第11期 24.1 测量 24.2 直角三角形的性质 24.3 锐角三角函数-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

中考数学华东师大第1013期 ”数理柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学华东师大第10~13期 第10期综合评估卷 所以AD2=AB·AE. 题号123456789101112 (2)C的值为（提示：证△46E一△DG). 答案DDCBBACDBBAB =13.12.5；142:1:15716.4 四、22.14.4； 235×(2)户，2422， 三、17.(1)5. 2改2或号 (2)不一定相似，理由如下： 五、26.(1)明德楼的高PA为12米. 根据题意，得∠D=∠H=360°-100°-90°-120°= (2)塑像EF的影长FW为4米. 50°，∠A=∠E,∠B=∠F,∠C=∠G,对应角都相等，但是两 个四边形的对应边的比值无法确定， 2()号或号 所以四边形ABCD与四边形EFGH不一定相似. (2)过点E作EF⊥AB于点F,设运动时间为t秒时，CD⊥ 18.(1)图略. DE.AD t cm,BD (4 -t)cm,BE 2t cm.CE (5 (2)3:1. 2)em(0≤1≤3). (3)9+35+32 因为∠B=∠B,∠EFB=∠CAB=90°， 19.证明：(1)略. 所以Rt△BFE∽Rt△BAC, (2)因为梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC, 所以∠ABC=∠BCD 所器=能器即些，号 又因为∠BCE=∠ABD, 所以BF=8 6t 5 cm,EF =5 em, 所以∠DBC=∠DCE, 因为∠BDC=∠CDE,所以△DEC∽△DCB, 所以DF=4-号em, 所以%-品所以c心=E,a 因为CD⊥DE,所以∠CDE=90°， 所以∠ADC+∠EDF=90°， 20.这条河的宽度为30米 因为∠BAC=90°， 21.(1)证明：因为AD⊥BC,DE⊥AC, 所以∠ADC+∠ACD=90°， 所以∠ADB=∠AED=90°. 所以∠ACD=∠EDF, 因为∠DAB=∠DAE 所以Rt△ACD Rt△FDE, 所以△DAE∽△BAD. 所以绘-能 所u品=梁即，33 t 4 中考数学华东师大第10~13期 所以：=后秒 因为∠A+∠ABN+∠BNQ+∠AQN=360°， 所以∠ABN+∠AQN=180°， 28.(1)证明：在正方形ABCD中，因为∠A=∠ADC= 所以∠AQN=∠PBN ∠BCD=90°，AD=DC, 因为∠PQM=∠PBC, 所以∠A=∠DCM=90°， 所以∠PQM=∠AQW, 因为DM⊥PD,所以∠ADP+∠PDC=∠CDM+∠PDC 所以∠AQP=∠NQM, =90°， 因为∠A=∠QWM=90°， 所以∠ADP=∠CDM, 所以△QAP△QNM, 所以△DAP≌△DCM, 所以DP=DM. 所以器-号 (2)过点Q作QN⊥BC于点N, 因为∠A=∠QNC=90°，∠QCW=∠BCA, 因为∠ABC=90°，DQ⊥AB, 所以△QCN∽△BCA, 所以四边形DBWQ是矩形， 所以尖=Cg mnAB mn BA=CB 所以∠DQW=90°，QN=DB, √I+mAB√个+m 因为QM⊥PQ, 所以QN= mn -AB. 1+m2 所以∠DQP+∠PQN=∠MQN+∠PQN=90°， 所以∠DQP=∠MQN, 所以器8：+ n 因为∠QDP=∠QNM=90°， 第11期2版 所以△DQP∽△NQM, 24.1测量 所品兴器。 基础训练1.B:2.(5+52). 3.因为AB⊥BD,EC⊥BC 因为BC=8,AC=10,∠ABC=90°， 所以AB∥CE,所以△ABD∽△ECD, 所以AB=AC-BC=6, 因为AD=2DB,所以DB=2, 所是=品光-器 因为∠ADQ=∠ABC=90°， 所以AB=210米. 所以DQ∥BC,所以△ADQ△ABC, 答：小河的宽度是210米 所以瓷=拾=子所以D0=与， 24.2直角三角形的性质 基础训练1.D;2.C；3.4;4.45 所以品-品=号 5.证明：(1)因为四边形ABCD是菱形， (3)因为AC=mAB,CQ=nAC, 所以AB=AD,AB∥CD,AD∥BC, 所以CQ=mnAB, 所以∠ABD=∠ADB, 所以AQ=AC-CQ=(m-mn)AB. 