第17期 4.2 平行线-【数理报】2025-2026学年新教材七年级上册数学学案（华东师大版2024）

初中数学·华东师大七年级第15~18期 发理极 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大七年级第15~18期(2025年10月) 答：修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为 第15期综合测评卷 72cm3 题号123456789101112 22.(1)根据题意，得BD=2cm,PC=1cm 答案CCDDBBCBDCCB 因为PD=2AC, 二、13.5248'；14.梦；15.4；16.30°或130°. 所以AC+PD=3AC=AB-PC-BD=9cm. 三、17.图略. 所以AC=3cm. 18.(1)图略. 所以AP=AC+PC=4cm. (2)因为∠C0D=∠C0E+∠D0E=90°， (2)根据题意，得BD=2PC. 所以∠AOC+∠BOD=90°. 因为PD=2AC, 因为∠COE=∠BOD, 所以BD+PD=2(PC+AC),即PB=2AP. 所以∠AOC=∠DOE. 所以AP=分4B=4m 19()因为EC=4CB, (3)因为AQ-BQ=PQ, 所以CB=4EC 所以AQ=PQ+BQ 所以BE=EC+CB=5EC 因为AQ=AP+PQ, 因为点E是线段AB的中点， 所以AP=BQ.所以PQ=AB=4cm 3 所以AB=2BE=10EC. 所以AC=AB-CB=6EC=10. 第16期2版 所以EC= 3 4.1相交线 所以AB=50 4.1.1对顶角 3 基础训练1.C;2.D;3.B;4.14;5.60. 20.因为OB是∠AOD的平分线，OD是∠BOE的平分线， 6.(1)∠AOE的对顶角是∠BOF;∠DOF的对顶角是 所以∠BOD=∠D0E=LA0B=}∠A0E ∠C0E. (2)因为∠C0E=90°， 因为OC是∠B0D的平分线，∠A0E=60°， 所以∠DOF=∠COE=90°. 所以∠B0C=7∠B0D=石∠A0E=10. 因为∠B0F=20, 21.(1)有多余块，图略 所以∠BOD=∠DOF-∠BOF=70°. (2)12,7. 所以∠A0D=180°-∠B0D=110°. (3)所用正方形的边长是：12÷4=3(cm). 能力提高7.2,6，n(n-1). 所以长方体的高为：17-3×3=8(cm). 4.1.2垂线 所以长方体的体积为：3×3×8=72(cm3). 基础训练1.C;2.C；3.C;4.35;5.26° 初中数学·华东师大七年级第15~18期 6.(1)(2)图略： ∠4与∠5是内错角；∠3与∠4，∠1与∠5是同旁内角. (3)OP; 14.因为∠E0D比∠B0D大20°， (4)图略。 所以∠EOD=∠B0D+20. 7.(1)因为∠AOC=64°，由对顶角相等，得∠B0D= 因为∠A0E=2∠A0C, ∠A0C=64. 由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC. 因为ON平分∠BOD, 所以∠AOE=2∠BOD. 所以LB0N=子∠B0D=32 所以2∠BOD+∠B0D+20°+∠B0D=180°. 所以∠B0D=40°. 因为OM⊥OWN, 15.(1)因为∠A0C=50°， 所以∠M0N=90°. 由对顶角相等，得∠B0D=∠A0C=50. 所以∠MOB=∠MON+∠BOW=122°. 因为OE⊥CD. (2)因为0M⊥0W, 所以∠D0E=90°. 所以∠MOW=∠MOD+∠NOD=90°，∠AOM+∠B0W 所以∠B0E=∠B0D+∠D0E=140°. =180°-∠M0N=90°. 因为OM平分∠BOE, 所以∠MOD+∠NOD=∠AOM+∠BON 因为ON平分∠BOD, 所以∠B0N=7∠B0E=70 所以∠BON=∠NOD. 所以∠DOM=∠B0M-∠BOD=20° 所以∠MOD=∠AOM,即OM平分∠AOD. (2)画图略，OW是∠AOD的平分线.理由如下： 能力提高8.C. 因为∠A0C=50°， 4.1.3同位角、内错角、同旁内角 所以∠A0D=180°-∠A0C=130°. 基础训练1.B;2.C; 因为∠D0M=20°，∠M0W=45°， 3.AC,∠EBD和∠ABD. 所以∠D0N=∠D0M+∠MOW=65°. 