第17期 24.4 直线与圆的位置关系 24.5 三角形的内切圆-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（沪科版 安徽专版）

中考数学沪科(AH)第14~18期 数理极 答案详解 2025.2026学年 中考数学沪科(AH) 第14~18期 第14期2版 第14期3版 24.1旋转（第一课时） 题号 12 34567 8 基础训练1.C;2.B;3.C;4.-2; 5.(4,2). 能力提高6.(1)线段Pp的长为2. 二940：10259,11.4,122 (2)因为△APP'是等腰直角三角形，所以∠APP'=45°. 在△BPP'中，PP'=2,PB=22,P'B=PD=I0, 13.(2,2)；14子或1. 因为(2)2+(22)2=（√10）2，所以P'P2+PB2= 三、15.图略. 16.证明：由旋转的性质，得AE=AB,AF=AC,∠EAF= P'B2, 所以△BPP'为直角三角形且∠P'PB=90°，所以∠BPQ ∠BAC.因为AB=AC=1,所以AB=AC=AE=AF,∠EAF+ ∠FAB=∠BAC+∠FAB,即∠EAB=∠FAC.在△AEB和 =180°-∠APP'-∠P'PB=45°. AE AF, (3)过点B作BE⊥AQ,垂足为E, △AFC中，{∠EAB=∠FAC,所以△AEB≌△AFC,所以BE 因为∠BPQ=45°，所以∠PBE=90°-∠BPE=45°= LAB AC, ∠BPE,所以PE=BE. CF. 因为BP2=PE2+BE=(22)2,所以PE=BE=2, 17.(1)因为点D与点C关于点E成中心对称，所以E是线 所以AE=3,所以AB=√AE2+BE=√3，所以 段CD的中点，即DE=EC.因为AD∥BC,所以∠D=∠DCF. S正方形ABCD=AB2=13. r∠D=∠ECF, 24.1旋转（第二课时） 在△ADE与△FCE中， DE=CE,所以△ADE≌ 基础训练1.D;2.A;3.6;4.5. ∠AED=∠FEC, 5.证明：因为△AGB与△CGD关于点G成中心对称，所以 △FCE,所以AE=FE,AD=CF,所以点A与点F关于点E成 BG=DG,AG=CG.因为AE=CF,所以AG-AE=CG-CF, 中心对称.故填中点，E. 所以EG=FG.又因为∠DGE=∠BGF,所以△DGE≌ (2)证明：因为AB=AD+BC,BF=BC+CF,AD=CF, △BGF,所以BF=DE. 所以AB=BF,所以△ABF是等腰三角形. 能力提高6.(1)由题意可知，△0A1B1,△B242B1, 18.(1)证明：由旋转得AC=AE,∠CAE=90°，∠AED= △B2AB3都是等边三角形，且边长为2，所以OB,=BB2= ∠C,所以∠C=∠AEC=45°=∠AED,所以∠DEC=∠AED B2B3=2,所以B1(2,0),B2(4,0),B3(6,0) +∠AEC=90°，所以DE⊥BC. (2)过点A1作AH⊥OB1交x轴于点H,因为A10=A1B1, (2因为4C:要由旋转可得4E-C-5空所以在 所以0H=HB,=1.所以A1H=√A102-0=√22-1下= Rt△AEC中，EC=√AC+AE=5.因为BC=6,所以BE= 5.因为B2(4,0),所以A1B2=√AH+B2F= BC-EC=1.由旋转可知DE=BC=6,所以BD= √(5)2+32=25. BE2+DE=37. 24.1旋转（第三课时） 19.(1)证明：由题意知△ABM≌△ACM,△ABE≌ 基础训练1.A;2.A;3.菱形；4.3. △DCE,所以AB=AC,AB=CD,所以AC=CD. 5.略. (2)∠F=∠MCD.理由如下： 能力提高6.证明：(1)因为DE∥AC,DF∥AB,所以四 由(I)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE,∠CMA=∠BMA, 边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是中心对称图形. 因为∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF,所以设∠MPC=a, (2)因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.又因为 则∠BAE=∠CAE=∠CDE=a.设∠BMA=B,则∠PMF= DE∥AC,所以∠CAD=∠ADE,所以∠BAD=∠ADE,所以 ∠CMA=B,所以∠F=∠CPM-∠PMF=a-B,∠MCD= AE=DE.又因为四边形AEDF是平行四边形，所以四边形 ∠CDE-∠DMC=a-B,所以∠F=∠MCD. AEDF是菱形，所以AD垂直平分EF,所以点E,F关于直线AD 20.(1)AD'与BD'的位置关系为AD'⊥BD'.理由如下： 对称. 因为AC=BC,D,E分别为AC,BC的中点，所以CD=CE, 中考数学沪科(AH)第14~18期 即CD'=CE,因为∠C=90°，即∠BCA=∠D'CE'=90°，所所以x2+22=(3.5-x)2+1.52,解得x=1.5,即0M= 以∠ACD'=∠BCE',所以△CD'A≌△CE'B,所以∠CE'B= 1.5cm,所以0D=√OM+MD=2.5cm,所以纸杯的直径 ∠CD'A.因为∠BCA=∠D'CE'=90°，CD'=CE',AC=BC, 为2.5×2=5(cm). 所以∠CD'E'=∠CE'D'=∠CAB=∠CBA=45°，所以 能力提高11.证明：取BC的中点F,连接DF,EF.因为 ∠CE'B=∠CD'A=135°，所以∠AD'B=135°-45°=90°，BD,CE是△ABC的高，所以△BCD和△BCE都是直角三角形. 所以AD'⊥BD. 所以DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，所以 (2)在Rt△ACB中，因为AC=BC=2,所以BA=: DF=EF=BF=CF.所以E,B,C,D四点在以F点为圆心， √AC+BC=22,同理可得D'E'=√2，由旋转的性质，得 AD'=BE',设AD'=BE'=x,在Rt△AD'B中，由勾股定理，得 26C为半径的圆上 +(厄+x}=(2,解得x=压，-迈（负值舍去），所 24.2.2圆心角、弧、弦、弦心距间关系 2 基础训练1.B;2.A;3.D;4.70°； 以BE'=4-2 5.120°：6.2/13 2 7.