因为AE⊥BC,AF⊥CD, 因为∠BAC=90°， 所以∠DAG=∠AEB=∠BAH=∠AFD=90°， 所以BC=√AB+AC=√个+mAB, 所以∠AHB=90°-∠ABD=90°-∠ADB=∠AGD, 过点Q作QW⊥BC于点V, 所以AH=AG. 2 中考数学华东师大第10~13期 (2)因为BG=GH, 4； 所以G是直角三角形ABH斜边BH的中点， 所以AG=BG=GH, 由(1)知AH=AG,所以AG=AH=GH, 24.3.2用计算器求锐角三角函数值 所以△AGH是等边三角形， 基础训练1.A;2.C；3.B;4.7;5.10.34. 所以∠AHG=60°，所以∠ABH=30°， 第11期3版 所以∠ABC=60°， 因为AF⊥AB,所以∠BAP=90°， 一、 题号123 45678 所以∠P=30°，所以PF=5CF, 答案ABD A ADBB 连结AC,因为四边形ABCD是菱形， 二90：10多：14：229,3. 所以∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD, 所以△ADC是等边三角形， 14 因为AF⊥CD,所以CF=DF, (5)2+2× 2 所以PF=√5DE 三、15.(1)原式= 2×92-分 24.3.1锐角三角函数（第一课时） 3+2 基醒训练LB:2.C:3.C:4号： 3 =31 2-2 6.因为∠C=90°，AC=3,tan∠CDA= 2, =3+2; 所以2%=号，所以cD=2, (2)原式=6×号+竖×号+停)×日 1 3.1 因为D为BC的中点， =1+2+4×2 所以CB=2CD=4,所以AB=5. 能力提高7.因为AB=AC,AC=15, 16.证明：因为△ABC为等边三角形， 所以AB=15, 所以AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°， 因为BD⊥AC,所以∠ADB=90°， 因为AE=CD,所以△BAE≌△ACD, 闪为co4招=号， 所以∠ABE=∠CAD, 所以40=号×15=12， 因为∠BPQ为△ABP的外角， 所以∠BPQ=∠BAD+∠ABE=∠CAD+∠BAD= 所以CD=AC-AD=15-12=3, ∠BAC=60°， 在Rt△ABD中，根据勾股定理，可得BD=√AB-AD= 因为BQ⊥AD,所以∠PBQ=30°， 152-122=9. 所以BP=2PQ. 24.3.1锐角三角函数（第二课时） 17.(1)由题意知，c=25,b=√10， 基础训练1.C；2.B;3.B；4.75;5.45°； 所以co∠A=点=D=2 6.等腰直角 c25 2 一3 中考数学华东师大第10~13期 所以∠A=45° 所以MD=4+25, (2)因为c=8,c0s∠A= 2, 所以tanl5°=tan∠AMD= AD 2 1 MD=4+2万2+万 =2 -5≈0.3. c 2 20.(1)由题意，得 所以b=45. sin120°=sin(180°-120°）=sin60°= 5 18.(1)过点C作CD⊥AB,垂足为D, 2； 在△ACD中，mA-=告， c0s120°=-c0s(180°-120°）=-c0s60°=- 2 所以设CD=4k,则AD=3k, in150°=sin(180°-150)=sin30°=2 1 由勾股定理，得AC=√AD2+CD=√(3k)2+(4)7 (2)因为三角形的三个内角的比是1：1：4， =5k, 所以三个内角分别为30°，30°，120°， 因为AC=15,所以5k=15, ①当∠A=30°，∠B=120°时，易求得方程的两根分别为 解得k=3, 1 所以AD=9,CD=12, 2,-2 所以5ae=方1B,GD=分×15×12=90， 将x=之代人方程，得4×（宁）2-m×分-1=0， (2)在Rt△BCD中，BD=AB-AD=15-9=6,CD=12, 解得m=0, 所以由勾股定理，得BC=√CD2+BD=65, 经检验x=- 号是方程42-1=0的根， 2 所以cosB==6 CB65=5 所以m=0符合题意； 所以∠B的余弦值为号 5 ②当∠1=120，∠B=30°时，则方程两根为停，号，不 符合题意； 19.(1)过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D, 在Rt△ADC中，AC=4, ③当∠A=30°，∠B=30°时，则方程的两根为号，5， 22 因为∠ACB=150°， 将x=号代入方程，得4×（宁产-m×宁-1=0， 所以∠ACD=30°， 解得m=0, 所以AD=24C=2,CD=ACc0s30°=4×9=25. 2 经检验号不是方程4忙-1=0的根。 在Rt△ABD中，tamB=AD=2=⊥ BD=BD=8 所以不符合题意 所以BD=16, 综上所述，m=0,∠A=30°，∠B=120°. 所以BC=BD-CD=16-23. 