第16期 4.1 相交线-【数理报】2025-2026学年新教材七年级上册数学学案（华东师大版2024）

8 素养·拓展 数理极 衣5责任第板：丹慧蝴 纸编饼话量质情单话 数理据 2025年10月14日·星期三 初中数学 名师点睛、 第14期2题参老容案 纸发行量反铺 电话 第16期总第1山60期 华东师大 .6角 对顶角励你解题 0351-521248 36,t期 七年银 12 2w 45 第15期综合测评卷 山两师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版 社长：徐文信 国内统一连续出版物号：CN14-0707NF】邮发代号：21-44 重庆毛 参考答案 6.1}用 个字表示的用是 对打顶角在求角度时起到了报大的作用， 解析：根据对顶角的性面可求出∠AOC的 为顶的 .L.C: 2.C 本周主进 常与垂战，角平分线等肤合起来，为求角提供使 度数，再根据角平分线的定义得出A0M的度 6 D4. 6B:7.C8.B: 科下面举例说明，供同学们学习时参考 数，品后根据外角的市相▣峰翠 9.D:NLC 养析比较学垂线〉 4.1相交线 一，伴随垂线 因为∠B0D=48°，由对角相等，得 IL.CI 12 B. 学习目标：1.掌每对项角、垂线及色线 例1如图1.直线AB写 ∠A0C=∠B0D=4°.因为0平分∠A0C 。四川王清瑞 段的慨念及其相英 一、垂星与里直 四、垂线段与点到直线的拒离 CD相交于点0.射线0E在 所以∠A0W=与∠A0C=24所以∠B0M= 14经： 15.4 163092130 当两条直线相泛所成的四个角中有一个角 垂线段是一种几图 2能够正晓识利图形中的可住角，内错 ∠AOD内部.且0E⊥CD于 ∠0后■459.出为∠EF。60◆，∠B05m∠E0 三】里落 2曹用时，总这四条当我五用垂直，中的一 彩.属于“形”的既念，垂战 商和同旁内角，培养学生的识图能力 点0，若∠A0C=35,则 180 ∠A0M=156放选D ∠015，为aF平分∠C,以 LG2∠BN 名出数写一客线的而是而言女的 三，块层携手 段的特征是：《1)是一条线 认如重点：L探索并掌镬对顶角的性 之B)E的背为 例3如图3，直线AB, (2)为∠C0D 种特殊情积由此我们可以知道，夏线是指互 段：(2)垂直于某一直线 质.先成用北性质解染一年表角闭数 A.125 B.13s 2+∠0E=0 CD相交于点0，E0⊥OF,已 7.1)∠E=51(2)∠E= 相垂真的两条直线中的一条，表示一种图形，而 占至到声线的而宽已指垂到 2能到用三商尺盛量角器立一点两已 C.65 D.55 解析：根据垂直的定义得∠E0D■0°， 知∠B0F=20°，0C平分 因为 垂直则是指两条直线之间的位冒关系 段的长度，属于“量”的概，不能队为点到直 知直线的线，度解，点到直线的距离的意 二垂线易鲜线 的距☒就是垂线段如图2所示，点C到直线A厚的 ∠A0E,则∠B0D( 再根据对顶角的性质可得∠OD的度数，然后 4.(132Be.n,2)∠E=的 年线和料线是以两条真线相交是否成放角 距离不是垂线CD.向是垂线段CD的长度 ，会度业点到直线的距离 4.20 B.30 能力提离52510 INE. 利用角的和差进行计算即可 来区分的，反映了两条直线的位置关系的不同 例下列说法中，正确的是 C.55 D.35 第14期3版参考答案 9根，四 丙为0E1CD.所∠E0D=0,丙为 解析：根据垂线和平角的定义可求出 3568 过直线AB外的 一、村角的含 ∠AOC=35”,由对顶角相等，得∠B0D= G作直线AB的垂线，只衡 B.期直线同交所龙的出个角中。来有 如图1，∠1与∠3是 ∠AE的度数，耳根据角平分线的定义求出 多爱C AA DEACD ∠AOC=35所以∠B0E=∠E0D+∠B0D 65.5.5 L0心的平分线，0D是 作一条如图1，CD 直线AR与CD相家五书 ∠A0C的度数，然后由对面角的性函即求出 B,而我AB外的 C.过一点有且只有一条直线与已知直线亚直 =125故选A. 2E的平分线， 拉的的，安口有一个入其面 B)D的度数 .13. ∠00= ).以窗线外一点到这名窗线的币线母带 二、联合角平分线 为0⊥.F以∠0=0.