11.2.5;12.24；13.42; 4m+3.因为函数的最大值与最小值的差为5，所以(m+1)2- 14-6 4(m+1)+3-m2+4m-3=5,解得m=4. 26.3实践与探索（第一课时） 三、15.(1)抛物线C2的表达式为y=(x-2)2-2. 基础训练1.B;2.C;3.1. (2)点A不在抛物线C2上.理由略。 能力提高4.(1)根据题意可得0=(x-40)[500+ 16.(1)证明：由题意知，4=(-4a)2-4a×0=16a2, 50(60-x)]=-50x2+5500x-140000, 因为a≠0，所以16a2>0, 所以0与x之间的函数关系式为0=-50x2+5500x- 故该函数的图象与x轴总有两个公共点。 140000 (2)令y=0,因为y=ax2-4ax=(x2-4x)a,而a≠0， x≥40. 所以x2-4x=0, (2)由题意可得 x-40 解得40≤x≤ 40 ×100%≤30%， 解得x=0或4，所以抛物线过定点(0,0)和(4,0)， 若a>0,当0<x<4时，抛物线都在x轴下方，满足y< 52. 4. 因为在函数w=-50x2+5500x-140000中，a=-50< 若a<0,当0<x<4时，抛物线在x=2处取得最大值， 0,所以抛物线开口向下， 最大值小于4，即4a-8a<4, 5500 因为抛物线的对称轴为直线x=2x50=55,所以 解得a>-1,所以-1<a<0. 综上，a的取值范围为-1<a<0或a>0. 当40≤x≤52时，w随x的增大而增大， 17.(1)设抛物线的表达式为y=a(x-0.4)2+3.32(a≠0)， 所以当x=52时，0有最大值，最大值为0=-50×522+ 把x=0,y=3代入上式得3=a(0-0.4)2+3.32,解得 5500×52-140000=10800. 答：当定价为每件52元时，才能使利润最大，最大利润为 a=-2, 所以抛物线的函数表达式为y=-2(x-0.4)2+3.32. 10800元. 26.3实践与探索（第二课时） (2)把y=2.6代人y=-2(x-0.4)2+3.32, 基础训练1.A;2.B;3.-3<x<1;4.9. 解得x1=-0.2(舍去)，2=1， 能力提高5.（1)证明：令y=y2,得2x-2=ax2+ax- 所以OD=1m 2a,整理得ax2+(a-2)x-2a+2=0. 18()能达到，由题意可知y=(20-之)x=20x- 因为△=(a-2)2-4a(-2a+2)=ad2-4a+4+8a2- 8a=9a2-12a+4=(3a-2)2≥0 72+20(0<x≤15) 所以该一元二次方程总有实数根，即直线与抛物线总有公 当)y=150时，-2+20e=150,解得=10，= 共点 30(舍去)， (2)抛物线y2=a:x2+ax-2a的对称轴为直线x=- 2a 故x=10时，劳动教育基地的面积能达到150平方米。 7 中考数学华东师大第14~18期 (2y=-72+20=-2(x-20)2+20. =1. ②存在.理由如下： 因为a=子<0，所以当0<≤15时y随x的增大面 因为△PGQ的面积为1，PG=1,所以QG=2. 增大， 根据题意，得P,Q的坐标分别是(t,子-4t+5),(t+1,2- 2t+2). 所以当x=15时，y取得最大值，最大值是-之×152+20 如图6，当点G在点Q的上方时，则QG=2-4t+5-( ×15=187.5. -2t+2)=3-2t=2, 答：当x是15米时，劳动教育基地面积y最大，最大面积是 此时：=（在0<1<3的范周内）， 187.5平方米 19.(1)150:4560 (2)由题意，得w=(x-40)(-10x+900)=-10a2+ 1300x-36000=-10(x-65)2+6250, 因为-10<0，所以当x=65时，w最大，最大值为6250. OD'A D'A 答：该商品日销售利润的最大值为6250元. 图6 图7 (3)设利润为01元，根据题意可得0=(x-40+ 如图7，当点G在点Q的下方时，则QG=2-2t+2-( m)(-10x+900)=-10x2+(1300-10m)x+900m-36000, -4t+5)=2t-3=2, 对称轴为直线x=会=65-分 此时：=子（在0<1<3的范周内），所以：=分或号 因为销售单价不低于68元，即x≥68，所以68≤x≤90. 