4.∠1与∠2是直线CD与AB被直线AC所截形成的内错 1 角；∠3与∠D是直线AC与CD被直线AD所截形成的同旁内角. 所以∠DON=2∠A0D, 能力提高5.(1)如图1所示. 所以OW是∠AOD的平分线. (2)因为∠1=3∠2，∠2=3∠3， 16.(1)因为∠B0C=75°，由对顶角相等，得∠A0D= 所以∠1=9∠3. ∠B0C=75° 因为∠1+∠3=180°， 图1 因为∠AOW:∠NOD=2:3, 所以9∠3+∠3=180°. 所以∠A0N=号LA0D=30e 所以∠3=18°， (2)OB是∠COM的平分线.理由如下： 所以∠1=162°，∠2=54°. 由(1)知，当∠B0C=75°时，∠A0W=30° 所以∠B0N=180°-∠AOW=150° 第16期3版 因为OM平分∠BOW, 题号12345678 所以∠B0M=号∠BON=75 B 所以∠BOC=∠BOM. 二、9.40°；10.3；11.55： 所以OB是∠COM的平分线 12.2m°或(180-2m). 三、13.∠1与∠2，∠4与∠DBC是同位角；∠1与∠3， (3)号∠A0C-∠D0N是定值 2 初中数学·华东师大七年级第15~18期 设∠AON=2x,则∠NOD=3x 所以∠BOG=90°. 因为OM⊥ON, 所以∠AOG=∠AOB-∠B0G=30°. 所以∠MOW=90°. 所以∠EOG=∠AOG+∠AOE=80° 所以∠D0M=∠MON-∠NOD=90°-3x. 综上所述，∠E0G的度数为80°或100° 因为∠AOD=∠AON+∠DON=5x, (3)如图4，设∠FOH=a,则∠D0E 所以∠A0C=180°-∠A0D=180°-5x. =5a. 所以号LA0C-∠D0M=(180°-5x)-(90°-3x)= E 所以∠C0H=180°-∠D0E-∠COD 18° -∠F0H=110°-6a. 4 附加题1.(1)因为∠D0E=50°， 因为∠COH:∠BOH=2:3, 所以∠C0E=180°-∠D0E=130°. 因为OA平分∠COE, 所以∠B0H=子∠c0h=16s°-9a 所以∠B0F=∠B0H-∠F0H=165°-10a. 所以∠A0E=7∠00E=650 所以∠A0E=180°-∠A0B-∠B0F=10a-105° 因为OE⊥OF, 所以∠A0E=2∠D0E-105°. 所以∠E0F=90°. 所以∠B0F=180°-∠AOE-∠EOF=25° 第17期2版 (2)因为∠D0E=, 4.2平行线 所以∠C0E=180°-∠D0E=180°-ax 4.2.1平行线 因为OA平分∠COE, 基础训练1.D;2.C;3.D;4.①②④⑤. 所以LA0E=分∠c0f=(180-w=90-2 5.(1)(2)图略： 因为OE⊥OF, (3)11,2相交的角与∠0相等或互补. 所以∠EOF=90°. 4.2.2平行线的判定 所以∠B0F=B=180°-∠A0E-∠E0F=180°-(90° 基础训练1.C;2.A; -7a）)-90°=2a,即a=2g 1 3.答案不惟一，如∠A=∠CBE; 2.(1)因为0C平分∠B0D,∠C0D=70°， 4.34°或146° 所以∠B0D=2∠COD=140°. 5.EB∥FD.理由如下： 因为∠A0B=120°， 因为AB⊥MN,CD⊥MN, 所以∠A0D=360°-∠A0B-∠B0D=100. 所以∠ABM=∠CDM=90°. (2)①当0G在EF上方时，如图2. 因为∠EBA=∠FDC, 因为OE平分∠AOD,∠AOD=100°， D 所以∠ABM-∠EBA=∠CDM-∠FDC,即∠EBM= 所以∠A0E=分∠A0D=50P ∠FDM. 所以EB∥FD. 因为OG⊥OB. 所以∠B0G=90°. 图2 6.因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, 因为∠AOE+∠AOB+∠B0G+∠EOG=360°，∠AOB= 所以∠DBC=了∠ABc,LECB=分∠ACB 120°， 因为∠ABC=∠ACB.所以∠DBC=∠ECB. 所以∠E0G=360°-∠AOE-∠A0B-∠B0G=100°， 又因为∠DBF=∠F, ②当OG在EF下方时，如图3. 所以∠F=∠ECB. 因为OE平分∠AOD,∠AOD=100°， 所以CE∥DF 1 所以∠A0E=2∠A0D=50° 4.2.3平行线的性质 因为OG⊥OB, 图3 基础训练1.B;2.B;3.56;4.100° 初中数学·华东师大七年级第15~18期 5.