∠A0C=36°，∠C0F=108°. (3)①经过点B时，题(2)已求得BE'=年-巨 8.(1)连接AC,BD,因为∠A0B=90°，C,D为AB的三等 2 ②经过点A时，设AC与BE'交于点F,同(1)可证得 分点，所以∠A0C=号∠40B=30°，因为0A=0B,所以 △CD'A≌△CE'B,所以∠D'AC=∠E'BC,BE=AD',因为 ∠OAB=∠OBA=45°，因为∠A0C=∠B0D=30°，所以 ∠AFE'=∠CFB,所以∠AE'B=∠BCA=90°.设BE'=AD' ∠AEC=∠OAB+∠AOC=75°. =x,在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+(x-√2)2=(22)2， (2)证明：连接AC,BD,因为OA=0C,∠AOC=30°，所以 解得x=5+,正（负值舍去），即B=迈+，压 ∠ACE=75°，所以∠ACE=∠AEC,所以AC=AE,同理可证 2 2 ③再次经过点B时，同理可证△CD'A兰△CE'B,AD'⊥ BF=BD,因为C,D是AB的三等分点，所以AC=CD=BD,所 以AE=BF=CD. BE',设BE=AD'=x,在Rt△AD'B中，由勾股定理，得x2+(x -万)：=(2，万)，解得x=E+,压（负值含去），即BE'= 能力提高9.因为CD=AC+BD,所以∠C0D=∠A0C 2 +∠B0D,因为∠C0D+∠AOC+∠B0D=180°，所以∠COD 巨+4： 2 =∠40C+∠B0D=子×180=0因为0C=0D.所以 ④再次经过点A时，同理可证△CD'A≌△CE'B,AD'⊥ ∠ODC=∠OCD=45°.因为PC=C0,所以∠P=∠COP,又 BE,设BE=AD'=x,在Rt△AE'B中，由勾股定理，得x2+(x 因为∠P+∠COP=∠OCD=45°，所以∠P=∠COP= +5)2=22)2,解得x=年，-巨（负值舍去），即BE'= 22.5°，所以∠D0B=∠P+∠PD0=67.5. 2 第15期3版 14-2 题号12345678 2 答案DAC C BD CC 综上所述，BB长的所有值为巨+年或压。-巨 2 2 二、9.4条；10.4；11.答案不惟一，如4；12.4； 13.4:14.3. 第14期4版 三、15.证明：因为OA=OB,AD=BE,所以OD=0E,因为 重点集训营 CD=CE,OC=OC,所以△OCD≌△OCE,所以∠COD= 1.略. 2.(1)作图略. ∠COE,所以AC=BC,即C为AB的中点. (2)作图略.旋转中心点M的坐标为(1,0). 16.连接0A,0B,0C,0D,AD.因为AD为120°，BC为50°， 第15期2版 所以∠A0B+∠C0D=190°，因为OA=OB,OC=OD,所以 24.2.1圆的基本概念及垂径定理 ∠OAB=∠OBA,∠OCD=∠ODC,所以∠OAB+∠ODC= 基础训练1A;2.B;3.C;4.C;5.C 85°，因为∠OAD+∠ODA=60°，所以∠EAD+∠EDA=145°， 6.无数，1；7.36°： 所以∠E=35° 8.答案不惟一，大于等于4，小于5即可，如4.2； 17.(1)因为AB是⊙0的一条弦，OD上AB,所以AD= 9.1.3. 10.设A,B,C,D所在圆的圆心为O,因为MN⊥AB,所以 BD,所以∠AOD=∠BOD=50°，所以∠D0B的度数是50° MN过圆心O,连接OD,OB,由题意，得MW=3.5cm.因为AB (2)因为AB=25,0D1AB,所以AE=分A4B=5,设 ∥CD,所以MN1CD,所以DM=CD=2cm,BN=4B ⊙0的半径长为r,在Rt△AOE中，由勾股定理，得A02=OE+ =1.5cm.设OM=xcm,所以ON=MW-OM=(3.5-x)cm, AE2,即2=(r-1)2+(5)2,解得r=3,所以⊙0的半径长 在Rt△OMD中，有OM+MD2=OD2,在Rt△OWB中，有OW2 为3. +BW2=OB2,因为OD=OB,所以OM2+MD2=ON2+BW2, 18.(1)设桥拱的半径是r米，因为OC⊥AB,所以AW= -2 中考数学沪科(AH) 第14~18期 分4B=8米，因为CN=4米，所以0N=(-4)米，在 (-3)=4,MB=+(-2-1)F=√0，所以MD>MB 所以点D在⊙M的外部. Rt△0AN中，有0A2=OW2+AN2,即2=(r-4)2+82,解得 24.3圆周角 r=10,所以桥拱的半径是10米. 基础训练1.C;2.A;3.D;4.24;5.99°； (2)连接OD,因为CO⊥DE,DE=12米，所以DM= 6.40°；7.140°. 分0E=6米，所以0M=√0D-D7=8米，因为0N=0C 8.(1)证明：因为AB是⊙0的直径，CD⊥AB,所以BC= -CN=6米，所以MN=8-6=2(米)，所以水面涨高了2米. BD,所以∠A=∠2，又因为OA=OC,所以∠1=LA,所以 19.(1)连接EO,设⊙0半径为r,因为EG⊥AB,所以CE ∠1=∠2. =CG=号EG=4,因为AC=2,所以0C=1-2,在R△CE0 (2)因为AB为⊙O的直径，CD⊥AB,CD=6,所以∠CEO 中，由勾股定理，得0E=CE2+0C2,即2=42+（r-2)2,解 =90°，CE=ED=3,设⊙O的半径是r,因为EB=2,所以OE 得r=5,所以⊙0的半径为5. =r-2,在Rt△0EC中，由勾股定理，得2=(r-2)2+32,解 (2)证明：连接OE,OF,因为AC=BD,OA=OB,所以OC 得=早所以⊙0的半径为是 =OD,因为EG⊥AB,FH⊥AB,所以∠OCE=∠ODF=90°， 9.(1)证明：因为BC是圆的直径，所以∠BDC=90°，因为 因为OE=OF,所以Rt△COE≌Rt△DOF,所以∠AOE= AC=BC,所以△ABC是等腰三角形，所以AD=BD. ∠BOF,所以AE=BF (2)因为BC是圆的直径，所以∠BEC=90°，因为AC= 20.(1)证明：连接AC.因为AB⊥CD于点E,所以CE= BC=10,AD=BD=6,所以CD=√BC2-BD2=8,AB=12, DE.