第11期4版 (2)在BC边上取一点M,使得CM=AC=4,连结AM, 重点集训营 因为∠ACB=150°， 1.D;2.C;3.60°或30°；4.等腰直角三角形， 所以∠AMC=∠MAC=15°， 5.过点A作AD⊥BC于点D, 因为CD=25, 因为∠A=120°，AB=AC, 4 中考数学华东师大第10~13期 所以∠B=∠C=(180°-∠A)=30P,BC=2BD, (2)过点B作BF⊥CD于点F,过点A作AE⊥CD于点E, 过点A作AH⊥BF于点H,则四边形AEFH为矩形， 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=1, 所以HF=AE=120米，AH=EF, BD 因为cosB= AB 所以BH=240米 所以BD=AB,osB=1×ms0°=月 由题意易得∠BAH=25°， 在Rt△ABH中，tan∠BAH= BH AH E=5, 所以BC=2BD=2× 所以AH≈515米， 所以BC的长是5. 所以EF=AH≈515米， 第12期2版 在Rt△ACE中，易得CE=50米， 24.4解直角三角形（第一课时） 由(1)易得DF=270米， 基础训练1.B;2.B；3.D; 所以CD=195米. 4(150-50:5(号.6 所以河CD的宽度约为195米 第12期3,4版综合评估卷 6.A,B两点之间的距离约为1562米. -、题号123456789101112 能力提高7.(1)BC的长为22+1. 答案BBDBBBCBD BBC (2)因为AE是BC边上的中线， 二13；42-2ms:15号：16308 所以CE=78C=万+分， 三、17.(1)25. 所以DE=CE-GD=万-3， (2)5.6m 18.(1)BD=12. 所以am∠DAE=指：万E-子 (2)mG=2 24.4解直角三角形（第二课时） 19.(1)B处距离小岛C的距离约为22.6海里. 基础训练1.C；2.B;3.105;4.8；5.59. (2)过点C作CN⊥BE于点N, 6.(1)16. 在Rt△BCN中，因为∠CBW=45°+25°=70°，BC= (2)能实施有效救援，理由如下： 当起重臂最长，转动张角最大时，即AC=30米，∠CAE= 16万海里， 所以CW=BC·sin∠CBN≈22.6×0.94≈21.2（海里）， 150°， 因为21.2>20 过点A作AG⊥CF于点G,则∠CAG=60°， 所以能安全通过。 在Rt△ACG中，CG=AC·sim60°=30×5 2 =155≈ 20.(1)证明：由尺规作图可知，AB=AF,AE是∠BAF的 25.5(米)， 角平分线， 所以CF=CG+GF≈25.5+4=29.5（米）. 所以∠EAB=∠EAF, 因为29.5>26， AB AF. 所以能实施有效救援. 在△AEB和△AEF中， ∠BAE=∠FAE, 能力提高7.(1)乙山B处到河边CD的垂直距离为360米 AEAE, 5 中考数学华东师大第10~13期 所以△AEB≌△AEF,所以BE=EF, 五、26.(1)simB= 51 因为AD∥BC, 所以∠BEA=∠FAE, (2)因为CD=5,imB= 5 所以∠AEB=∠EAB, 所以AB=2CD=25,所以AC=2. 所以BE=AB, 因为∠CAH=∠B, 因为EF=BE,AB=AF, 所以AB=BE=EF=AF, 所以sin∠CAH=sinB= 5 所以四边形ABEF是菱形. 设CE=x(x>0),则AE=√5x, 2)2 由勾股定理，得x2+22=（5x)2, 所以CE=x=1(负值舍去)， 21.(1)过点B,C作BH⊥AF,CI⊥AF,垂足分别为H,I, CI交AB于点L,过点B作BK⊥CI于点K,则四边形BHIK是矩 在Rt△ABC中，因为AB=25,AC=2, 形， 所以由勾股定理得BC=4, 所以BH=KI, 所以BE=BC-CE=3. 因为∠CLB=∠ALI,∠CBL=∠LIA, 27.(1)点A到墙面的距离约为4.4cm 所以∠BCK=∠LAL, (2)过点B作BG∥CD,过点D作DG⊥BG,过点A作AF 因为斜坡AB的坡角为37°，即∠BAF=37°， ⊥BG,交CD于点E,过点O作OH⊥BG于点H, 所以∠BCK=37°， 因为花洒的最高点B与身高175cm人的头顶的铅垂距离 所以CK=BC×cos∠BCK≈1.6米，BH=KI=AB× 为15cm, sim∠BAH≈2.4米，1.6+2.4+1.3=5.3（米）， 所以BG=15+175=190(cm), 所以车厢最高点C离地面的距离为5.3米. 因为∠C0A=26°，0A=10cm, (2)该货车不会发生车辆倾覆安全事故，理由如下： 所以OE=AOcos.∠EOA≈9.0cm,∠EA0=90°-∠C0A 过点G作GM⊥AF于点M, =64°， 同(I)得CI=CK+KI=BC×cos∠BCK+AB x sin∠BAH 所以∠OAF=180°-∠EA0=116°， +4×9-3（米. 