为 50 A0B■ 交无数条，如直线CE,CF,CG等，线段CE, 点到直线的距 点0，并且∠1的两边分 例2如图2，直我AB ∠B0F=20,所以∠A0E=180-∠E0F 名0C是∠0B的里 CF,CG比垂线段CD要长， 解析：亚线是一条直线，不可度量.故选项A 是∠3的两边的反向 CD交于点0，射线0M平分 ∠B0F=70因为0C平分LA0E.所以∠A00 方∠的平分线，0F是∠C限的平分线.局 三，垂线与垂线税 误：选项C缺“在同一平面内”这一条件，放锆 延长线，具有这种位留关 ∠AOC,若∠B0D=48°，则 线，∠40E=60, 垂线是相安线的一静风情开形，不口度品： 昆：从直线外一当到到这名直线的香线}的， 系的两个角为对角 2DM车干 =气∠A0B=35”由对面角相等，得∠B0D= 岳线段是线段（垂钱上一点与在足之间的战 1中》红/4由万为 A.95 B,132 G.146 D.1569 ∠A0C=35放选D, EOF,∠cE+∠CFs0 段)，回以度量.这世二者的不问.二者的回∠ 所的个用中，加果有三个角部根 中简年 处在于：垂线和重线段都是几何图形，垂线段是 “对顶角相等”，可得四个角等于，所以这 2.(1)有多块 逊眼看世界： 垂线的 一部分 相垂直，放选项B正确故选。 系12)12.7 铺管挖渠 《31行 垂线帮忙 3)任长) 1长12 由此可以看出，确定 em.所以长方 两个角是对顶角，必须国时满足以卡两个特征 第为：17 湖北李建勤 兰线八角”好识别 (1)有公共画点： 天用正线的修用 亚线凤最短，可以解由是：垂线段最短和两点之问线段最短 积为：3×3×8 江西 李歌器 21四力万为后向正长调 决生活中常见的铺管挖基等问。现列举两例 例2如图3，某问流EF的同期有A,B,C 一，明确慑念及特征 3.同旁内角的形象如字母“U"找如图3 温馨提示：对项角是成对出现的，它幻是王 供同学们学习时参考 D四个村庄，为了解决当地的缺水问题，政府油 后的展 1何位角：两直线被第三条直线所载，无公 的∠1与∠2都是同旁内角 对项角，即其中一个角是芳一个角的时明角 所朵而成的长左体 例1如图1，在河岸MN的同有村庄A和备出资悠建一个蓄水池， 共随点的两个角都在其中 条直线的同，并 单险的一个角不能传成对顶角 的大日天2m 自来水厂B.现要在河岸上进一个抽水站P,把 (1)若不考德其他因素，请你确定蓄水池H 目分》在直我的后一个不方向上.所班比 二，对顶角的性质 中的水先输送到自来水厂B,处理后再输送到 的位置，使它到四个村庄的距离之和最小： 特征是回同侧” 对面角相等，但相等的两个角 130 村庄A.为了节省资金，所铺设的水管应尽可能 (2》现十四石五的水三引入蓄水地H,平 因为D 2.内错角：两直线被第三条直线所做，无公共 例如图4.请判断∠1∠3，∠2句∠4， 不正尼立为对短角.如刻2，已用 短，那么抽水站P应建在何处应怎样铺设水管？ 开挖水集最搅？画出图形，并说期理由。 14+P0=34C 顶点的两个角都在两条直线之问，井且分别在第 ∠5与∠6分别是什么位置关系的角， ∠1=∠2=30°，但∠1与∠2不 出图形，并说明理由 条直线的测德所以其特征是“内两” 3 cmL. 所 互为对顶角.因为∠1与∠2员然 国2 3.间套为角：两百线被河条应线战，开公 解析：我把相关的两个角从图4中分宽出 有公共顶点，但∠【的两边与∠2的两边不是互 2)当C∠A0B的内3,因为C.)的” 共倾点的两个角都在两条直线之间.井且都在第 来，形成如图5所示的荷单图形，从而易判斯它 (2)根据超意。周 们各是什么位置关系的角 为反证长变，足∠I号∠2不瓦为凤边角. D=2用3沿 三条直线的侧所以其特证是“内闻同情” 例 如图3，直线AB,CD相 2O:4GT之AB有%事十，村为汇51.B}有”五及 24C,南以D+PD 二，形给减受三中条 分离的关键是会判这些角是愿影两条直线 于占0.若1=80*∠2 分析：(1)委使蓄求池H到网个村庄的距高 2(·C),即PB 1.同位角的形象如字母“F”状如图1中的 被哪一条直线所截而形成的角，其中： 30°，则∠A0E的度数为( 上速，∠B的数为D减 1与∠2名是位年 (1)如图5-①，∠1与∠3可以看成直线 分析：使物水站到自来水厂的亚离最短， 之和最小，别根据“两点之间线及最短”可如，点 24P所以AP DE,C被直线EC所截构成的同位角： A.30 B.50 可感搭“垂线投最短”这一性魔未哦定点P的位H的位或应在连结线段AG与D的交点处： 2) C.05 D.80° 置.