第18期综合评估卷 因为m>0,所以65-受<68，且开口向下，所以随x 一、 题号123456789101112 的增大而减小， 答案B CBCB BBB AA CC 所以当x=68时，w1有最大值为6600，所以(68-40+ 二、13.-2；14.40；15.220；16.(2,0). m)(-680+900)=6600,所以m=2. 三、17.(1)新抛物线不经过P(1,-5),理由如下： 1 20.(1)顶点C的坐标为(a,2). 将y=x2-2x+4平移后得到的新抛物线的表达式为y= x2+4x,当x=1时，y=x2+4x=1+4×1=5≠-5，所以抛 (2)y=2x2-8x+9. 物线不过点P(1,-5). (3)因为顶点C的坐标为(a,2a),所以点P的坐标为(a (2)此二次函数的表达式为y=x-2x-3. 18.(1)由题意，得y=(x+1)(x+3k)=x2+(3k+1)x +3k, 把x=a+1代人y=-x+5,得y=-a+4,所以 因为当x=2时，函数有最小值， r0<a+1<5, 1 1 解得1<a<3. 所-会=3站=2，解得6=子 2 0<2a-2 <-a+4, (2)将二次函数的图象向上平移后，得y=x2+(3k+1)x 第17期4版 +3k+4, 重点集训营 因为此时抛物线与x轴只有一个交点， (1)因为二次函数y=x2-4x+c的图象与y轴的交点坐 所以△=2-4ac=(3k+1)2-4(3k+4)=0, 标为(0,5)， 所以c=5,所以y=x2-4x+5=(x-2)2+1,所以顶点 解得长=-1吸号 M的坐标是(2,1). 19.(1)由题意得A(0,1.2),B(6,0), (2)因为点A在x轴上，点B的坐标为(1,5)，所以点A的 将点A,B的坐标代人y=-0.2x2+bx+c中， 坐标是(1,0) 得1.2， 解得61， ①当t=2时，点D',A'的坐标分别是(2,0)，(3,0). 【-0.2×62+6b+c=0, lc=1.2, 当x=3时，y=(3-2)2+1=2,即点Q的纵坐标是2， 所以b=1,c=1.2. 当x=2时，y=（2-2)2+1=1,即点P的纵坐标是1. (2)因为y=-0.22+x+1.2=-0.2(x-2.5)2+2.45, 因为PG⊥A'B,所以点G的纵坐标是1，所以QG=2-1: 且a=-0.2<0, —8 中考数学华东师大第14~18期 所以当x=2.5时，y有最大值，最大值为2.45，所以大棚 因为BC∥x轴，所以可设C(xo,2), 的最高点到地面的距离为2.45米. 因为点C在抛物线上，所以子-子。=2，解得。 20.(1)设剪掉的正方形的边长为xcm,则(44-2x)2= 576, 号或=2〔含去).所以C(-号，2) 3 解得1=34（舍去），2=10， 所以剪掉的正方形的边长为10cm. (2)设△BCM边BC上的高为k,因为BC=子，所以Sa (2)侧面积有最大值， =宁·子A=子解得太=2.所以点M为抛物线上到BC的 设剪掉的小正方形的边长为tcm,盒子的侧面积为ycm, 则y与t的函数关系为y=4(44-2t)t,即y=-8(t-11)2 距离为2的点， 所以M的纵坐标为0或4， +968. 因为-8<0，自变量t的取值范围为0<t<22, 令y=子-名=0解得=0,6=分所以M0 所以当t=11时，y有最大值，y大=968， 即当剪掉的正方形的边长为11cm时，长方体盒子的侧面 0),,(分0： 积最大为968cm2. 令y子名=4，解得与=1，回 21.(1)设y与x的函数关系式为y=x+b, 将(15,25)，(30,10)代入，得 「25=15k+b,解得 1阿所以(1+可4)M4。 4 L10=30k+b, 「k=-1, 综上，点1的坐标为(0.0)，（分，0），(+，7,4)或 4 1b=40, 所以y与x的函数关系式为y=-x+40. -7,4. 4. (2)设每天的利润为W元， 27.(1)由题意得∠B=90°，t秒后AP=tcm,BQ=2tcm, 则W=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-(x- 因为AB=5cm,则BP=(5-)cm,所以S=2BP.B0 25)2+225 当W=144时，则-(x-25)2+225=144,解得1=16， =5-024=-f+5. 