所以∠BAF=∠OAB-∠OAF=30°， 2x2 2 所以BF=ABsin30°=4cm. 在Rt△CIA中，CI=32米，AC=√BC2+AB2=25米， 因为四边形OEFH为矩形， 所以由勾股定理得AI=AC-CT=2米， 所以FH=OE=9.0cm, 因为四边形ABCD是矩形，所以CG=AG, 所以HG=BG-BF-FH=177cm, 因为c∥以，所u光- 因为四边形OHGD为矩形， 所以OD=HG=177cm. 所以Aw=M=分1-号-071>07， 答：旋转头的固定点0与地面的距离约为177cm 28.(1)过点B作BF⊥CH,垂足为F,延长AD交BF于点 所以该货车不会发生车辆倾覆安全事故 E,则AE⊥BF,垂足为E, 四22(366-72)；23.22；24.1+2：25.5 在Rt△ABE中，因为AB=4.8m,∠BAE=22°，sim∠BAE 6 中考数学华东师大第1013期 =BI 虽然在本次试验中“5点朝上”的频率最大，但不能说明“5 AB' 点朝上”这一事件发生的可能性最大 所以 小红的说法不正确.理由如下： 解得BE≈1.8m, 因为事件发生具有随机性，并不是“6点朝上”发生的频率 因为EF=DH=1.2m, 总为行 所以BF=BE+EF≈3m. 故投掷600次，“6点朝上”的次数不一定是100次. 所以点B到海面HC的距离为3m 25.2.1概率及其意义 (2)过点B作BN⊥OH,垂足为N,延长AD交BN于点M, 则AM⊥BW,垂足为M. 基础训练1B:2.C:3.B:4；564 在Rt△BAM中，AB=4.8m,∠BAM=53°，cos∠BAM= 7.(1)整个圆环的面积为π×402=1600m(cm2),中心 AB,sim∠BAM=BM AM 50环的面积为π×102=100π(cm2), AB' 故击中中心0环的可能性为8=古 所以房兴号袋 (2)中心30环的面积为π×202=400π(cm2), 解得AM≈2.88m,BM≈3.84m, 故击中乳上0环或0环的可能性为=子 因为AD=0.4m,MW=DH=1.2m, (3③)击中10环的可能性为1-号=子 3 所以DM=AM-AD=2.48m,BN=BM+MN=5.04m, 在Rt△B0N中，OB=5.46m,由勾股定理，得ON= 25.2.2频率与概率 OB2 BN2 2.1 m, 基础训练1.B;2.B;3.4000. 所以OH=ON+HN=ON+DM=4.58m. 能力提高4.(1)根据题意画树状图如下： 所以点0到岸边DH的距离为4.58m. 小红 第13期2版 小明 25.1在重复试验中观察不确定现象（第一课时）》 由树状图知，一共有4种等可能的结果，其中颜色不同的 基础训练1.A;2.C；3.C；4.必然；5.②③： 结果有2种， 6.3. 所以颜色不同的概率为年=2 2 1 能力提高7.(1)盒中装有红球2个、黄球8个（答案不惟 一)； (2)由表格可得摸到红球的概率约为子 (2)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不惟一）： 设加人了x个红球，则+=3， (3)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不惟一）； 03+x 4 (4)盒中装有红球1个、黄球9个 解得x=5, 经检验：x=5是原方程的解且符合题意 25.1在重复试验中观察不确定现象（第二课时）》 基础训练1.B:2.折线摆动的幅度逐渐减小，0.5. 答：加人了5个红球 第13期3版 3.(1)3点朝上“的频率是品=。，“5点朝上“的频率 一、 题号12345678 1 答案DBA B D C D C (2)小颖的说法不正确.理由如下： 二9.必然；10.60：11.094；12子；13.16： 7 中考数学华东师大第10~13期 故填0.944；1898. (2)由题意知，从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的 三、15.(1)口袋中只有3个蓝球，则从口袋中一次任取 概率约是0.95. 5个球，不可能全是蓝球， 故填0.95. 所以这个事件是不可能事件， (3)4750÷0.95=5000(个). (2)口袋中有红球，蓝球和白球三种颜色的球，从口袋中 答：估计该厂要生产5000个. 一次任意取出5个球，只有蓝球和白球，没有红球，这一事件可 19.(1)随机. 