而自来水厂到村庄的水管良该是活从B点到利用色线的性晴即可璃定所挖水果的位置 3)因为A0 (2)如图5-2，∠2与∠4可可以君成直线 1N)N=40为0N平分∠月G,以∠心 DE,BC被直线E所截构成的内错角： 解析：由对顶角的性质可得∠AOD的度 点的纸登铺瓷表粒 解：(1)如图4，连结AC,D,交于点H,则点 0.因为A0 (3)如图5-③，∠5与∠6可以看成直线 数，进而可求出∠A0E的度数 解：如图2，过点B作P⊥，垂足为点P, 就是所求蓄水池的位置。根据“两点之间线贸 10 O.听以AP=0 2.内钴角的形象如字母“Z”状如图2中的BE,DE放直线BD所截成的同旁内角 因为∠1=80“.由对顶角相等，得∠A00 则点P然是所求抽水站的位置：连结AB,则线投最短”可知，点H四个村庄的距离之和最小 L1与∠2都是内情角 =∠1=80 BA即为自来水厂到村庄的最短距离.所以沿户 (2)过点H作G⊥EF于点G.则沿HG挖 因为∠2=30 D0W+35 60 B·A的略线铺设水管，所用的水管最短.理 巢，可使水集最短，理由是：亚线登最短 ∠0V=∠D0-∠0-2525 所以∠AOE=∠AOD 22=50 故选B 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 41,2垂线 16.（16分}15，直找AB.CD相F当0 跟踪训练 作刀提高 堡出训练 同步检测（十一） N把∠A0D分成个角，且∠A0N:∠NOD=2:3 &已知0A⊥0B,直线CD经过点0，且 《1)若∠B0C=75°，求∠A0N的度数 1.如图1,0410B,0C是一条射线卷 ∠A0C=40",则∠B0D的度数为 (2)如果∠B0C=75,0M平分∠0N,那么 4.1相交线 A0C=120,则∠50C的度数是 A130 B.50 检测范围：4,1】 0B是∠C0M的平分线吗？1请说期理由. 4,1.1对顶角 A.60° B.45 C.30 D.20 C.130或50 D.130成40 、精心选一选（每小题4分，共32分 二 细心填一填（每小题4分，共16分 (3)若0M10N,则三∠A0-∠D0M是否为 使团训练 41,3同位角、内错角、同旁内角 题号1234 9.如图8，∠1m130°，A0⊥0B干点0.点C 定值？若是，请求出这个定值：若不是，说明理由， 1.下四个图形中，∠1与∠2互为对顶角的 .D在一条直线上，则∠2= 座出训练 答 图】 1,如图1，直线ABCD相交于点0 Dk人名 2.如图2，某地进行城市规划，在一条新修公 L.如图1，∠1的内结角是 ∠BD 1∠2 路旁有一超市.现建一个汽车站，且有ABC。 B.∠3 A40 :S0 C55 D60 D四个地点可供选择若要使市距离汽车站最 C.∠4 D.∠5 D 2.如图1.直线AB.CD相交于点O.若∠AOC 0.如图9，与∠【构成同位角的有 近.则汽车站应建在 增大1227'，则∠B0D的大小变化是( A。点A外 B,点B处 11.如图D,点线AB,CD,EF相交于点0，且AB A.减小1227 B.增大167331 C,点C处 D.点D处 LEF.0G平分∠40D,若∠B0C=,则∠G0F C,不变 D.增大1227 3.下列选项中，过点P画AB的垂线CD,三角 板城法正确的是 2如图2，下列结论中铅误的是 2.如图2，直线b,r被直线a所截，则∠1与∠2 A.∠1与∠2是同旁内州 A.互为对顶角 B.是问位角 B.∠1∠6是内错角 C,易肉卉角 D.是E海内年 C.∠2号乙5为特年 3,下列各达项中能用垂线段最短” 附加题。 来菜 D,∠3与∠5是同位角 现象是 (以下题磷各地根据实际情况选同) 3.如图2，直线m,6相交，∠1=130，则∠2 3.如图3，∠ABE和∠C悬直线 12.m期11.0A⊥08.而足为当0.时线0C年 1.(8分)如图I,直线AB与直线CD相交于点 3= 4如图3，是一副三角板的摆放图，已知4 E,CD被直线 所截形成 LA0B的内部，∠A0C<30°.若∠B0D=∠A0C D,0E⊥0F,且平分∠C0E A.50 B.100C.130r D.180 10B,0C10D,若∠A0C=35°，则∠B0D的度 的同位角，∠D的内轴角是 的壹就运成情木雀上弹系线裤行于团瓷太吾疗由河疏在真 0E平分∠A0D.