图略. 10.∠B=65°；11.90°；12.15°或105° 6.因为AB∥CD, 三、13.图略 所以∠A=∠CDE. 14.因为AB⊥BC, 因为∠A=∠C, 所以∠ABC=90°，即∠3+∠4=90°. 所以∠CDE=∠C. 因为∠1+∠2=90°，∠2=∠3， 所以BC∥AE. 所以∠1=∠4. 所以∠CBE=∠E. 所以BE∥DF. 7.因为∠BED=2∠AED,∠BED=30°， 15.(1)AD∥EF.理由如下： 所以∠ABD=7∠BED=150 因为∠BDA+∠CEG=180°，∠BDA+∠ADE=180°， 所以∠ADE=∠CEG 因为BD∥AE, 所以AD∥EF 所以∠BDE=∠AED=15 (2)∠F=∠H.理由如下： 因为DE平分∠ADB, 因为AD平分∠BAC, 所以∠ADE=∠BDE=15°. 所以∠BAD=∠CAD, 因为ED⊥CD, 因为∠EDH=∠C, 所以∠CDE=90°. 所以HD∥AC. 所以∠ADC=∠ADE+∠CDE=105°. 所以∠H=∠CGH. 因为AD∥BC, 因为AD∥EF, 所以∠ADC+∠C=180°. 所以∠CAD=∠CGH,∠BAD=∠F. 所以∠C=180°-∠ADC=75°. 所以∠H=∠F. 能力提高8.因为BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD, 16.(1)5; 所以∠ABE=分∠ABC,∠2=∠ECD=∠BCD (2)因为∠ECF=25°，∠DCE=90°， 又因为∠1=∠2， 所以∠FCD=∠DCE-∠ECF=65°. 所以∠1=LECD. 因为CF⊥BG, 所以EF∥CD. 所以∠BCF=90°. 又因为AB∥EF, 所以∠BCD=∠FCD+∠BCF=155° 所以AB∥CD. (3)因为∠DCE=∠FCG=90°， 所以∠ABC+∠BCD=180° 所以∠DCE-∠FCD=∠FCG-∠FCD,即∠ECF= ∠DCG. 所以∠ABE+∠2=（∠ABC+∠BCD)=90 又因为DC∥AB, 因为AB∥EF, 所以∠B=∠DCG=∠ECF=25°. 所以∠ABE=∠BEF 当点C在线段BH上时，点F在DA的延长线上， 所以∠BEF+∠1=90°，即∠BEC=90°. 因为AD∥BC, 所以BE⊥CE. 所以∠BAF=∠B=25 第17期3版 当点C在BH的延长线上时，点F在线段AD上 因为AD∥BC, 题号12345678 所以∠BAF+∠B=180. 所以∠BAF=180°-∠B=155°. 二、9.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 综上所述，∠BAF的度数为25°或155°. 4 初中数学·华东师大七年级第15~18期 附加题1.(1)因为EF⊥AC,BG⊥AC, 6.因为∠A0C=82°， 所以EF∥BG. 由对顶角相等，得∠B0D=∠AOC=82. 所以∠EMB=∠ABG. 因为OE平分∠BOD, 因为∠E+∠ABG=180°， 所以∠D0E=之∠B0D=410 所以∠E+∠EMB=180° 所以∠C0E=180°-∠D0E=139° 所以DE∥AB. 因为OF平分∠COE, (2)因为DE∥AB, 所以∠D=∠ABC=∠ABG+∠GBC. 所以∠B0F=分∠C0E=69.5 3 因为∠D=100,∠ABG=∠GBC, 7.(1)因为E0⊥AB, 所以∠A0E=∠B0E=90°. 所以子∠6BC=100 因为∠BOE=∠BOD+∠DOE,∠DOE=2∠BOD 所以∠GBC=40°. 所以3∠B0D=90° 所以∠ABG=60°. 所以∠B0D=30° 因为∠E+∠ABG=180°， 由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=30. 所以∠E=180°-∠ABG=120° 所以∠C0E=∠AOC+∠AOE=120°. 2.(1)因为∠BCA=∠ECD=90°，∠BCD=112°， (2)因为∠A0C=30°. 所以∠DCA=∠BCD-∠BCA=22°， 所以∠C0F+∠B0F=180°-∠A0C=150°. 所以∠ACE=∠ECD-∠DCA=68°. 因为∠COF=4∠BOF, (2)∠BCD+∠ACE=180°.