能发生，也可能不发生， 所以这个事件是随机事件. (2)转动转盘，转出的数字为偶数的概率是2 1 (3)由于口袋中有5个红球、3个蓝球和2个白球，任意一 (3)由题意易知可以构成三角形的第三条线段长度范围 种或两种颜色的球的总数小于或大于6， 为大于4小于10，共有5,6,7,8四种可能性， 所以从口袋中一次任意取出6个球，可能只有红蓝或只有 因为出现的可能性一共有6种， 红白，或三种颜色都有， 故这三条线段能构成三角形的概率是4 =3 因此这个事件是随机事件. 20.(1)根据表格可知：转动该转盘一次，获得铅笔的概率 16.(1)因为发行奖券5000张，其中设一等奖2个， 约为0.7 所以获得一等奖的概*是=20 1 所以转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为0.3. (2)因为发行奖券5000张，其中设一等奖2个、二等奖 故填0.3. 8个、三等奖40个，四等奖200个、五等数1000个， (2)设每支铅笔x元，则每瓶饮料(4-x)元， 所以获奖的概率为2+8+00+10-子 依题意得5000×0.7x+5000×0.3(4-x)=8000, 5000 解得x=1, 17.(1)x=1000-412-388=200(条). 则4-x=4-1=3,所以该商场每支铅笔1元，则每瓶饮 (2)推荐从B家快餐店订外卖，理由如下： 料3元. 从样本看，A家快餐店获得良好用餐体验的比例为 (3)设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度， 412+388×100%=80%, 1000 则500×3×30+5000×1×(1-30)=600， B家快餐店获得良好用餐体验的比例为20+390 ×100% 1000 解得n=36, =81%, 所以转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36度. C家快餐店获得良好用餐体验的比例为405+375×1O0% 第13期4版 1000 重点集训营 =78%, 因为B家快餐店获得良好用餐体验的比例最高， 1B:2B:3.B:47:5日 由此可知，B家快餐店获得良好用餐体验的可能性最大， 18.(1)a=472÷500=0.944,b=2000×0.949=1898. —8素养·拓展 鼓理极 本蚕责任编辑：智带文 相纸编桥质量反馈电话 酒抽 0351527128 纸发行质量反德电话 点集训营 数理招 2025年9月11日·星期四 初中数学 第11期总第1155期 华东师大 特殊角的三角函数值这☒祥： 0351-5271248 中考 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社端辑出版 社长：徐文信 国内统一连续出版物号：CN140707八F)邮发代号：21-207 。湘南幸向 1.在直角三角形中，30°角对的直角边是 “、求三角函数值 例1n45°的值等于 则inC=mB=,故∠C=45 边的 -半.若sin(a+20) =，期的度数 21311 名婚课堂： 例1 如图1，在四远 (39+35+32 形ABCD中，AD∥BC c. D.2 ∠B=30°，以∠A=180-45*-30=105 A.2 B.I A.40 B.300 C.20 D.109 , ∠ABC=90°，∠D=120 古忠B. 确定三角函数值有妙招 解析：am45°1，故速B 三，计算 2.已知在RI△ABC中.∠C=90P.MnA= AD=CD=4,0是对角线】 ABC=∠BD 二，求角章 尽.则上B的度数是 Q重庆顿臻云 AC的中点，连结B0并延 例2在B1△ABC中.∠C=90°，若：%A 例4计算：3”-（亏），in30°+唇eow45 三角图数的求值回可题是本章的基问题 三，停角代换 长交边CD于点E,则BE的长为 A.30 B.459 C.0 D.75 △DB,F 世是括式中的常后明出，其卷型多8，平法灵 到3加图1，在 ,则∠A的大小是 解：原式1-4×分+2万×号。1 3.已知a为锐角，着am2a-4ama+月 活.有一定的技巧性下面介绍常用的四种方 B△BC中，∠ACB=90 重点精讲 =0,则a的度数为 A.30°B.40C.60°D.75 四、求边长 4在△ABC中.(2csA-2)+1-B= ,这条河的宽度 法，供大家参发 4C=8.BG=6.CD⊥AB 直角三角形斜边中线 一、回归定义 垂足为D,则an∠BCD的值 解析：因为A=，∠A是1△ABC的内 例5如图，在△A( 0,则△ABC的形状是 30 中，∠ABC=0,∠A= 5.如图，在等楼△4BC中，∠A=120°，AB 例1在△ABC中，∠C=90°，AC=6, 有妙用●“ 角，所以∠A=60°，故送C 30°，D是边AB上一点 AC,若AB■1，求BC的长 BC=2,可A的值为 例3在△ABC中，LC,∠B为锐角，且满 为∠B ∠BDC=45*,AD=4.