∠E0D■m°，则∠C0B= (1)若∠D0E=50°，求∠B0F的度数： 4如图3，当光线从空气射人水中时，光线的 (同含网的整式表示) (2)设∠D0E=a,∠0F=B,请探究a与B 传播方向发生了改变，这就是光的折射现象，若 国1 4.如图4，∠1∠2品两第 4,如图3.直战：.6被直线e所畿，若∠1= 三、耐心解一解（共52分） 的数量关系（受求写出过程） ∠1=42°，∠2=28，则光的传插方向改变了 这长 线被哪一条直战所截，形成的是什么位置关系 ∠2.∠3=50°.则∠4的度数为 13.(10分)如图12，指出图中直线AC,BC被 的角？∠3与∠D呢？ A.50° B.110°CG.120° D.130 直线AB所戴的同位角内错角和同旁内角。 5.如图4，直线AB,CD相交于点0,0E⊥CD E0F=142°，∠DOF2∠B0D.则∠A0C的商 数为 5.如图4，直线AB与CD相交干点0.0E平分 5.如图4.直线AB.CD相交于点0，过点0作 6.如图5，P是∠A0B的边0B上一点 ∠B0D.0F平分∠C0B,∠OD:∠E0D=4: 0E⊥AB,若∠B0C=3∠D0B,则∠E0C的大小 (1)过点P回0A的垂线，交0A于点H: 为 川C0F 《2)过点P画0B的垂线，交0A干点C: A.75 B.120 C.135m D.150 14.(12分)如图13，已知直线AB,CD相交司 6如图5.直线AB,CD和EF相交于点0 (3)点0到直线PC的距离是线段 6.如图5，直线AB,CD,EF相交于点0，且AB点O,0E是射线，∠AOE=2∠AOC,∠E0D比 (1)分别写出∠A0E.∠D0F的对角： 的长： LCD.0B平分∠E0G.若∠F0D=30°，则∠BOG ∠B0D大20°.R∠0D的度数 2.(2分)如图2，点0在直线EF上，点A,B (21如里2c0E=0P.∠B0=20°.求 (4)画出线段0C的垂直平分线 的度数为 与点C.D分别在直线EF两得，且∠A0B=0。 ∠BOD和∠AOD的度数 庵刀提高 A.00 B.60 ∠C0D=709. 5.两条直线被第三条直线所截，∠1和∠2是 C.30 D.无法码定 (1)如图2-①，若0C平分∠0D.求∠A0D 同旁内角，∠3和∠2是内船角 的度数： (1)根据上述条作，画出符合圈意的示意图： (2)如图2-2.在(1)的条件下，0E平分 〔2》若∠1=3∠2，∠2=3∠3，求∠1，∠2 ∠A0D,过点0射线OG⊥0B,垂足为点0，求 LE0G的数： 的度数 (3)如图2-③，在∠0C内部作一条射钱 15.(14分)如图14.直线AB.CD相交于点0.0E 7.如图6，直线AB,CD相交于点0,0N平分 7.如图6，直线AB,CD相交于点0,0E⊥AB 0H,使∠C0H:∠B0H=2:3,∠D0E=5∠F0H 使刀提高 CD.垂足为点0.0M平分∠B0E.∠A0C=50 ∠B0D.M⊥O 垂足为点0,0F平分∠B0D,若∠AOC+∠DOF 试断LA0E与∠D0E的数量关系 (1)求∠DOH的度数： 7,观察下列各图，寻找对顶角（不含平角） (1)若∠A0C=64°，求∠0B的度数； =39°，则∠E0F的度数为 (2)在∠AO的内射线0N,使得∠M0 如图6一①，图中有2条直线相交，则对顶角有 (2)试说明0M平分∠A0D A.T74 B.74 C.67 D.64 45°，那20W县∠ADD的下分四清H理由 对：如图6-②，图中有3条直线相交于 8.如图7，已知A010.C0 为 点，则对面角有 对：如图6一，图中 D0.垂足为点0，∠C0E=∠OE, 有n条直线相交于一点，宝对顶角有 0F平分∠AOD.则下结论： ①∠AOE ∠DOE: 2∠A0D+∠C0B=180°E ③∠C0B-∠AOD=90°：④∠C0E+∠0F量 18D， 数理报社试题研究中心 其中正确的有 数理报杜试题研究中心 (参考答案见下期) A.4个B.3个 C.2个 D.1个 (参考答案见下期}初中数学·华东师大七年级第15~18期 发理极 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大七年级第15~18期(2025年10月) 答：修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为 第15期综合测评卷 72cm3 题号123456789101112 22.