又因为∠AEC=∠AED,AE=AE,所以△ACE≌△ADE, 所以AC=AD.同理CA=CD,所以△ACD是等边三角形，所以 因为∠BEC=0,所以5度=方xAB×CD=子×AC× ∠0E=30°，所以0E=20C.而0B=0C,所以0E= E,所以号×2×8=号×10×BE,解得E=96,所以AE 0B,故E是0B的中点 =√AB2-BE=7.2. 能力提高10.(1)连接BF,因为△ABC为等腰直角三角 (2)因为4B=12,所以0C=6,所以0E=20C=3.在 形，∠ACB=90°，AC=32,AB=BD,所以AC=BC=32, Rt△OCE中，CE=√OC-OE=35,所以CD=2CE= BD=AB=6,∠ABC=∠CAB=45°.因为DE⊥AD,所以BF 为⊙O的直径，所以∠BCF=90°，所以∠ACB+∠BCF= 63. 180°，所以点A,C,F三点共线.因为∠CAB=45°，DE⊥AD,所 第15期4版 以△ADF是以∠BDF为直角的等腰直角三角形，所以DF= 重点集训营 AD=6+6=12,所以BF=√BD+DF=65,所以⊙0 1.B;2.5 3 3.(1)证明：因为OE⊥AB,所以CF=DF,因为OA=OB, 的半轻为=35 所以AF=BF,所以AF-CF=BF-DF,所以AC=BD. (2)连接GF,连接GC并延长交AB于点M,因为AG=BG, (2)连接0C,设⊙0的半径是r,因为C0=CF2+OF2, AC=BC,所以点C在线段AB的垂直平分线上，点G在线段AB CF=D=4,所以r=4+(r-2),所以，=5，所以00 的垂直平分线上，所以GM⊥AB,AM=BM.因为∠ACB=90°， 所以CM=BM,∠BCM=45°.因为BF是⊙0的直径，所以 的半径是5. ∠BGF=90°.因为四边形GCBF是⊙O的内接四边形，所以 第16期2版 ∠GFB=∠BCM=45°，所以△BGF是等腰直角三角形，所以 24.2.3圆的确定 AG=BG GF-BF-310. 基础训练1.D;2.C；3.A; 4.一组对边平行但不相等的四边形是平行四边形； 第16期3版 5.140°；6.(1,4)；7.5：8.25 题号 2 34567 8 9.(1)图略. 答案BBAAABCC (2)因为在Rt△ABC中，AC=5,BC=12,所以AB= 尽+12=13，所以△ABC的外接圆的面积为m·(号)2= =90:1025:1.2512(3宁： 169 13.52.5°；14./29-2. 4 m. 三、15.(1)图略. 能力提高10.(1)连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平 (2)⊙0的半径为/41. 分线，两直线交于点M,则M是过A,B,C三点的圆的圆心，所以 16.(1)因为BC是⊙0的直径，所以∠BAC=90°，因为 M(1,-2).故填(1，-2). AB=2,∠ACB=30°，所以BC=2AB=4,所以OB=OC= 因为M1,-2),0-3,-2》.8(0.1,所以D=1-8C=2即00的半径为2 (2)点D在⊙M外部，理由如下： 一3— 中考数学沪科(AH) 第14~18期 2)因为∠BAC=90°，LACB=30°，所以LB=60°，因BD=4 为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠D=180°-∠B =120°.因为点D为AC的中点，所以AD=CD,所以∠DAC= 第16期4版 重点集训营 ∠DCA=2(180°-∠D)=30 1.60°；2.35；3.7. 17.(1)△ABC是等腰直角三角形. 第17期2版 证明：因为AC为⊙O的直径，所以∠ADC=∠ABC=90°， 24.4直线与圆的位置关系（第一课时） 因为∠ADB=∠CDB,所以AB=BC,所以AB=BC,又因为 基础训练1.C;2.C;3.60;4.1<d<5. ∠ABC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形. 5.证明：连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA.因 为AC平分∠EAB,所以∠OAC=∠CAE,所以∠CAE= (2)CD的长为2√3. ∠OCA,所以OC∥AE.因为AE⊥CE,所以OC⊥CE,因为OC 18.(1)DE=BD,理由如下： 是半径，所以CE是⊙O的切线。 因为E是△ABC角平分线的交点，所以AD平分∠BAC,BE 能力提高6.证明：(1)连接OD,OB,AC,因为⊙0经过 平分∠ABC,所以∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠CBE,所以BD 菱形ABCD的顶点B,D,所以AC过点O,AD=DC=BC=AB, =CD,所以∠DBC=∠CAD=∠BAE,因为∠DBE=∠CBE ∠DAO=∠BA0,∠DC0=∠BCO.又因为OD=OB,所以 +∠DBC,∠DEB=∠ABE+∠BAE,所以∠DBE=∠DEB,所 △AOD≌△AOB,所以∠AD0=∠AB0.因为AB与⊙0相切， 以DE=DB 所以∠AD0=∠AB0=90°，因为OD是⊙0的半径，所以AD 与⊙0相切. (2)连接CD,由(I)得BD=CD,所以CD=BD=DE= (2)连接OF,OE,在△DOC和△BOC中，因为DC=BC, 2,因为∠BAC=90°，所以BC是⊙0的直径，所以∠BDC= ∠DC0=∠BCO,OD=OB,所以△DOC≌△BOC,所以 90°，所以BC=√BD2+CD=22,所以△ABC外接圆的半 ∠ODF=∠OBE.因为OD=OF=OB=OE,所以∠ODF= 径=28C=万 ∠OFD=∠OBE=∠OEB,所以∠DOF=∠BOE,所以DF= BE. 19.(1)证明：连接AD,因为点D是BC的中点，所以∠CAD 24.4直线与圆的位置关系（第二课时） =∠BAD.又因为AC=AB,AD=AD,所以△CAD≌△BAD,所 基础训练1.B;2.A；3.215°；4.14. 以∠ACD=∠ABD,CD=BD,所以∠DCE=∠DBF.又因为 5.(1)由切线长定理可知，DC=DA,EC=EB,PA=PB, ∠CDE=∠BDF,所以△CED≌△BFD,所以DF=DE. 