理由如下： 所以5∠B0F=150° 因为∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD,∠ACE= 所以∠B0F=30. ∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD, 所以∠DOF=∠BOD+∠BOF=60° 所以∠BCD+∠ACE=180°. 专题二 平行线 （3)如图5，根据“同旁内角互补，两直线平行”，当∠B+ 1.C:2.B:3.80° ∠BCD=180°时，CD∥AB,此时∠BCD=180°-∠B=120°； 4.图略。 5.因为CD平分∠ACM,∠DCM=60°， 所以∠ACM=2∠DCM=120° 由对顶角相等，得∠0CB=∠ACM=120° 因为AB∥ON, 所以∠0+∠0CB=180° 所以∠0=180°-∠0CB=60°. 图5 图6 6.(1)因为∠1+∠2=180°，∠2=∠4， 如图6，根据“内错角相等，两直线平行”，当∠B=∠BCD 所以∠1+∠4=180°. =60°时，CD∥AB. 所以AB∥EF. 综上所述，当∠BCD=120°或60°时，CD∥AB. 所以∠B=∠EFC. 又因为∠B=∠3， 第18期2版 所以∠3=∠EFC. 专题一相交线 所以DE∥BC. 1.A;2.A;3.B; (2)因为DE∥BC,∠C=76°， 4.∠ACD,∠CDB:5.40°. 所以∠AED=∠C=76°， 5 初中数学·华东师大七年级第15~18期 因为∠AED=2∠3， 所以∠DGF=180°-∠4=45°. 所以∠3=2∠AD=38 所以∠DGF=∠1. 所以AB∥CD. 所以∠CEF=180°-∠AED-∠3=66°. 所以∠CDB=∠2=80°. 第18期3,4版 因为DF是∠CDB的平分线， -题号12345678910m12 所以∠FDB=∠CDB=40P 答案C B A C C D B A C B C A 所以∠FDB=∠DBE. 所以BE∥DF. 二、13.答案不惟一，如∠A=∠ECF; 所以∠E=∠DFE. 14.38°：15.30°；16.135°或45. 三、17.(1)图略，垂线段最短； 22.(1)∠EAB,180°； (2)如图7，过点E作EF∥AB. (2)图略. 因为AB∥CD, 18.因为AB∥CD,∠FED=45°， 所以∠GFB=∠FED=45°. 所以AB∥CD∥EF 因为∠HFB=20°， 所以∠FEC=∠C,∠B+∠BEF=180°. 所以∠GFH=∠GFB-∠HFB=25°. 所以∠BEF=180°-∠B. 19.因为0A⊥0B, 因为∠BEC=∠FEC+∠BEF=8O°， 所以∠AOB=90°. 所以∠C+180°-∠B=80°. 因为∠A0E=35°， 所以∠B-∠C=100°. 所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=55°. 因为∠G0F=70°， 由对顶角相等，得∠EOD=∠GOF=70° 所以∠BOD=∠EOD-∠BOE=15 20.(1)因为EA平分∠BEF,EC平分∠DEF, (3)如图8，过点E作EM∥AB. 所以∠2=1=∠BER,∠3=∠4=分∠DER 因为AB∥CD,所以EM∥CD. 又因为∠BEF+∠DEF=180°， 所以∠MEC=∠DCE. 所以L2+∠3=（∠BP+∠DED)-90,即LABC 因为CG平分∠DCE, 所以∠ECG=∠DCG. =90°. 设∠DCG=a,则∠MEC=2ax. 所以AE⊥CE. 因为FH∥AB, (2)AB∥CD.理由如下： 所以AB∥CD∥FH. 由(1)，得∠2=∠1，∠3=∠4. 所以∠HFC=∠DCG=&,∠ABF=∠BFH. 因为∠1=∠A,∠4=∠C, 因为∠BFC=36°， 所以∠A=∠2，∠3=∠C. 所以∠ABF=∠BFH=∠BFC+∠HFC=36°+ax. 所以AB∥EF,EF∥CD. 因为BF平分∠ABE, 所以AB∥CD. 所以∠ABE=2∠ABF=72°+2a 21.(1)由对顶角相等，得∠DBE+∠3=∠2=80. 因为EM∥AB, 所以∠DBE=80°-∠3=40°. 所以∠ABE+∠BEM=180°. 所以∠FBD=180°-∠1-∠3-∠DBE=55°. 所以∠BEM=180°-∠ABE=180°-(72°+2a)=108° (2)∠E=∠DFE.