(1)根据题意，得BD=2cm,PC=1cm 答案CCDDBBCBDCCB 因为PD=2AC, 二、13.5248'；14.梦；15.4；16.30°或130°. 所以AC+PD=3AC=AB-PC-BD=9cm. 三、17.图略. 所以AC=3cm. 18.(1)图略. 所以AP=AC+PC=4cm. (2)因为∠C0D=∠C0E+∠D0E=90°， (2)根据题意，得BD=2PC. 所以∠AOC+∠BOD=90°. 因为PD=2AC, 因为∠COE=∠BOD, 所以BD+PD=2(PC+AC),即PB=2AP. 所以∠AOC=∠DOE. 所以AP=分4B=4m 19()因为EC=4CB, (3)因为AQ-BQ=PQ, 所以CB=4EC 所以AQ=PQ+BQ 所以BE=EC+CB=5EC 因为AQ=AP+PQ, 因为点E是线段AB的中点， 所以AP=BQ.所以PQ=AB=4cm 3 所以AB=2BE=10EC. 所以AC=AB-CB=6EC=10. 第16期2版 所以EC= 3 4.1相交线 所以AB=50 4.1.1对顶角 3 基础训练1.C;2.D;3.B;4.14;5.60. 20.因为OB是∠AOD的平分线，OD是∠BOE的平分线， 6.(1)∠AOE的对顶角是∠BOF;∠DOF的对顶角是 所以∠BOD=∠D0E=LA0B=}∠A0E ∠C0E. (2)因为∠C0E=90°， 因为OC是∠B0D的平分线，∠A0E=60°， 所以∠DOF=∠COE=90°. 所以∠B0C=7∠B0D=石∠A0E=10. 因为∠B0F=20, 21.(1)有多余块，图略 所以∠BOD=∠DOF-∠BOF=70°. (2)12,7. 所以∠A0D=180°-∠B0D=110°. (3)所用正方形的边长是：12÷4=3(cm). 能力提高7.2,6，n(n-1). 所以长方体的高为：17-3×3=8(cm). 4.1.2垂线 所以长方体的体积为：3×3×8=72(cm3). 基础训练1.C;2.C；3.C;4.35;5.26° 初中数学·华东师大七年级第15~18期 6.(1)(2)图略： ∠4与∠5是内错角；∠3与∠4，∠1与∠5是同旁内角. (3)OP; 14.因为∠E0D比∠B0D大20°， (4)图略。 所以∠EOD=∠B0D+20. 7.(1)因为∠AOC=64°，由对顶角相等，得∠B0D= 因为∠A0E=2∠A0C, ∠A0C=64. 由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC. 因为ON平分∠BOD, 所以∠AOE=2∠BOD. 所以LB0N=子∠B0D=32 所以2∠BOD+∠B0D+20°+∠B0D=180°. 所以∠B0D=40°. 因为OM⊥OWN, 15.(1)因为∠A0C=50°， 所以∠M0N=90°. 由对顶角相等，得∠B0D=∠A0C=50. 所以∠MOB=∠MON+∠BOW=122°. 因为OE⊥CD. (2)因为0M⊥0W, 所以∠D0E=90°. 所以∠MOW=∠MOD+∠NOD=90°，∠AOM+∠B0W 所以∠B0E=∠B0D+∠D0E=140°. =180°-∠M0N=90°. 因为OM平分∠BOE, 所以∠MOD+∠NOD=∠AOM+∠BON 因为ON平分∠BOD, 所以∠B0N=7∠B0E=70 所以∠BON=∠NOD. 所以∠DOM=∠B0M-∠BOD=20° 所以∠MOD=∠AOM,即OM平分∠AOD. (2)画图略，OW是∠AOD的平分线.理由如下： 能力提高8.C. 因为∠A0C=50°， 4.1.3同位角、内错角、同旁内角 所以∠A0D=180°-∠A0C=130°. 基础训练1.B;2.C; 因为∠D0M=20°，∠M0W=45°， 3.AC,∠EBD和∠ABD. 所以∠D0N=∠D0M+∠MOW=65°. 4.∠1与∠2是直线CD与AB被直线AC所截形成的内错 1 角；∠3与∠D是直线AC与CD被直线AD所截形成的同旁内角. 所以∠DON=2∠A0D, 能力提高5.(1)如图1所示. 所以OW是∠AOD的平分线. (2)因为∠1=3∠2，∠2=3∠3， 16.