则△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE= (2)因为四边形ABDC是圆内接四边形，所以∠DBF= PD+DA+EB+PE=PA+PB=2PA=12,所以PA=6. ∠ACD.因为∠ACD=∠ABD,所以∠ABD=∠DBF,所以 (2)连接OA,OB,OC,则∠D0C=∠D0A,∠COE= ∠ABD=90°，所以∠ECD=∠ABD=90°，所以AD是⊙O的 ∠BOE.所以∠AOB=∠DOC+∠COE+∠DOA+∠BOE= 直径.因为CD=BD=6,CE=8,所以DE=10,所以EB=10 2(∠DOC+∠COE)=2∠DOE=144°.在四边形PAOB中，因 +6=16.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2,设AB=AC=x, 为∠PA0=∠PB0=90°，∠A0B=144°，所以∠APB=36. 则x2+162=(x+8)2,解得x=12,所以AB=12.在Rt△ABD 能力提高6.(1)证明：过O点作OE⊥CD于点E,因为 中，AB2+BD2=AD2,所以AD=122+6=65,所以⊙0 AM切⊙0于点A,所以OA⊥AD,因为D0平分∠ADC,所以OE 的半径为35. =OA,因为OA为⊙0的半径，所以OE是⊙0的半径，所以CD 是⊙0的切线. 20.(1)证明：因为∠BAC=∠ADB,所以AB=BC,所以 (2)过点D作DF⊥BC于点F,因为AB是⊙O的直径， ∠ADB=∠CDB,即DB平分∠ADC. AM,BN分别切⊙O于点A,B,所以AB⊥AD,AB⊥BC,所以四 (2)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD,所以AD 边形ABFD为矩形，所以BF=AD=4,所以CF=BC-BF= =CD,所以AB+AD=BC+C,即BAD=BCD,所以BD是直 5.因为CD,AM,BC为⊙0的切线，所以DE=DA=4,CE=CB 径，所以∠BAD=90°. =9,所以DC=DE+CE=13,在Rt△DCF中，DF= (3)因为CF∥AD,所以∠F+∠BAD=180°，因为∠BAD √DC2-CF=12,所以AB=12,所以OA=6,在Rt△OAD =90°，所以∠F=90°.因为AD=CD,所以AD=DC.因为AC 中，OD=0A2+AD2=213. =AD,所以AC=AD=CD,所以△ADC是等边三角形，所以 24.5三角形的内切圆 ∠ADC=60因为BD平分∠ADC,所以LCDB=之∠ADC= 基础训练1.D;2.B;3.35；4. 5.CE的长为3. 30°因为BD是直径，所以LBCD=90°，所以BC=7B0因 能力提高6.(1)证明：因为I是△ABC的内心，所以AE 为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC+∠ABC= 平分∠CAB,BI平分∠ABC,所以∠BAE=∠CAE,∠ABI= 180°，所以∠ABC=120°，所以∠FBC=60°，所以∠FCB= ∠CBL.因为∠BIE=∠BAE+∠ABI,∠IBE=∠IBD+ 90°-60°=30°，所以FB=号BC.因为BF=2,所以BC=4, ∠EBD,因为∠CBE=∠CAE,所以∠BE=∠EBI,所以EB= El. 所以BD=2BC=8.因为BD是直径，所以此圆半径的长为 (2)连接EC,过点E作EM⊥AB,EN⊥AC交AC的延长 4 中考数学沪科(AH) 第14~18期 线于点N,则EM=EN.因为∠BAE=∠CAE,所以BE=CE, ∠ABD=分∠A0D,所以∠0AD+∠ABD=90,因为∠AB0 所以BE=EC=4.因为AE=AE,EM=EN,所以△AEM≌ =∠CBD=∠CAD,∠EAD=∠CAD,所以∠ABD=∠EAD, △AEN,所以AM=AN.因为BE=EC,EM=EN,所以△BME 所以∠IAE=∠OAD+∠EAD=90°.因为∠DIA=∠ABD+ ≌△CNE,所以BM=CN.设BM=x,则8-x=6+x,解得x ∠BAO=∠CAD+∠CAO=∠DAL,所以ID=AD,因为∠DIA =1,即BM=1,所以AM=7.又因为BE=4,由勾股定理得， +∠E=90°，∠DAI+∠DAE=90°，所以∠E=∠DAE,所以 EM=√4-下=√5，所以AE=√(/5)2+7下=8，因为 ED=AD,所以ID=ED,所以点D是IE的中点. EI=BE=4,所以A1=AE-EI=4. 20.(1)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD, 第17期3版 因为∠CBD=∠CAD,所以∠BAD=∠DBC 题号123456 7 8 (2)证明：连接CD,因为∠BAD=∠CAD,所以BD=CD, 答案DAB C ADDD 所以BD=DC,因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠EBC.因 二9.0<R<5;10.40；11.9:12.1 8；13.1.5; 为∠EBD=∠DBC+∠EBC,∠BED=∠DAB+∠ABE,由(I) 知∠BAD=∠DBC,所以∠EBD=∠BED,所以DB=DE,所 14.6+√61. 以DB=DE=DC,所以点B,E,C在以点D为圆心的同一个圆 三、15.证明：因为AC=BC,所以∠A0C=∠B0C.因为 上 DB为⊙0的切线，所以OB⊥BD,所以∠OBD=90°.在 (3)连接OB,设AD与BC相交于点H, OB =0A, 因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以AD⊥BC,所以BH= △OBD和△OAD中， ∠B0C=∠AOC,所以△OBD≌ 2c=4.所以4M=VAB-m=3设0B=,则O1 ODOD, OD=OB=x,OH=OA-AH=x-3,在Rt△BH0中，OB2= △OAD,所以∠OAD=∠OBD=90°.又因为OA是⊙O的半 径，所以AD为⊙O的切线. Bf+0f,即2=4+(x-3)P,解得x=2容即0A=0D= 16.