理由如下： -2a. 因为∠4=135°， 所以∠BEC=∠BEM+∠MEC=108°-2a+2a=108°. 6素养·拓展 数理热 衣5责任第短：丹慧蝴 纸编饼话量质情单话 数理相 2025年10月21日·星期三 初中数学 ,方位角网塑 思维天地> 发行质量反电 例1 如图， 第17期总第161期 华东师大 0351-521248 七年银 甲Z两h之间室 笔直的公路，从甲地薄 世梦用思想巧 解题 上接4版梦考答案】 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版 社长：徐文信 国内统一连续出版物号：CN 140707NF)邮发代号：21-44 阁公路的走向是北偏 。四川菲 判定两条直线平行的基本方法有： 48。甲7周b届 品味方法 背学思相是牧学的灵电，是学年数学的关 所以∠B=∠BDC, ①同位角相等，两直线平行： 工，若干天府，公路准 建所在，本文以平行规的判定问题为例，谈对 所以AB∥CE(内角相子，两直线平行) ∠CDE ②内特角相等，阿直线平行： 接通，则乙地所修公路 数用. (3)方法三：转化为同旁内角断. =40 得司穷内角互补，两直线平行： 判平行有方法 的走是南馆 一、转化思想 提示：此方法与本期1版《判平行 有方 ④如果两条直线都和第三条直线平行， 一文中的例3解法类似，请同学自行完成 年因为E⊥ 法) 这两条直量也互平厅： Q江西吴欣然 90 化为平行线的位置关系，也需通过五补，反 具体解答过程 5司一平面内，垂直于同 条直线的两条直 DC,再站合巴知件可得∠A=∠D,然后 二，用线判定 行角的化 二、整体思想 线元， 根据“内情角相等，两直线平行”即可判定 例4如图4，已知∠DAF 符别1如图1，若∠B= 整休想就是从向可的整性出发，实出 90 -a} 一，用角判定 AB∥CD ∠AFE,∠EFB=LFBC, CDF■145，间AB与 付细酒的黑体结的分析和改益，发现要的量 a,即a=2 例I如图I,AF与BD 解：由对西相等，得∠AGE=∠DCC AD与C平码？为什么！ CE平行码？请说明理由。 特，兽于用“成”的联免，把某花式 相于点C,∠B=∠ACB 因为∠A=∠AGE,∠D=∠GC, 分析：由巴知的两对等角， 分析：从图中可看出 有 因 且CD平分∠EC下，试说 所以∠A=∠D 根“内错角马直线平 同位角，内锆角和同旁内角， 行有目的，有意识的是依处理 历以 140 AB∥CE 所以AB∥CD(内特角相等，两直线平行). 行"可利定AD∥EF,EF∥BC,再根“如两 际应用阿题，它陆平行线的性质，方位角为 所给的∠B与∠CDF不属于这类角，这就需 例2如图2，BE平分A 分析：由角平分线的定 5例3四图3，百民E月 条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 体解时.结合题意观联方位图，由图形可知 通过对顶角或补角去转化转化的目标应明 ∠ABD.DE平分∠BDC,且∠a 和对项角的性可知 ∠ECD AB,再 分别与直线AB,CD交于M, 也正和平行”即可判定AD∥BC 所求的方位角为∠a.借助“两直线平行，内进 确，登世设去寺化成回位出成为特角成爱内 210 角，着是否符合平行的条件，下面有三种基本的 +∠B=0°，试说明AB∥CD. 合已知条件可得∠B=∠ECD,然后积摇“网位N圆点，∠1=55，∠2 解：AD∥BC.理由如下： 角相等”可知∠a■48，所以乙地所修公路的 分析：首先根起角平分线的 CE I25°，试说明AB∥CD, 因为∠DAF=∠AFE. 白理团客 走向是南偏西48只故填48 2 以AD∥EF(内情角和等，两直我平行) 二、光线问■ 解：AB与CE平行.理由如下 定义可得∠AD=2∠a,LBDC A0D=0， 解：因为CD平分∠ECF 分析：对顶角的性 =2∠8.进而由疼本思租回得出业ABD+ 所以∠EGD ∠DCF 丙为∠EFB=∠FBC (1)方法一：转化为同位角共断。 求出∠CNM的度就，再 别2加32 一 因为∠CDF=145“. ∠BDC=2(∠a+∠B)=10°然后再根据同 由对顶角相等.得∠ACB=∠DCF 所以F∥BC(内情角相￥，两直平行) 根据“间旁内角五补，两直线平行”即可判定AB MB先后经帝0W,0N园 ∠EDF=180 ∠CDF=35 旁内角互补，两直线平行”即可判定AB∥CD 所以∠ECD=∠ACB 所以AD∥BC(如果两条直线都和第三条 ∥CD. 