(1)因为∠B0C=75°，由对顶角相等，得∠A0D= 所以∠1=9∠3. ∠B0C=75° 因为∠1+∠3=180°， 图1 因为∠AOW:∠NOD=2:3, 所以9∠3+∠3=180°. 所以∠A0N=号LA0D=30e 所以∠3=18°， (2)OB是∠COM的平分线.理由如下： 所以∠1=162°，∠2=54°. 由(1)知，当∠B0C=75°时，∠A0W=30° 所以∠B0N=180°-∠AOW=150° 第16期3版 因为OM平分∠BOW, 题号12345678 所以∠B0M=号∠BON=75 B 所以∠BOC=∠BOM. 二、9.40°；10.3；11.55： 所以OB是∠COM的平分线 12.2m°或(180-2m). 三、13.∠1与∠2，∠4与∠DBC是同位角；∠1与∠3， (3)号∠A0C-∠D0N是定值 2 初中数学·华东师大七年级第15~18期 设∠AON=2x,则∠NOD=3x 所以∠BOG=90°. 因为OM⊥ON, 所以∠AOG=∠AOB-∠B0G=30°. 所以∠MOW=90°. 所以∠EOG=∠AOG+∠AOE=80° 所以∠D0M=∠MON-∠NOD=90°-3x. 综上所述，∠E0G的度数为80°或100° 因为∠AOD=∠AON+∠DON=5x, (3)如图4，设∠FOH=a,则∠D0E 所以∠A0C=180°-∠A0D=180°-5x. =5a. 所以号LA0C-∠D0M=(180°-5x)-(90°-3x)= E 所以∠C0H=180°-∠D0E-∠COD 18° -∠F0H=110°-6a. 4 附加题1.(1)因为∠D0E=50°， 因为∠COH:∠BOH=2:3, 所以∠C0E=180°-∠D0E=130°. 因为OA平分∠COE, 所以∠B0H=子∠c0h=16s°-9a 所以∠B0F=∠B0H-∠F0H=165°-10a. 所以∠A0E=7∠00E=650 所以∠A0E=180°-∠A0B-∠B0F=10a-105° 因为OE⊥OF, 所以∠A0E=2∠D0E-105°. 所以∠E0F=90°. 所以∠B0F=180°-∠AOE-∠EOF=25° 第17期2版 (2)因为∠D0E=, 4.2平行线 所以∠C0E=180°-∠D0E=180°-ax 4.2.1平行线 因为OA平分∠COE, 基础训练1.D;2.C;3.D;4.①②④⑤. 所以LA0E=分∠c0f=(180-w=90-2 5.(1)(2)图略： 因为OE⊥OF, (3)11,2相交的角与∠0相等或互补. 所以∠EOF=90°. 4.2.2平行线的判定 所以∠B0F=B=180°-∠A0E-∠E0F=180°-(90° 基础训练1.C;2.A; -7a）)-90°=2a,即a=2g 1 3.答案不惟一，如∠A=∠CBE; 2.(1)因为0C平分∠B0D,∠C0D=70°， 4.34°或146° 所以∠B0D=2∠COD=140°. 5.EB∥FD.理由如下： 因为∠A0B=120°， 因为AB⊥MN,CD⊥MN, 所以∠A0D=360°-∠A0B-∠B0D=100. 所以∠ABM=∠CDM=90°. (2)①当0G在EF上方时，如图2. 因为∠EBA=∠FDC, 因为OE平分∠AOD,∠AOD=100°， D 所以∠ABM-∠EBA=∠CDM-∠FDC,即∠EBM= 所以∠A0E=分∠A0D=50P ∠FDM. 所以EB∥FD. 因为OG⊥OB. 所以∠B0G=90°. 图2 6.因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, 因为∠AOE+∠AOB+∠B0G+∠EOG=360°，∠AOB= 所以∠DBC=了∠ABc,LECB=分∠ACB 120°， 因为∠ABC=∠ACB.所以∠DBC=∠ECB. 所以∠E0G=360°-∠AOE-∠A0B-∠B0G=100°， 又因为∠DBF=∠F, ②当OG在EF下方时，如图3. 所以∠F=∠ECB. 因为OE平分∠AOD,∠AOD=100°， 所以CE∥DF 1 所以∠A0E=2∠A0D=50° 4.2.3平行线的性质 因为OG⊥OB, 图3 基础训练1.B;2.B;3.56;4.100° 初中数学·华东师大七年级第15~18期 5.图略. 10.∠B=65°；11.90°；12.15°或105° 6.