为2=34， 因为AB=5cm,BC=7cm, 由题意得厂x≥15， 所以15≤x≤30，所以x=16. 所以0<t≤3.5. -x+40≥10， (2)不能，理由如下： 答：销售单价为16元时，每天的销售利润为144元. 当S=7时，-2+5t=7,所以子-5t+7=0, (3)由(2)得W=-(x-25)2+225,所以对称轴为直线x 因为4=2-4ac=(-5)2-4×1×7=-3<0, =25, 所以原方程无实数根，所以△BPQ的面积不能为7cm', 因为15≤x≤30，所以当15≤x≤25时，W随x的增大而 (3)因为AP=t,BQ=2t,所以BP=5-t,CQ=7-2t, 增大， 在Rt△APD,Rt△BPQ,Rt△CDQ中，由勾股定理得，PD 所以x=15时，W最小=125： =t+49,PQ2=(5-t)2+42=25-10t+5f,DQ=25+ 当25≤x≤30时，W随x的增大而减小， (7-2t)2=74-28t+4, 所以x=30时，W最小=200>125，所以x=15时，W最小= 当PD=DQ时，则PD2=DQ2,所以2+49=74-28t+ 125 答：这种纪念品每天销售的最低利润是125元. 4,解得4=1,6=空（舍去）： 四24：23：24y=子：25音或号 当PD=PQ时，则PD2=PQ,所以2+49=25-10t+ 五、26.(1)将A(-1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx, 5,解得气=4（含去）6=-（含去）5 2 当DQ=PQ时，则DQ=PQ,所以74-28t+4t2=25- 「a= 3 得 1=a-b, 解得 10+5,解得t1=-9+√130，t2=-9-130(舍去). 2=4a+2b, b=-3 综上所述，经过1或-9+√130秒时，△DPQ是等腰三角 所以抛物线的函数表达式为y= 2 形 2 3 28.(1)因为A(-3,0),B(1,0)两点在抛物线上， 9 中考数学华东师大第14~18期 所以0=（-3》-36+解得 =-2, 18,解得t=3±17，所以P(-1,3-7)或P(-1,3+ 0=-12+b+c, c=3, 7), 所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3. 因为四边形ACPQ是菱形，所以AP与CQ互相垂直平分， (2)令x=0,则y=3,所以C(0,3), 即AP与CQ的中点重合， 因为△ACD为等腰三角形，如图8， 当点D为顶点时，则DA=DC,此时点D与原点O重合，所 当B(-1,3)时，所以=二3，"3 2,2 以D(0,0)； 0+3页，解得m=-4,n=-7,所以0(-4 当点A为顶点时，则AC=AD,所以AO是等腰△ACD的中 线，所以OC=OD,所以D(0,-3)； -17), 当点C为顶点时，则AC=CD=√OA+OC=32,所 当(1,3+万)时所以“抄=3，”2 以点D的纵坐标为3-32或32+3. 综上，点D的坐标为(0,0)，(0，-3)，(0,3-32)或(0， 0+3+匝，解得m=-4,n=7,所以02(-4,7)： 3+32) 当AC为对角线时，如图10，则PC=AP,所以t-6t+10 =2+4,解得t=1,所以P3(-1,1),同理可得Q3(-2,2); D) 0 B P 图8 图9 图10 图11 (3)存在，理由如下： 当CP为对角线时，如图11，则AP=AC,所以2+4=18， 抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为直线x=-1, 解得t=±√14，所以P4(-1,14),P,(-1,-√14)， 设P(-1,t),Q(m,n), 同理可得Q(2,3+√14)，Q(2,3-√4). 因为A(-3,0),C(0,3),则AC2=18,AP2=2+4,PC2= 综上，符合条件的点P,Q的坐标为P(-1,3-√7)， 2-6t+10, 因为以A,C,P,Q为顶点的四边形是菱形，所以分三种情 Q1(-4,-W√7)或P2(-1,3+W/7),Q2(-4,√7)或 况： P(-1,1),Q3(-2,2)或P4(-1,√14)，Q(2,3+√14)或 当AP为对角线时，如图9，则CP=CA,所以2-6t+10=P(-1,-14),Q,(2,3-14). 10