射后，反射光找CD与入射光 以 又因为∠B35 解：因为BE平分∠ABD,DE平分∠BDC 因为∠B=∠ACB 直线平行，那么这两条直线也互相平行) 解：因为∠1=55 线AB平行，且∠AM 以上B=∠EDF 以∠A君D=2∠m,EBDC=2∠B /BO 所以∠B=∠ECD 由对打顶角相等.得∠CNM=∠1= ∠OBC,∠BCO=∠DCN. 所以AB∥CE(同位角相等，两直线平行) 所以∠ABD+∠DC=2∠a+2∠B=2(∠ 所以ABCE(同角相笔，马线平 体周主进 ∠ABM=35时，∠DCN的度 (2)方法二：转化为内蜡角断 2 如图2，已知 5 42单行线 数为 因为∠CDF=145 因为∠a+∠B=90°， A= EAGE∠D 因为∠2=125 A.55 B70 C.60 所1BDC=180/CDF=35 所以∠ABD+∠BDC=180 ∠DCC,试说明AB∥CD 所以∠CNM+∠2=I80 学习目标：理解并掌平行线的概念 .3 又因为∠B■35“ 所以AB∥C(可雪内角互补，两直线平). 分斯·由计的 所以AB∥CD(周旁内角五补，两直 生质，转定 解析：因为∠ABM=∠OBC,∠ABM ∠AGE 平行) 2会利周平行线的吐质及判定进行筒单 35“,以∠0BC=35.所以∠ABC=180 ∠ABM-∠0BC=1I0因为CD∥AB,所 第16期2版参考答 103:1l.55 的推理并解题 2用 ∠ADD ∠ABC+∠BCD=180(两袁线平行.问旁内 0 认知重点：在解过中能灵活选择并 角互补).所以∠BCD=180 ∠ABG=70 装陈折甜2，批0是 4.14: 强强联合来解题 运用平行线的判定及性喻，进一步发展空间 4.=40 聪念，推理能力和有条理的最达能力 又因为∠BCO=∠DCN.∠BC0·∠BCD 15.1}D=2D ∠DN180,所以∠DNI80 《2)回图骆，0N是∠40D的平分理由如下 湖南云翔 的度数方80或 率行线的性质每垂线联合 数，选而求得∠2的度数 B.56 C.169 D,62 BCD)=55.故选A 1C:2C 5269 30 0w=20. 例1 如图，直线m∥6， 解：因为AB∥CD,∠1=65 三，操作问丽 互CA分在言线a.b上.AC 所以∠AEC=∠1=65（西直气年行，西 例3如图3，在长方 7(0）∠0B=221 ABCD中，点E是AD a为W 1C,若∠1=50°，则∠2的 (hY N是∠A0D的平分线 75 实数为 因为EC平分∠AFD, 一点，点F是BC上一点 0-0E 分析：利用平行线的性嘴可梨得∠3的度 所以LAED=2∠AEC130 ∠AOW=上A0D=30 将长方形ABCD沿直线 数再合直的定又脚可得解 所以∠2=10°-∠AED=50 分析：如图5，过走角三角的立角顶点E M平件 2A00 EF行4，店D的过应西为 能力提高 8. 2)0是∠C0的平分线现由应下 D 解：因为a∥6，∠1=50」 故选B 作MN∥AB,则AB∥CD∥MN,据平行线的 3问位角内角、同旁内角 包，当∠BC 点D',点C的对应点为点 110 ∠AN=150因为M分分∠M, 所以∠3■∠1=50（两直线平行，内错 三，平行线的性质与判定联会 性盾可得出：∠4=∠1，∠2=∠3，再洁合直角 C,若∠1=39“，则∠2的度数是 例3如图3.已知∠1 A30 R.510 C,41 0.20 4∠1与22是线CD与AB直线C所载形成的 90 内结角：∠3与∠D是直线AC与CD被直线AD所形成 以B是LCW的平分线 因为AG1BC, +∠2=180°.∠3=50°.则 解：如图5，过点E作N∥AB,交AD于点 ∠4的度数为 解析：由折叠的性质，得∠CFE=∠CFE, M,交BC于点N 的同内 行以∠A心B=0,∠2+/3=0 以∠2=∠ACB-∠3=409 A.40 B.50 DEF=∠D'EF.用为∠DE+∠AEF= =90 1 所以∠2= ∠3（两直线平行，内错角相 为 P59 n 6 180产，∠1=39，所以∠DEF+∠DEF=180° 故填40% =5,所 29%所以∠DE=∠DF= 平行线的性质与角平分线联合 分析：利网平行的料定和性导即 由圈意，得AB∥CD 因为∠1+∠3=180 1sD-5.阳以2∠A0-∠-10-5红) 解：因为∠1+∠2■180° 例2 如图2，AB∥CD 所以N∥CD风如果两条直斯和第三帝 219°=10明.5°.