因为AB∥CD, 三、13.图略 所以∠A=∠CDE. 14.因为AB⊥BC, 因为∠A=∠C, 所以∠ABC=90°，即∠3+∠4=90°. 所以∠CDE=∠C. 因为∠1+∠2=90°，∠2=∠3， 所以BC∥AE. 所以∠1=∠4. 所以∠CBE=∠E. 所以BE∥DF. 7.因为∠BED=2∠AED,∠BED=30°， 15.(1)AD∥EF.理由如下： 所以∠ABD=7∠BED=150 因为∠BDA+∠CEG=180°，∠BDA+∠ADE=180°， 所以∠ADE=∠CEG 因为BD∥AE, 所以AD∥EF 所以∠BDE=∠AED=15 (2)∠F=∠H.理由如下： 因为DE平分∠ADB, 因为AD平分∠BAC, 所以∠ADE=∠BDE=15°. 所以∠BAD=∠CAD, 因为ED⊥CD, 因为∠EDH=∠C, 所以∠CDE=90°. 所以HD∥AC. 所以∠ADC=∠ADE+∠CDE=105°. 所以∠H=∠CGH. 因为AD∥BC, 因为AD∥EF, 所以∠ADC+∠C=180°. 所以∠CAD=∠CGH,∠BAD=∠F. 所以∠C=180°-∠ADC=75°. 所以∠H=∠F. 能力提高8.因为BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD, 16.(1)5; 所以∠ABE=分∠ABC,∠2=∠ECD=∠BCD (2)因为∠ECF=25°，∠DCE=90°， 又因为∠1=∠2， 所以∠FCD=∠DCE-∠ECF=65°. 所以∠1=LECD. 因为CF⊥BG, 所以EF∥CD. 所以∠BCF=90°. 又因为AB∥EF, 所以∠BCD=∠FCD+∠BCF=155° 所以AB∥CD. (3)因为∠DCE=∠FCG=90°， 所以∠ABC+∠BCD=180° 所以∠DCE-∠FCD=∠FCG-∠FCD,即∠ECF= ∠DCG. 所以∠ABE+∠2=（∠ABC+∠BCD)=90 又因为DC∥AB, 因为AB∥EF, 所以∠B=∠DCG=∠ECF=25°. 所以∠ABE=∠BEF 当点C在线段BH上时，点F在DA的延长线上， 所以∠BEF+∠1=90°，即∠BEC=90°. 因为AD∥BC, 所以BE⊥CE. 所以∠BAF=∠B=25 第17期3版 当点C在BH的延长线上时，点F在线段AD上 因为AD∥BC, 题号12345678 所以∠BAF+∠B=180. 所以∠BAF=180°-∠B=155°. 二、9.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 综上所述，∠BAF的度数为25°或155°. 4 初中数学·华东师大七年级第15~18期 附加题1.(1)因为EF⊥AC,BG⊥AC, 6.因为∠A0C=82°， 所以EF∥BG. 由对顶角相等，得∠B0D=∠AOC=82. 所以∠EMB=∠ABG. 因为OE平分∠BOD, 因为∠E+∠ABG=180°， 所以∠D0E=之∠B0D=410 所以∠E+∠EMB=180° 所以∠C0E=180°-∠D0E=139° 所以DE∥AB. 因为OF平分∠COE, (2)因为DE∥AB, 所以∠D=∠ABC=∠ABG+∠GBC. 所以∠B0F=分∠C0E=69.5 3 因为∠D=100,∠ABG=∠GBC, 7.(1)因为E0⊥AB, 所以∠A0E=∠B0E=90°. 所以子∠6BC=100 因为∠BOE=∠BOD+∠DOE,∠DOE=2∠BOD 所以∠GBC=40°. 所以3∠B0D=90° 所以∠ABG=60°. 所以∠B0D=30° 因为∠E+∠ABG=180°， 由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=30. 所以∠E=180°-∠ABG=120° 所以∠C0E=∠AOC+∠AOE=120°. 2.(1)因为∠BCA=∠ECD=90°，∠BCD=112°， (2)因为∠A0C=30°. 所以∠DCA=∠BCD-∠BCA=22°， 所以∠C0F+∠B0F=180°-∠A0C=150°. 所以∠ACE=∠ECD-∠DCA=68°. 因为∠COF=4∠BOF, (2)∠BCD+∠ACE=180°.