求 解析：因为在R△4BC中，∠C=90°，AC= △D4E△A4. =90°，所以∠A=∠BGCD, 。四川章爱华 是1nC-号1+（停-o)2=0.则LA的 C的长（果保号）》， 6,BC=2, 解析：如图1，过点C作CF⊥AD交AD的 解.丙为∠AC=0.∠BDC三45月所 以AB=AC+BC 。2⑩，所 延长线于点F过点0作0G⊥BC于点G,以 度数为 ）△BCD为等腰直角三角形.所以BD=BC.在 ∠AFC=00P A100 B.105C.90°D.60 数理报杜试题研究中心 2)的值为 (参考答梁见下胡 因为∠ADC=120,AD=CD.所以∠D.1C 解折：因为1血C-号+（停 -(提示：证△E 60sB)3= 一巧设参致 =∠DCA=30,2FDC=60°，所以∠DCF= =气，解得BC=25+1.所以BC的长为 本周主讲 铺助线周周练 25 例2在△ABC中，∠C=90.如果mA 0,所以mc-号0吾-mB0 241测量 （):242 立那么esA。 30°，以DF=DC=2,所以C=25,所以 2(E+1). 242直角三角形的性出 252号 243锐角三角函数 AC=2CF=45. 第9期2版恭考答案 0为位假中心，所以等所以△0c ,6(1)明德楼 解析：由nA=各，可设4G=12k,BC= 主要内容：太期同平们需委掌握直角三 因为点0是边AC的中点，所以)=C0 23.5位假形 1.如图1，在Bt△ABC中，∠ACB=90,BC △OEF,F以∠0E L0-120 10,=2D.D为AB的中点，年D. 5k,所以AB=√(12)+(5张)2=136 形的性质，锐角三角西数的定叉，熟记特路 =AC=25,所以L0BC=L0CB,又因为 19.(1)2客.点4，的坐乐为0,3 ABCD沿CD新折得到ABGD,BD交AC于点 角的三角：竖值，茶会用计算界求提角三的 力提离6(1)图略，(2)图路 】》AA8.C.F积m5 n.(1)0成 AD∥BC,所以∠0C=∠OCB=30,所以 23,6,1用生标确定位置 {3点P的坐标为(3,0)减5,0) m.(1)c-1,0,3,0m.5a=4 (2)元 ∠BCE=60,所以∠BEC=90“,所以∠BEC 基练.D:2D:3C: 思维大他 2越《1）用折 锐角三 =∠0GC=90°，所以△0C≌△0EC,所以 4.(北东0,海里：5(5,50)6.(3 2)因为△D的积是△CD面的子， 1201 2)器的值为 角函数爱上“网 OG OE 7相重可品，(25),在点(3.2， △WD的积=三×4=5，当点M在x轴正半上时 在△0GB中，∠0BG=30°，所以0= 丹8,6)，193)，乐日7,1) 西 祝曼蟀 0B=5.所以0E=5,所以BE=0B+0E 23,6,2图形的变搞与坐标 基调练1A；2D:3(4,-3)4.1:3: DM=5.且点D3.0,所以点(8.0)成点斯-2 0)(會去)：当点M在y轴正半轴上时，设点(0》，点 2如图2，sinL0=号，长度为2的线段DE 、利用网格求正弦值 解析：过点C作AB的线交AB于点D,因 35,故填35 例1如图1，在边长 6.(1)图路、(2)图略 在找段0A十时，因为S=5 -5gm -5w 为每个小正方形的边长为1，所以AC=5,BC 在射线0B上滑动，点C在射线0A上，且C 例2如图2，在菱形 =5,阴23×n-x4x2- 为1的小正方形侧格中 5,△CDE有两个为角的角平分线用多于白 /个B,过 =10.AB=5,设AD=.则BD=5 (3)点A的坐标为3,6)，△4C与△4，B,C的周 BCD中，∠BEF=a,E,F分 点A,B,C,D在这些 长t是1：2 过点F作FG⊥DE,垂足为G.则FG的最大值 ⊥ R△ACD中，由股定理，得DC2=AC =5,所以=4(去)，当点M在线段04的证长上 正方形的顶点上，AB,CD 别是边AB和BC的中点，EP1 能力提离7，(14-5.6)，244，-1)成5，-51. 年日ABCD中.中4名理.5D=B 相交于点0，则sin∠B0D B㎡.折以0-(5-x)=5-,解得x=2 CD于点P,则LPFC (3)点P的星标(-3，)或(-3，子》 可4福用p4口阳D甲湖来利 V+ 由伴由OY「VH刀J23 第9期3版参考苦案 n=4,所以(04 解折：如图I,过点C作CE∥AB.连结DE, 解析：如图2，延长PF交EB的延长线干点 这上述，当点04》成(8,0)付，AD的面积 题2345678 为 则LDCE■∠0D,由图易得∠I■∠2■∠3 三，利用网格求正切值 H因为四边形ABCD是菱形，E,F分别是边AB 琴常C DCAB C D 是△CD子 关yn”Z=3=X门岁70V7 =∠4=45，所以∠CD=∠2+∠3=0 例3 由4个形状相 7行0初+D 因为小正方衫的边长为1.