因为AD∥BG,所以∠DEF 所以9L3+∠3=180 所以a∥6（帝内角夏补，两直线平行） (90 3)=18 EAB上E平 所以∠5=∠3■50（两直战平行.阿位角 直线十行，席么这两在直线意正相平行) ∠CFE=180(两直线平行，同旁内角五朴. 所以∠1m162∠2=54. LAED.若 ∠1=65°.则∠2 所以∠4=∠1=8（两直线平行，内错府 所以∠CFE=∠CFE=10°-∠DEF 第16期3版参考答案 =∠0E=65,因为0E10N,所以∠E0F=90 的数为 由对两角相等，得∠4=∠5=50 相笔》 70.5"所以∠2=80°-∠CFE-∠CFE= 号12345678 (全文完) A45 因为∠3+∠4=90° 所∠0F=18° B.50 故选B. -∠ADE-∠E0=25 9故选 多BCA D C B A B C5750 11.65 (下转1,4版中缝) 例4 块直角三角板按如图4历示方式 所以∠3=90°-∠4=62 分析：摇年行线的性可得∠AEC的度 放置在一张长方形纸条上，若∠1=28°，则L2 所以∠2=∠3=62 ，再极据角平分线的定义可裤出∠AED的度 的度数为 故选D. 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 2.如图2，下列推理结误的是 16.(16分)如图15，AD∥BC,AH⊥BG于点H 跟踪训练 A.因为∠1∠3，新以4∥B B.因为∠1m∠21a∥ 同步检测（十二） 点C在射线C上，点E在线段AB上，∠DCE=90 且DC∥AB,CF⊥BG于点C,交直线AD于点E C.因为∠2+∠4=180°，所以e∥d 《1)因中D相弯的角有 TONGBUJIANCE 4.2平行线 D.因为∠3=∠5，所以c∥d (2)若∠ECF=25,求∠BCD的度数： 1检测范围：42】 4,21平行线 3.如图3，点E在射线AB上，要使AD∥BC 4如图4.直线Ag∥GD,EF分别交AB,CD (3)在(2)的条件下，点C(不与点B,H重合) 只需添加条件： 写一个即可) 、精心选一选（每小题4分，共32分 原团训练 于点G,H.如果∠HF=2∠用D.∠AGE■0° 从点B出发，沿射线BG的方向移动，其他条件不 则∠EHM的度数是 题号1234567 杏.求∠RAF购数 1如图1.已知直线AB与 5.如图5，将方格图中的小船向左平行移动 直线CD平行，下列表示方法中 11格，再向下平行移动5格，面出平行移动后的小 正确的是 1.如图1，直线e与直线a,b都相交.若a∥ 9 ∠1=534.11∠2= 10.如图9，∠D1G■25°，4B1AC,安使A A.A∥C B.A∥D A.53 B.52 C.5 D.50 BC,需添加的一个条件是 、舞 C.B∥& D.g∥& 4.工人师傅对如图4所示的零件进行加工 2.在到一平面内有三条直线，若其中有两条 把材料膏成了一个34的锐角，然后准备在A处进 求：添加达个条件后，其他条件电必不可少，才能 出站论) 且只有两条直线平行，则这三条直线交点的个数 宁第二次加工拐海，要保证弯过来的部分与C保 1,如图0，某工程队从A点出发，沿北偏国 为 孝于，宣的角度年品 4.0 1 C.2 D.3 5.如图5，已知AB⊥MN,垂足为点B,CD1 67”方向修一条公路AD,在D路段出观增陷区 3.下语句正确的个数是 AMN.垂足为点D.∠EBA=∠FDC,EB与FD是 干是立忽政变方向，从B点沿北馆东23·方向继续 2.在同一个平面内，不重合的两条直线的位畿这C段，达C点义改变方向，从C点魅续赣建 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是 否平行？为什么： 关系是 CE段，若使所绕路段CE∥AB,则∠EC君的度数为 平行： 6如图6，已划AB∥CD,∠A=∠C,直线 A.平行 B.相交 2过一点有且只有一条直线和已知直线平行 交AD的延长线于点E,试说明∠CBE·∠ C.平行或相安 D.无法定 附加题⊙ ③过阿条直线：，外一点P,国直线.使c 3.如图2.∠1=∠A,∠B=55,则∠2的度 《以下题债各地根据实际情况选用) a,且c∥b: 数为 1,(8分)如图1，EF⊥AC于点F,BG⊥AC于 ④若直线a∥6,∥c,则e∥a. A.55 B 45 C.35 D.209 点G,∠E+∠ABG=I80 A.4 h.3 D.1 4.