(1)证明：因为AB为⊙0的直径，所以∠ADB=90°， 所以∠DBA+∠DAB=90°，因为∠E=∠DAB,∠ACB= 0B=答因为A0为⊙0的直径，所以4D=20A=亨在 ∠BED,所以∠DBA+∠ACB=90°，所以∠CAB=90°，所以 Rt△ABD中，因为∠ABD=90°，所以BD=√AD-AB2= CA⊥AB,所以AC是⊙O的切线. (2)EB的长为1. 号所以DE=BD=9,所以0E=DE-0D=多因为 17.(1)证明：连接OD,因为OD=0E,所以∠OED= ∠BAC与∠ABC的角平分线相交于点E,所以点E为△ABC的 ∠ODE,因为DE∥OA,所以∠ODE=∠AOD,∠DE0= 内心，所以OE的长即为△ABC内心与外心之间的距离，所以 ∠A0C,所以∠AOD=∠A0C,又因为OA=0A,OC=0D,所 以△AOD≌△AOC,因为AC是切线，所以∠ACB=90°，所以 △ABC内心与外，心之间的距离为子 ∠AD0=∠ACB=90°.因为OD是半径，所以AB是⊙O的切 第17期4版 线 重点集训营 （2)因为AB是⊙O的切线，所以∠BD0=90°，所以BD +OD2=OB2,即42+32=(3+BE)2,解得BE=2,所以BC 1.(1)连接OD和OC,因为AD=DC=CB,所以∠AOD= =BE+EC=8.因为AD,AC是⊙O的切线，所以AD=AC,在 ∠D0C=∠B0C=号×180°=60，所以∠D0B=∠D0C+ Rt△ABC中，AB2=AC2+BC,所以(4+AC)2=AC+82,解 得AC=6. ∠B0C=120°.因为0A=0D,所以∠DAB=7∠D0B=2 18.证明：(1)因为点I是△ABC的内心，所以AI平分 ×120°=60 ∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,因为CD=CD,所以∠CBD= (2)证明：由(1)知，∠B0C=∠DAB=60°，所以OC∥ ∠CAD,所以∠BAD=∠CBD. AE.因为CE⊥AD,所以OC⊥CE.又因为OC为⊙0的半径，所 (2)连接DC,因为∠BAD=∠CAD,所以BD=CD.因为 以直线CE是⊙O的切线. 点I是△ABC的内心，所以∠ABI=∠CBL.由(I)得∠CBD= 2.(1)证明：连接0C,因为AB是⊙0的直径，AC=BC,所 ∠BAD,因为∠BID=∠ABI+∠BAD,∠DBL=∠CBI+ 以∠BOC=90°.因为E是OB的中点，所以OE=BE.在△OCE ∠CBD,所以∠BID=∠IBD,所以ID=BD,所以BD=CD= OE BE, ID.所以点D是△BIC的外心 和△BFE中， ∠OEC=∠BEF,所以△OCE≌△BFE,所以 19.证明：(1)连接OA,OB,OC,A1,因为AB=AC,OB= CE EF. OC,OA=OA,所以△A0B≌△AOC,所以∠BA0=∠CA0,所 ∠OBF=∠COE=90°，即OB⊥BF.因为OB是⊙0的半径， 以AO平分∠BAC,因为点I是△ABC的内心，所以AI平分 ∠BAC,所以AO与AI在同一条直线上，所以OA所在的直线经 所以直线BF是⊙O的切线。 (2)因为OB=OC=4,由(1)得△OCE≌△BFE,所以 过点1. (2)连接0D,则0D=OA,所以∠OAD=∠0DA,所以BF=0C=4,所以AF=√AB+BF=45,所以SAr= 2∠0HD+∠A0D=180,所以∠0AD+宁∠A0D=90,因为号4B.BF=分4F.BD,即8x4=45BD,所以BD-85 5 5 中考数学沪科(AH) 第14~18期 18期2版 能力提高6.(1)它的侧面展开图的圆心角是90°. 24.6正多边形与圆 (2)它所走的最短路线长是105cm. 基础训练1.C;2.B:3.36°；4 第18期3版 2； 题号12345678 5.6或30. 答案BDACCC BA 6.设AB与⊙0相切于M,AD与⊙0相切于N,BC与⊙O 10；1.÷:212;1B6m 5 相切于P, 二、9.12； "16r- 8 连接OE,OF,OM,ON,OP, 14.(2+1)π. 则∠EOF=90°，OM⊥AB,ON⊥AD,OP⊥BC, 三，15.r6=35cm,S6=545cm2 所以四边形AMOW,OMBP是矩形， 16.(1)CE的长为6-32. 所以AM=ON,BM=OP (2)连接OD,AD,因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB= 设⊙0的半径为r,所以EF=√OE+OF=2r,AM= 90°，所以AD⊥BC,因为AC=AB,所以CD=DB,因为OA= ON r,BM OP =r, OB,所以OD是△ABC的中位线，所以OD∥AC,所以∠EOD= 所以AB=AM+BM=2r, ∠AE0,由(1)知∠AE0=45°，所以∠E0D=45°，所以弧DE 所以图中空白部分与阴影部分面积的比值为 的长为45mx3=3m (2r2-(2m)2=1. 180 4 n. (2r)2 17.(1)母线长AB为5m 24.7弧长与扇形面积（第一课时） (2)所需油毡的面积至少是63m2. 18.(1)BP与半圆A相切.理由如下. 基础训练1B:2C:3.1;48m 连接PA.因为AB为半圆O的直径，所以∠APB=90°，即 能力提高5.(1)因为BC,AC,AB与⊙0分别相切于点 AP⊥BP.又因为PA为半圆A的半径，所以BP与半圆A相切. DEF. (2)连接PO,易得△PAO为等边三角形，所以A0=OP= 所以CE=CD=a,BF=BD,AF=AE, PA=2,∠PA0=∠POA=60°.所以S阴影=S扇形PH0+S第形Oi 所以AE+BD=AF+BF=AB. -m-02+0a2-合×2×万=9- 360 因为△ABC的周长为36， 19.(1)证明：连接AD,因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB 所以AE+BD+AF+BF+CE+CD=2AB+2a=36. =90°，因为TD=BD,所以AD垂直平分BT,所以AB=AT.因 因为AB=9,所以a=9. 为AT是⊙0的切线，所以∠BAT=90°，所以△ABT是等腰直 (2)连接OE,OD,因为AC,BC分别与⊙O相切于点E,D, 角三角形，所以∠ABT=∠ATB=45°. 