所以在R△CD .大相等的等形组 和BC的中点，所以AB=BC,BE=AB,BF= 二9.2车3号：0(240：1.(5,4：12 第9期4参考答案 重点集酒 中，DE■22.CD■，以in∠DCE■ DE 如图3所示的网格，菱形 CD 或5；B(72；4子 的面点你的格连，连A,B BC,所以BE=BF 1(2m,2:2(7,1 H3W3学兵N土D3T'士0T挥 =2,所以imLB0D=sinLDCE= 25 故G都在格点上，∠0 三，15含. 因为∠BEF=a,所以∠BEF=∠BFE 3(1)路(2)(-4，-6) 制1学华秉坐群】一了乙 60.则am∠ABC= 16(1)图路 (2)图 (3)△AB,G,的正配为8， 浦米地谢梦意理褂斗阴43能米如瑶 25 解析：连结AD,因为网格是有 个角为 60 =a°，因为AH∥DC,所以∠FBH=∠FCP,因 17.(1)锋立早正州角标路.张乐为：成A-3 第10期悠合评估卷参考答装 /1w 的菱形，所以△A0D.△BCD,△ACD都是等边 为∠BFI∠CFP,所以△BHF≌△CPF,所 -1》,点B-20),点E13).点F241 (2)0.3×(8◆7刀×2=9（平方 极，器 二、利用网格求余值 角形 以HF=P,所以F是PH的中点， 例2如图2，在4×4 答：地远9平方术. 所以AD=BD=BC=AC,所以四边形 因为EP⊥CD.所以EP⊥AB,在RI△HEP 0格正方开中，证个小、正 1811FE24C=4 二，l32.5:4,211:157:164 3甲！学士0DT因W3学可H写 DBC为菱形，且∠DBC=60,东以∠ABD= 三，7.(1)5.2)不一定相似，理由略 (全文完) 中，EF是中线，PH是斜边，所以PH=2EF,所 -22°-38=20.因为A,4C与△DEF位，点 (下转1,4版中缝) 加T学单【裤】号1【】 方形的边长为1，顶点为格 点，若△ABC的顶点均是 ,故以EF=FH=FP,所以∠H=a",∠CFP= 格点，则∠BAC的值是 ∠BFH=180-∠H-∠HEF-∠EFB=180 -3a.枚填180°-3a 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 交BD于点G,H ,贝csA等T 17.(10分)在B1△ABC中，∠C=90,m.6,c (1)求证：AG=AH 跟踪训练 (2)延长AF,BC相交于点P,当BG A. C.3 同出达标 分别是∠A,∠B,∠G的对边 检测题（八） (10已知e=25,5=0,求∠A: 求证：PF=DF 3在平面直角坐标系中，点A(n0 24.1测量 60)关于x轴对称的点的坐标是 (2)已知e=8,o∠A=号，求以 厚母圳练 4(3-) R(分 【检测范围：241-243] (满分：20分] 二、细心填一填（每小题4分，共24分】 1.如图1，一同学在边看到棵树，他目薄 C n.(-- 9.已知g为悦角，且5um(90° -a)=1,则a 出已与树的距离为20m,树的顶在水中的倒 精心选一选（每小题4分，共32分） 的度教为 4已知△AC中，∠A,LB都是锐角，且{ewA 组自5m,度三0诗高为1.7m,贝财 2 4 22+1amB-11=0.则∠G= 6 8 I0.在△ABC中，如果AB=AC=7,BC=1D 24.3.1锐角三角函数（第一课时） 度 那么cB的值是 A.3.4m B.5.1m 原份训练 5.关于士的元二次方程2-2x+【n=0 11在R△ABC.∠C=90边A上 C.6.8m D.8.5m 1.2sin45°的值为 .在△ABC中，∠C=90°，AB=25,inB 有两个相等的实数根，锐角：■ c 线是3m,imA=子，期Sw= _cm ，则4C的长为 6在△ABC中，am本=1，m=B=号，则 B.1 12.如图6，在R1△ABC中，∠CB4=90°，以点 18(10分)如图10，在△ABC中，AB=AC= 2已知在R:△ABC中，∠C=90,∠A=a」 为圆心，适当长为半径画，分别交AB,AC于点 A9 B 15 C.18 D.12 AABC是 三角形 AC=3,那么AB的长等于 15,aa4=子求： 2在RL△4BC中，∠C=0°，若AC=4,AB 7.计算： D.,再分别以点D,E为圆心，大干E为半径画 =5,则A等 (1)2sin30°-tn45+eow230°： C.3tana D.tan 出2 弧，两交于点F,作射钱AF交边BC于点G,若BG 2如图2，一棵大树被风吹断，已知析断处距 c D. 3,如图1，在平而直角坐标系中，点A坐标为 (2)∠B的余弦植， =1,BC=4,刚asC的值为 地5米.