理由如下： 所以5∠B0F=150° 因为∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD,∠ACE= 所以∠B0F=30. ∠DCE-∠ACD=90°-∠ACD, 所以∠DOF=∠BOD+∠BOF=60° 所以∠BCD+∠ACE=180°. 专题二 平行线 （3)如图5，根据“同旁内角互补，两直线平行”，当∠B+ 1.C:2.B:3.80° ∠BCD=180°时，CD∥AB,此时∠BCD=180°-∠B=120°； 4.图略。 5.因为CD平分∠ACM,∠DCM=60°， 所以∠ACM=2∠DCM=120° 由对顶角相等，得∠0CB=∠ACM=120° 因为AB∥ON, 所以∠0+∠0CB=180° 所以∠0=180°-∠0CB=60°. 图5 图6 6.(1)因为∠1+∠2=180°，∠2=∠4， 如图6，根据“内错角相等，两直线平行”，当∠B=∠BCD 所以∠1+∠4=180°. =60°时，CD∥AB. 所以AB∥EF. 综上所述，当∠BCD=120°或60°时，CD∥AB. 所以∠B=∠EFC. 又因为∠B=∠3， 第18期2版 所以∠3=∠EFC. 专题一相交线 所以DE∥BC. 1.A;2.A;3.B; (2)因为DE∥BC,∠C=76°， 4.∠ACD,∠CDB:5.40°. 所以∠AED=∠C=76°， 5 初中数学·华东师大七年级第15~18期 因为∠AED=2∠3， 所以∠DGF=180°-∠4=45°. 所以∠3=2∠AD=38 所以∠DGF=∠1. 所以AB∥CD. 所以∠CEF=180°-∠AED-∠3=66°. 所以∠CDB=∠2=80°. 第18期3,4版 因为DF是∠CDB的平分线， -题号12345678910m12 所以∠FDB=∠CDB=40P 答案C B A C C D B A C B C A 所以∠FDB=∠DBE. 所以BE∥DF. 二、13.答案不惟一，如∠A=∠ECF; 所以∠E=∠DFE. 14.38°：15.30°；16.135°或45. 三、17.(1)图略，垂线段最短； 22.(1)∠EAB,180°； (2)如图7，过点E作EF∥AB. (2)图略. 因为AB∥CD, 18.因为AB∥CD,∠FED=45°， 所以∠GFB=∠FED=45°. 所以AB∥CD∥EF 因为∠HFB=20°， 所以∠FEC=∠C,∠B+∠BEF=180°. 所以∠GFH=∠GFB-∠HFB=25°. 所以∠BEF=180°-∠B. 19.因为0A⊥0B, 因为∠BEC=∠FEC+∠BEF=8O°， 所以∠AOB=90°. 所以∠C+180°-∠B=80°. 因为∠A0E=35°， 所以∠B-∠C=100°. 所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=55°. 因为∠G0F=70°， 由对顶角相等，得∠EOD=∠GOF=70° 所以∠BOD=∠EOD-∠BOE=15 20.(1)因为EA平分∠BEF,EC平分∠DEF, (3)如图8，过点E作EM∥AB. 所以∠2=1=∠BER,∠3=∠4=分∠DER 因为AB∥CD,所以EM∥CD. 又因为∠BEF+∠DEF=180°， 所以∠MEC=∠DCE. 所以L2+∠3=（∠BP+∠DED)-90,即LABC 因为CG平分∠DCE, 所以∠ECG=∠DCG. =90°. 设∠DCG=a,则∠MEC=2ax. 所以AE⊥CE. 因为FH∥AB, (2)AB∥CD.理由如下： 所以AB∥CD∥FH. 由(1)，得∠2=∠1，∠3=∠4. 所以∠HFC=∠DCG=&,∠ABF=∠BFH. 因为∠1=∠A,∠4=∠C, 因为∠BFC=36°， 所以∠A=∠2，∠3=∠C. 所以∠ABF=∠BFH=∠BFC+∠HFC=36°+ax. 所以AB∥EF,EF∥CD. 因为BF平分∠ABE, 所以AB∥CD. 所以∠ABE=2∠ABF=72°+2a 21.(1)由对顶角相等，得∠DBE+∠3=∠2=80. 因为EM∥AB, 所以∠DBE=80°-∠3=40°. 所以∠ABE+∠BEM=180°. 所以∠FBD=180°-∠1-∠3-∠DBE=55°. 所以∠BEM=180°-∠ABE=180°-(72°+2a)=108° (2)∠E=∠DFE.理由如下： -2a. 因为∠4=135°， 所以∠BEC=∠BEM+∠MEC=108°-2a+2a=108°. 6