所以∠0EC=90°，∠0DC=90° (2)过点E作EH⊥AB于点H,连接OE,OD,因为TD= 因为∠EFD=70°，所以∠E0D=2∠EFD=140°， BD,OB=OA,所以OD是△BTA的中位线，所以OD∥TA.因为 所以∠ECD=360°-90°-90°-140°=40°. AB⊥TA,所以OD⊥AB.因为E为AD的中点，所以∠DOE= 由(1)知CE=a=9,所以点E运动的路径长= 40×m×9=2m ∠40E=宁∠A0D=45,因为O0的半径1=宁4B=1,所 180 24.7弧长与扇形面积（第二课时） 以的长为51=年因为△0EH是等腰直角三角形，所 180 基础训练1.D;2.D;3.4-T; 以EH=OH= 4(-3D. 号，所以S影=SAm+S0E0E-SAOBE= 4+m-22 能力提高5.(1)证明：连接OB,因为CD是⊙0的直径， 8 所以∠CBD=90°.因为OE∥BC,所以∠BGE=∠CBD= 20.(1)9. 90°，所以∠E+∠EBG=90°.因为AE与⊙0相切于点B,所以 (2)由旋转的性质，得∠COD=40°，因为直径AB平分 OB⊥AE,所以∠OBD+∠EBG=90°，所以∠E=∠OBD.因 ∠COD,所以∠BOC=∠BOD= 为OB=OD,所以∠D=∠OBD,所以∠D=∠E. 2∠C0D=20°，所以∠A0C (2)连接BF,因为∠OBE=90°，F是OE的中点，所以BF =180°-∠B0C=160°，因为AB=8,所以A0=B0=24B =OF,因为OB=OF,所以OB=OF=BF,所以△OBF是等 边三角形，所以∠BOE=∠0BF=60°.因为∠OGD=90°，所 =4所以2=10X4=,所以元的长是号 180 以0F1BD,所以∠0BD=7∠0BF=30,所以0G=20B (3)扇形A0D的面积为号或号m或曾 =1,BG=√OB2-OG=5,所以S阴影=S扇形B0F-S△0G= 第18期4版 02-分x1×5--号 重点集训营 360 32 1.32 24.7弧长与扇形面积（第三课时） m;2.a2;3.12. 基础训练1C:2.C;3.2万；4子 4阴影部分的面积是号。-25 64 素养·拓展 数理超 数理据 2025年10月23日·星期四 初中数学 51-S27126 (上接第3版) 17期总第1161期 辅助线周周练 见纸发行质量反喷电话 沪科 19.(12分)如图14，等便三角形AC内格 重点集训营 0351-5271248 中考{AH 于OO,AB=AC,点/是△ABC的内，心，连接BI 井延长交⊙0于点D,点E在BD的延长线上 上接4版参考答案】 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 社长：徐文伟 国内统一连埃出版物号：CN14-0707F】 满足∠EAD=∠CAD.试正明： 切线的判定 L.如图1，D为△ABC内一点，且∠BAD 2》白0的径 专题捕子 与圆有关的探希性间题在数学学习中图见 (1)0A所在的直线经过点1： ∠BCD,BD⊥CD.作DH⊥AB于H.HD的延长 能现举例介绍其解法，供大家学习时参考， (2)点D是E的中点. 1.如图1AB是⊙0的直径，Ab=DC 线交AC于E.若DE=3,AB=5,则BC= 16(1)0的半 例1如图1-①.AB是⊙0的直径，BC是 CR,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E 为2 三招助力切线的判定 (1)求∠DAB的数： ⊙0的弦.OD1BC于点E.交BC于点D 2》∠C30 南 申红芳 (2)求证：直线CE是⊙0的切线 7.1)△4BC是 第一招：有直径，直接证 (1)请写出三个不同类的正磷站论： 证阴：连援AC,OC.因为点C为BE的中点 腰直角三角 例1 如图1已知 (2)如图1-2，连接CD,设LDB=a 以∠BAC=∠CAB.又因为AB是直径，所 于月：因为AC AB是⊙0的直径，BC交 LAC=B.试式找出a与B之间的一个关系式，井的 ∠ACB■∠AGD=0,AC=AC,所以△BAC ⊙0于点D.E是8D的时 ≌△DAC.所以∠B■∠D.又因为∠B= 与.AE写BC在平点 ∠OCB,所以∠OCB=∠D.所以C∥AD.因 2如图2在半径为4的⊙0中，弦AC= ∠C=2LEAB.求证：AC是⊙0的切线 因为∠AD 为CF⊥AD,所以OC⊥CF.因为OC是⊙0的 42,B是⊙0上的一动点（不与点4重合），D是 证明：连接AD,因为E是BD的中点，所以 半径，所以CF是⊙的切 AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 DE=BE,所以∠EAB■∠ELn.因为∠ACB 第三招：作垂直，证半径 所以AB=BC 2∠EAB.所以∠ACB=∠DAB.因为AB是⊙ 别3知和3.年 解：(1)由0D=0B,可得△0BD是等腰 角形：由AB是⊙0的直径，可得∠ACB=90 口冰面承字修rW 又因为∠AC 的径，斤∠ADB=0,F以∠DAC+ △ABC中，以边AC上 2如图2，AB是⊙0的直径，AC=C,E是 ∠ACB=90,所以∠DAC+∠DAB=∠BAC= 一点0为圆心，0A为 △ABC是直角三角形：由BG是⊙0的弦，0D⊥ OB的中点，连接CE井延长到点F,使EF·CE, 直角三角形 Ov相￥铛班NV并学三N)'y均 90°，所以AC1AR.因为AB是O0的直径，所以半径作⊙0，与AB相明 C于点E,交C干点D,可得BE=CE,BD= 连按AF交⊙0于点D.连接BD,BF 2CD的长为 4C是⊙0的5找. 于点A.作CD⊥BO交BO的延长线于点D,且 20.(12分)如图15，在△ABC中，4B (1)求证：直线BF是⊙0的覬： 卡物迎平'位盛未g1% 2万 CD.∠BED=∠0EB=90°：由∠DEB=90, 第二招：连半径，证垂直 ∠CBD=∠DC0.求证：BC是⊙O的切线 AC,∠BAC与∠ABC的角平分线相交于点E 18.(1)DE go 可得0E+BEOB等. E的延长线交△ABC的外接圆于点D,连 (2)若0B=4,求D的长 例2如图2，AB是 证阴：过点O作0E⊥BC于点E,因为AB 罩路 任选共中三个都符合要求 BD. ⊙0的直径，点C在⊙C (2)△AC外樱圆 ⊙0相切于点A,CD⊥B0,所以∠B0=∠D 2)am909+B (1)求证：∠BAD=∠DC: @乐3伊0学砖t80号·30话盘 的半为万 ,且点C为BE的中点，连 =90又因为∠A0B=∠C0D.