树的折断部分与地面成45的角，这棵 4,3),那么taa的值是 1.m1示.AC的 大树有 顶点是方形网格的格点，则 B. c D. 3.如图3，为了估算河的觉度，我们可以在河 对岸达定一点A,再在河的这一边选定点B和点 an∠ABC的值为 C,使得AB .BC 然 选定点E,使EC⊥B 洛 B 7 定C写AE的经反D,若得D180米，DG (2)2,co645a-sn30▣+am60 13.如图7，矩形ABCD的四个顶点分别在直线 60米，EC=0米，音你求出小可的⊙品多 c n ,,44上，若直线马∥马∥马∥，且间距相等。 米 4B=4.C=201nm的为 4.在Rt△ABC中，∠C=0,若inA= 4.图2，在单位长度为1的网格中，△ABC的 13 14.如图8，在菱形纸片 三个顶点均在格点上.则nZACB的值等于 mA的值为 4CD中.AB=2.∠A= 19.(12分)如图11，在△ABC中，∠C=10 5如图2，将矩形ABCD沿C 0，将菱形纸片折.使点 折叠，使得点B落在AD边上的点F A落在CD的中点E处，折阆 AC =4.tanB= 为FG,点F,G分别在边AB (I)求BC的长 24.3.2用计算器求锐角三角面数值 5式予2：+m琴有意义的的取值危困 AD上，则o∠EFG的值为 (2)利用比图形求un15°的值（精确到0.1 24.2直角三角形的性质 三附心解一解{本大题6小划，共6问分) 原理澜练 考t搭：2-1.41.1.73,5-2.24) 6.如图3，在R△BC中，∠C 15.(10分)计算： =90°，D为BC的中点，AG=3 1.用计算器求，n2437的值.以下按键频序 1.如图1，在R△ABC中，CD是参边AB上的 an∠CD=号，求AB的长 王的是 02 中线，若AB=10.则CD= A.924"3m= D.x>-且x 10 B.6 B.6in*”24+”3▣ 6.如图3，在△ABC中，∠ACB=90,D为AB G.SIF可in②4”37-■ 边的中点，DE1AB交C的延长线于点E,交AC 于点F,若DF=3,FE=4,则AB的长度为 D.a回37= 2已知siA=0.8917,运用科学计算器求 A,10 B.45 (2)5un30+2 s45°+stn260°es60 2 角A时，若要显示以“度“，“分”，“秒”为单位的结 果.按下的健是 C6 D22T 7.如图4，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于 A.sin B.SHIFT 20,(12分》对于钝角α，定义它的三角数值 2如图2，在R△4BC中，∠A=30 点D,若AC=15,o=A=手求BD,CD的长 如下： 90°，BD平分∠ABC,若CD=2,则AB的长为 C.B网 D.ah/e ina■in(l80P-a).wa-ea(80 -a} 3.用本上个绍的科学计算器依次按迷：可 (1)求m120°.0s120°，im150°的值： A.4 B.8 C.45 D.23 mD=,显示的结果在哪两个相邻恭数之问 16.(10分》如图9，已知在等边三角形AB (2)若一个三角形的三个内角的比是：1：4 3.如图3，在B1△ABC中，∠ACB=0,D是 中，D.E分别是边BC.AC上的点，且AE=DC,连 A.B文个三角形的两个1页5，.i口A,0,B径方性 AB的中点，连结CD,过点D作DE1CD交BC于 A.2-3 B.3-4 7,图4，是京其用皆有1国的有民在数油上 结AD,BE相交于点P,过点B作B01AD,Q为垂 42一x一=0的两个不相的实数根，求m的 点E,若CE=,DE=,则AB的长为 C4-5 D.5-6 作图的方法，图中线段与直尺垂直，线段b与数 足，求证：BP■2PQ 值及∠A和∠B的大小 4.运用限本上的计算赛进行计算，按静顶 轴垂直，则点D表示的数是 如下：4·5已0m45x+0 B.5 C.2 0. 24.3,1锐角三角函数（第二深时】 9▣，则啡计算器显示的站果是 8.如图5，在正方形ABCD 每配细练 5,在平南直角坐标系中，0是坐标原点，点P 中，E,F分别为边AB与AD上 1 的点，连CE,BF,交点为G 4如图4，在△ABC中， ∠C=90 1.子a60°的值为 之间的夹角a=50°，0P=135,则点P到x CEL BF,法DG,若DGm ∠BAC的平分业，若CD=2,AD=BD,C则△AB Bg c. 的距夷约为 (周科学计算器计算，结某精 CD,则tan∠DGF的值为 D.5 确到0.01) 5,如图5.四边形ABCD是菱形，过点A作AE 2在△ABC中，∠C=90°，∠B=∠A 数理报牡试题研究中心 B c D 数理报牡试题研究中心 .BCAF⊥CD.亚足分别为B,F,AE,A下分 (参考答案见下期) (参考答案见下期}