如图3，已知∠CBD=90,若∠ABC= 《1)试说明DEAB: 4,小明列举如下生活中的几个例千： 36,AB∥EF,则∠DFE的度数是 2.将直角三角板如图11所示放置，∠AB ①路上的斑马线：②两条笔直的火车 B.64 .54 D.63 (2)若∠D=1D0°，∠ABG=号LGBC,求 60,∠ACB=9D,∠A=30,直线CE∥AB,BE平 轨：围雨后天上的彩虹：④长方形门框的左右两 分∠ABC,在直线CE上确定一点D,满足∠BDG ∠F的度致 边：⑤直跑道线 =45",则∠EBD= 队为其中是平行我的有 (填序号)， 三、耐心解一解（共52分） 5.如图2，在∠A0B内有一点P 13.(10分)如图12，在方格纸中，每个小正方 6.如图6，已知∠ABC=∠CB,BD平分 7.如图7，已知AD∥BC.BD∥AE,DE平分 (1)过点P回∥04： 形的边长均为1个单位长度，将三角形AC向右平 ∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=上F,试总明CE ∠ADB.且ED⊥CD.若∠BED=2∠AED,且 5.如图4，直线c与直线a相交于点A,与直线 (2)过点P画与∥0B: 行移动4个单位长度，再向上平行移动2个单位长 ∥DF /BED=0P,求∠C的度数. 相交于点B,∠1=135”，∠2=65°，若要使直线4 (3)用量角器量一量山相交的角与∠0的 度，得到三角形A'B"C',请在方格纸中画出三角形 ∥6，则将真线6绕点B按如图所示的方向全少转 大小有什么关系？ 动 A.104 B.209 C60 D.130 6,如图5，下列推理不正确的是 A.若∠AEB=∠C,则AE∥CD B,若AD∥C.则∠ADE=∠DFG 2.(12分)将一副三角板中的两个直角I顶点C C.若AD∥BC.2C+∠AC=180 叠成在一起（如国2），其中∠A=30°，∠B=60° D,若∠AEB=∠ADE.则AD∥BC 14.(12分)如图13.已知AB⊥BC,∠1+∠2 ∠D=1E=45 90°，∠2∠3，试说明BE∥DF (1)若∠BCD=I2°，求∠AGE的度数 (2)试猜想∠BCD与LACE的数量关系，井 使力提高 说明理由： 42,3平行线的性质 8如图8，已知AB∥EF,∠1=∠2.BE.CE 《3)若三角板AC保持不动，烧顶点G转动三 卒础训爆 分别平分∠ABC和∠BCD,试说明BE⊥CE 角板D汇E,在转动过程中，试探究∠CD等于多少 4.2,2平行线的判定 7.如图6，在四边形ABCD中，∠ADC+∠C= 度时.CD∥AB 每田训练 1.如图1，已知直线∥6,41=105，则∠2 180°，连结BD,若∠ABD=∠ADB,∠A:∠ABG= 3:2,则∠CBD的度数为 1,如图1，一条街道有两个拐角∠ABC和 A65 D.IO A.42 B.40° C.36 D.309 5.(I4分)如图14，AD平分∠BAG,交C于 LBCD,谢得∠ABC=145°，∠BCD=145°，就可 8.如图7，是路政工程车 点D,点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF 以知道AB∥CD,其根据是 的工作示意图，工作蓝底部 与AC相交于点G,∠BDA+∠CEG=180 A.同位角相等，两直线平行 与支撑平台平行，若∠1= (1)AD与EF平行码？请说用理由. B.回穷内角互补，两真线平行 35,3■155°，则∠2的度 (2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH 数为 ∠C,则∠F与∠H相等吗请说用理由， C.内情角相等，两直线平行 D.平行于日一条真线的两直线平行 2.如图2，直线a,被直线e,d所截形成的角 A.509 B60 C.65 D.55 中.∠1=130°，∠2=50°，∠3=70°.则∠4= 二、组心填一填（每小题4分，共6分） 9.如图8，是一个可折叠晾衣架的示意图，B A.1009B.110bC.10°D.130 是地平线.当∠1=∠2时，PM∥AB:当∠3=∠4 3.如图3，B∥CD.CB平分∠ECD,若∠B 数理报社试题研究中心 时，P∥AB.于是可确定点N,P,M在间一条直线 数理报杜试题研究中心 28”,∠1的堂品 参考答案见下期) 上，其依据是： (参考答案见下期}