所以∠AB0= 明：因为a+∠BAC=10,∠ACB+8+ 〔2)求证：点B,E,C在以点D为园心的同 和冯中出三油~0新果夏浮中例 DCO.丙为∠CBD.=∠DC0.月于L∠ABO= 9(1】明：连8 接A店并正长交C的正 B4C=180°，所以a=∠ACB+B因为AB是 个圆上： y班og'0垂【些群】1+1 线于点D.过点C作CF⊥ ∠DBC,又因为OA⊥AB,OE⊥BC,所以OE ⊙0的直径，所以∠ACB=0°，所以a=+B 3)若AB=5,C=8,求△ABC内心与 因为点D是 D,垂足为点E.求证：CF是⊙0的 0A.以BC是⊙0的切线 心之间的距离。 中点.所以∠C 名师课堂 用当环时到话阴落习中甲址县23到 BAD 列析 0387=387用制的垂平 又冈为AC=A因 三角形内切圆公式的运用 圆的探索性向题 D=AD,所以△CA0 。山西赵 数理报社试丽研究中，心 4阳V【些研】191【落安】 e△4D.,所以∠AL 例2如图2，在△AB 杨俊豪 {考答案见下期) 结论1：如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC H,AB=AC,D为找段BC上 LACB a.AC=b.AB=c,内曹⊙0的半径为t,D, 录于B,C的动点，以A为回 第16期2版参考答案 因为∠CE·∠D 结论3，n因3年AABC由.为用⊙D 心，AD的长为半径作⊙A与 2423园的确定 E,F为切点，则，=(a+6-c. 日A 能力提离10.(1)©0的半径为33 C,AC,AB分别相切于点E,F,D.则∠FDE= 基四还线1D:2C：3.A AB.AC分别交于B,F,连接 4.组对边行但不相等的四边形是平行四边形： 2)接CR座GC并赶长交A5于点M。 △BFD.P=E 证明：如图1.连接0D.0E.0F,则图边形 90°-号∠ACB D,DF,若∠B=50,南着点 5.140°；&1,4}：7.5：82/5 四为4G 8G.AC RC. (2}白0的半径为 CDOE为正方形所以CD=OE=由题意，易 D的运动.∠DE+∠CDF的值是否为定值：若 证明：图3.连接0E,0F.则0F⊥AC,0E g1)图路 点C线段AB年直平分线上，点G年线 3 导AF=AE,CE=CD,BF=BD.所以g+b-c 不是，请说明理由：若是，请求出该定他， (2)△AC的外接圆的正积为 4B的垂直平分线上. 20.(1)正明：调 (BD+DC)+(AE+EC)-(AF+BF)=2CD ⊥BC.因为四边形CF0E的内角和为360°，以 解：∠BDE。CDF■ C上AB,AM HAC=∠ADB FE+∠ACB=10阳∠FDE 0。 能力提10(11，-2) 为∠4C8=90 2x.所以r= 为定值，理由如下： CW=W,LBCM=45 所以房= ∠FOE.所以∠FDE=90-: -∠ACB (2)点D在⊙外部，里山略 如图3，在⊙A上取任 243里图 因为BF是⊙0的径 以∠A=∠， 点G,连接EG,FG.四边 4.24:599 以∠F=9O. DB平分∠D 形EDFG是园内接四边形 6.40s7.140 因为四边形GC是⊙的内四边形 《2}∠0=0r 8.(1)正明：因为AB是⊙0的直径，CD上AB, BCM=45 因为AB=AC,∠B 《3)此半径的 帆以△GF是等樱直角三角形】 50°，所以∠C=∠B=50,所以∠AC=80 所以， 为4. 以4=上2 期以AG=G=GF=臣F=3石 结论4：如图4，△ABC的三边长BC,AC,AB 第16期4版 结论2：如图2，若⊙0为△AC的内切圆 以∠G=∠BAC=40°.所以∠EDF=180 分别为4，,“,面积为5，内切圆⊙1的半径为 第16期3版参考答案 参考答案 则∠A0B=90°+之LACB 2 LG=140 mL以∠1=∠2 号1245 重点集证营 r.则r■e+b+ 《2)©0胸年径为是 因为∠AED=∠B+∠BDE=S0°+ 签BBAAABC L60: 证明：因为⊙0为△ABC的内切圆，所以 证明：如图4，连接4,1B,1C BDE,∠AFDm∠C+∠CDFm50°+.∠CDF 《)证明：因为c品图的直经 2.33 二950a5,25:2- ∠1=LCAB,∠2=乙ABC.所以∠A0B 3万（全文完 因为5=5aw+Sa+S=2ABr AE=AD■AF.以∠EDA■∠AED■50+ 数理报杜试题研究中心 ∠BDE.∠FD=∠AFD=S0+∠CDF,所以 5为AC=G, [参考答案见下期 1525:14.2四-2 180 南以△ABC是等限三角形。 (下转1,4版中缝】 -(∠1+∠2)=180°-（∠CB+ )4C+r+,CB1■(a+b+r所以r= ∠EDF=∠EDA+∠FDA=1D0n+∠BDE+ LABC)=180°-180°-∠ACB)=90+ 28 ∠CDF=140=,以∠BDE+∠CDF=40,为 a+6+ 定值。 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 24.+直线与圆的位置关系（第二课时） 24.5三角形的内切图 16.(10分)如图11，AB是⊙0的直径，点D 跟踪训练 E在⊙0上，位于直径AB两侧，连接ED,EB,连按 零伊练 停团训练 同出达标检测题（十三 BD并延长至点C,使得∠ACB=∠BED 1,如图1PA,PB分别题0于A.B两点，PA 1.如图1，点0是△ABC外 (1】求正-AC品⊙)的量： 24.4直线与圆的位置关系【第一课时) =5.04PB的长的 接圆的题心，点I是△ABC的内 【检测范图：244245】 (2)若点E是瓶AB的中点，AB=2,求EB的 B.5 心，连接0B.1L若∠0 俓妞训练 (满分：120分) 20°.则∠C41的度数为( 8.如图6，半径，=2反的⊙M在x轴上平移 1.已知⊙0的半径等于8cm.圈心0到直线1 A.20 精心选 选（每小题4分，共32分》 B.25 且心M在x轴上，当⊙M与直线y。+2相 上某点的呢离为8m,则直线1与⊙0的公共点的 C.30n D.35 时，圆心M的坐标为 个数为 2.如图2，点/为△ABC的内切圆的圆心，连 爷室■ A.(0.0》 B.(2.01 B,1 C1或2D.0成1 接BI并延长，交△ABC的外接圆于点D.圭接AD 1.已知平面内有⊙0和点A.B,若⊙0的半径 C(0.0)或(-6.0) D.(2.03成(-6.0 2.如图1，PA,PB是⊙0 A.若BD=7,AD=5,则I的长为 约em,找段0A=4em,0B=3em,则直找AB与 二、组心填一填（每小题4分共24分》 的切线，切点分别为A,B,点 2.如图2所示，△4BC的内切圆⊙0分别与 .2 C25 D.3.5 ©0的位置关系为 9.已知直线1与半径长为的⊙0相离，且点 A相 B.相 G为⊙0上一点，∠P=66 AB,BC,AC相团T点D,E,F,且D=6,BE 0到直线的距离为5，那么R的取值范围是 则∠C的度数为 GF■8，则△MBG的周长为 C.相切 D.相交或相切 2.如图1.AB是⊙0的直径.CD切⊙0于点 A660 B.63° A.36 ,38 C.40 D,42 10.如图7，在⊙0中，AB是直径.AC是弦，过 C.579 D.60 3.如图3，在⊙0中.0是⊙0外一点，QA,0 C,连接AC,BC,若∠BCD=50°，则∠B的度数为 点C的切规与AB的延长线交于点D,若∠A= 3.如图2A,B是⊙0上的两点AC是过A点 与⊙0相切于A,B两点，点C,D是⊙0上的两点 25,则∠D的度数为 409 B.45 ù.55 的一条直线，如果∠A0B=120°，那么当∠C4B 若∠Q=110,则∠B+∠D的度数为 3.如图3.在△ABC中，∠ACB=7D°，△ABG 的度数等于 度时，AC才能成为⊙0的切 的内切圆⊙0与AB,C分别相切于点D,E,违接 DE,AO的延长线交DE于点F.则∠AFD 17,(10分)如图12.⊙0与△4BC的AC边相 切于点C,与AB.BC边分别交于点D,E.DE∥OA 4.如图4，⊙0是 CE是⊙0的直径 11.闪R.△ABC的为暖⊙)与君C,CAAB AABC的内切质，切点分 (1)求证：AB是⊙0的切线： 3.图2.⊙0与正方形ABCD的两边AB,AD 分日小点D,B,F,日AB=8,C=I7,CA= 4.如图4，以正方形ACD的1B边为直径 刚为D,E,F,且∠A= 相切，且D与⊙0相于E点若⊙0的半径为 (2)若BD=4.EC=6.求AC的长 15,则阴影部分（四边AE0F)的面积是 华圆0，过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点 E,若△CDE的周长为12.则直角梯形ABCE的周 90°.c=号，C4=2,则 4,且AB=I0,则DE的长度为 4,如图3.在平面直角坐标系中，半径为2的 12.如图9，将枚宽托 ⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将OP沿x轴正 为 ⊙0的半径格 A.5 B.6 c.n.号 铜钱的模型放人一个矩形 5.如图5，已知⊙0是△ABC的内切题，切点 方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的 5.m85,P5是⊙0外一点，P1.PB是⊙D 4.已知⊙0的直径为2，点P到圆心的距离为 袋子ABCD中，铜钱模型与 两条切线.切点分别为A,B.C为亮AB上一点 分别为D,E,E.若AB=6.AC=4.BC=8,求CE 取值范围是 d,且关干x的方程22+22x+3-d=0有实数 矩形袋子的下边沿BC相切 5.如图4，四边形ACD是⊙0的内接因边 的长 过点G作⊙0的切线，分别交PA,PB于点D,E 根，则过点P可作©0的切线的条数有《 点E,马上力告AD交=与 彩，AB是OO的直径，过点C作CE⊥AD交AD的 (1)若△PDE的周长为2，求P4的长 A.0条 F,G,若AB=4,FG=10,陵圆形战模的兴 延长找于点E,已知AC平分∠EAB.求正：CE是 (2)岩∠D0E=72,求∠APB的度数 C.2条 D.1成2条 径为 5.如图3，点1为等边△ABC的内心，连接A ⊙0的切线 13.在△ABC中，∠C=90°，AC=4,G=3 并延长交△ABC的外接题于点D,已知外按圆的 径为2，线段D的长为 划△ABC的外接圆半径R与内切圆半径：的菜R A.2 B.3 C.4 D.25 14.年△ABCB.AB=AC=13:8C=24.5D 为△ABC的对称轴上一动点，过点D作⊙0与B( 相切，点0在△ABC的对称轴上，BD与⊙0相交丁 点,那么A的最大值为 I8.(I0分)如图13./是△ABC的内心.的 延长线交△AC的外格圆干点D 俺提高 三、耐心解一解（本大题6小题，共6分） 15.(0分)如图10.点C为⊙0上一点，连接 (1)求证：∠BAD=∠CBD: 6.如图6,0是△ABC的外心，I是△ABC的内 (2)声接B/,CI,求证：点D是△BIC的外C DC并延长至点D,过点D作⊙O的切DB,B为切 便刀提高 心，连接A/井廷长交BC和⊙0于点D,E 6.如图4.AB是⊙0的直径.C是⊙0上 (1)求证：EB=E: 点，连接0R.A为⊙0上一点，AC=BC,连接0A 座分提高 6.如图6，AB是⊙0的直径，AM,BN分别切 D是⊙0外一点，过点A作AE⊥CD,垂足为E,连 (2)若AB=8,AC=6,BE=4,求的长 AD,BC.4C.求证：AD为⊙0的切 ⊙0于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,D0平分 接0C.若使CD切⊙0下点C,添加的下列条件中， 6如图5，⊙0经过菱形ABCD的顶点B,D. ∠ADc. 不正确的是 与边BC.CD分别相交于点EF A.0C∥AE 《1)求正：CD是⊙？的龙： B.∠0AC=∠CAE (1)若AB与⊙0相阋.求证：AD与⊙0切： (2)若AD=4,BC=9,求0D的长 C.∠C=LCE D.OA AC 2)求证：BE■DF 1.如图5.AB是⊙0的直径，AC,BC是⊙0的 弦.1是△ABC的内，心.走接OH,若O1=反，∠O =45.则BC的长是 L号+后 鼠反，停 C.1+E D.1+ 数理报杜试题研究中心 (参考答案见下期) (下转第4版)